第06讲 反比例函数系数K的几何意义与实际问题（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）

第05讲 反比例函数系数K的几何意义与实际问题（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 销售问题 典型例题二 行程问题 典型例题三 物理问题 典型例题四 几何图形问题 典型例题五 工程问题 典型例题六 表格问题 典型例题七 已知比例系数求特殊图形的面积 典型例题八 根据图形面积求比例系数 典型例题九 反比例函数与几何综合 典型例题十 反比例函数实际综合应用 知识点01 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·单元测试）如图，两个阴影部分面积的值分别是（   ） A．3，2 B．1.5，2 C．3，1 D．1.5，1 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 知识点02 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【即时训练】 1．（2025九年级上·安徽合肥·专题练习）用若根火柴首尾相接摆成一个长方形，设每一根火柴的长度为，长方形两条邻边的长分别为，，要求摆成的长方形的面积为． (1)求关于的函数表达式； (2)能否摆成正方形？请说明理由． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 【即时训练】 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【典型例题一 销售问题】 【例1】（2025·安徽池州·模拟预测）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例2】（24-25九年级上·安徽淮北·课后作业）根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为 元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 【例3】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销量为80斤，那么每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为 1．（2025·安徽六安·模拟预测）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·课后作业）某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 3．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？ 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 【典型例题二 行程问题】 【例1】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）在行程问题中，路程千米一定时，速度千米时关于时间小时的函数关系的大致图象是　　 A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）s、v、t分别表示路程、速度和时间，s为常数时，v与t之间的函数表达式是 ，它是 函数； 【例3】（24-25九年级上·安徽马鞍山·阶段练习）王伟家长将轿车油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之问是反比例函数关系（k是常数，）．已知某某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶400千米，当平均耗油量为每千米升时，该轿车可以行驶 千米． 1．（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）分别写出下列函数的关系式，指出是哪种函数，并确定其自变量的取值范围． (1)在时速为的运动中，路程s（单位：）关于运动时间t（单位：h）的函数关系式； (2)某校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．    (1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？ 3．（2025·安徽亳州·模拟预测）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地，并按照原路返回甲地． (1)返回过程中，汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系？ (2)如果要在3h返回甲地，求该司机返程的平均速度； (3)如图，是返程行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速度为85km/h的速度回到甲地．求该司机返程所用的总时间． 【典型例题三 物理问题】 【例1】（2025·山西·模拟预测）物理学研究表明：光子能量与电磁波波长之间满足反比例函数的关系．已知某束绿光的波长为米，其所对应的光子能量为焦耳．若测得某束紫光的波长为米，（绿光和紫光都属于电磁波）则这束紫光所对应的光子能量为（    ） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【例2】（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学习中，我们了解到当密闭容器内有一定质量的气体时，容器的体积（单位：）变化，气体的密度（单位：）也随之变化．与之间在一定范围内成反比例函数，如图所示．当为的值是（　　） A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江台州·模拟预测）在物理学中，用电功率表示电流做功的快慢．已知串联电路中，电功率与电阻成正比，并联电路中，电功率与电阻成反比．如图1，把两个电阻和串联在电路中，与的电功率之比是．如图2，当把它们并联在电路中，的电功率是，则的电功率是 W． 1．（2025·安徽池州·模拟预测）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（） 10 15 50 波长（m） 30 20 6 (1)求波长关于频率f的函数解析式． (2)当时，求此电磁波的波长． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高y是小孔到蜡烛的距离x的反比例函数，且当时，． (1)求y关于x的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日    （星期四），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．    第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率． 第四步，计算收集数据如下： R/Ω … 2 4 6 8 10 … P/W … 18 9 6 4.5 3 … 第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选） A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；    (4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为． 【典型例题四 几何图形问题】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，甲、乙、丙、丁四个长方体的底面积与高的情况可分别用点，，，表示，其中点，恰好在同一个反比例函数的图象上；则这四个长方体中体积最大的是(   ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例2】（2025·河北保定·模拟预测）如图，一个厚度，宽度可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量水，随着的变化，水面高度也发生变化．设，水面高度为，则y随x变化的函数图象是如图所示的曲线，它与直线只有一个公共点R．则盒子里水的体积是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·山西大同·期末）根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为 ． 1．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积 1 0.5 _____ 0.125 桌面所受压强 200 400 800 1600 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式并直接补全表格． (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同质量的长方体分别按图2和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强的范围．（超过最大压强时玻璃破裂） 2．（2025·山东临沂·模拟预测）在学习了函数后我们了解了函数的一般研究方法，为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的程与方法，列表： x … 1 2 3 4 5 … y … 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示： (1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； (2)已知点，在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若，则 ；若，则 ．（填“”，“”，“”）． (3)某农户要建造一个图2所示长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1千元／平方米，上盖的造价为1.5千元／平方米，侧面造价为0.5千元／平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为w千元． ①请写出w关于x的函数关系式． ②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？请直接写出x的范围． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图1，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ， °（注：，） (2)求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液底面积高） (3)在图1的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱或交于点P、点Q始终在棱上，设，，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘 【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：． 图①                      图②                         图③ 【项目任务】根据项目素材解决问题： (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； (2)小明又取物距． ①当时，________（用含有f的代数式表示）； ②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释； (3)实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题： ①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像； ②试说明：． 【典型例题五 工程问题】 【例1】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）一项市政工程，需运送土石方106米3，某运输公司承办了这项运送土石方的工程，则运送公司平均每天的工作量y（米3/天）与完成运送任务所需时间x（天）之间的函数关系图象大致是（　　） A A． B． C． D． 63 【例2】（24-25九年级上·重庆铜梁·阶段练习）瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨． 【例3】（18-19九年级上·全国·单元测试）市政府计划建设一水利工程，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．该运输公司平均每天的工作量（米3天）与完成运送任务所需的时间（天）之间的函数图象如图所示．若该公司确保每天运送土石方米3，则公司完成全部运输任务需 天． 1．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． (1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）在李村河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（天）与每天完成的工程量（天）的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分． 请根据题意，求与之间的函数表达式； 若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内（按天计算）完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）某小微企业生产加工一种产品，2023年1月的利润为180万元．设2023年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2023年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【典型例题六 表格问题】 【例1】（24-25九年级上·山东菏泽·期末）近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： （单位：度） 100 250 400 500 （单位：米） 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽六安·模拟预测）在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）是反比例函数关系，平平记录了几次测量所得的数据，由于疏忽，其中有一次记录的数据有误，观察表格，有误的那一次是（    ） 第1次 第2次 第3次 第4次 … 受力面积 0.1 0.2 0.3 0.4 … 压强 1000 500 300 250 … A．第1次 B．第2次 C．第3次 D．第4次 【例3】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A ）与电路的电阻R单位：Ω）是反比例函数关系，根据表格 则 ． 