专题04 函数与导数-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）

专题04 函数与导数 题型概览 题型01 求切线方程 题型02 求函数的极值与最值 题型03 函数的零点与极值点的个数问题 题型04 导数与三角函数综合应用 题型05 导数与数列综合应用 求切线方程题型01 1．（2025·广东湛江·二模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法 【分析】求导，可得，结合导数的几何意义求切线方程. 【详解】由，得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为． 故选：B. 2．（2025·广东茂名·二模）已知函数，. (1)若，求图象在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，结合区间讨论函数的单调性，进而即可. 【详解】（1）当时，， 则，则，又， 所以函数在点处的切线方程为， 即. （2）由，， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，函数在上单调递减， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 若，即时，函数在上单调递增， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； 若，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则，解得. 综上所述，． 3．（2025·广东汕头·二模）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若函数和的图象在公共点处的切线相同，证明：函数的图象在处的切线平行于轴． 【答案】(1)的增区间为与，减区间为 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导可得，分，，三种情况讨论可得函数的单调区间； （2）由题意可得，求解即可得结论. 【详解】（1）， 由得：或， 当时，的增区间为，不存在减区间； 当时，列表得 0 0 所以的增区间为与，减区间为； 当时，列表得 0 0 所以的增区间为与，减区间为； （2）由题设得， 解得：， 即的图象在处的切线平行于轴． 4．（2025·广东·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有三个零点， ①求的取值范围； ②判断与的大小关系，并给出证明. 【答案】(1) (2)①；②，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的几何意义代入计算，即可得到结果； （2）①由条件可得有三个零点等价于在上有且只有一个零点，然后转化为的零点，然后利用导数即可判断；②结合①中的结论，考虑函数的单调性即可证明. 【详解】（1）当时，，， 则，所以，切点， 则切线方程为. （2）①当时，即， 则， 且， 若有三个零点等价于在上有且只有一个零点， 令，则，函数的零点与有相同的零点，又在上零点情况等价于在上零点情况， ， 当时，， 在上单调递减，所以，在上无零点，不符合题意， 当时，令， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以在有唯一零点，即在有唯一零点 综上所述，有三个零点时，； ②由①知，时有三个零点，（其中）， 考虑， 令， 则，所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 又函数在上为增函数， 所以. 5．（2025·广东佛山·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a； (2)若图象恒在图象的上方，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究不等式恒成立问题、已知切线（斜率）求参数 【分析】（1）应用导数的几何意义求得切线为，，根据切线重合列方程求参数值； （2）问题化为在上恒成立，导数研究右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则，则切线为， 由，令，可得且， 则，所以切线为，则， 曲线在点处的切线与曲线也相切，则； （2）由图象恒在图象的上方，则恒成立， 所以在上恒成立， 对应，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，故. 题型02 求函数的极值与最值 6．（2025·广东湛江·二模）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，讨论的单调性． 【答案】(1)极大值，无极小值； (2)答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导函数，根据函数在的单调性即可求出极值； （2）利用导函数，分类讨论在不同取值范围时，根据导数正负得出函数的单调性. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则． 当时，单调递增；当时，单调递减． 故当时，取得极大值，无极小值． （2）由， 得． 令，得或． 若，则， 当时，单调递增；当时，单调递减． 若，则， 当和时，单调递减；当时，单调递增． 若，则在上恒成立，单调递减． 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间． 7．（2025·广东佛山·二模）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，若对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）求导之后分和讨论得到单调性即可； （2）由条件得到时函数极小值，令极小值大于零，得到关于的不等式，再构造函数，求导分析单调性得到最值即可. 【详解】（1）， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）可得时，当时，函数取得极小值，又，若对任意的恒成立，不符合题意， 所以当，，即， 即，即， 代入， 设，则， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以的最小值为. 8．（2025·广东广州·二模）已知函数（，且）. (1)若，直线与曲线和曲线都相切，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)8 (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）解法1：设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的意可求得，进而求得切线方程，联立切线与，利用可求解；解法2：设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的意可求得，进而求得切线方程，设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的几何意义可求解； （2）解法1：当时，计算可得，不符合题意，当时，由题意可得，令，利用导数可求得的最小值，可求解.解法2：由题意可得，令，利用导数求得的最小值即可. 【详解】（1）解法1：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 由得， 由，解得或（舍去）， 当时，得，符合题意， 所以. 