专题1.3 集合的基本运算（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

专题1.3 集合的基本运算（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 并集的概念及运算】 2 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 2 【题型3 交集的概念及运算】 3 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 3 【题型5 补集的概念及运算】 3 【题型6 交、并、补集的混合运算】 5 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 5 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 6 【题型9 集合运算中的新定义问题】 7 知识点1 并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【题型1 并集的概念及运算】 【例1】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·河南周口·期末）若集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【例2】（24-25高一上·福建莆田·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设集合，则满足的集合的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【题型3 交集的概念及运算】 【例3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·陕西汉中·期末）已知集合则，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知集合，则的元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-3】（24-25高一上·河南郑州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【例4】（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则实数（    ） A． B．1 C．2 D．或2 【变式4-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点2 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型5 补集的概念及运算】 【例5】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】（24-25高一上·天津河西·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·新疆·期中）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】（24-25高一上·广西来宾·期中）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·天津红桥·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·四川眉山·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【变式7-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【变式7-3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 知识点3 Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一上·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型9 集合运算中的新定义问题】 【例9】（2025·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【变式9-1】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【变式9-3】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 集合的基本运算（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】 【题型1 并集的概念及运算】 2 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 3 【题型3 交集的概念及运算】 4 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 5 【题型5 补集的概念及运算】 7 【题型6 交、并、补集的混合运算】 8 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 9 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 12 【题型9 集合运算中的新定义问题】 13 知识点1 并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集. 【题型1 并集的概念及运算】 【例1】（24-25高一上·山东枣庄·阶段练习）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】应用集合的并运算求集合即可. 【解答过程】由. 故选：A. 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，然后可求并集． 【解答过程】由得， ∴， 又∵， 故． 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先得，再由集合的并集运算可得. 【解答过程】， 故， 故选：D. 【变式1-3】（24-25高一上·河南周口·期末）若集合，则中元素的个数为（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【解题思路】由集合的并集的定义求得后可得． 【解答过程】因为， 所以中有4个元素． 故选：C． 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【例2】（24-25高一上·福建莆田·期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可得，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为集合，，且，则， 所以，. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）设集合，则满足的集合的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【解题思路】根据条件可得，列举出集合即可确定选项. 【解答过程】由题意得，. 由得，， ∴，，或，共4个. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合或，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，可得即可得解. 【解答过程】依题意，，可得． 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由可得，进而结合包含关系求解即可. 【解答过程】由，， 因为，所以，则， 即实数的取值集合是. 故选：B. 【题型3 交集的概念及运算】 【例3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，，那么（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【解答过程】因为集合，， 因此，. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高一上·陕西汉中·期末）已知集合则，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】用列举法求出集合，根据交集运算即可求解. 【解答过程】, 所以， 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·山东·阶段练习）已知集合，则的元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据集合的交集的定义得，即可求得元素个数. 【解答过程】依题意可得，则的元素的个数为2. 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一上·河南郑州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合交集定义进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以 ， 故选：D. 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【例4】（24-25高一上·四川成都·期中）设集合，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据交集的计算结果可得集合间的关系，即可得解. 