10 2.4 2 1.2 a 50 60 100 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知，视力表上视力值V和字母E的宽度a（）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母E的宽度a如图所示，经整理，视力表上部分视力值和字母E的宽度a（）的对应数据如表所示： 位置 视力值V a的值（） 第1行 0.1 70 第4行 0.2 35 第7行 0.4 17.5 第14行 2.0 3.5 (1)请你根据表格数据判断并求出视力值V和字母E的宽度a（）之间的函数表达式，并说明理由； (2)已知第5行首个字母E的宽度a（）的值是28，第8行视力值V为0.5，请分别求出第5行的视力值和第8行字母E的宽度 2．（2025·安徽·模拟预测）【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 3．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案． 项目主题：探秘饮水机工作程序 项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习． 驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？ 设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题． 实施方案： （1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程． 按照方案展开调查，收集了如下数据． 通电时间（） 水温（） （2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的_________函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”） （3）解决问题： ①第一次加热过程中与的函数表达式为___________； 第一次水温下降过程中与的函数表达式为_______________； ②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为_______． 【典型例题七 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【例3】 （2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 2．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 3．（2025年山东省青岛市初中学业水平考试——数学模拟练习卷（七））如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 【典型例题八 根据图形面积求比例系数】 【例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 【例2】（24-25九年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于，两点，连结，．若四边形的面积为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，，过点作轴，交反比例函数于点．若，则 ． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点在反比例函数的图像的一支上，轴，轴，垂足分别为A、B，矩形的面积为2．求k的值． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，已知反比例函数（k为常数，）的图像经过第二象限内的点A，过A点作轴，垂足为B，的面积为1，的半径为1． (1)___________，当与x轴相切时，A点坐标为___________ (2)点C为y轴上一动点，当为等腰直角三角形且面积为3时，求出点C坐标． 3．（24-25九年级上·安徽池州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点A作轴于点B，且的面积为6． (1)求m和k的值； (2)当时，求函数值y的取值范围． 4．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)若点B坐标为时． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为4时，求点P的坐标； (2)过点B作轴于点D，点Q为中点，线段交y轴于点P，连接．若的面积为5，则k的值为________． 【典型例题九 反比例函数与几何综合 】 【例1】（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B、D在反比例函数的图象上，轴，若，与的距离为8，则的值为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【例2】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线，的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点、．若，则的值为（  ）    A．8 B． C．4 D． 【例3】（2025·安徽滁州·模拟预测）发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴对称图形，其由底部矩形和两个反比例函数图象一部分组成．以地面为轴、的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知，则整个冷却塔的高度为 m． 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上的一点，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)若线段，求D点的坐标； 2．（2025·安徽宣城·模拟预测）已知． (1)化简T； (2)如图，若反比例函数的图象经过点A，且矩形的面积为3，求T的值． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，一次函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线与反比例函数的图象相交于点C，求的面积． 4．（24-25九年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点， (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x轴上是否存在一点D，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上的一个动点，连接，以为边作正方形，当顶点F或N恰好落在直线上时，求点M的坐标． 【典型例题十 反比例函数实际综合应用】 【例1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂动力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力与动力臂满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【例2】（2025·安徽·模拟预测）如图1是一款在某跨境电商平台销量排名第一的可调节亮度的台灯，图2是它的电路示意图，它是根据调节总电阻的大小来实现灯光亮度的变化，电流与总电阻之间的关系图象如图3所示，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与之间的函数表达式是 C．当时， D．当电压不变时，与成正比 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，其图象如图所示．学生小华原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小华的镜片焦距调整到0.4米，则其近视眼镜的度数减少了 度． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，某品牌的电水壶启动后需要6分钟将 的水加热到 ，然后水温逐渐降回，降温过程中的水温 y（）与水壶启动后用时x（分）成反比例关系、据研究，当水温降至 时，比较适宜饮用． (1)求降温过程中的水温y（）与水壶启动后用时x（分）的函数关系式．并写出自变量的取值范围． (2)直接回答：一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？ 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似的满足反比例函数关系．小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10L），小敏每次用半盆水（约5L），如果她们都用了5g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2g． (1)分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数表达式； (2)当洗衣粉的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？ 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·课后作业）一场暴雨过后，一洼地积存雨水，设积存的雨水全部排完需，排水速度为，且排水时间t需满足． (1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围； (2)请画出函数图象； (3)根据图象回答：当排水速度为时，排水时间需要多长？ 4．（2025·安徽淮北·模拟预测）综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：dm）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：dm）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 (1)①根据图3可知，是的______（填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． (2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如表： ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为27dm，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 1．（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）直角三角形两直角边的长分别为x、y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系用图像表示大致是（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图描述了在一段时间内，小华、小红、小刚三名工人加工零件的合格率与所加工零件的总个数之间的关系（合格个数=合格率×总个数），则这三名工人在这段时间内所加工零件合格的个数最多的是（   ） A．小华 B．小红 C．小刚 D．同样多 4．（24-25九年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在中，，过原点，轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，连结．若的面积为8，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D．6 5．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上．将直线沿y轴向上平移后的直线与y轴交于点B，与此反比例函数的图象交于点C．若，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知蓄电池两端电压为定值，电流与的函数关系，当时，，当时，则的值为 ． 7．（2025九年级上·安徽马鞍山·专题练习）数学家发现一个有趣的现象：经过长年累月的习惯，走路时，每个人的一只脚伸出的步子要比另一只脚伸出的步子长，设步差为，就是这小小的，会导致这个人走出一个半径为的大圈子．经过大量的数据研究后，得到关于的函数关系为．已知测得小明的步差约为，那么他会走出的圈子的半径约为 ． 8．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，等边三角形的顶点，分别在反比例函数图象的两个分支上，且点，关于原点对称，过点作平行于轴，交反比例函数的图象于点，连接，，则的面积为 ． 9．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）． 10．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，B是线段OA上（不与点A重合）的一点． （1）反比例函数的表达式为 ； （2）将点A绕点B顺时针旋转得到点D，且点D恰好落在的图象上，则点B的坐标为 ． 11．（2025·安徽宣城·模拟预测）某一电路中，保持电压不变，电流与电阻成反比例，当电阻时，电流． (1)求I与R之间的函数关系式； (2)当电流时，求电阻R的值． 12．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，点，均在反比例函数的图象上，轴于点，于点，且的面积为4，求的值． 13．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 14．（2025·安徽合肥·模拟预测）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 15．（2025·安徽池州·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的关系式和一次函数的关系式； (2)如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 反比例函数系数K的几何意义与实际问题（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 销售问题 典型例题二 行程问题 典型例题三 物理问题 典型例题四 几何图形问题 典型例题五 工程问题 典型例题六 表格问题 典型例题七 已知比例系数求特殊图形的面积 典型例题八 根据图形面积求比例系数 典型例题九 反比例函数与几何综合 典型例题十 反比例函数实际综合应用 知识点01 反比例函数中k的几何意义（2种基础模型） 【模型结论1】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【模型结论2】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·单元测试）如图，两个阴影部分面积的值分别是（   ） A．3，2 B．1.5，2 C．3，1 D．1.5，1 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，反比例函数比例系数k的几何意义．求出当时的函数值，然后根据三角形的面积公式可求出第一个图的面积；根据反比例函数比例系数k的几何意义可求出第二个图的面积． 【详解】解：∵当时，， ∴第一个图的面积； ∵， ∴第二个图的面积． 