专题07 解析几何-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）

专题07 解析几何 题型概览 专题01 直线与圆 题型02 椭圆 题型03 双曲线 题型04 抛物线 题型05 圆锥曲线与平面向量、数列等知识交汇 直线与圆题型01 1．（2025·广东茂名·二模）已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．±2 D． 2．（2025·广东揭阳·二模）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 3．（2025·广东深圳·二模）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 题型02 椭圆 4．（2025·广东茂名·二模）已知，为椭圆的左、右焦点，点，在上，若等边三角形的重心为，则的离心率为 . 5．（2025·广东肇庆·二模）直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时， . 6．（2025·广东深圳·二模）已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． (1)求E的方程： (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 7．（2025·广东揭阳·二模）已知A，B，C是椭圆上三个不同的点，是坐标原点. (1)若，是的左、右顶点，求的取值范围； (2)若点在第一象限，是否存在四边形满足是该四边形的对称轴，若存在，请写出A，C的坐标，若不存在，请说明理由. 8．（2025·广东湛江·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且． (1)求C的标准方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D． （i）求面积的最大值； （ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 9．（2025·广东茂名·二模）已知椭圆的焦距为2，点在上，是的右焦点，设过点的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)直线不与轴重合，且平分． ①求的值； ②若点是直线与的交点，证明：． 10．（2025·广东佛山·二模）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． (3)在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 11．（2025·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右、上、下顶点分别为.设为上并且位于第一象限的两点，满足. (1)若交轴于，且，求椭圆的离心率. (2)在（1）的条件下，为的中点，直线交于点（其中在轴上方）.证明：. 双曲线题型03 12．（2025·广东深圳·二模）双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 13．（2025·广东茂名·二模）设为坐标原点，为双曲线的左焦点，圆与的渐近线在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·广东佛山·二模）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·广东肇庆·二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·广东揭阳·二模）记双曲线的离心率为，若直线与有公共点，则离心率的取值范围为 （请用区间表示）. 17．（2025·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，则 ． 18．（2025·广东茂名·二模）已知双曲线的实轴长为，离心率为. (1)求双曲线的标准方程： (2)过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点. （i）证明：直线的斜率为定值； （ii）记，分别为，的面积，求的取值范围. 19．（2025·广东广州·二模）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程. 抛物线题型04 20．（2025·广东湛江·二模）已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 21．（2025·广东茂名·二模）（多选题）抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，轴，设反射点分别为，，为坐标原点，过，分别作，的角平分线交于点，已知的最小值为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则直线的斜率为 C．存在直线，使得，，，四点共圆 D．面积的最小值为1 22．（2025·广东佛山·二模）（多选题）圆C过抛物线：上的两点、，则（    ） A．圆C面积的最小值为 B．圆C与抛物线的公共点个数为2或4 C．若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D．若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2 23．（2025·广东茂名·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若，则 ． 24．（2025·广东深圳·二模）已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于 ． 圆锥曲线与平面向量、数列等知识交汇题型05 25．（2025·广东佛山·二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 26．（2025·广东湛江·二模）（多选题）在平面直角坐标系中，动点P在直线上的射影为点Q，且．