专题06 数列-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）

专题06 数列 题型概览 题型01 等差数列与等比数列 题型02 数列求和 题型03 数列与函数知识交汇 题型04 数列与三角函数知识交汇 题型05 数列的新定义问题 等差数列与等比数列题型01 1．（2025·广东清远·二模）已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（   ） A．11 B．13 C．19 D．17 2．（2025·广东茂名·二模）（多选题）等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（   ） A．数列的公差为2 B．取最小值时， C． D．数列的前10项和为50 3．（2025·广东广州·二模）设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 4．（2025·广东清远·二模）已知数列的首项为，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和． 题型02 数列求和 5．（2025·广东肇庆·二模）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 6．（2025·广东湛江·二模）将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则 ，的前202项和为 ． 数列与函数知识交汇题型03 7．（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．（2025·广东·二模）设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．45 C． D． 9．（2025·广东茂名·二模）已知为一个连续函数，若数列满足：，则称数列是关于的“可差数列”，记数列的前项和为． (1)若是关于的“可差数列”，求的通项公式及； (2)已知满足：，若是关于的“可差数列”． ①试求一个满足条件的的解析式； ②证明：对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，． 数列与三角函数知识交汇题型04 10．（2025·广东深圳·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D． 11．（2025·广东汕头·二模）已知数列，，其前项和为． (1)求； (2)求； (3)若数列的前项和为，且，证明：． 数列的新定义问题题型05 12．（2025·广东深圳·二模）（多选题）对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·广东汕头·二模）（多选题）已知数列的前项和为，若，且都有，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前10项和为56 14．（2025·广东茂名·二模）若对于任意整数，，均有，则称数列为数列. (1)设各项均为正整数且公差不为0的等差数列为数列，，求； (2)证明：当时，数列为数列； (3)证明：若数列的各项均为正数，当时（其中，为常数），数列不是数列. 15．（2025·广东深圳·二模）从编号为1，2，…，的座位中按照如下方式选取座位：选取至少个座位，并且选取的座位中没有相邻的座位，则称这样的座位选取方案称为“社交排位”． (1)若个座位排成一排，对应的“社交排位”数为，例如时，由于至少要选取2个座位，因此时，由于只能选取第1，3个座位，因此． （i）求； （ii）求使的最小正整数， (2)若个座位排成一圈，对应的“社交排位”数为，求数列中第2025个奇数对应的． 16．（2025·广东揭阳·二模）已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为. (1)写出，，以及，； (2)证明：数列是等比数列； (3)若，证明：对任意的都有. 17．（2025·广东湛江·二模）已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”． (1)若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由； (2)若数列是“上界m数列”，求m的最小值； (3)若，且．证明：数列是“上界1数列”． 18．（2025·广东佛山·二模）在等差数列和等比数列中，和是下表第i行中的数（），且，，中的任何两个数不在同一列，，，中的任何两个数也不在同一列. 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 3 4 第二行 5 6 7 8 第三行 9 10 11 12 (1)请问满足题意的数列和各有多少个？写出它们的通项公式（无需说明理由）； (2)若的公比为整数，且.数列满足，求的前n项和. 19．（2025·广东佛山·二模）对于数列，若，使得，都有成立，则称为“三和定值数列”．已知为“三和定值数列”，且，，． (1)求，，； (2)已知为数列的前项和，求． 20．（2025·广东肇庆·二模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为.例如：函数列可以记为.