专题03 函数的概念与基本初等函数-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）

专题03 函数的概念与基本初等函数 题型概览 题型01 函数的单调性与奇偶性的应用 题型02 指数函数与对数函数 题型03 抽象函数 题型04 分段函数 题型05 函数与方程 函数的单调性与奇偶性的应用题型01 1．（2025·广东湛江·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东肇庆·二模）（多选题）下列函数中是奇函数且是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·二模）若函数（，且）是偶函数，且，则 . 4．（2025·广东清远·二模）已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 指数函数、对数函数题型02 5．（2025·广东广州·二模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东深圳·二模）已知函数（a为常数），则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 7．（2025·广东佛山·二模）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·广东·二模）（多选题）设函数，则（    ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．函数在其定义域上为增函数 9．（2025·广东肇庆·二模）（多选题）已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 抽象函数题型03 10．（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 11．（2025·广东揭阳·二模）已知定义在上的函数，对任意满足，且当时，.设，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·广东·二模）设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．45 C． D． 13．（2025·广东深圳·二模）（多选题）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的最大值为 14．（2025·广东汕头·二模）（多选题）已知函数的定义域为且，，则（    ） A． B． C．为的极小值点 D．是偶函数 分段函数题型04 15．（2025·广东茂名·二模）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·广东汕头·二模）若函数有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是 . 函数与方程题型05 18．（2025·广东广州·二模）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·广东佛山·二模）设函数，，曲线和恰有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 20．（2025·广东佛山·二模）已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为 ；若，则的最大值为 . 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数的概念与基本初等函数 题型概览 题型01 函数的单调性与奇偶性的应用 题型02 指数函数与对数函数 题型03 抽象函数 题型04 分段函数 题型05 函数与方程 函数的单调性与奇偶性的应用题型01 1．（2025·广东湛江·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用奇函数、函数的单调性以及函数的零点转化待求不等式，求解即得. 【详解】因为， 所以在上单调递增，且． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且． 由，可得或，解得或． 即的解集为. 故选：B. 2．（2025·广东肇庆·二模）（多选题）下列函数中是奇函数且是周期函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的定义域及奇偶性的定义和周期函数的定义即可判断. 【详解】若，定义域为， 则是奇函数， 是周期函数，故A正确； 若，则，故不是奇函数，故B错误； 若，定义域为， 则， 故不是奇函数，故C错误； 若，定义域为， 则是奇函数， 是周期函数，故D正确. 故选：AD. 3．（2025·广东广州·二模）若函数（，且）是偶函数，且，则 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】对数的运算、由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义可求得，进而可得，计算可求得的值. 【详解】因为是偶函数，则，可得， 所以，所以或， 则（舍去）或，所以， 又，所以，所以，又，解得. 故答案为：. 4．（2025·广东清远·二模）已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式求和的最小值 【分析】先分析函数的奇偶性和单调性，结合函数性质可得的关系，再利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为， 所以， ， 所以函数为奇函数且为增函数，. 由可得，即为. 因为，所以．当且仅当，时取等号． 故答案为：4 指数函数、对数函数题型02 5．（2025·广东广州·二模）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）.轻柔音乐的声强一般在之间，则轻柔音乐的声强级范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数函数模型的应用（2） 【分析】依题意可得，即可求出的范围，从而得解. 【详解】依题意可得，所以，所以， 所以，即轻柔音乐的声强级范围是. 故选：C 6．（2025·广东深圳·二模）已知函数（a为常数），则（   ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为增函数 D．为减函数 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】通过对函数进行相应的运算，结合奇偶性的定义判断奇偶性；对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性. 【详解】对于A，首先求：已知， 若为奇函数，则恒成立，即恒成立. 因为恒成立，所以，解得，所以为奇函数，选项A错误. 对于B，接着求：已知， 若为偶函数，则恒成立，即恒成立. 因为不恒为，所以，解得，所以为偶函数，选项B正确.   对于C，D，对求导得. 当时，，，所以，则为增函数. 当时，令，即，则，，解得. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以选项C、D错误.   故选：B. 7．（2025·广东佛山·二模）已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】充分条件的判定及性质、由奇偶性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据奇函数的性质求参数值，结合指数等相关的函数性质判断的区间单调性判断充分性；根据的单调性，结合指数等相关的函数性质求参数判断必要性，即可得. 【详解】若的奇函数，则，即恒成立， 所以，则，在上单调递增， 所以在上是减函数，充分性成立； 若在上是减函数，在上单调递增， 所以，故，此时不一定有，必要性不成立； 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A 8．（2025·广东·二模）（多选题）设函数，则（    ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．函数在其定义域上为增函数 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、复合函数的最值 【分析】先化简的解析式然后根据奇函数的定义去判断奇偶性；对于B选项直接代入对应的函数解析式即可判断；对于C选项先化简函数解析式再根据二次函数反比例函数性质去求值域；对于D选项先化简函数解析式再利用复合函数单调性去求单调性. 