故选D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解． 【详解】解：矩形的面积为4， ． 过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限， ． ． 故选：B． 知识点02 反比例函数的实际应用 1. 用反比例函数解决问题的两种思路： 1）通过题目已知条件，明确变量之间的关系，设相应的函数关系式，然后根据题中条件求出函数关系式； 2）已知反比例函数关系式，通过反比例函数的图像和性质解决问题. 2. 列反比例函数解决问题的步骤： 1）审：审题，找出题目中的常量和变量，以及它们之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数表达式； 3）求：根据题中条件列方程，求出待定系数的值； 4）写：写出函数表达式，并注意表达式中自变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 【即时训练】 1．（2025九年级上·安徽合肥·专题练习）用若根火柴首尾相接摆成一个长方形，设每一根火柴的长度为，长方形两条邻边的长分别为，，要求摆成的长方形的面积为． (1)求关于的函数表达式； (2)能否摆成正方形？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】此题考查反比例函数的实际运用，开平方，掌握长方形和正方形的面积计算公式是解决问题的关键． （1）根据长方形的长面积宽列出函数解析式即可； （2）正方形的边长相等，说明、相等，进一步开方，是整数即可，否则不成立． 【详解】（1）解：∵长方形两条邻边的长分别为，，要求摆成的长方形的面积为， ∴， ∵每一根火柴的长度为， ∴长方形两条邻边的长只能为正整数， ∴可以取， ∴； （2）解：不能摆成正方形．理由如下： 因为， 解得：（负值舍），不是整数， 所以不能摆成正方形． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 【答案】小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求出反比例函数式是解题的关键．根据阻力阻力臂动力动力臂，可得出F与l的函数关系式；将代入可求出l即可． 【详解】解：依题意，得， ∴． 当时，， 解得． 答：小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 【即时训练】 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，． (1)求关于的函数表达式． (2)若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高． (3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数的应用，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）由题意设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把代入，再计算可得答案； （3）由再建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得， 关于x的函数解析式为：； （2）把代入，得， ∴火焰的像高为． （3）时， ， ， ， 答：小孔到蜡烛的距离至少是． 【典型例题一 销售问题】 【例1】（2025·安徽池州·模拟预测）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果． 【详解】解：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等， ∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方， ∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲，丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润． 故选C． 【例2】（24-25九年级上·安徽淮北·课后作业）根据某商场对一款运动鞋四天中的售价与销量关系的调查知销量y（双）是售价x（元/双）的反比例函数（统计数据如表所示）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为 元/双． 售价x/（元/双） 200 240 250 400 销量y/双 30 25 24 15 【答案】300 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先求解，再由，再解方程并检验即可； 【详解】解：由题中表格数据，得， ∴， 由题意，得， 把代入，得， 解得， 经检验，是该方程的根， 所以其售价应定为300元/双． 故答案为：. 【例3】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销量为80斤，那么每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为 【答案】 【分析】根据销售量=每日销售总金额÷单价列出函数关系式即可． 【详解】解：∵每斤50元时，当日销量为80斤， ∴当日销售金额为：（元）， ∴每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数应用，求出当日销售总金额是解答本题的关键． 1．（2025·安徽六安·模拟预测）广西壮族三月三，又称“歌圩节”，是壮族传统的盛大节日，这一天，壮族的男女老少都会穿上节日的盛装，举行丰富多彩的活动，以祈求风调雨顺、五谷丰登．进人·3月以来，民族服饰卖得很火爆，某服饰经销商销售一款民族服饰，每套进价为80元．在销售过程中发现，该民族服饰的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为120元时，每日可销售20件． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若经销商期望该款民族服饰的日销售利润为1200元，则销售单价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价应为160元 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、分式方程的应用等知识点，正确求得函数解析式是解题的关键． （1）因为y与x成反比例函数关系，可设函数式为，然后根据当售价定为120元时，每天可售出20件可求出k的值即可． （2）设单价是x元，根据每天可售出y件，每件的利润是元，总利润为1200元，由利润=售价-进价列方程求解即可． 【详解】（1）解：设函数式为， ∵当销售定价为120元时，每日可销售20件， ∴，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）解：设单价是x元， ∵， ∴，解得：， 检验：当时，利润为元，符合题意． 答：销售单价应为160元． 2．（24-25九年级上·安徽马鞍山·课后作业）某便利店售卖一种进价为2元/根的鸡肉串，在实际销售中发现此鸡肉串的日销售量y（根）与每根售价x（元）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/根 20 15 12 10 (1)以表中x、y的对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，猜想y与x之间具有怎样的函数关系． (2)根据上述猜想，进一步确定y与x之间的函数表达式． (3)设此鸡肉串的日销售利润为w元（日销售利润单件利润日销售量），试求w与x之间的函数表达式．若规定此鸡肉串的售价最高不超过8元/根，问售价定为多少时，能获得最大销售利润？ 【答案】(1)描点画图见解析，猜想：反比例函数 (2) (3)销售单价x定为8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法以及利用反比例关系式求最大值的问题，解题的关键是知道两个变量的乘法是定值时是反比例关系． （1）建立坐标系直接描点画图，再猜想即可； （2）要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现y与x的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解后再验证即可； （3）先确定与的函数关系式，然后根据售价最高不超过8元/根，利用函数的增减性即可得出答案． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系描点，如图所示： 猜想：y与x之间具有反比例函数关系． （2）解：由题意设y与x之间的函数关系式为（且k为常数）， 把代入，得， 将，，分别代入，均成立， 所以y与x之间的函数关系式为. （3）解：， 当时，w随x的增大而增大， 又因为， 所以当时，， 所以，销售单价x定为每根8元时，才能获得最大日销售利润，最大日销售利润为 45元． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地． 某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中曲线为反比例函数图象的一部分，线段为一次函数图象的一部分． (1)求y与x的函数关系式； (2)如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？ 最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，二次函数的实际应用： （1）分两段：当时，当时，利用待定系数法解答，即可求解； （2）设利润为w元，分两段：当时，当时，求出w关于x的函数解析式，再根据反比例函数以及二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴当时，y与x的函数关系式为， 当时，设y与x的函数关系式为， ， 解得， 即当时，y与x的函数关系式为， 综上所述，y与x的函数关系式为； （2）解：设利润为w元， 当时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， 当时，， ∴当时，w取得最大值，此时， ∵， ∴当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元， 答：当销售单价为时，这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是元． 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）太原市娄烦县属温带大陆性气候，适宜种植马铃薯．当地种植的马铃薯品质优、口感好，拥有良好的市场口碑．某农业合作社与农户建立合作关系，集中收购、储存、销售马铃薯． 信息收集：素材1：该合作社以64000元的成本收购了80吨马铃薯； 素材2：这批马铃薯按一定方式储存，每星期会损失2吨； 素材3：经调研发现，这批马铃薯的销售价格与储存星期数之间的变化规律如下图所示： 建立模型：（1）根据素材3中的信息可知，销售价格（元/吨）是储存星期数（个）的___________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），与之间的函数关系式为___________； 问题解决：（2）若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存多少个星期？（提示：销售总额销售价格销售量）； （3）已知该合作社储存马铃薯过程中，每星期还需额外支付各种费用元．若这批马铃薯全部售完后，所获得的最大利润为35600元，求的值及相应的储存星期数． 【答案】（1）一次；；（2）储存8个星期；（3）的值是400，相应的存储星期数为6星期 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）根据题意得y随x的增加而均匀增加，y是x的一次函数，设出一次函数解析式，任意取两对数值代入即可求得相应的函数解析式； （2）销售量储存星期数x，进而根据销售总额销售价格销售量，列出相应的函数解析式，根据函数的开口方向和对称轴求得储存的星期数即可； （3）利润销售总额成本额外支付各种费用，进而根据最大利润为35600元求得合适的k及x的值即可． 【详解】解：（1）根据所给数据可得销售价格y（元/吨）随储存星期数x的增加而均匀增加可得销售价格y（元/吨）是储存星期数x（个）的一次函数， 设y与x之间的函数关系式为：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：一次；； （2）设销售总额为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以． 因为， 所以有最大值， 当时，销售总额最大 答：若要使这批马铃薯全部售完的销售总额最大，应储存8个星期； （3）设全部售完的销售利润为元，由题意，得 ， 根据题意，且， 所以， 因为， 所以有最大值， 由题意，得当时， ， 因为， 所以， 解得，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， 所以，，， 答：的值是400，相应的存储星期数为6星期． 【典型例题二 行程问题】 【例1】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）在行程问题中，路程千米一定时，速度千米时关于时间小时的函数关系的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据路程速度时间列出函数关系式，根据相应的函数关系式画出图象． 【详解】解：根据题意得， ， ， 由于s一定， 速度千米时是时间小时的反比例函数， 由于． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，要注意实际问题中自变量的取值范围． 【例2】（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）s、v、t分别表示路程、速度和时间，s为常数时，v与t之间的函数表达式是 ，它是 函数； 【答案】 反比例 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据路程、速度和时间之间的关系写出函数关系式，再判断即可． 【详解】解：由题意，得， ∵s为常数， ∴它是反比例函数． 故答案为：，反比例． 【例3】（24-25九年级上·安徽马鞍山·阶段练习）王伟家长将轿车油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之问是反比例函数关系（k是常数，）．已知某某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶400千米，当平均耗油量为每千米升时，该轿车可以行驶 千米． 【答案】500 【分析】根据“以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶400千米”再利用反比例函数图象上的坐标特征即可求出k值，再代入求出S即可得出结论． 【详解】解：∵以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶400千米， ∴， 解得：， ∴当平均耗油量为升/千米时，该轿车可以行驶的路程(千米)． 故答案为：500． