第49讲排列与组合 课件-2025年安徽省职教高考数学总复习

第49讲　排列与组合 思维导图 构建 2 　　　能力层级 考试内容　　　 了解 理解 掌握 排列、排列数公式   排列的定义. 排列数公式，会运用排列数公式解题. 组合、组合数公式   组合的定义. 组合数公式，会运用组合数公式解题. 组合数性质   组合数性质.   解读 考纲考情 3 复习建议： 目前此讲内容还没有列入职教高考《纲要》中，但对于计数的方法是个拓展，并且有助于概率的运算.同学们学会了排列数与组合数的计算对今后学习会有帮助，因此，同学们可根据情况选择性复习. 解读 考纲考情 1.排列的定义：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.m＜n时称为选排列，m＝n时称为全排列. 备考讲义 考点1 排列 核心考点 探究 5 2.排列数：从n个不同的元素中，取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，称为从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用表示. 3.排列数公式：＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，并且m≤n. (1)当m＝n时，＝n(n－1)(n－2)…3×2×1.即从1到n的正整数的连乘积，称为n的阶乘，记作n!.即n!＝＝n(n－1)(n－2) …3×2×1； (2)； (3)0!＝1. 核心考点 探究 例1　计算(1)；(2)；(3). 【试题分析】 本题考查排列数公式的运用. 【解题过程】 (1)＝5×4×3＝60；(2)＝8×7×6×5＝ 1 680； (3)＝6×5×4×3×2×1＝720. 核心考点 探究 例2　某职业学校24级机电(2)班选出了7位同学组成了班委会，要从班委会中再选出3人分别担任班长、团支部书记和副班长，结果一共有多少种方案. 【试题分析】 本题考查对排列意义的理解与排列数的计算. 【解题过程】 本题是从7个不同元素中选出3个元素的排列，所以结果有＝7×6×5＝210(种). 核心考点 探究 例3　现在有7个人站在一排照相，其中甲同学不站在排头，这样站队的方法有多少种? 【试题分析】 本题考查计数原理和排列数的计算. 【解题过程】 解法1：优先考虑甲同学站的位置，可以分两个步骤.第一步，先安排甲站位，有站法；第二步，将剩下的6个同学安排到剩下的6个位置上站，有种站法.根据分步计数原理，甲不站排头的站队方法共有：·＝6×720＝4 320(种). 核心考点 探究 解法2：优先考虑排头的站法，可以分两个步骤.第一步，先安排排头站同学，有种站法；第二步，将剩下的6个位置安排剩下的6个同学站，有种站法.根据分步计数原理，甲不站排头的站队方法共有：·＝6×720＝4 320(种). 解法3：先考虑将7个同学安排站到7个位置上有种方法，再考虑甲站在排头的站法，有种方法.甲不站排头的站队方法共有：＝5 040－720＝4 320(种). 核心考点 探究 跟踪训练1　用0，1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的五位数? 【试题分析】 本题考查的是排列的意义及排列数的计算. 【解题过程】 这题考虑到万位上的数字不能为“0”这种特殊情况，可以用“特优法”，第一步考虑到万位上的数字选法数，除0外，在其他4个数字中任选一个有种方法；第二步，将剩余的4个数字在其余四个数位上全排列，根据分步计数原理，所以组成数字不重复的五位数有·＝96(个). 核心考点 探究 1.组合的定义：从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2.从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示. 备考讲义 考点2 组合 核心考点 探究 3.组合数公式：(1)； (2)，其中m，n∈N*，且m≤n； (3)＝1. 4.组合数的基本性质： (1)(m≤n)； (2). 核心考点 探究 例4　计算(1)；(2)；(3). 【试题分析】 本题考查组合数公式及其性质的运用. 【解题过程】 (1)＝35；(2)＝36； (3) ＝161 700. 核心考点 探究 例5　空间中有5个点，其中任意3个点都不在同一直线上，用这5个点可以组成多少个三角形? 【试题分析】 本题考查对组合意义的理解及组合数公式的运用. 【解题过程】 用符合题意的5个点组成三角形的个数即从5个不同的元素中任取3个不同的元素的组合数.所以组成三角形的个数是＝10(个). 核心考点 探究 例6　“校园文化艺术节”是某职业学校每年必开展的一项活动，某系部经过初选有10件书法作品. (1)从10件作品中挑选4件参加比赛，有多少种选法? (2)从10件作品中挑选4件参加比赛，且甲乙两件作品必选，有多少种选法? 【试题分析】 本题考查的是学生对组合意义的理解及组合数公式的运用. 核心考点 探究 【解题过程】 (1)从10件作品中挑选4件的选法数，即从10个不同的元素中选取4个元素的组合数.所以共有选法＝210(种)； (2)甲乙两件作品必选，只需从8件作品中选取两件就可以了，所以共有选法＝28(种). 