记P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（    ） A．C关于直线l对称 B．C上存在点，使得 C．的最小值为 D．若C与两条坐标轴的正半轴所围成的面积为S，则 27．（2025·广东佛山·二模）对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记. (1)若，，求，以及； (2)对于上的四点，，，，求证：的充要条件是； (3)是否存在异于S的点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解析几何 题型概览 专题01 直线与圆 题型02 椭圆 题型03 双曲线 题型04 抛物线 题型05 圆锥曲线与平面向量、数列等知识交汇 直线与圆题型01 1．（2025·广东茂名·二模）已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．±2 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意有：圆心到直线的距离为2， 所以， 故选：D. 2．（2025·广东揭阳·二模）若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为 ， 设圆心到直线l的距离为d，由弦长公式可得，， 所以圆心到直线的距离， 解得或，又，所以， 故选：C 3．（2025·广东深圳·二模）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【难度】0.85 【知识点】圆的弦长与中点弦 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 题型02 椭圆 4．（2025·广东茂名·二模）已知，为椭圆的左、右焦点，点，在上，若等边三角形的重心为，则的离心率为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】不妨设焦点在轴上，由题意可得两点关于轴对称，由重心坐标公式可得，进而可求得的坐标，进而可得，，可求离心率. 【详解】不妨设焦点在轴上，故，的坐标分别为，， 因为三角形是等边三角形，所以两点关于轴对称，所以， 因为三角形的重心为，所以，所以， 又，所以， 所以，所以，， 所以，所以. 故答案为：. 5．（2025·广东肇庆·二模）直线与椭圆交于两点不是椭圆的顶点），设，当直线的斜率是直线斜率的2倍时， . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、根据韦达定理求参数 【分析】直曲联立，可得方程两根的和与积，点坐标已知，表达与的斜率之积，可得定值，要求参数的范围，需要构建两根和与积之间的等量关系，与的斜率乘积代换即可实现. 【详解】设，由可知. 由知，，解得. ，① ，② . 又， ，即，化简得， 将①②代入上式可得，解得或，满足. 当时，直线经过椭圆右顶点，不合题意，舍去.综上所述. 故答案为：. 6．（2025·广东深圳·二模）已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． (1)求E的方程： (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据题干所给信息及，可求椭圆方程. （2）设出直线RM，RN的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）设点， 当直线PF与x轴垂直时，点，则 因为的最小值为，所以， 又由， 可解得， 故E的方程为． （2）如图， 设点，注意到RM，RN斜率不为0， 设， 联立，得， 因为RM与E相切，所以， 于是， 化简得， 又RN与E相切，同理有， 故m，n是一元二次方程的两根， 则， 所以， 又，所以， 所以面积的取值范围为． 7．（2025·广东揭阳·二模）已知A，B，C是椭圆上三个不同的点，是坐标原点. (1)若，是的左、右顶点，求的取值范围； (2)若点在第一象限，是否存在四边形满足是该四边形的对称轴，若存在，请写出A，C的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、椭圆的对称性、根据椭圆的有界性求范围或最值、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1），设，表示出，结合椭圆的范围即可得出答案； （2）假设存在，设，根据对称性得出点坐标，代入坐标整理可得.根据在椭圆上，由点差法化简得出，得出矛盾，即可说明. 【详解】（1）由已知可得，，，设， 则，， 所以. 又，，所以， 所以，，， 所以，的取值范围为. （2）设存在四边形满足是该四边形的对称轴 设，为对角线的交点 因为是四边形的对称轴， 所以为的中点，且， 所以. 因为点在第一象限，所以直线的斜率均存在且不为0. 且， 所以有， 所以有. 又因为在椭圆上， 所以有. 作差整理可得， 这与相矛盾，假设不正确. 所以，不存在四边形满足是该四边形的对称轴. 8．（2025·广东湛江·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且． (1)求C的标准方程； (2)过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D． （i）求面积的最大值； （ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）为定值9，理由见解析. 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据，得到，又，则，得到椭圆方程； （2）（i）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出点N的坐标，表达出三角形的面积，利用基本不等式求出最值； （ii）设外接圆的方程为．代入，可得，联立直线和外接圆方程，得到两根之和，两根之积，结合（i）可得方程，求出，求出，为定值． 【详解】（1）由，整理得，则该圆是以为圆心，6为半径的圆． 因为P是圆上一点，线段与C交于点Q，且， 所以，即，解得． 