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的相关知识是解答本题的关键． 1．（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）分别写出下列函数的关系式，指出是哪种函数，并确定其自变量的取值范围． (1)在时速为的运动中，路程s（单位：）关于运动时间t（单位：h）的函数关系式； (2)某校要在校园中辟出一块面积为的长方形土地做花圃，这个花圃的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式． 【答案】(1)，s是t的正比例函数，自变量 (2)，y是x的反比例函数，自变量 【分析】本题考查了列函数解析式，准确理解题意是解题的关键． （1）直接根据路程=速度×时间求解即可； （2）根据长×宽求解即可． 【详解】（1）由题意得，，s是t的正比例函数，自变量； （2）∵， ∴，y是x的反比例函数，自变量． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）五一假期，小王一家从杭州到温州自驾游，已知杭州到温州市区A处的路程为300千米，小王家的车油箱的容积为55升，小王把油箱加满后驾驶汽车从杭州出发．    (1)求汽车行驶的总路程s（单位：千米）与平均耗油量b（单位：升/千米）的函数表达式． (2)小王以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达温州市区A处，休整后沿图示路线继续出发，先到雁荡山B处，再到楠溪江C处，最后到洞头D处．由于下雨，从A处开始直到D处小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了20%．如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否到达洞头D处？如果不能，至少还需加多少油？ 【答案】(1) (2)不加油不能到达洞头D处，还需加油升以上 【分析】（1）利用公式：路程总容积平均耗油量，即可得的函数关系式； （2）求出到达温州市区A处所需油量与从A处到达洞头D处所需油量之和，再和55升比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）从杭州到温州 A 处，一共耗油升， 从 处： ， 一共耗油升， ∴不加油不能到达洞头D处，还需：升 答：不加油不能到达洞头D处，还需加油 5升 以上． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解平均耗油量与行驶路程的关系． 3．（2025·安徽亳州·模拟预测）12月2日是“全国交通安全日”，小明同学在学习交通安全知识后，对交通法规产生了兴趣，下面是他和父亲的聊天记录． 请根据以上知识解决下列问题： 已知高速某段区间测速路段长．最低限速是，最高限速是．设汽车通过该路段的平均速度是，时间为． (1)直接写出与的函数关系式及的范围（不违反交通法规）； (2)甲车通过该路段时，以的速度行驶，余下的路程以原速的倍的速度行驶．通过该路段的时间为，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为80 【分析】本题考查了反比例函数的应用，分式方程的应用． （1）根据路程=速度时间，可求出与的函数关系式，再利用最低限速和最高限速，求解即可得到的范围； （2）根据“通过该路段的时间为”列分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， 最低限速，时，； 最高限速，时，； ∴的范围为； （2）解：前用时，， 剩余用时，， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且在的范围内，符合题意． 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地，并按照原路返回甲地． (1)返回过程中，汽车行驶的平均速度v与行驶的时间t有怎样的函数关系？ (2)如果要在3h返回甲地，求该司机返程的平均速度； (3)如图，是返程行驶的路程s（km）与时间t（h）之间的函数图象，中途休息了30分钟，休息后以平均速度为85km/h的速度回到甲地．求该司机返程所用的总时间． 【答案】(1) (2) (3)3.5小时 【分析】（1）根据题意求得总路程为，根据时间等于路程除以速度列出函数关系式即可； （2）根据速度等于路程除以时间即可求解； （3）根据函数图像可知前1.5小时行驶70km，剩余路程除以速度即可求得时间，进而求得总时间 【详解】（1）解：∵一司机驾驶汽车从甲地到乙地，他以60km/h的平均速度行驶4h到达目的地， ∴甲地到乙地的路程为 （2） （3） 总时间为： 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键． 【典型例题三 物理问题】 【例1】（2025·山西·模拟预测）物理学研究表明：光子能量与电磁波波长之间满足反比例函数的关系．已知某束绿光的波长为米，其所对应的光子能量为焦耳．若测得某束紫光的波长为米，（绿光和紫光都属于电磁波）则这束紫光所对应的光子能量为（    ） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数关系的实际应用，以及科学记数法的运算能力．根据题目中给出的光子能量与波长成分比例关系，确定比例系数后，代入新波长求解对应的能量． 【详解】根据反比例关系，则，代入紫光波长米，得焦耳， 故选：A． 【例2】（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学习中，我们了解到当密闭容器内有一定质量的气体时，容器的体积（单位：）变化，气体的密度（单位：）也随之变化．与之间在一定范围内成反比例函数，如图所示．当为的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 根据题意：装有一定质量的某种气体，且与在一定范围内满足，可得与成反比例关系．且过点；代入数据可得．再根据解析式求出．当为的值． 【详解】解：根据题意得，且过点， 所以， ， ∴当为时，的值为． 故选：C． 【例3】（2025·浙江台州·模拟预测）在物理学中，用电功率表示电流做功的快慢．已知串联电路中，电功率与电阻成正比，并联电路中，电功率与电阻成反比．如图1，把两个电阻和串联在电路中，与的电功率之比是．如图2，当把它们并联在电路中，的电功率是，则的电功率是 W． 【答案】45 【分析】根据两个电阻在串联时与其电功率成正比、在并联时与其电功率成反比求解即可．本题考查了反比例函数，解题的关键是理解“正比”与“反比”的含义． 【详解】解：根据题意知，两个电阻串联时，电阻与电功率成正比，则两电阻之比等于其消耗功率之比． ∵与之比是． ∴设与并联时，各自的电功率为 与，则， ∵根据并联时电阻与电功率成反比， ， ， 即的电功率为． 故答案为：45． 1．（2025·安徽池州·模拟预测）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（） 10 15 50 波长（m） 30 20 6 (1)求波长关于频率f的函数解析式． (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：设波长关于频率f的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）解：当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河南新乡·期末）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高y是小孔到蜡烛的距离x的反比例函数，且当时，． (1)求y关于x的函数解析式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数表达式即可； （2）把代入函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：设． 把，代入，得， 关于x的函数解析式为． （2）解：根据题意，把代入，得， 小孔到蜡烛的距离为． 3．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求该品牌电动车电池的电压； (2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）将和代入解析式，求得，即可得出结果． 【详解】（1）解：设，把代入， 得，解得， ∴该品牌电动车电池的电压为． （2）解：由(1)知， 当时，， 当时，， ∴电阻值的范围是． 4．（2025·江苏盐城·模拟预测）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务，今天是2023年6月8日    （星期四），在下午数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电压一定时，输出功率P与电阻R函数关系的数学活动”．    第一步，我们设计了如图所示的电路，电压为定值6V不变． 第二步，通过换用不同定值电阻，使电路中的总电阻成整数倍的变化． 第三步，我们根据物理知识P＝UI，通过测量电路中的电流计算电功率． 第四步，计算收集数据如下： R/Ω … 2 4 6 8 10 … P/W … 18 9 6 4.5 3 … 第五步，数据分析，以R的数值为横坐标，P的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)上面日记中，数据分析过程，主要运用的数学思想是 ；（单选） A．数形结合B．类比思想C．分类讨论D．方程思想 (2)你认为表中哪组数据是明显错误的；并直接写出P关于R的函数表达式； (3)在下面平面直角坐标系中，画出此函数的图象；    (4)请直接写出：若P大于10W，R的取值范围为． 【答案】(1)B (2) (3)图见详解 (4) 【分析】（1）通过类比思想发现各数据之间的对应关系； （2）根据与的积是定值发现有问题的一组数据； （3）将描出的点用光滑的曲线连接即可； （4）根据计算出的取值范围． 【详解】（1）通过类比思想发现数据之间的关系正确与否．故选：． （2）通过前四组数据发现：与的积都是36定值，发现最后一组有问题； 与关系式是：， （3）图象如图： （4）当时，即，解得． 【点睛】本题考查了反比例函数的具体应用，理解题意是这类题目的突破口． 【典型例题四 几何图形问题】 【例1】（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，甲、乙、丙、丁四个长方体的底面积与高的情况可分别用点，，，表示，其中点，恰好在同一个反比例函数的图象上；则这四个长方体中体积最大的是(   ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．根据题意可知的值即为长方体的体积，设点所在的反比例函数的关系式为，再根据图象，点在反比例函数图象上面，即点的值最大，即可确定长方体丙的体积最大，即可选出． 【详解】解：∵其中点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数 ∴的长方体的体积相同， ∵点在反比例函数图象上面，点在反比例函数图象下面， ∴的长方体的体积最大，即点的值最大，的长方体的体积最小，即点的值最小， ∴丙的长方体的体积最大． 故选：C． 【例2】（2025·河北保定·模拟预测）如图，一个厚度，宽度可以任意调节的长方体盒子，里面装有一定量水，随着的变化，水面高度也发生变化．设，水面高度为，则y随x变化的函数图象是如图所示的曲线，它与直线只有一个公共点R．则盒子里水的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实际问题与反比例函数，一元二次方程根的判别式（根据一元二次方程根的情况求参数），求反比例函数解析式等知识点，依题意得出是解题的关键． 设长方体盒子中水的体积为，依题意得，即，将曲线与直线相联立，得，整理得，由于该曲线与直线只有一个公共点，因而可得，由此即可求出的值． 【详解】解：设长方体盒子中水的体积为， 依题意得：， 即：， 将曲线与直线相联立，得： ， 整理，得：， 该曲线与直线只有一个公共点， ， ， 长方体盒子中水的体积为， 故选：． 【例3】（24-25九年级上·山西大同·期末）根据物理学知识可知，在压力不变的情况下，物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数．已知一个长方体石块如图放置在水平地面时，石块对地面的压强为，若将其如图放置，则石块对地面的压强为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设，由图得，把代入解析式可得，进而得，再根据图把代入计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 由图得，， 把代入得，， ∴， ∴， 由图得，， 把代入，得， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积 1 0.5 _____ 0.125 桌面所受压强 200 400 800 1600 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式并直接补全表格． (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同质量的长方体分别按图2和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强的范围．（超过最大压强时玻璃破裂） 【答案】(1)．补全表格为； (2)玻璃桥能够承受的最大压强的范围为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键． （1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）结合图2和图3所示的放置方式求出受力面积，再分别求出压强，即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数， 设， 将代入上式，得， ， 即所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式为． 当时，，解得 则补全表格内容为0.25． （2）解：图2中， 图3中， 玻璃桥能够承受的最大压强的范围为． 2．（2025·山东临沂·模拟预测）在学习了函数后我们了解了函数的一般研究方法，为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的程与方法，列表： x … 1 2 3 4 5 … y … 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示： (1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； (2)已知点，在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题： 若，则 ；若，则 ．（填“”，“”，“”）． (3)某农户要建造一个图2所示长方体形的化粪池，其底面积为1平方米，深为1米．已知下底面造价为1千元／平方米，上盖的造价为1.5千元／平方米，侧面造价为0.5千元／平方米，设水池底面一边的长为x米，水池总造价为w千元． ①请写出w关于x的函数关系式． ②若该农户建造化粪池的预算不超过5千元，则池子底面一边的长x应控制在什么范围内？请直接写出x的范围． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)①；② 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化思想思考问题． （1）用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可． （2）利用图象法解决问题即可． （3）①总造价=底面造价+侧面的造价+上盖的造价，构建函数关系式即可②转化为一元二次不等式解决问题即可． 【详解】（1）函数图象如图所示： （2）若，则；若，则． （3）①底面面积为1平方米，一边长为x米， ∴与之相邻的另一边长为米， ∴水池侧面面积的和为：平方米， ∵下底面造价为1千元／平方米，上盖的造价为1.5千元／平方米，侧面造价为0.5千元／平方米； ∴， 即：w与x的函数关系式为：． ②该农户预算不超过5千元，即 ∴， ∴， 根据图象或表格可知，当时，， 因此，该农户预算不超过5千元，则水池底面一边的长，应控制在． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）． 探究：如图1，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．解决问题： (1)与的位置关系是 ，的长是 ， °（注：，） (2)求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液底面积高） (3)在图1的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱或交于点P、点Q始终在棱上，设，，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围． 【答案】(1)，3， (2) (3)时，， ， 【分析】（1）本题根据水面与水平面平行可以得到与平行，利用勾股定理即可求得的长； （2）本题根据液体正好是一个以是底面的直棱柱，利用直棱柱体积等于底面积乘高，即可求得液体的体积； （3）本题根据以棱为轴将容器向左或向右旋转，分情况分析，利用液体体积不变，建立y与x的联系，即可解题． 【详解】（1）解：液体的形状为直三棱柱， ， 由题知，,, 根据勾股定理得．； 在中， ， ． 故答案为：，3，． （2）解：（）． （3）解：当容器向左旋转时，， 液体体积不变， ， ． 当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点重合时，如图5， ，且， ， ， ． ． 此时； 当容器向右旋转时，， 液体体积不变， ， ； 综上所述，图3中y与x的函数关系式为，相应的的范围是， 图4中y与x的函数关系式为，相应的的范围是． 【点睛】本题考查了几何变换、三视图、直棱柱体积、勾股定理、以及求函数解析式，解题的关键在于掌握直棱柱体积求法，利用液体体积不变，建立y与x的联系，从而得到函数关系式． 4．（24-25九年级上·江苏南京·期末）【项目式学习】探索凸透镜成像的奥秘 【项目背景】某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 素材二：设物距为u、像距为v和焦距为f，小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：． 图①                      图②                         图③ 【项目任务】根据项目素材解决问题： (1)小明先取物距，然后画出光路图（如图①），其中为物体，O为凸透镜的光心，入射光线光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像； (2)小明又取物距． ①当时，________（用含有f的代数式表示）； ②当时，物体经凸透镜折射后成________（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像，请仿照图①的方法，在图②中画光路图，并用三角形全等的知识解释； (3)实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，请解答下列问题： ①请直接写出y与u之间的函数表达式，并在图③中画出函数v的图像； ②试说明：． 【答案】(1)放大 (2)①；②等大，图见详解 (3)①，图见详解②见详解 【分析】本题考查了函数解析式、反比例函数，全等三角形的判定与性质，作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，代入，化简得，再与比较，即可作答． （2）①把代入，得出， ②则结合全等三角形的判定与性质，即，得出，即可作答． （3）①结合当时，且，化简得，描点连线，在图③中画出函数v的图像,即可作答． ②∵，，则，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 把代入 ∴ 得出 ∴ ∴物体经凸透镜折射后成放大的倒立实像， 故答案为：放大； （2）解：①∵小明在研究的过程中发现了物距u、像距v和焦距f之间在成实像时存在着关系：，且 ∴把代入 得 ∴ 故答案为：； ②当时，在图②中画光路图，如图所示： ∴物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像，理由如下： 即 ∵ ∴ ∴ 即当时，物体经凸透镜折射后成等大的倒立实像， （3）解：①实际生活中，一个固定的凸透镜焦距f为定值．当时，且 ∴y与u之间的函数表达式 解：依题意，列表： 描点连线，在图③中画出函数v的图像，如图所示： ②∵， ∴ ∴ ∴ 【典型例题五 工程问题】 【例1】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）一项市政工程，需运送土石方106米3，某运输公司承办了这项运送土石方的工程，则运送公司平均每天的工作量y（米3/天）与完成运送任务所需时间x（天）之间的函数关系图象大致是（　　） A A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：首先根据题意列出两个变量之间的函数关系，然后根据函数关系式确定函数的图象． 解：∵xy=106米3， ∴y=（x＞0，y＞0） ∴函数是反比例函数且其图象位于第一象限， 故选A． 点评：本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，正确的列出反比例函数的解析式是解决本题的关键． 【例2】（24-25九年级上·重庆铜梁·阶段练习）瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨． 【答案】376 【分析】设甲车每次运吨，可得乙车每次运（吨，丙车每次运吨，丁车每次运吨，由，，，都是整数，知是6的倍数，最小为6，设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，可得，，，故时，最大为376吨． 【详解】解：设甲车每次运吨， 乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨， 乙车每次运（吨，丙车每次运吨， 甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等， 丁车每次运吨， ，，，都是整数， 是6的倍数，最小为6， 设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，则甲车运输次，乙车运输次，丙车运输次， 甲车共运输了120吨， ， ， 根据题意得： ， 当最小时，取最大值， 时，最大为（吨， 这批建筑材料最多有376吨， 故答案为：376． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设位置时，列出关系式是解题的关键． 【例3】（18-19九年级上·全国·单元测试）市政府计划建设一水利工程，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务．该运输公司平均每天的工作量（米3天）与完成运送任务所需的时间（天）之间的函数图象如图所示．若该公司确保每天运送土石方米3，则公司完成全部运输任务需 天． 【答案】 【分析】观察图象易知V与t之间是反比例函数关系，所以可以设v＝，依据图象上点（10，4000）的坐标可以求得v与t之间的函数关系式．再将v=1000代入求出t． 【详解】设v=， ∵点(10,4000)是图象上的点， ∴4000=， ∴k=40000. ∴v=. 将v=1000代入上式得： 1000=， t=40. 故公司完成全部运输任务需40天. 故答案为40. 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的应用. 1．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）某筑路工程队要修筑一条总长为1200米的村村通公路． (1)工程队平均每天修建的速度为v（单位：米/天）与修建的天数t（单位：天）之间具有怎样的函数关系？ (2)公路长度不变的情况下，工程队每天修40米比每天修30米能提前多少天完成该项工程？ 【答案】(1) (2)提前10天 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，正确列出反比例函数关系式是解题的关键． （1）根据工作效率=工作量÷工作时间，列出关系式即可； （2）将和代入（1）中求得的解析式，求出t值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， （2）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：， ∵(天)， ∴工程队每天修40米比每天修30米能提前10天完成该项工程． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．    (1)求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）； (2)其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程? 【答案】(1)与之间的函数表达式为 (2)该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可得出与之间的函数表达式； （2）将及代入（1）中求得的解析式，求出值，作差后即可得出答案． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， ∵该函数关系的图象经过点， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵， ∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）在李村河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（天）与每天完成的工程量（天）的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分． 请根据题意，求与之间的函数表达式； 若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内（按天计算）完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 【答案】（1）；（2）天；（3）每天至少要完成． 【分析】（1）将点（24，50）代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间； （3）工作量除以工作时间即可得到工作的效率． 【详解】解：设． ∵点在其图象上， ∴所求函数表达式为； 由图象，知共需开挖水渠； 台挖掘机需要天； ． 故每天至少要完成． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的应用. 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）某小微企业生产加工一种产品，2023年1月的利润为180万元．设2023年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2023年1月底起适当限产，并投入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图． (1)分别求出该企业扩建改造期间及扩建改造工程完工后，y与x之间对应的函数关系式； (2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？ (3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？ (4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整数）？ 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． （1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可； （2）当代入，求出的值，进而得出答案； （3）当代入，求出的值，进而得出答案； （4）利用分别得出的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，由题意设，将代入得： ， 故在扩建改造期间的函数关系式为：； 当时，当时，，则； 即扩建改造工程完工后与之间的函数关系式为：； （2）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， ∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元； （3）扩建改造工程完工后，当时， 即：，解得：， 则， ∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元； （4）对于，当时，， 对于，当时，， 所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月． 【典型例题六 表格问题】 【例1】（24-25九年级上·山东菏泽·期末）近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： （单位：度） 100 250 400 500 （单位：米） 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例，依此即可求解． 【详解】解：根据表格数据可得，， 所以近视镜镜片的焦距(单位：米)与度数x(单位:度)成反比例， 所以y关于x的函数关系式是：， 故选：B． 【例2】（2025·安徽六安·模拟预测）在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）是反比例函数关系，平平记录了几次测量所得的数据，由于疏忽，其中有一次记录的数据有误，观察表格，有误的那一次是（    ） 第1次 第2次 第3次 第4次 … 受力面积 0.1 0.2 0.3 0.4 … 压强 1000 500 300 250 … A．第1次 B．第2次 C．第3次 D．第4次 【答案】C 【分析】求出每一次测量所得的数据的反比例函数系数进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴第3次记录的数据有误， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【例3】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A ）与电路的电阻R单位：Ω）是反比例函数关系，根据表格 则 ． 