记为的导函数. (1)若.证明：为等差数列. (2)已知定义在上的函数列满足，且对任意的，都有. （i）设，证明：的充要条件是. （ii）取定正数，使数列是首项和公比均为的等比数列，证明：. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 数列 题型概览 题型01 等差数列与等比数列 题型02 数列求和 题型03 数列与函数知识交汇 题型04 数列与三角函数知识交汇 题型05 数列的新定义问题 等差数列与等比数列题型01 1．（2025·广东清远·二模）已知等差数列的前项和为，公差，若，且，，成等比数列，则的值为（   ） A．11 B．13 C．19 D．17 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用 【分析】利用等差数列的性质由等差数列的求和公式和等差中项可得，再由等比中项可得，两式联立可得和，然后求出数列的通项可得. 【详解】，即， 又因为，，成等比数列，则， 即，整理可得， 再与联立可得，， 所以，， 故选：C． 2．（2025·广东茂名·二模）（多选题）等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（   ） A．数列的公差为2 B．取最小值时， C． D．数列的前10项和为50 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、含绝对值的等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列通项公式得关于的方程，解出，则得到，最后一一判断选项即可. 【详解】对A，设等差数列的公差为，则由题意知， 解得，故A正确； 对B，，， 则当时，取最小值，故B错误； 对C，，，则，故C错误； 对D，数列的前10项和为，故D正确. 故选：AD. 3．（2025·广东广州·二模）设为数列的前项和，且是和8的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、数学归纳法、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）解法1：由题意可求得，当时，求得，当时，，可得，可求通项公式；解法2：由题意可得，先求得前几项，猜想通项公式，再利用数学归纳法证明即可； （2）由题意可得，可求得，可证结论. 【详解】（1）解法1：因为是和8的等差中项， 所以，即.① 当时，，得. 当时，，② ①－②得，得，即. 所以数列是以首项为8，公比为2的等比数列. 所以. 解法2：因为是和8的等差中项， 所以，即. 当时，，得. 当时，，得. 当时，，得. 猜想：. （下面用数学归纳法证明） 1当时，可知猜想成立， 2假设时，猜想成立，即， 依题意，得，得， 又，得， 则， 得. 即当时，猜想也成立. 由1，2可知猜想成立，即. （2）因为， 得， 所以. 由于，得， 得， 所以. 4．（2025·广东清远·二模）已知数列的首项为，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由递推公式变形得，利用等比数列的定义即可证明是等比数列. （2）由（1）得，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求和即可 【详解】（1）证明： 数列满足，即， ， 即， 又， , 数列表示首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知， ， ， 当为偶数时，可得； 当为奇数时，可得； 综上可得， 题型02 数列求和 5．（2025·广东肇庆·二模）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和的最值、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用，可求通项公式判断AB；由可知单调性判断CD. 【详解】由可知，当时，， 因为，所以， 故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误. 将的通项公式可得，故B错误. 由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误. 由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确. 故选：D. 6．（2025·广东湛江·二模）将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则 ，的前202项和为 ． 【答案】 14 49609 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】与的公共项为，去掉它们的公共项后，得到，两个相邻的公共项之间有5项，其和可以构成等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】与的公共项为，去掉它们的公共项后， 剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…， 所以， 且每两个相邻的公共项之间有5项，分别求和， ，， ，…， 可以看到这5项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列． 