由题可知，则，故C的标准方程为； （2）（i）当点的直线斜率不存在时，重合，此时不存在，不合要求， 当点的直线斜率为0时，重合，此时不存在，不合要求， 直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为． 联立整理得， 则， 则线段的中点N的坐标为． 设的面积为S，则． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为． （ii）为定值9，理由如下： 设，显然为外接圆圆心， 故可设外接圆的方程为． 因为在外接圆上，所以，故， 故外接圆的方程为． 联立，整理得 ，                   则． 因为， 故， 解得． 故，为定值． 9．（2025·广东茂名·二模）已知椭圆的焦距为2，点在上，是的右焦点，设过点的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)直线不与轴重合，且平分． ①求的值； ②若点是直线与的交点，证明：． 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据焦距得到，再代入点坐标即可得到椭圆方程； （2）①采用设线法，再联立椭圆方程得到韦达定理式，再将角平分线转化为，再韦达定理式整体代入化简即可； ②转化为证明，而，替换其中的化简即可. 【详解】（1）椭圆的焦距为， ∴椭圆的左右焦点分别是， 又点在椭圆上， ， ，椭圆的方程为：． （2）①依题意设直线的方程为：， 联立方程组：，则， 即，且，① 由，的坐标可知轴，平分， 等价于， 即，把代入并化简得： ，把①代入上式得：， 化简得：（经检验，符合，则. ②欲证，只需证：， 由（2）可得， 又， ， 即. 10．（2025·广东佛山·二模）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． (3)在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)时，为定值 (3) 【难度】0.4 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由题意，得，进而解出即可求解； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，进而求解即可； （3）结合（2）求得，，，表示出的周长，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线l的方程为，，， 联立，消去y整理得， 则， 且，， 又，， 则 ， 则，即时，此时为定值. （3）由（2）知，，，直线l的方程为， 且，，，， 则，， 则直线的方程为， 令，得 ， 即，则，，， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立， 则周长的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 11．（2025·广东肇庆·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右、上、下顶点分别为.设为上并且位于第一象限的两点，满足. (1)若交轴于，且，求椭圆的离心率. (2)在（1）的条件下，为的中点，直线交于点（其中在轴上方）.证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】由坐标解决三点共线问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）先应用平行得出角的值，再结合计算得出离心率； （2）先设点，结合得出，最后由点在椭圆上计算得证. 【详解】（1）因为，所以. 所以，则， 则，解得， 则. （2）由（1）知，. 设点，因为，所以存在，使，则. 因为是的中点，所以. 又因为三点共线，所以存在，使. 令，则， 则由点在椭圆上得， 整理得， . 因为点在椭圆上，所以，整理得. 所以. 【点睛】关键点点睛：证明的关键点是应用点在椭圆上得出计算化简求值. 双曲线题型03 12．（2025·广东深圳·二模）双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的标准方程，结合离心率的概念即可求解. 【详解】由，得， 所以，得， 所以双曲线的离心率为. 故选：D 13．（2025·广东茂名·二模）设为坐标原点，为双曲线的左焦点，圆与的渐近线在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、求直线与圆交点的坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据条件写出双曲线的渐近线，与圆联立求出，再利用向量夹角为建立等式求解离心率即可. 【详解】 的渐近线为， 联立，因为在第一象限的交点为，得，即， 所以，又， 故， 化简得：， 故选：B. 14．（2025·广东佛山·二模）已知是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的两点，若，且以为直径的圆恰好过点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.15 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】延长交双曲线于点，连接，由已知条件得到四边形为矩形，再由双曲线的定义和勾股定理求出的关系，即可求解. 【详解】    如图所示，连接，延长交双曲线于点，连接， 因为，且以为直径的圆恰好过点， 所以由对称性可知点也在圆上，且四边形为矩形. 设，则，，， 因为点都在双曲线右支上，所以由双曲线的定义可知， ，， 所以，， 所以在直角，中，由勾股定理可得， ，解得， 所以双曲线的离心率. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：由双曲线的定义得到，， 关键二：在直角，中，由勾股定理列出方程组. 15．（2025·广东肇庆·二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，是坐标原点，是的焦点，过点作垂直于直线交于点的面积是，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】由题意可得，求解可得双曲线方程. 