10 2.4 2 1.2 a 50 60 100 【答案】12 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，关键是求出函数解析式．设该反比函数解析式为，根据当时， ，可得该反比函数解析式为 ，再把代入，即可求出电流． 【详解】解：设该反比函数解析式为，由题意得：当时， ， 则， 解得：， ∴该反比函数解析式为， 当 时，， 故答案为：12． 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知，视力表上视力值V和字母E的宽度a（）之间的关系是我们已经学过的一类函数模型，字母E的宽度a如图所示，经整理，视力表上部分视力值和字母E的宽度a（）的对应数据如表所示： 位置 视力值V a的值（） 第1行 0.1 70 第4行 0.2 35 第7行 0.4 17.5 第14行 2.0 3.5 (1)请你根据表格数据判断并求出视力值V和字母E的宽度a（）之间的函数表达式，并说明理由； (2)已知第5行首个字母E的宽度a（）的值是28，第8行视力值V为0.5，请分别求出第5行的视力值和第8行字母E的宽度 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟练掌握求反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，即可判定视力值和宽度成反比例函数关系，待定系数法求解即可； （2）将，，分别代入，求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，视力值和随着宽度减小而增大，且视力值和宽度的积为定值，故视力值和宽度成反比例函数关系， 设视力值和宽度的函数解析式为：， 将点，代入求得， 故视力值和宽度的函数解析式为：． （2）解：∵第5行首个字母E的宽度的值是， 即，将代入函数解析式得，求得； ∵第8行视力值V为， 将代入函数解析式得，求得； 故第5行的视力值和第8行字母E的宽度分别是，． 2．（2025·安徽·模拟预测）【实验与探究】 在一次综合实践活动课上，小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A 中放置一个重物，右边可左右移动的托盘B 中放置若干数量的砝码．改变托盘 B与点O 之间的距离x（单位：），调整托盘B中砝码的总质量y（单位：），使装置重新在水平位置平衡（平衡时遵循杠杆的平衡条件），根据实验结果得到如下表格： 托盘B与点O之间的距离 10 20 30 40 托盘B中砝码的总质量 60 30 20 15 (1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表格中的数据求y与x之间的函数关系式； (2)当砝码的总质量为时，求托盘B与点O之间的距离； (3)已知该装置能够放置的托盘B 与点O之间的最大距离为，求装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设出解析式并利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出函数值为10时的自变量的值即可得到答案； （3）求出自变量的值为120时的函数值，再判断出函数的增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由表格中的数据可知，当时，， ∴， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，， ∴当砝码的总质量为时，托盘B与点O之间的距离为； （3）解：在中，当时，， ∵， ∴在第一象限内，y随x增大而增大， ∴当时，， ∴装置在水平位置平衡时托盘B 中砝码的最小总质量为． 3．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图1，利用杆秤研究杠杆平衡条件．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：）的五组对应值如图表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式． (2)当的长度为时，求弹簧秤的示数． (3)李明在做实验时记录一个数据为，蔡琪认为这个数据有问题，请你帮助蔡琪说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据表格数轴可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式即可求解； （3）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：是的反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， 关于的函数表达式为； （2）解：当时，． 答：弹簧秤的示数为； （3）解：将代入中，得， 解得． ， 不可能等于2． 4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下面是勤学小组项目化学习的方案，请仔细阅读并帮助其完成方案． 项目主题：探秘饮水机工作程序 项目背景：我校在教学楼内安装了某型号饮水机．我们组的同学们以探秘饮水机工作程序为主题展开了项目化学习． 驱动问题：该饮水机中水温随通电时间的变化如何变化？ 设计方案：查阅资料，收集数据；数据分析，建立模型；求解模型，解决问题． 实施方案： （1）查阅资料得知该型号饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升，待加热到，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程． 按照方案展开调查，收集了如下数据． 通电时间（） 水温（） （2）分析数据：观察上述表格中的数据，并在右面的平面直角坐标系中描点连线，由此可知饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的_________函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的_________函数；（选填“一次”或“反比例”或“其它”） （3）解决问题： ①第一次加热过程中与的函数表达式为___________； 第一次水温下降过程中与的函数表达式为_______________； ②调查了解到以上的水需求较大，该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为_______． 【答案】（）画图见解析，一次，反比例；（）①，；② 【分析】（）根据表格数据描点连线即可画出图象，进而根据图象即可求解； （）①利用待定系数法解答即可；②分别求出时一次函数和反比例函数对应的时间，相减即可求解； 本题考查了一次函数和反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：（）画图如下： 由函数图象可知，饮水机加热过程中水温（）是通电时间（）的一次函数，水温下降过程中水温（）是通电时间（）的反比例函数， 故答案为：一次，反比例； （）解：①设一次函数表达式为，把，代入得， ， 解得， ∴第一次加热过程中与的函数表达式为， 设反比例函数表达式为，把代入得，， ∴， ∴第一次水温下降过程中与的函数表达式为， 故答案为：，； ②把代入得，， 解得； 把代入得，， ∴； ∵， ∴该饮水机工作的一个周期内水温不低于的时间最多为， 故答案为：． 【典型例题七 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ∵点P是反比例函数图象上的一点， ∴矩形． 故选：A． 【例2】（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，C是x轴负半轴上一点，连接，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键； 如图，设与y轴交于点D，连接，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解. 【详解】解：如图，设与y轴交于点D，连接， ∵轴， ∴， ∵点A在上，点B在上， ∴， ∴； 故选：A. 【例3】 （2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，则，可求出． 【详解】解：如图，设阴影部分的面积分别为，， 根据题意得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 【答案】(1)点的横坐标为4； (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． （1）将点的横坐标代入求解即可； （2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的横坐标为4； （2）解：设则有， ，， ∴． 2．（24-25九年级上·广西贵港·期末）如图，已知反比例函数的图象经过点． (1)求k的值； (2)已知点B在x轴的正半轴上，且，求的面积． 【答案】(1)； (2)12． 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． （1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：12． 3．（2025年山东省青岛市初中学业水平考试——数学模拟练习卷（七））如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握“过反比例函数图像上的任意一点分别向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于”． （1）由反比例函数系数的几何意义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形，得出、两点关于原点对称，再根据反比例函数中系数的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得，， ， ， 故答案为：，； （2）“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形， 、两点关于原点对称， 反比例函数的解析式为：， ， ， 故答案为：． 【典型例题八 根据图形面积求比例系数】 【例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，点在反比例函数图象上，轴于点，若的面积等于3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义．由的面积为3，可得，再结合图象经过一、三象限，从而可确定的值． 【详解】解：的面积为3， ， ， ， 图象经过一、三象限 ， ， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·安徽宣城·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点，轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于，两点，连结，．若四边形的面积为4，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． 先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数系数的几何意义可得，然后根据计算即可得到答案． 【详解】解：，轴于点，轴于点 ，四边形是矩形， 反比例函数的图象分别与，相交于，两点， ， 四边形的面积为4， ， ， 解得， 故选：C． 【例3】（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，，过点作轴，交反比例函数于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数于一次函数的交点问题、三角形面积，根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，设交y轴于点E，连接， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A，B，过点A作轴，， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点在反比例函数的图像的一支上，轴，轴，垂足分别为A、B，矩形的面积为2．求k的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解答此题的关键是理解：过反比例函图象上的任意一点线两坐标轴作垂线，所围成的矩形的面积等于．首先根据反比例函数的比例系数的几何意义可得出，然后再根据反比例函数图象所在的位置即可得出的值． 【详解】解：点为在反比例函数的图象上的点，轴，轴，且矩形的面积为4， ， 又反比例函数的图象在第四象限， ． 2．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）如图，已知反比例函数（k为常数，）的图像经过第二象限内的点A，过A点作轴，垂足为B，的面积为1，的半径为1． (1)___________，当与x轴相切时，A点坐标为___________ (2)点C为y轴上一动点，当为等腰直角三角形且面积为3时，求出点C坐标． 【答案】(1)，； (2)或． 【分析】（1）依据反比例函数的比例系数的几何意义和图像所在第二象限可求得，由与x轴相切得，代入即可求出A点坐标； （2）当为等腰直角三角形时，设，则点A坐标为 代入，得即，由面积为3解得， 从而得到点C坐标． 【详解】（1）解：依题意得， ， ， ， 因为图像经过第二象限， ， ， ， 当与x轴相切时， ， 当时，解得， A点坐标为， 故答案为：，； （2）当为等腰直角三角形时，， 设，则点A坐标为， 代入，得， ∴， ∵面积为3， ∴， ∴， ∴点C坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质、比例系数的几何意义；解题的关键是掌握反比例函数比例系数的几何意义． 3．（24-25九年级上·安徽池州·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数的图象经过点，过点A作轴于点B，且的面积为6． (1)求m和k的值； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数系数k的几何意义及反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）先根据的面积求出k的值，再将点A坐标代入所得反比例函数解析式求出m即可． （2）根据反比例函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，轴，且的面积为6， ∴， 解得或． 又∵， ∴， ∴反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数解析式得， ， 所以m的值为，k的值为13． （2）解：将代得， ， 所以当时，y的取值范围是：． 4．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C． (1)若点B坐标为时． ①求一次函数和反比例函数的解析式； ②在y轴上取一点P，当的面积为4时，求点P的坐标； (2)过点B作轴于点D，点Q为中点，线段交y轴于点P，连接．