核心考点 探究 例7　某班级团支部有20名团员，其中4名还是“三好学生”，现在需选取3名团员去参加“团代会”， (1)选取的3名代表都是“三好学生”的选取方法有多少种? (2)选取的3名代表中恰有两名是“三好学生”的选取方法有多少种? (3)选取的3名代表中至少有1名是“三好学生”的选取方法有多少种? 【试题分析】 本题考查选取元素中有特殊要求的组合数的计算. 核心考点 探究 【解题过程】 (1)选取3名代表都是团员，只能从4名团员中选取3名，即从4个不同元素中选取3个，其选取的方法数就是组合数，所以共有＝4(种). (2)选取3名代表中恰有2名“三好学生”，可以分两步完成，第一步，从4名“三好学生”中选取2名，有种方法，第二步，从16名不是“三好学生”的团员中选取1名，有种选法，根据分步计数原理，共有方法数是×16＝96(种)； (3)选取3名代表中至少有一个是“三好学生”的方法数有 ＝580(种) 核心考点 探究 例8　某党支部有10名中共党员，现在要选派4名党员分别去4个社区进行“文明创建”志愿者服务，每个社区选派一人. (1)若甲乙都去，但丙不去，有多少种不同的选派方案? (2)若甲去，但乙和丙不去，有多少种不同的选派方案? (3)若甲乙丙都不去，有多少种不同的选派方案? 【试题分析】 本题考查计数原理、排列数与组合数的综合运用和计算. 核心考点 探究 【解题过程】 (1)由于甲和乙都去，但丙不去，所以只需从剩余的7人中任选2人，有种方法，又分别去4个社区，每个社区一人，有种方法，根据分步计数原理可知，共有选派方案＝504(种)； (2)由于甲去，但乙和丙不去，所以只需从剩余的7人中任选3人，有种方法，又分别去4个社区，每个社区一人，有种方法，根据分步计数原理可知，共有选派方案＝840(种)； (3)由于甲、乙、丙都不去，所以只需从剩余的7人中任选4人的排列，不同的选派方案有＝840(种). 核心考点 探究 跟踪训练2　(1)从机电专业15名同学中选派3人去参加社团活动，有多少种不同的选派方法? (2)从机电专业15名同学中选派3人去分别参加社团中的象棋、围棋和滑轮3个项目活动，有多少种不同的选派方法? 【试题分析】 本题考查的是学生对排列、组合意义的理解排列数、组合数的计算. 核心考点 探究 【解题过程】 (1)是组合问题，从15名同学中选出3人没有顺序上的要求，所以，选派的方法数即从15个不同元素中选出3个元素的组合数，即＝420(种)；(2)是排列的问题，从15名同学中选出3人，还需将3人分别安排参加3个不同项目的活动有顺序上的要求，所以，选派的方法数即从15个不同的元素中选出3个元素的排列数，即＝2 730(种). 核心考点 探究 跟踪训练3　袋中有8个球，其中红球5个白球3个，从袋中任意抽取3个球： (1)一共有多少种不同取法? (2)如果取出的三个球都是红球的概率是多少? (3)如果取出的三个球中至少有一个白球的概率是多少? 【试题分析】 本题考查的是组合数的计算及概率的计算问题. 核心考点 探究 【解题过程】 (1)是从8个不同元素中任取3个元素的组合问题，所以一共有＝56(种)；(2)“取出的三个球都是红球”这个事件包含的样本点数，即从5个红球中取出3个红球的组合数，即＝10(种)，所以P{取出三个球都是红球}＝；(3)事件“取出三个球中至少有一个白球”包含的样本点数可以用“排除法”：＝46，所以P{取出三个球中至少有一个白球}＝(种). 核心考点 探究 1.“特优法”；“特”指的是特殊元素或特殊位置，“优”指的是优先考虑.即有的位置或有的元素，要求在解题的时候先考虑. 2.“排除法”：{符合条件}＝{所有条件}－{不符合条件}. 3.“捆绑法”：主要解决相邻元素的问题.第一步把要求相邻的元素“捆绑起来”，并成“一个元素”与其他元素一起排列；第二步在“捆绑起来”的元素内部再排，这称为“先总体，再局部”. 归纳 常用结论 26 4.“插空法”：主要解决不相邻的问题，具体方法是先排其他元素，再将不相邻的元素插空安排. 5.“搭配法”：主要解决组合中分类搭配的问题，方法是先分若干类，根据题意进行搭配.要注意的是在搭配过程中，下标之和等于元素总数，上标之和等于所要选出元素个数. 归纳 常用结论 1.将8名同学分成两组：(1)一组5人一组3人，有多少种不同的分组方法?(2)分成人数相等的两组去参加两个社团活动，有多少种不同的分组方法? 【试题分析】 本题考查的是分步计数原理与组合数的计算问题. 【解题过程】 (1)分两步：第一步，从8人中选出5个人有种方法；第二步，将剩下的3人全部选出来有种方法，根据分步计数原理共有·＝56(种)；(2)分两步：第一步，从8个人选出4人去参加一个社团活动有种方法；第二步，将剩下的4人全部选来到另外一个社团参加活动有种方法，根据分步计数原理，共有·＝70(种). 拓展 教材母题 28 2.某单位停车场上有5个停车位，现有3辆小车要停放，如果要求两个空位连在一起，那么停车的方法有多少种? 【试题分析】 本题考查的是求排列数的特殊方法. 【解题过程】 方法1：用“捆绑分”，把两个空位看成一个元素，和另外3辆小车(看成3个元素)放在一起排，即有＝24(种)；方法2：用“插空法”，先停放3辆车子即有种排法，3辆车子排好后应有4个空，把两个空位作为一个元素插进去，即有种方法，根据分步计数原理，应有·＝24(种). 拓展 教材母题 29 $$