因为， 所以的前202项和为． 故答案为：14，49600 数列与函数知识交汇题型03 7．（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和 【分析】由题意可得是以为首项，2为公比的等比数列，从而可得，利用错位相减法可求得，可求解. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以 所以， 所以， 所以，又，， 所以使得成立的最小整数为. 故选：B. 8．（2025·广东·二模）设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．45 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数值、求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式 【分析】利用函数恒等式的赋值思想，找到，从而转化为等比数列，再利用数列思想求和即可. 【详解】令可得， 再令可得， 又因为，所以， 再令可得， 又因为，所以有， 即是等比数列，则有首项，公比， 所以，即， 则， 故选：C. 9．（2025·广东茂名·二模）已知为一个连续函数，若数列满足：，则称数列是关于的“可差数列”，记数列的前项和为． (1)若是关于的“可差数列”，求的通项公式及； (2)已知满足：，若是关于的“可差数列”． ①试求一个满足条件的的解析式； ②证明：对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，． 【答案】(1)，. (2)①；②证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、组合数的计算、数列新定义 【分析】（1）代入作差得，再累加求和即可； （2）①利用待定系数法即可得到；②利用放缩得，分别取和即可证明. 【详解】（1）因为， 所以， 因为， 所以. （2）①因为， 不妨令， 则， 即：， 所以得， 所以即. ②由①可知： ， 因为， 当时， ， 所以， ，取，则，取， 当时，恒有成立. 数列与三角函数知识交汇题型04 10．（2025·广东深圳·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】先写出等差数列的通项公式，然后根据三角函数的周期性和已知集合的元素个数来分析的取值情况，进而求出的值. 【详解】根据已知条件，等差数列的通项公式为：. 根据三角函数的性质，. 这说明数列的周期为3. 因为集合，即有三个不同的值. 设时，；时，； 时，. 根据三角函数两角和公式可得： . . 则 故选：B. 11．（2025·广东汕头·二模）已知数列，，其前项和为． (1)求； (2)求； (3)若数列的前项和为，且，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、判断或写出数列中的项、求等差数列前n项和、错位相减法求和 【分析】(1)代入通项公式分别求出，再求和即可； (2) 先求出，再利用等差数列求和公式求解即可； (3) 先求出，由错位相减法求出，即可证明． 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为 ， 所以； （3）因为， 所以， 从而， 两式相减得： ， 故．得证. 数列的新定义问题题型05 12．（2025·广东深圳·二模）（多选题）对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】二项式定理与数列求和 【分析】根据的定义逐项判断即可. 【详解】对A，∵，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，∵设， ， 增加了，两项系数为0，∴ ，故C正确； 对于D，∵， ∴，故D错误； 故选：ABC. 13．（2025·广东汕头·二模）（多选题）已知数列的前项和为，若，且都有，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前10项和为56 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由已知可得，可得，可求得，进而计算可判断每个选项的正误. 【详解】由题设得：当时，，可得，又， 所以，所以，，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，当时，， 所以，所以数列不是等比数列，故B错误； 所以，故C错误； 又，所以的前10项和为，故D正确． 故选：AD. 14．（2025·广东茂名·二模）若对于任意整数，，均有，则称数列为数列. (1)设各项均为正整数且公差不为0的等差数列为数列，，求； (2)证明：当时，数列为数列； (3)证明：若数列的各项均为正数，当时（其中，为常数），数列不是数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.15 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、利用定义求等差数列通项公式、数列新定义 【分析】（1）利用和等差数列通项公式列出不等式，化简得出公差范围，结合各项为正整数且确定值，进而求出通项. （2）将变形为，根据时幂函数性质证明不等式成立. （3）先由时的条件得出范围，再根据时的范围得到，取对数后结合对数性质推出矛盾，判断不是数列. 