【详解】， 令，此函数定义域为， ，故此函数为奇函数，A正确； ； ，B正确； ，令，则， 因为所以由二次函数性质可知，由反比例函数性质可知 所以，即， 所以函数的值域为，C正确； ，令， ， 由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且 由反比例函数单调性可知： 随的增大而减小， 故当当时即时为减函数，故D错误. 故选：ABC 9．（2025·广东肇庆·二模）（多选题）已知函数有两个极值点，则（    ） A．或 B． C．存在实数，使得 D． 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】A，B选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解； C选项，解法1：先利用整体代入法，消，再利用单调性证明；解法2：利用为极小值点，通过证明； D选项，利用消元，转化为，利用单调性证明； 【详解】易知， 令，则. 令，则.设， 由对勾函数的图象可知： 当时，与的图象有两个交点， 因为，故不成立，故A错误； 设，则①， 设为①式的两根，则，即②， ③. 由③式可知，所以，则， 故B正确； 解法1：由②式可知， 令， 则， 则在上单调递减，所以， 故，所以不存在实数使得，故C错误； 解法2：，，， 可得为区间的极小值点，则必有，故C错误； 由③式可知，所以， 要证 ， 仅需证明成立. 令，则. 则在上单调递增，所以， 故，故D正确. 故选：BD. 抽象函数题型03 10．（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和 【分析】由题意可得是以为首项，2为公比的等比数列，从而可得，利用错位相减法可求得，可求解. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以 所以， 所以， 所以，又，， 所以使得成立的最小整数为. 故选：B. 11．（2025·广东揭阳·二模）已知定义在上的函数，对任意满足，且当时，.设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】设，则有.根据已知可得出，从而得出函数在上单调递减.构造函数，利用导函数证明在上恒成立.进而分以及讨论，即可得出答案. 【详解】设，则有. 当时，由已知可得， 化简可得. 又由已知当时，可得，， 所以. 所以，在上单调递减. 又时，构造， 则在上恒成立， 所以，恒成立， 所以在上恒成立. 所以，有在上恒成立； 当时，有，所以有，即； 当时，，此时有，即. 综上所述，. 故选：D. 12．（2025·广东·二模）设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（    ） A．55 B．45 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求函数值、求等差数列前n项和、写出等比数列的通项公式 【分析】利用函数恒等式的赋值思想，找到，从而转化为等比数列，再利用数列思想求和即可. 【详解】令可得， 再令可得， 又因为，所以， 再令可得， 又因为，所以有， 即是等比数列，则有首项，公比， 所以，即， 则， 故选：C. 13．（2025·广东深圳·二模）（多选题）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的最大值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】令，可判断A选项，令可得出，再令，可求出的值，可判断B选项；利用偶函数的定义可判断C选项；令，可得出，求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，令，则，解得，A错； 对于B选项，令，则，即， 所以， 令，，可得，即， 即，故，B对； 对于C选项，因为， 同理有， 所以， 若，设， 令，则， 再令， 则， 所以函数的零点关于y轴对称； 若，则， 令有， 故函数为偶函数，C对； 对于D选项，令，则， 所以，可得，故函数的最大值为，D对. 故选：BCD. 14．（2025·广东汕头·二模）（多选题）已知函数的定义域为且，，则（    ） A． B． C．为的极小值点 D．是偶函数 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求函数值、抽象函数的奇偶性、函数极值点的辨析 【分析】通过赋值法可逐一验证A，B，D，对于C，只需举反例即可判断. 【详解】在中， 对于A，令，则，，A正确； 对于B，令，则，В错误； 对于C，若函数为，显然符合题意，此时无极小值点，C错误； 对于D，令，则，则， 令，则，故是偶函数，D正确． 故选：AD. 分段函数题型04 15．（2025·广东茂名·二模）已知函数，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、由对数函数的单调性解不等式、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】先讨论当时，不等式转化为，确定函数在时的单调性得最值即可得此时的取值范围，再根据此范围确定当时，函数的单调性，从而得最值得的取值范围，综合可得结论. 【详解】当时，不等式为，即， 因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以； 由于，则当时，函数在上单调递减， 所以，解得，所以； 综上，的取值范围是. 16．（2025·广东汕头·二模）若函数有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分段函数的性质及应用、根据极值点求参数 【分析】根据函数的组成，结合函数的性质分析，可得函数在对称轴和分界点两处取得极值，列出不等式组，解之即得. 【详解】因时，，函数图象的对称轴为，当时函数在时取得极大值， 又因时，，由函数的性质，可知要使还有一个极值，必须使， 则由，可得. 故选：B. 17．（2025·广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】分别求出函数在各段上的最小值，再比较即可求出． 【详解】当时，单调递减，所以. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调增， 所以. 综上所述，的最小值是. 故答案为：. 函数与方程题型05 18．（2025·广东广州·二模）已知函数若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】当时，对函数求导，对参数的取值进行分类讨论，大致画出分段函数的图象，再由数形结合即可得出实数的取值范围. 【详解】易知当时，函数单调递增，且; 当时，函数，易知, 显然当时，恒成立，即在上单调递增； 当时，；当时，， 此时函数的图象大致如下图所示：    若函数恰有2个零点，即函数的图象与有两个交点， 由上图可知； 当时，根据对勾函数性质可知， 当且仅当时，等号成立； 此时其图象大致如下图：    显然函数的图象与没有交点，不合题意； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：B 19．（2025·广东佛山·二模）设函数，，曲线和恰有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由得到，构造函数，利用的单调性、奇偶性及的性质，结合条件，即可求解. 【详解】由，得到，当时，得到，不满足题意， 则，由，得到， 令，则，易知时，，时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，则， 又的定义域为，且，即的偶函数，其图象如图， 又易知为偶函数，若，则， 此时，与的交点个数为个或交点成对出现，不合题意， 所以，且，解得，    故选：B. 20．（2025·广东佛山·二模）已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为 ；若，则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、求零点的和 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合可得参数范围，进而有，且，，即可得，最后应用导数求最大值. 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由有三个零点，则， 由，而，则， 又，则，， 则，且， 对于且，则， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 所以， 综上，最大值. 故答案为：，. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$