解法2：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 当时，函数的定义域为， 设直线与曲线的切点坐标为， 由，得，得. 得，即， 则. 解得. （2）解法1：①当时，则函数的定义域为. 由于， 则，不符合题意. 所以不符合题意. ②当时，则函数的定义域为. 显然. 当时，由，得，即. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 解法2：当时，由，得，即， 得. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 9．（2025·广东清远·二模）在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则曲线的弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率．（其中，分别表示在点处的一阶，二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； (2)求抛物线在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，若且，处的“柯西曲率”相同，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义、基本初等函数的导数公式、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）根据函数新定义求解即可； （2）由函数新定义先求一阶导数，再求二阶导数，然后代入公式计算可得； （3）先由函数新定义得到令，，则，再设，则，然后构造函数，求导分析单调性，再次构造函数，求导后三次构造函数，求导分析单调性得到最小值即可得出结果. 【详解】（1）易知单位圆上圆心角为的圆弧，， 所以． （2）由题意，因为在第一象限，所以， ，， 故，，故． （3），， 故，其中， 令，，则， 设，则， 令，， 时，，在上递减， 时，，在上递增， 故； 令， ， 令， 则，当时，恒成立， 故在上单调递增， 可得，即， 故有， 则在上递增， 故， 故的最小值为． 函数的零点与极值点的个数问题题型03 10．（2025·广东汕头·二模）若函数有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、根据极值点求参数 【分析】根据函数的组成，结合函数的性质分析，可得函数在对称轴和分界点两处取得极值，列出不等式组，解之即得. 【详解】因时，，函数图象的对称轴为，当时函数在时取得极大值， 又因时，，由函数的性质，可知要使还有一个极值，必须使， 则由，可得. 故选：B. 11．（2025·广东清远·二模）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式、正弦函数图象的应用 【分析】利用辅助角公式化简后，根据正弦函数的图象与性质列出不等式求解即可. 【详解】因为， 且当时，， 因为函数在内恰有3个最值点和3个零点， 所以，解得， 故选：D． 12．（2025·广东肇庆·二模）（多选题）已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】A，B选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解； C选项，解法1：先利用整体代入法，消，再利用单调性证明；解法2：利用为极小值点，通过证明； D选项，利用消元，转化为，利用单调性证明； 【详解】易知， 令，则. 令，则.设， 由对勾函数的图象可知： 当时，与的图象有两个交点， 因为，故不成立，故A错误； 设，则①， 设为①式的两根，则，即②， ③. 由③式可知，所以，则， 故B正确； 解法1：由②式可知， 令， 则， 则在上单调递减，所以， 故，所以不存在实数使得，故C错误； 解法2：，，， 可得为区间的极小值点，则必有，故C错误； 由③式可知，所以， 要证 ， 仅需证明成立. 令，则. 则在上单调递增，所以， 故，故D正确. 故选：BD. 13．（2025·广东茂名·二模）已知为常数，且． (1)若，求函数的单调区间； (2)若方程有且仅有2个不等的实数解，求的值． 【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为. (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究方程的根 【分析】（1）直接代入求导即可得到其单调区间； （2）求导得到其单单调性，再跟三次函数特点得到，解出方程即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当和时，单调递增； 当时，单调递减， 所以的单调增区间为和，单调减区间为. （2）因为方程有2个不同的实数解，所以有2个零点， 又由（1）可知，，因为， 则当，，当，， 则在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以， 解得或或或， 又，所以. 导数与三角函数的综合应用题型04 14．（2025·广东湛江·二模）若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式 【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可. 【详解】， 其中,且为锐角， 因为在上单调递增，且， 所以，则的最大值为， 此时． 故选：D. 15．（2025·广东佛山·二模）（多选题）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．最大值为1 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含cosx的函数的单调性、求含cosx的函数的最小正周期、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】根据三角函数的性质确定的关系判断A；应用奇偶性定义判断B；由特殊值判断C；由，应用换元法及分式不等式的性质求函数的值域判断D. 【详解】由，显然不是的周期，A错； 由的定义域为R，且，所以为奇函数，B对； 由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错； 由， 令，则，且， 若，则，又在、上都单调递减， 在上，，在上，， 所以的最大值为1，D对. 故选：BD 16．（2025·广东·二模）（多选题）已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（） A． B．直线是曲线的对称轴 C．在区间内有两个极值点 D．曲线与直线所围成封闭图形的面积为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】对于A，利用辅助角公式，结合图象变换可得到；对于B，只需验证是否为最小值或最大值即可；对于C，利用换元法判断在上的极值点即可；对于D，由周期性及对称性可求封闭图形的面积. 【详解】对于A，， 向右平移个单位长得度，故A正确； 对打B，由A知， 是曲线的对称轴，故B正确； 对于当时， 在单调递增，在单调递减， sint在只有1个极值点，故只有1个极值点，故错误； 对于D，的最小正周期为，而的距离为， 所以围成的矩形面积为 又为轴对称及中心对称图形， 所围成封闭图形的面积为，故D还确. 故选：ABD 17．（2025·广东广州·二模）已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、根据极值点求参数 【分析】题可得极值点满足或，由此画出图象，可得极值点个数，进而可得，据此可得答案. 【详解】 ，则或. 