【详解】（1）设公差为，由，根据等差数列通项公式，有，化简得. 因为各项为正整数且，所以，， 则. （2）要证，即证. 因为，幂函数在上是上凸函数，所以，所以是数列. （3）当时，，得. 当时，，又，即，所以. 两边取对数对恒成立. 因为， 所以当时，，矛盾，所以不是数列. 15．（2025·广东深圳·二模）从编号为1，2，…，的座位中按照如下方式选取座位：选取至少个座位，并且选取的座位中没有相邻的座位，则称这样的座位选取方案称为“社交排位”． (1)若个座位排成一排，对应的“社交排位”数为，例如时，由于至少要选取2个座位，因此时，由于只能选取第1，3个座位，因此． （i）求； （ii）求使的最小正整数， (2)若个座位排成一圈，对应的“社交排位”数为，求数列中第2025个奇数对应的． 【答案】(1)（i），；（ii）12 (2)4051 【难度】0.4 【知识点】组合数的计算、组合数的性质及应用、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）（i）当、时，列举出符合条件的选法，可得出、的值； （ii）解法1：当时，个座位的“社交排位”，可以分成两类：①不包含号座位；②包含号座位.推导出，然后列举出数列的前若干项，即可得出满足不等式的最小正整数的值； 解法2：当（）时，由组合数的性质得出，结合，并求出、的值，可得出满足的最小正整数的值； （2）解法1：求出数列前项的值，将对应的方案分为3类进行讨论，可得出，可知与（）具有相同的奇偶性，由此推导出，为奇数，当，为偶数，，即可确定2025个奇数所在的位置，即可得解； 解法2：当（）时，根据组合数性质计算出的表达式，可知与（）具有相同的奇偶性，由此推导出，为奇数，当，为偶数，，即可确定2025个奇数所在的位置，即可得解. 【详解】（1）（i）当时，可以选取，合计3种选法，于是； 当时，可以选取，合7种选法，于是． （ii）解法1：当时，个座位的“社交排位”，可以分成两类： ①不包含号座位，此时，这便是个座位的“社交排位”，有种； ②包含号座位，此时必不包含，剩余被选中的座位来自1，2，…，． 当剩余被选中的座位数为1时，可以为1，2，…，号，有种选法； 当剩余被选中的座位数大于等于2时，此时剩余的位置数对应于个座位的“社交排位”数有种，于是，由递推关系列出下表： n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 3 7 14 26 46 79 133 221 364 596 则当时，有的最小正整数． 解法2：当（）时， 设“社交排位”的座位数为个，则空座位个数为个， 则可将个“社交排位”的座位插入个空座位中形成的个空隙中的个，则个“社交排位”的座位的选取种数为， 且，由于，故， ， 设， （i）， （ii）， 由（i）（ii）得， 所以， ， ∴当即时，不符合题意， 当时，， 当时，， 符合题意的最小正整数为12． （2）解法1：易知， 当时，排成一排的个座位的“社交排位”数，去掉其中同时选取1号，号的方案， 即得到个座位排成一圈的“社交排位”数，即为， 则对应的方案分为3类： ①仅选取1号，号，有1种； ②选取1号，号，以及3，4，…，中的1个位置，有种； ③选取1号，号，以及大于等于2个3，4，…，中的座位，对于这类选取方案， 由于2号与号必不被选，其余3，4，…，的选法数对应于个座位排成一排的“社交排位”数为， 则， ， 又由， 则 ， 则与（）具有相同的奇偶性， 对于，由， ， 有， 则与有不同的奇偶性，与具有相同的奇偶性， 又由为偶数，为奇数，为偶数， 当时，为偶数， 当时，为奇数， 从而为奇数，为偶数， 更为一般的，当，为奇数， 当，为偶数， 又由为偶数， 从（包含）起，每6个一组，由3个偶数3个奇数构成， 则2025个奇数出现在第675组第3个数，即． 解法2：当（）时， ， 当时， ， 于是 ， 当（）时， ， ， 则与（）具有相同的奇偶性， 对于，由， ， 有， 则与有不同的奇偶性，与具有相同的奇偶性， 又由为偶数，为奇数，为偶数， 当时，为偶数， 当时，为奇数， 从而与为奇数，为偶数， 更为一般的，当，为奇数， 当，为偶数， 又由为偶数，从（包含）起，每6个一组，由3个偶数3个奇数构成， 则2025个奇数出现在第675组第3个数，即． 16．（2025·广东揭阳·二模）已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为. (1)写出，，以及，； (2)证明：数列是等比数列； (3)若，证明：对任意的都有. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【难度】0.4 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、数列新定义、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据数列新定义直接写出答案即可； （2）分析得，在作差相除即可证明； （3）分为奇数和偶数讨论得到，再次对分类讨论并合理放缩即可证明. 