若的面积为5，则k的值为________． 【答案】(1)①，；②P的坐标为或 (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据分割法求面积，进行求解即可； （2）设，求出点坐标，点坐标易得均为等腰直角三角形，根据三角形的面积公式求出，即可． 【详解】（1）解：①把点B坐标为分别代入和，得： ， ∴， ∴，； ②∵， ∴当时，当时，； ∴， ∴， ∴， ∴或，即：P的坐标为或； （2）∵， ∴当时，当时，； ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵过点B作轴于点D， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：． 【典型例题九 反比例函数与几何综合 】 【例1】（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B、D在反比例函数的图象上，轴，若，与的距离为8，则的值为（　　） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解决问题是关键．设、的横坐标为，、的横坐标为，根据，得出，，再根据与的距离为8，即可求出的值． 【详解】解：轴， 设、的横坐标为，、的横坐标为， ，， ，， 与的距离为8， ， ， ， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线，的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点、．若，则的值为（  ）    A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点坐标为，则点坐标为，据此把代入中即可求出答案． 【详解】解：设点坐标为，则点坐标为， 把代入得，， ∴． 故选：D． 【例3】（2025·安徽滁州·模拟预测）发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图所示的轴对称图形，其由底部矩形和两个反比例函数图象一部分组成．以地面为轴、的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知，则整个冷却塔的高度为 m． 【答案】105 【分析】设的解析式为，根据y轴垂直平分，，可求得，根据的长，可求得点的坐标，代入反比例函数解析式中，求出反比例函数解析式，再根据和冷却塔的对称性得到点F的横坐标，再代入解析式中求得纵坐标即可． 【详解】解：设的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵y轴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F的横坐标为8， ∴， ∴整个冷却塔高度为． 故答案为：105． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，矩形性质，轴对图形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，根据自变量的值求函数值，解题关键是熟练掌握矩形性质，轴对图形的性质，待定系数法求反比例函数解析式． 1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点B是线段OA上的一点，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)若线段，求D点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点， 由可得，， 解得，（舍去）， ． 2．（2025·安徽宣城·模拟预测）已知． (1)化简T； (2)如图，若反比例函数的图象经过点A，且矩形的面积为3，求T的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查分式的化简求值以及反比例函数（）中的几何意义．解题关键在于熟练运用分式运算规则进行化简，准确利用反比例函数的性质确定的值，再代入求值． （1）先对进行通分计算，再根据除法运算法则，将除法转化为乘法进行化简．这一步主要依据分式的基本运算规则，通分是为了将两个分式化为同分母分式进行减法运算，除法变乘法是利用除以一个数等于乘以它的倒数这一规则． （2）利用反比例函数中的几何意义，由矩形的面积得出的值，再结合函数图象所在象限确定的值，最后代入化简后的表达式求值．这里反比例函数（为常数，）中，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积为 是关键知识点． 【详解】（1）解： （2）解：∵反比例函数的图象经过点，矩形的面积为． ∴，即 ． ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴，则． 把代入，得． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，一次函数（k为常数，且）的图象与反比例函数的图象相交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线与反比例函数的图象相交于点C，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题； （1）先将代入求出b的值，再将代入求出k的值； （2）先把一次函数与反比例函数解析式联立求出交点B的坐标，连接并延长，交反比例函数于点，连接，过点分别作轴于点轴于点，则，即可得到，然后根据解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 点的坐标为． 把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：根据题意列方程组 解得或 点的坐标是， 如图，连接并延长，交反比例函数于点，连接，过点分别作轴于点轴于点， ， ， 由点的坐标可得， ， ． 4．（24-25九年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点， (1)求反比例函数的表达式； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x轴上是否存在一点D，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上的一个动点，连接，以为边作正方形，当顶点F或N恰好落在直线上时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）先根据待定系数法求出直线的解析式，再把点C坐标代入求出a，再代入反比例函数解析式即可求出k； （2）先求出点E坐标，当点D在x轴正半轴上时，由于的面积与的面积相等，进而可得，设直线的解析式为，把点代入即可求出c，进而可得点D坐标，再根据对称性求出另外一种情况即可； （3）由题意可知：，再分四种情况计算即可 【详解】（1）设直线的解析式为 将点，代入，得，解得， ∴， 将点代入，得，解得， ∴， 将点代入，得， ∴； （2）把点代入，得， ∴， 当点D在x轴正半轴上时， 设点到的距离为，点到的距离为 因为的面积与的面积相等，所以， ∴， 设直线的解析式为，把点代入得，， ∴，令得， ∴． 当点在轴的负半轴时，根据对称性可得， ∴， ∴或； （3）∵坐标原点O关于点D的对称点为G， ∴或 ∵点G在x轴的正半轴上， ∴， 如图，当点F在M左侧且F点在直线上时，如图，过点作轴，过点作于点，过点G作于点， ∴， 在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵在双曲线上， ∴设点，则，， ∴点，代入，得：， 解得， ∴点． 如图，当点F在M左侧且N点在直线上时，过点G作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q， 同理可得：， ， ， ， 解得：或， 点M在点G左侧， ； 如图，当点F在M右侧且F点在直线上时，如图，过点M作轴，交x轴于点Q，过点F作于点H， 同理可证， ∴，， ∵在双曲线上， ∴设点，则，， ∴点，代入，得：， 解得， ∴点． 如图，当点F在M右侧且N点在直线上时，如图，过点M作轴，交x轴于点Q，过点N作于点H， 同理可证， ∴，， ∵在双曲线上， ∴设点，则，， ∴， ∴点，代入，得：， 无解，故不存在； 综上，点或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、反比例函数与几何综合、函数图象上点的坐标特点等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 【典型例题十 反比例函数实际综合应用】 【例1】（24-25九年级上·安徽滁州·期中）古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂动力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力与动力臂满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据阻力阻力臂动力动力臂，且杠杆左侧阻力与阻力臂都不变即可得到结论．正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，阻力阻力臂动力动力臂，且阻力与阻力臂都不变， 右侧动力与动力臂满足为定值， 右侧力与力臂满足的函数关系是反比例函数关系， 故选：C． 【例2】（2025·安徽·模拟预测）如图1是一款在某跨境电商平台销量排名第一的可调节亮度的台灯，图2是它的电路示意图，它是根据调节总电阻的大小来实现灯光亮度的变化，电流与总电阻之间的关系图象如图3所示，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与之间的函数表达式是 C．当时， D．当电压不变时，与成正比 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式．据此依次对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：设电流与总电阻之间的函数关系为， 由题意可得：， ∴， A．当时，，故此选项不符合题意； B．与之间的函数表达式是，故此选项不符合题意； C．当时，； ∴当时，，故此选项符合题意； D．∵， ∴， ∴当电压不变时，与成反比，故此选项不符合题意． 故选：C． 【例3】（2025·安徽合肥·模拟预测）研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，其图象如图所示．学生小华原来佩戴的眼镜焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗，加之注意用眼卫生，小华的镜片焦距调整到0.4米，则其近视眼镜的度数减少了 度． 【答案】150 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．设函数的解析式为，由时，可求k，进而可求函数关系式，然后把及代入解析式，即可求得答案． 【详解】解：设函数的解析式为， ∵500度近视镜片的焦距为0.2米， ∴， 解得， ∴函数的解析式为， ∴当时，， ∴当时，， 则， ∴小雪的近视眼镜的度数减少了150度． 故答案为：150． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，某品牌的电水壶启动后需要6分钟将 的水加热到 ，然后水温逐渐降回，降温过程中的水温 y（）与水壶启动后用时x（分）成反比例关系、据研究，当水温降至 时，比较适宜饮用． (1)求降温过程中的水温y（）与水壶启动后用时x（分）的函数关系式．并写出自变量的取值范围． (2)直接回答：一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？ 【答案】(1)（） (2)分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法； （1）由题意可得当时，，由待定系数法求出解析式，当时， 求出，即可求解； （2）当时，求出，即可求解； 理解、的实际意义，能熟练利用待定系数法进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 当时，， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：， ， 故水温y（）与水壶启动后用时x（分）的函数关系式：（）； （2）解：当时， ， 解得：， （分钟）， 故一壶水烧开后，经过分钟时间适宜饮用． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似的满足反比例函数关系．小红、小敏用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10L），小敏每次用半盆水（约5L），如果她们都用了5g洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5g，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2g． (1)分别求出小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数表达式； (2)当洗衣粉的残留量降至0.5g时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？ 【答案】(1)小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为，小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为； (2)把分别代入这两个函数表达式，可得小红共用30L水，小敏共用20L水，小敏的方法更值得提倡． 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意并且正确列出函数关系式是解题的关键． （1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：，后根据题意代入求出和即可； （2）由题意可知当时，求出此时小红和小敏所用的水量，进而进行比较即可． 【详解】（1）解：设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：， 将和分别代入两个关系式得： 解得：， ∴小红衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为， 小敏衣服中洗衣粉残留量与漂洗次数的函数表达式为； （2）把分别代入两个函数得： 解得：， （L），（L）． 答：小红共用30L水，小敏共用20L水，所以小敏的方法更值得提倡． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·课后作业）一场暴雨过后，一洼地积存雨水，设积存的雨水全部排完需，排水速度为，且排水时间t需满足． (1)试写出t与a之间的函数表达式，并指出a的取值范围； (2)请画出函数图象； (3)根据图象回答：当排水速度为时，排水时间需要多长？ 【答案】(1) ；a的取值范围为； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要查了反比例函数的实际应用，根据题意，列出函数关系式是解题的关键． （1）按照等量关系“一洼地存的雨水量排完需要的时间每分的排水量”列出函数关系，并由排水时间求得a的取值范围； （2）根据自变量的取值范围结合反比例函数的图象直接画出即可； （3）由（1）求得的函数关系式，代入，解得t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵， ∴a的取值范围为； （2）解：根据题意，列表如下： a 2 3 4 t 10 5 画出函数图象，如下： （3）解：当时，， 即排水时间需要． 