【详解】由题意知，解得，则双曲线方程为. 故选：B. 16．（2025·广东揭阳·二模）记双曲线的离心率为，若直线与有公共点，则离心率的取值范围为 （请用区间表示）. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】首先表示出渐近线方程，依题意可得，即可求出离心率的取值范围. 【详解】因为双曲线的渐近线为， 又直线与有公共点，所以， 则离心率，即离心率的取值范围为. 故答案为： 17．（2025·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，则 ． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】由双曲线的离心率求参数的取值范围 【分析】利用双曲线方程中的关系结合离心率，列式计算即可求得的值. 【详解】由双曲线，得，所以 双曲线C的离心率为， 所以，解得 故答案为：. 18．（2025·广东茂名·二模）已知双曲线的实轴长为，离心率为. (1)求双曲线的标准方程： (2)过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点. （i）证明：直线的斜率为定值； （ii）记，分别为，的面积，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据离心率和实轴长可得方程； （2）（i）设出直线的方程与双曲线联立，写出韦达定理，求出的斜率，化简可得答案； （ii）根据斜率相等把面积比转化为线段比，结合韦达定理可求范围. 【详解】（1）设焦距为，因为实轴长为，离心率为，所以， 所以，故双曲线的标准方程为. （2）（i）证明：当直线斜率为0时，， 的方程为； 令可得，此时的斜率为. 当直线斜率不为0时，设， 联立，可得， 因为直线与双曲线的左右两支交于两点， 所以，， 设，则， 且，解得. 的方程为，令可得， 所以的斜率为， 化简可得， 由可得， 所以； 综上可得，直线的斜率为定值. （ii）当直线斜率为0时，， 两个三角形相似，. 当直线斜率不为0时，此时， 所以， 因为，所以， 因为，所以，即或（舍）， 所以； 综上可得. 19．（2025·广东广州·二模）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）， 【难度】0.4 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由点到直线距离公式结合题意可得，据此可得答案； （2）（ⅰ）设切线的方程为，由圆心到切线的距离，可得，再将切线方程与双曲线方程联立，由韦达定理结合可得，据此可完成证明； （ⅱ）方法1，注意到，由（ⅰ）可得，据此可得答案； 方法2，设切线与圆的切点为，则可得，据此可得答案； 方法3，由题可得，又设切线与圆的切点为，由，结合，可得，由基本不等式可得，据此可得答案. 【详解】（1）解：由于双曲线的右焦点为，所以. 双曲线的渐近线方程为，即为， 由于点到的一条渐近线的距离为，则. 解得所以的方程为. （2）（ⅰ）证明：显然圆的切线的斜率存在， 设切线的方程为， 由于切线不平行的渐近线，则. 由圆心到切线的距离，得. 由消去得， 由题意知.设， 则， 而 . 则， 则. 所以，即. （ⅱ）解法1：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为，则， . 由（ⅰ）得， 又， 则. 当时，. 此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 解法2：由（ⅰ）同理可得， 所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为， 则. 在中，， 在中，， 则， 当时，，即的面积的最小值为3. 此时，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为. 解法3：由（ⅰ）同理可得，所以三点共线. 则的面积. 设切线与圆的切点为， 则. 在中，， 在中，， 由于，则， 根据基本不等式得， 得，则，即的面积的最小值为3. 当且仅当等号成立， 根双曲线的对称性知，直线平行轴，则的纵坐标绝对值为圆的半径. 得点的坐标为， 所以直线的方程为，直线的方程为.    抛物线题型04 20．（2025·广东湛江·二模）已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】抛物线的中点弦、直线与抛物线交点相关问题 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 21．（2025·广东茂名·二模）（多选题）抛物线的光学性质是指平行于抛物线对称轴的光线通过反射后经过抛物线的焦点.且光线反射遵循反射基本定理，反射点处的切线与入射光线反射光线所成夹角的角平分线垂直.如图，已知抛物线，一束光线从点出发平行于轴射入抛物线，经过两次反射后平行射出，轴，设反射点分别为，，为坐标原点，过，分别作，的角平分线交于点，已知的最小值为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则直线的斜率为 C．存在直线，使得，，，四点共圆 D．面积的最小值为1 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、抛物线中的参数范围问题、由弦长求参数、直线与抛物线交点相关问题 【分析】A选项，设直线，联立直线与抛物线方程，根据焦点弦长公式得，从而得到A正确；B选项，，从而解得，故B正确；C选项，先得到，若点，，，四点共圆，则，利用向量数量积公式得到因为，故C错误，D选项，作出辅助线，得到轴，，得到，求出最小值. 【详解】A选项，由题意得直线过焦点，设直线， 联立直线与抛物线方程可得 设， 则， 所以， 则，当且仅当时，等号成立， 故，，故A正确； B选项，由A知，， 则， 解得，故B正确； C选项，，， 所以， 如果点，，，四点共圆，则， ，， 因为，故C错误， D选项，过点分别作⊥于点，⊥于点，⊥于点， 因为，的角平分线交于点，所以，， 故， 设为的中点，连接，则轴， 因为，所以， 由A知，，由B知，， ， 显然，当时，取得最小值，最小值为1，D正确， 故选：ABD 22．（2025·广东佛山·二模）（多选题）圆C过抛物线：上的两点、，则（    ） A．