【详解】（1）由题意得， 所以． （2）由题得， 所以，，，， 因此中的数对必由中的数对经运算得到， 中的数对必由中的0或数对经运算得到， 因为是数组，其中有一半的项为0，即个0，经过两次运算能在中产生个数对， 因为中数对的个数为个，经过两次运算能在中产生个数对， 所以，即， 所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （3）当为奇数时，， 累加得， 因为，所以（为奇数）． 当为偶数时，， 累加得， 因为，所以（为偶数）． 所以， 故． 因为当且为偶数时， . ①当时，； ②当且为奇数时， ； ③当且为偶数时，因为对任意的都有， 所以 综上所述，对任意的都有． 17．（2025·广东湛江·二模）已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”． (1)若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由； (2)若数列是“上界m数列”，求m的最小值； (3)若，且．证明：数列是“上界1数列”． 【答案】(1)不是“上界1数列”，理由见解析 (2)2 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、数列新定义 【分析】（1）求出，再根据新定义判断即可； （2）根据为“上界m数列”的定义判断即可； （3）由已知可得，则再证明即可，当时成立，当时，由可得，由裂项相消法求和可得，可得，得证. 【详解】（1）由题可知，， 因为，所以， 则，则，从而不是“上界1数列”． （2）因为， 又数列是“上界m数列”，所以恒成立． 又， 所以，即m的最小值为2． （3）因为，所以， ，则，从而． 要证数列是“上界1数列”，需证， 当时，由，得． 当时，由，得，则， 整理得， 则， 则，即． 因为，所以，则， 则，从而， 所以数列是“上界1数列”． 18．（2025·广东佛山·二模）在等差数列和等比数列中，和是下表第i行中的数（），且，，中的任何两个数不在同一列，，，中的任何两个数也不在同一列. 第一列 第二列 第三列 第四列 第一行 1 2 3 4 第二行 5 6 7 8 第三行 9 10 11 12 (1)请问满足题意的数列和各有多少个？写出它们的通项公式（无需说明理由）； (2)若的公比为整数，且.数列满足，求的前n项和. 【答案】(1)满足题意的数列有4个，分别为，，，；满足题意的数列有2个，分别为，； (2) 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的性质及题目中的数据分别求出数列的通项公式，即可解答； （2）结合（1）求出，裂项为，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）对于等差数列，设公差为d， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 满足题意的数列有4个，分别为，，，； 对于等比数列，设公比为q， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 满足题意的数列有2个，分别为，； （2）因为的公比为整数，由（1）知，则，所以， 所以，所以， 所以， 所以的前n项和. 19．（2025·广东佛山·二模）对于数列，若，使得，都有成立，则称为“三和定值数列”．已知为“三和定值数列”，且，，． (1)求，，； (2)已知为数列的前项和，求． 【答案】(1)，，； (2) 【难度】0.4 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】（1）由题意可得，依次代入，即可求解； （2）设，由题意可得，从而得，再根据数列的通项公式求出，即可得答案. 【详解】（1）解：因为，，， 所以， 所以，解得； 又，解得； 又，解得； 所以，，； （2）解：因为， 设，则有， 所以，则， 又因为， 所以， 即， 又， ， ， ， ， 所以， 所以， 所以 . 20．（2025·广东肇庆·二模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为.例如：函数列可以记为.记为的导函数. (1)若.证明：为等差数列. (2)已知定义在上的函数列满足，且对任意的，都有. （i）设，证明：的充要条件是. （ii）取定正数，使数列是首项和公比均为的等比数列，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】充要条件的证明、利用导数证明不等式、判断等差数列、数列新定义 【分析】（1）求导得，利用等差数列的定义判断即可； （2）令，求导可得在上单调递增，可得当时，，（i）再证明充分性与必要性即可. （ii）由题意可得，只需证，构造函数，求导利用单调性可得，求解即可. 【详解】（1）由题知，所以， 记，因为， 所以为等差数列，即是首项为，公差为的等差数列. （2）令，则. 所以在上单调递增，所以当时，， 则当时，. （i）充分性：当时，由题知显然成立. 必要性：若，则由时，，得， 则，所以. 因为，所以. 所以的充要条件是. （ii）由题知，且，则， 两边取自然对数得，则需. 考虑函数， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 因为在上单调递减，所以， 所以， 则，即. 【点睛】关键点点睛：第二问2小问通过转化即证，从而转化为恒成立问题，构造函数，求得最大值即可. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$