4．（2025·安徽淮北·模拟预测）综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：dm）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：dm）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 (1)①根据图3可知，是的______（填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． (2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如表： ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为27dm，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)①反比例；② (2)①；② 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的应用，熟练掌握反比例函数与二次函数的性质是解题的关键； （1）①根据函数图象可得该图象是反比例函数图象； ②根据图象可得，当时，，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据表格可得对称轴为，顶点坐标为，设抛物线解析式为，将代入，待定系数法求解析式，即可求解； ②落点的坐标为，，代入解析式，求得，将代入，解方程，即可求解． 【详解】（1）①根据图3可知，是的反比例； 故答案为：反比例． ②设关于的函数表达式为， 根据图象可得，当时， ∴ 解得： ∴关于的函数表达式为 （2）①根据表格可得对称轴为，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得： ∴解析式为； ②依题意，落点的坐标为， ∴， 将代入得， 解得： 解得：，（舍去） 答：球发出时在竖直方向上的速度应调节为 1．（24-25九年级上·安徽安庆·单元测试）直角三角形两直角边的长分别为x、y，它的面积为3，则y与x之间的函数关系用图像表示大致是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．根据题意有，故与之间的函数为反比例函数，且根据实际意义应大于0，其图像在第一象限；故可判断． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ∴是的反比例函数，其图像是双曲线中位于第一象限的一支， 故选：C． 2．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图是机器狗的实物图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，， 答：当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故选：C． 3．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图描述了在一段时间内，小华、小红、小刚三名工人加工零件的合格率与所加工零件的总个数之间的关系（合格个数=合格率×总个数），则这三名工人在这段时间内所加工零件合格的个数最多的是（   ） A．小华 B．小红 C．小刚 D．同样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数性质的应用，熟练掌握相关概念是解题关键. 根据题意可以得知加工零件合格的个数等于加工零件的合格率与所加工零件的总个数的乘积，由此通过观察进一步判断即可. 【详解】由题意得，加工零件合格的个数， 如图 据此通过直观观察比较此时三个长方形的面积大小，小刚所在位置的点对应的长方形的面积最大，即最大， 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，在中，，过原点，轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，连结．若的面积为8，则的值为（   ） A．4 B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解．本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用k表示出和的长度是解决本题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∴， ∵ ∴是等腰三角形， ∴， ∵底边轴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选C． 5．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数（k为常数，）的图象上．将直线沿y轴向上平移后的直线与y轴交于点B，与此反比例函数的图象交于点C．若，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，根据题意可得，再求出反比例函数解析式，然后根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵点， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵将直线沿y轴向上平移后得到直线， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的横坐标为，， 把代入，得： ， 即， ∴， ∴点D的坐标为． 故选：D 6．（2025·安徽淮北·模拟预测）已知蓄电池两端电压为定值，电流与的函数关系，当时，，当时，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出的值是解题的关键． 根据题意求出，得到，继而得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：电流与的函数关系为，当时，， ， ， ， 当时，， ， 故答案为：． 7．（2025九年级上·安徽马鞍山·专题练习）数学家发现一个有趣的现象：经过长年累月的习惯，走路时，每个人的一只脚伸出的步子要比另一只脚伸出的步子长，设步差为，就是这小小的，会导致这个人走出一个半径为的大圈子．经过大量的数据研究后，得到关于的函数关系为．已知测得小明的步差约为，那么他会走出的圈子的半径约为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用．将直接代入计算即可求解． 【详解】解：将代入得， 他会走出的圈子的半径约为． 故答案为：7． 8．（2025·安徽亳州·模拟预测）如图，等边三角形的顶点，分别在反比例函数图象的两个分支上，且点，关于原点对称，过点作平行于轴，交反比例函数的图象于点，连接，，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】过、作轴，轴于、，令交轴于点，则四边形是矩形，，，，证明，得，，进而证明，得，，从而即可得解． 【详解】解：如图，过、作轴，轴于、，令交轴于点，则四边形是矩形， ∴，，， ∵点，关于原点对称， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∵，轴 ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数 ∴， ∴， ∴的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，反比例函数的图象和性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定及性质，关于原点对称的点的坐标特征，掌握相似三角形的判定及性质是关键． 9．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 （结果保留小数点后两位）． 【答案】 【分析】本题考查了数据的处理和应用，涉及反比例，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键． 根据和，列出方程，求出k即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，B是线段OA上（不与点A重合）的一点． （1）反比例函数的表达式为 ； （2）将点A绕点B顺时针旋转得到点D，且点D恰好落在的图象上，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）过点B作轴，过点D作于点F，过点A作于点E，设点，那么点D的坐标为，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可． 【详解】解：（1）将代入，得， ∴， 将代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 故答案为：； （2）如图，过点B作轴，过点D作于点F，过点A作于点E， ∴， ∴， ∵点A绕点B顺时针旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴（AAS）， 依题意设点，则可得： ，，， ∴点D的纵坐标， 点D的横坐标， ∴点D的坐标为， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，交点坐标满足两个函数关系式是关键． 11．（2025·安徽宣城·模拟预测）某一电路中，保持电压不变，电流与电阻成反比例，当电阻时，电流． (1)求I与R之间的函数关系式； (2)当电流时，求电阻R的值． 【答案】(1) (2)50 【分析】本题考查反比例函数知识在物理情境中的应用，解题关键是利用欧姆定律确定电压，进而建立函数关系式并代入求值； （1）可依据反比例函数的定义写出电流I与电阻R的关系式，然后将，代入关系式中,即可得I与R之间的函数关系式; （2）再将电阻的值代入反比例函数求解即得电阻值. 【详解】（1）解：由物理知识可知：R=， 将，代入计算，得 ， 所以I与R之间的函数关系式为. （2）I与R之间的函数关系式是， 将代入中，得． 12．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，点，均在反比例函数的图象上，轴于点，于点，且的面积为4，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义．由的面积为4，知，根据反比例函数中k的几何意义，知本题，求得，，进而求出k的值． 【详解】解：∵的面积为4，轴于点，于点， ， ∴， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）某公司将A地生产的农副产品运往B地市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时(汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表： v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)请你根据表中的数据建立适当的平面直角坐标系并描出对应的点，由此判断v与t之间成什么函数关系； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式并写出自变量t的取值范围 (3)若汽车到达B市场的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1)根据图象判断为反比例函数，画图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据表格建立直角坐标系，描点，画出图象，根据图象进行判断即可； （2）待定系数法求函数解析式，根据汽车行驶速度不超过100千米/小时且不低于60千米/小时，求出自变量t的取值范围； （3）根据反比例函数的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：    由图可知：v与t之间成反比例函数； （2）设，将代入，得：， ∴； ∵， ∴； （3）由图象可知，时，随着的增大而减小； ∴当时，取最大值为：；当时，取最小值为：； ∴． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确的求出函数解析式． 14．（2025·安徽合肥·模拟预测）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【答案】(1)17，18；见解析 (2)①；②或 【分析】题目属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键． （1）根据计费标准完成表格即可；根据表格画出图象即可； （2）①根据把和分别代入计算的值，并作比较； ②根据幸运里程数的概念及反比例函数求解即可． 【详解】（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元．且计费以元为单位得出 ；； 故答案为：17，18； 补全表如图： 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 （2）①当时，， 当时，， 当时，， 则 ； ②当时，，w随x的增大而减小， ∴幸运里程数的取值范围，且w最小接近于； 当时，，w随x的增大而减小， 当时，里程数x为幸运里程数， 解得， ∴； 综上：轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围或． 15．（2025·安徽池州·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求反比例函数的关系式和一次函数的关系式； (2)如图1，点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧，若的面积为6，求点C的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； (2)点C的坐标为； (3)点N的坐标为或． 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）分别把代入和，计算即可求解； （2）设点，过点作轴的垂线交直线于，得点，由，得，再计算即可； （3）分两种情况讨论，①当点在轴上时，过作直线轴交轴于点，过作于点，证明，求得，得到，利用平移的性质求得点N的坐标为；②当点在轴上时，同理即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：设点，过点作轴的垂线交直线于， ∴点， ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∵点C是第二象限内反比例函数图象上一点，且点C位于点B右侧， ∴， ∴点C的坐标为； （3）解：①当点在轴上时， 如图：过作直线轴交轴于点，过作于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴点N的坐标为； ②当点在轴上时， 同理，点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$