专题02 排列组合与二项式定理-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）

专题02 排列组合、二项式定理、概率（选填） 题型概览 题型01 二项式定理 题型02 排列组合 题型03 条件概率 题型04 古典概率 二项式定理题型01 1．（2025·广东广州·二模）的展开式中的系数为（    ） A．24 B． C． D． 2．（2025·广东茂名·二模）二项式的展开式中的系数为（   ） A． B． C．40 D．80 3．（2025·广东深圳·二模）（多选题）对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东肇庆·二模）在的展开式中，所有项的系数和为 . 5．（2025·广东清远·二模）展开式中的常数项为 ． 题型02 排列组合 6．（2025·广东清远·二模）一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有 种．（用数字作答） 7．（2025·广东湛江·二模）4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有 种． 条件概率题型03 8．（2025·广东·汕头·二模）某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4 9．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 古典概率题型04 11．（2025·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·广东深圳·二模）将五张标有、、、、的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按取走卡片的顺序是“和谐序”，按取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 ． 13．（2025·广东佛山·二模）学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·广东广州·二模）一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为 . 15．（2025·广东茂名·二模）两个不透明的袋子中均装有1个红球，2个白球，2个黑球（除颜色外，质地大小均相同），从两个袋子中同时取出1个球（取出的球不放回袋中），若两球颜色相同，则记1分，否则记0分，则取球5次后，总得分大于2的概率为 . 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 排列组合、二项式定理、概率（选填） 题型概览 题型01 二项式定理 题型02 排列组合 题型03 条件概率 题型04 古典概率 二项式定理题型01 1．（2025·广东广州·二模）的展开式中的系数为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】求出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】因为展开式的通项为， 所以的系数为． 故选：D. 2．（2025·广东茂名·二模）二项式的展开式中的系数为（   ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【分析】由二项式定理的通项公式列方程，求出，求出项的系数即可． 【详解】由二项式定理的通项公式得：， 令，解得：，所以的系数为：， 故选：B． 3．（2025·广东深圳·二模）（多选题）对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】二项式定理与数列求和 【分析】根据的定义逐项判断即可. 【详解】对A，∵，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，∵设， ， 增加了，两项系数为0，∴ ，故C正确； 对于D，∵， ∴，故D错误； 故选：ABC. 4．（2025·广东肇庆·二模）在的展开式中，所有项的系数和为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】二项展开式各项的系数和 【分析】令，可得所有项的系数和. 【详解】令，可得所有项的系数和为. 故答案为：. 5．（2025·广东清远·二模）展开式中的常数项为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指定项的系数 【分析】先求出二项式展开式的通项，然后赋值求得，即可求解常数项. 【详解】展开式的通式为， 令，得，所以常数项为． 故答案为： 题型02 排列组合 6．（2025·广东清远·二模）一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点的跳法共有 种．（用数字作答） 【答案】9450 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的组合计数问题、分类加法计数原理 【分析】结合题意先分三类，每类由乘法原理结合组合数计算，再由分步加法原理求和. 【详解】 质点第10秒末到达点共跳了10次，可分三类情况讨论： 第一类，向右跳4次，向上跳4次，向下跳2次，有种； 第二类，向右跳5次，向左跳1次，向上跳3次，向下跳1次，有种； 第三类，向右跳6次，向左跳2次，向上跳2次，有种； 根据分类计数原理得，共有（种）． 故答案为：9450. 7．（2025·广东湛江·二模）4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有 种． 【答案】408 【难度】0.65 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、不相邻排列问题、分类加法计数原理 【分析】先排医生，分两类，医生甲不站在医生的最左端和医生甲站在医生的最左端，再将2名护士插空，即可求解. 【详解】若医生甲不站在医生的最左端则有种不同的站法， 若医生甲站在医生的最左端，则有种不同的站法，故不同的站法共有种． 故答案为：408. 条件概率题型03 8．（2025·广东·汕头·二模）某学校有、两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】应用全概率公式计算求解. 【详解】记“第1天去餐厅”，“第1天去餐厅”，“第2天去餐厅”， 则由全概率公式得：． 故选：A. 9．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了分，受到爸爸表扬的概率为，受到妈妈表扬的概率也为，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】相互独立事件的概率，采用乘法公式，正面分类复杂，求对立事件（小王不被表扬）的概率可得解. 【详解】记小王受到爸爸表扬为事件，小王受到妈妈表扬为事件，小王受到表扬为事件， 小王同学受爸爸表扬和受妈妈表扬相互独立，则. 故选：C. 10．（2025·广东佛山·二模）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率、计算条件概率 【分析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，根据条件求出，，，，利用全概率公式，即可求解；再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又， 故答案为：. 【点晴】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，再由全概率公式及贝叶斯公式进行求解. 古典概率题型04 11．（2025·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、递推法求概率 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第次球在甲手中的概率表达式，代入计算即可. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”， 那么由题意可知：，又， 所以，构造等比数列， 因为第一次由甲传球，可认为第次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故， 则. 故选：C. 12．（2025·广东深圳·二模）将五张标有、、、、的卡片摆成右图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按取走卡片的顺序是“和谐序”，按取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分类加法计数原理、计算古典概型问题的概率、全排列问题 【分析】对抽卡片的顺序进行分类讨论，结合分步乘法计数原理、分类加法计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片， 第二步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片， 第三步，从号或号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片， 第四步，从号或号卡片抽取一张，有种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种； （2）第一步，抽号卡片， 第二步，从、、号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片， 第三步，从、号卡片抽取一张，有种情况，比如先抽号卡片， 第四步，从、号卡片抽取一张，有种情况， 第五步，抽最后一张卡片， 此时，不同的抽法种数为种. 而从张卡片随意抽取，不同的抽法种数为， 因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为. 故答案为：. 13．（2025·广东佛山·二模）学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分组分配问题、计算古典概型问题的概率 【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式确定满足题意的概率值即可. 【详解】由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为：， 所有的分组组数为：， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：. 故选：C. 14．（2025·广东广州·二模）一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】求得总的取法数，进而求得符合条件的取法数，利用古典概型概率公式可求解. 【详解】每次均有4种不同的取法，故总的取法数有种， 这列数中恰有3个不同整数，则必有一个数取了2次， 故这列数中恰有3个不同整数的取法数有种， 故这列数中恰有3个不同整数的概率为. 故答案为：. 15．（2025·广东茂名·二模）两个不透明的袋子中均装有1个红球，2个白球，2个黑球（除颜色外，质地大小均相同），从两个袋子中同时取出1个球（取出的球不放回袋中），若两球颜色相同，则记1分，否则记0分，则取球5次后，总得分大于2的概率为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】独立重复试验的概率问题 【分析】先固定一个袋子中的取球顺序为红白白黑黑，再分得3分，4分，5分时第二外袋子的每种排列数可求概率. 【详解】不妨先固定其中一个袋子中的取球顺序为红白白黑黑， 则另一个袋子的取球可能总数为， 得分为3分的情况为：红白黑黑白，其中第2，3位可交换顺序， 第4，5位可以交换顺序，所以总数为， 黑白白黑红，其中第4，5位可以交换顺序，白白黑黑红，其中第2，3位可交换顺序且黑白可以交换顺序，所以总数为， 得分为4分的情况不存在，得分为5分的情况为：红白白黑黑，1种情况， 所以总得分大于2的概率为. 故答案为： 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$