【解答过程】由知， 又，，所以， 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则实数（    ） A． B．1 C．2 D．或2 【解题思路】先由交集结果得，进而得，从而得到关于a的等量关系式计算求解a，再结合集合中元素的互异性检验即可得解. 【解答过程】因为，所以， 所以且，所以或， 解得或或， 当时，，，与集合中元素互异性矛盾，不符合； 当时，，，满足，符合； 当时，，，与集合中元素互异性矛盾，不符合. 综上，. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，，对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的包含关系验证可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】因为，则，且集合或，. 当时，则，合乎题意； 当时，则， 因为，则，解得； 当时，， 因为，则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由交集的运算和一元二次不等式的求解即可得到答案； 【解答过程】若中恰含有3个整数且可得， 若，由集合可得，不符合题意； 若，由集合可得， 此时，因为，所以， 所以实数a的取值范围是， 故选：B. 知识点2 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 (1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A. (2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A. 【题型5 补集的概念及运算】 【例5】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集概念求解出结果. 【解答过程】因为全集为，，所以. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，则的子集个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】求出补集，再由子集的定义求解． 【解答过程】依题意，，所以的子集有个. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一上·天津河西·期中）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集的定义求解即可. 【解答过程】解：因为集，集合， 所以或. 故选：D. 【变式5-3】（24-25高一上·新疆·期中）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据补集定义可求得集合，进而判断各个选项即可. 【解答过程】，，， ，，，，ABD错误，C正确. 故选：C. 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】（24-25高一上·广西来宾·期中）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的运算先求，再求即可. 【解答过程】因为，，故，故. 故选:A. 【变式6-1】（24-25高一上·天津红桥·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的运算法则计算． 【解答过程】由题意，所以． 故选：B． 【变式6-2】（2025·四川眉山·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的交并补运算逐项判断即可. 【解答过程】对A,由，选项A错误； 对B,，选项B错误； 对C,，选项C错误； 对D,因为，所以，所以选项D正确. 故选：D. 【变式6-3】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解. 【解答过程】由得当时，，故选项A不正确； ，当时，，故选项B不正确； 当时，，故选项C不正确； 因为，所以，故选项D正确. 故选：D. 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】（24-25高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【解题思路】由，得到，分与讨论即可. 【解答过程】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A. 【变式7-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得或，结合，即可求解. 【解答过程】由集合，，可得或， 因为，则满足. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 【变式7-3】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）在①；②；③这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答． 问题：已知集合，． (1)当时，求； (2)若________，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意，求得或，，结合集合的运算，即可求解； （2）由或和， 若选择①：得到，结合集合的运算，列出不等式，即可求解； 若选择②③，转化为，列出不等式，即可求得的取值范围. 【解答过程】（1）由不等式，解得或，可得或， 当时，可得，则， 所以． （2）由集合或和， 若选择①：由或，可得， 要使得，则，解得，所以实数的取值范围为； 若选择②：由，即，可得，解得，所以实数的取值范围为； 若选择③：由，可得，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 知识点3 Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】（24-25高一上·吉林长春·期末）已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（   ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【解答过程】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 【变式8-1】（24-25高一上·河北张家口·阶段练习）已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据图和集合之间的关系进行判断． 【解答过程】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成， 所以用集合表示为． 因为集合，， 则，所以， 故选：B． 【变式8-2】（24-25高一上·四川眉山·期中）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合韦恩图的表示方法，利用集合的运算法则，结合选项，即可求解. 【解答过程】解：由题意得，阴影部分的区域内的元素且， 所以阴影部分可表示为或或. 故选：D. 【变式8-3】（24-25高一上·重庆·期中）已知全集，集合，，给出下列4种方式表示图中阴影部分：①②③④，正确的有几个？（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】根据阴影部分对应的集合分别判断①②③④即可. 【解答过程】由图可知阴影部分所表示的集合为，，故②③正确； 因为，， 所以，故①正确； ，故④错误. 所以正确的有3个. 故选：C. 【题型9 集合运算中的新定义问题】 【例9】（2025·江西九江·模拟预测）设集合，集合，定义，则中元素个数是（    ） A．7 B．10 C． D． 【解题思路】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【解答过程】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 【变式9-1】（24-25高一上·安徽安庆·阶段练习）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先根据集合中的元素球集合，再求. 【解答过程】， 当，或，或，或，解得或或 或， 所以，， 所以. 故选：D. 【变式9-2】（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【解题思路】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【解答过程】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 【变式9-3】（24-25高一上·海南海口·阶段练习）定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集，且，，，且，，. (1)求集合； (2)求集合； (3)集合，是否能满足？若能，求出实数的值；若不能，请说明理由. 【解题思路】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）利用（1）（2）的结论，结合给定的集合运算结果，按是否为空集分类求解. 【解答过程】（1）对任意的，有，， 全集且， 则 由，得，或，或， 当时，； 当时，； 当时，， 所以. （2），由且，，得，， 因此，所以. （3）由（1）（2）知，，，则， 假设集合，能满足，则，或且， 又，当时，；当时，解得，经验证，或都符合要求， 所以实数的值为0或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$