如图，画出图象， 结合图象可知在两侧附近正负相反，可得极值点有8个. 则互为相反数，因， 则，又注意到， 则. 故选：B 导数与数列的综合应用题型05 18．（2025·广东深圳·二模）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为． (1)写出与的递推关系式； (2)记的零点为r，且． （i）证明：当时，； （ii）证明：对于任意的，都有． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、累乘法求数列通项 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点处的切线方程，令即可求解； （2）（i）易知当时，当时，利用导数和零点的存在性定理证明在上单调递增，进而，即可证明；（ii）由（i）知当时，令，只需证.令（），利用3阶导数研究的单调性可得，结合累乘法计算即可证明. 【详解】（1），， 则函数在点处的切线方程为 ， 令，得． （2）（i）当时，， 当时，，单调递增， 又因为， 所以有唯一的零点，其中． 令，则， 当时，，故在上单调递增． 因为，所以． 因为在上单调递增，所以当时，， 又因为，所以， 即证得：当时，． （ii）由（i）知：因为，从而，进而， 由此递推可知：当时，， 令， 下面证明：对于任意的，都有成立， 即． 因为，所以只需证明， 即， 令，其中， 则， 因为， 所以，故， 从而在上单调递增，可知， 故在上单调递增，因此， 因为，故， 即对于任意的，都有成立， 由此可得：， 所以对于任意的，都有． 19．（2025·广东肇庆·二模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为.例如：函数列可以记为.记为的导函数. (1)若.证明：为等差数列. (2)已知定义在上的函数列满足，且对任意的，都有. （i）设，证明：的充要条件是. （ii）取定正数，使数列是首项和公比均为的等比数列，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、数列新定义、充要条件的证明、判断等差数列 【分析】（1）求导得，利用等差数列的定义判断即可； （2）令，求导可得在上单调递增，可得当时，，（i）再证明充分性与必要性即可. （ii）由题意可得，只需证，构造函数，求导利用单调性可得，求解即可. 【详解】（1）由题知，所以， 记，因为， 所以为等差数列，即是首项为，公差为的等差数列. （2）令，则. 所以在上单调递增，所以当时，， 则当时，. （i）充分性：当时，由题知显然成立. 必要性：若，则由时，，得， 则，所以. 因为，所以. 所以的充要条件是. （ii）由题知，且，则， 两边取自然对数得，则需. 考虑函数， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 因为在上单调递减，所以， 所以， 则，即. 【点睛】关键点点睛：第二问2小问通过转化即证，从而转化为恒成立问题，构造函数，求得最大值即可. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数与导数 题型概览 题型01 求切线方程 题型02 求函数的极值与最值 题型03 函数的零点与极值点的个数问题 题型04 导数与三角函数综合应用 题型05 导数与数列综合应用 求切线方程题型01 1．（2025·广东湛江·二模）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·二模）已知函数，. (1)若，求图象在点处的切线方程； (2)若函数在上的最小值是，求的值. 3．（2025·广东汕头·二模）已知函数，． (1)求函数的单调区间； (2)若函数和的图象在公共点处的切线相同，证明：函数的图象在处的切线平行于轴． 4．（2025·广东·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有三个零点， ①求的取值范围； ②判断与的大小关系，并给出证明. 、 5．（2025·广东佛山·二模）已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a； (2)若图象恒在图象的上方，求a的取值范围. 题型02 求函数的极值与最值 6．（2025·广东湛江·二模）已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，讨论的单调性． 7．（2025·广东佛山·二模）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，若对任意的恒成立，求的最小值． 8．（2025·广东广州·二模）已知函数（，且）. (1)若，直线与曲线和曲线都相切，求的值； (2)若，求的取值范围. 9．（2025·广东清远·二模）在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则曲线的弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率．（其中，分别表示在点处的一阶，二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； (2)求抛物线在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，若且，处的“柯西曲率”相同，求的最小值． 函数的零点与极值点的个数问题题型03 10．（2025·广东汕头·二模）若函数有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·广东清远·二模）已知函数在内恰有3个最值点和3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·广东肇庆·二模）（多选题）已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 13．（2025·广东茂名·二模）已知为常数，且． (1)若，求函数的单调区间； (2)若方程有且仅有2个不等的实数解，求的值． 导数与三角函数的综合应用题型04 14．（2025·广东湛江·二模）若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 15．（2025·广东佛山·二模）（多选题）已知函数，则（    ） A．最小正周期为 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．最大值为1 16．（2025·广东·二模）（多选题）已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（） A． B．直线是曲线的对称轴 C．在区间内有两个极值点 D．曲线与直线所围成封闭图形的面积为 17．（2025·广东广州·二模）已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 导数与数列的综合应用题型05 18．（2025·广东深圳·二模）已知函数，函数图象上的一点，按照如下的方式构造切线：在点处作的切线，记切线与x轴交点的横坐标为． (1)写出与的递推关系式； (2)记的零点为r，且． （i）证明：当时，； （ii）证明：对于任意的，都有． 19．（2025·广东肇庆·二模）把一列函数按一定次序排列称为函数列，记为.例如：函数列可以记为.记为的导函数. (1)若.证明：为等差数列. (2)已知定义在上的函数列满足，且对任意的，都有. （i）设，证明：的充要条件是. （ii）取定正数，使数列是首项和公比均为的等比数列，证明：. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$