圆C面积的最小值为 B．圆C与抛物线的公共点个数为2或4 C．若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2 D．若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由已知求得抛物线的方程，对于A，圆C以为直径时，圆的面积最小，求出半径，可得圆C的面积；对于B，写出过、、的圆C的方程，与抛物线方程联立，消元后的方程有3个解，则B错误；对于D，写出直线的方程，设出直线的方程为，设出过、P、Q的曲线方程，由方程中的系数为0，可求得直线PQ的斜率的值；对于C，由直线的方程与联立，消元后利用韦达定理可得P、Q的纵坐标之和. 【详解】因为点在抛物线：上， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 对于A，因为圆C过抛物线上的两点、， 则以为直径时，圆的面积最小，半径， 此时圆C的面积为，故A正确； 对于B，过、、的圆C的方程为， 与联立，得， 所以或，解得或， 则圆C与抛物线的公共点为，个数为3，故B错误； 对于D，直线的方程为， 由已知可知直线的斜率存在，设为， 则直线的方程设为， 设过、P、Q的曲线方程为， 方程左边的系数为， 因为、P、Q的曲线方程为圆， 所以，即，故D正确； 对于C，直线的方程为，与联立， 得，设的纵坐标为，则，故C正确. 故选：ACD. 23．（2025·广东茂名·二模）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点，若，则 ． 【答案】8 【难度】0.94 【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先求出焦点坐标，得到，即准线方程为，利用抛物线的定义可知等于其到准线的距离，即. 【详解】由题意可知焦点，准线方程为，又点在抛物线上， 所以点到准线的距离为，由抛物线的定义可知. 故答案为：. 24．（2025·广东深圳·二模）已知抛物线的焦点为，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且，则的面积等于 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】根据题意可得抛物线方程及点T坐标，设出直线l的方程并联立曲线，再由韦达定理和抛物线焦半径公式可解点A，然后可求的面积. 【详解】如图，因为抛物线C的焦点，所以，解得， 则抛物线C的方程为，准线方程为， ， 易知直线l斜率存在，设方程为，，, 联立，整理得, 由韦达定理得，， 又， ，且， ∴，即代入， 整理得，解得或（舍）， 所以，，所以， . 故答案为. 圆锥曲线与平面向量、数列等知识交汇题型05 25．（2025·广东佛山·二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线截距式方程及辨析、由方程研究曲线的性质 【分析】曲线C：去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得解. 【详解】曲线C：等价于或或或. 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 所以曲线C：的周长为. 故选：D 26．（2025·广东湛江·二模）（多选题）在平面直角坐标系中，动点P在直线上的射影为点Q，且．记P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（    ） A．C关于直线l对称 B．C上存在点，使得 C．的最小值为 D．若C与两条坐标轴的正半轴所围成的面积为S，则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】对于A，设通过，得到轨迹方程即可判断，对于B，由即可判断，对于C，由可判断，对于D，记C在第一象限内的部分为曲线D，设为D上任意一点，则，得到+，再通过假设，推出得到矛盾，进而可判断. 【详解】设，则．由， 得，即．关于l对称的点为， 也满足方程，故C关于直线l对称，A正确． 显然点在C上，且满足，B正确． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，整理得， 从而，C不正确． 记C在第一象限内的部分为曲线D，设为D上任意一点，则， 由，得，即， 故点B在直线的上方或在的下方（不重合）， 从而． 假设，则由，可得， 则，则，则，这与假设矛盾， 故D在直线的上方，从而，故，D正确． 故选：ABD 27．（2025·广东佛山·二模）对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记. (1)若，，求，以及； (2)对于上的四点，，，，求证：的充要条件是； (3)是否存在异于S的点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析； (3)存在，为或或. 【难度】0.15 【知识点】充要条件的证明、三角恒等变换的化简问题、由向量共线（平行）求参数、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】（1）依次写出过的相关直线，联立椭圆求交点，根据题设定义求，以及即可； （2）应用向量的坐标表示及三角恒等变换得，同理得，根据向量平行的坐标表示、辅助角公式化简，即可证； （3）设，，根据平行关系及（2）的结论即可判断存在性并确定点坐标. 【详解】（1）由题设，直线的斜率为，则过且平行于直线的直线方程， 联立，可得，解得（舍）或，则， 所以， 过且平行于椭圆在点处切线的直线方程为， 联立，可得（舍）或，故， 过且平行于的直线方程为， 联立，可得（舍）或，故， 所以， 过且平行于的直线方程为， 联立，可得（舍）或，故， 过且平行于的直线方程为， 联立，可得，故， 又对于椭圆上任意一点，都有，故，， 所以； （2）由， ， ， 所以， 同理， 故，当且仅当 ， 所以，即，得证； （3）设，， 由，点处的切线平行于， 由（2）知，则， 由，所以，则， 由，所以，则， 若，则，即， 所以存在异于S的点P，使得，坐标为或或. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$