3.1 不等式性质（题型专练）数学北师大版2019必修第一册

3.1不等式性质 题型一：不等式的判断 1．已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图可得，应用不等式性质及特殊值法逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：因为，左右乘以，所以， 所以，故A正确； 对于B：由图可得，左右乘以，所以，所以B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，取，所以，故D错误， 故选：A 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断AC，举例说明判断BD. 【详解】A：若，则，故A错误； B：举例，不成立，故B错误； C：由题意知，则，故C正确； D：举例，不成立，故D错误. 故选：C 3．设，若，则下列不等式中不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质及作差法判断A，B，C，再应用特殊值法判断D. 【详解】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，． 5．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 题型二：不等式的性质 1．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对ABC举反例即可判断，对C和D利用作差法即可判断. 【详解】对A，举例，满足，但，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，若，即，故C错误， 对D，，因为，则， 则，即. 故选：D. 2．若，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用特殊值法计算判断A，B，C，根据不等式的性质计算判断D. 【详解】因为，， 当时，，A选项错误； 当时，，B选项错误； 当时，，C选项错误； 因为，所以，又因为，所以，D选项正确； 故选：D. 3．（多选）对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判断选项即可. 【详解】对选项A，因为，所以，， 所以，故A正确； 对选项B，，，所以， 因为，所以，即，故B正确； 对选项C，令，，满足，不满足，. 对选项D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ABD 4．（多选）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质可判断AB，应用作差比较法可判断CD. 【详解】A项，由，得，故A错误； B项，由，得，故B正确； C项，由已知，得，， 则，且， 所以， 则，故C正确； D项， 因为，则， 所以， 即，故D错误. 故选：BC. 题型三：作差法比较大小 1．已知，，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法判断即可. 【详解】因为， 所以． 故选：C 2．设，下列各式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差法判断与0的关系可得到不等关系，即可求得结果. 【详解】对于A，，无法判断，该选项错误； 对于B，，不成立，该选项错误； 对于C，，成立，该选项正确； 对于D，，不成立，该选项错误. 故选：C. 3．已知a，b均为正实数，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作差比较大小. 【详解】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D 4．若，，其中，则的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】利用作差比较大小可得答案. 【详解】由题意知， ， 因为，， 所以， 即， 所以， 故. 故选：A. 5．互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法先比较的大小关系，再利用作差和配方法求得的大小关系，从而得到正确选项. 【详解】因为， 又因为实数互不相等，故，即； 又因为，所以， 即，故. 综上： 故选：D 题型四：作商法比较大小 1．设，，则___________（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 2．，则的大小关系为______________． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为，则 由 所以 故答案为： 3．设，比较与的大小. 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 题型五：简单不等式性质证明 1．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 2．（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”；请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 【答案】（1）证明见解析；（2）（i）实数，则，证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质推理得证. （2）（i）写出“糖水不等式”，再利用作差证明即得.（ii）利用“糖水不等式”，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）由，得，而，则， 于是，又，所以. （2）（i）“糖水不等式”为：实数，则， 由，得， 所以. 3．（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）利用作差法得出，然后对与的大小进行分类讨论，进而可得出与的大小关系； （2）将、进行分子有理化，结合作商法可得出、的大小关系. 【详解】（1）， 当时，则，则； 当时，则，则； 当时，则，则； （2），则，， ， ， ，所以，， 因此，. 4．已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 题型一：不等式性质的证明 1．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 2．（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 3．试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小； (2)通过作差法来比较的大小； (3)通过作差法或作商法比较与的大小. 【详解】（1）解：，， 因为， 所以， 即； （2）解： ． 因为，，所以，， 所以， 即； （3）方法一（作差法） ． 因为，所以，，，． 所以， 所以． 方法二（作商法）因为，所以，，， 所以， 所以． 4．从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）化简可得，，再通过比较分母的大小即可得解； （2）借助作差法作差后因式分解即可得； （3）借助作差法比较即可得. 【详解】（1）， ， 由，， 故，即有； （2） ， 由，均为正实数，故，即； （3） ， 由，故，，，， 即，故. 题型二：简单不等式范围 1．若，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 2．若，则的范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以， 即的范围为. 故选：A 3．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，则，可得， 由不等式的基本性质可得. 故选：A. 4．（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质可判断A,C正确；通过举反例说明B,D错误即得. 【详解】对于A，因，，利用不等式的同向可加性，则有，故A正确； 对于B，不妨取，但，故B错误； 对于C，因，，故由不等式的同向可加性，可得，故C正确； 对于D，因，不妨取，显然，故D错误. 故选：AC. 5．设为实数，满足，则的最大值为（ ） A．27 B．24 C．12 D．32 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 所以，即， 所以的最大值为27. 故选：A 题型一：构造不等式范围 1．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 2．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 3．已知，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】用表示，利用不等式的性质求的范围. 【详解】由不等式的性质得，，， ∴，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当即时，取到最大值. 故选：A. 4．已知，若，则的取值范围是______________；若，且，则的取值范围是_________________． 【答案】； 【详解】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即． 题型二：不等式证明（复杂） 1．已知实数，且．下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知可得，然后根据不等式的性质，以及赋值法即可判断各项的正误. 【详解】因为，所以，所以，故A错误； 因为，所以，又，所以， 所以，所以，故B正确； 当时，，故C错误； 因为，且，所以，所以， 又，所以，所以，故D错误． 故选：B. 2．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误． 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】易得，再结合已知可得，由，得，即可比较，利用作差法即可比较，即可得解. 【详解】由，得， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为，所以， 当时，，此时，， 这与矛盾，所以， 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 由A选项知，当时，不符题意， 所以， 由，可得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 由，得， 则， 因为，， 所以， 又因为，所以，所以， 综上所述，. 故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1不等式性质 题型一：不等式的判断 1．已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．设，若，则下列不等式中不正确的是（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ） A． B． C． D． 题型二：不等式的性质 1．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）对于实数，，，正确的命题是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则， D．若，，则 4．（多选）若，则（ ） A． B． C． D． 题型三：作差法比较大小 1．已知，，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．设，下列各式成立的是（ ） A． B． C． D． 3．已知a，b均为正实数，若，则（ ） A． B． C． D． 4．若，，其中，则的大小关系是（ ） A． B． C． D．不确定 5．互不相等的实数满足：且，则下列关系成立的是（ ） A． B． C． D． 题型四：作商法比较大小 1．设，，则___________（填入“＞”或“＜”）． 2．，则的大小关系为______________． 3．设，比较与的大小. 题型五：简单不等式性质证明 1．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 2．（1）已知，，，求证：； （2）已知（）克糖水中含有（）克糖，向杯中再添加（）克糖（全部溶解），糖水变甜了.这其中蕴含着著名的“糖水不等式”；请将上述事实表示为一个不等式，并证明该不等式成立； 3．（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 4．已知为正实数．求证：. 题型一：不等式性质的证明 1．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 2．（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 3．试比较下列组式子的大小： (1)与，其中； (2)与，其中，； (3)与，． 4．从下列三组式子中选择一组比较大小： (1)设，，，比较，的大小； (2)设，均为正实数，，，比较，的大小； (3)设，，，比较，的大小． 题型二：简单不等式范围 1．若，则的范围是（ ） A． B． C． D． 2．若，则的范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）已知，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 5．设为实数，满足，则的最大值为（ ） A．27 B．24 C．12 D．32 题型一：构造不等式范围 1．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则的最大值为（ ） A． B． C．3 D．4 4．已知，若，则的取值范围是______________；若，且，则的取值范围是_________________． 题型二：不等式证明（复杂） 1．已知实数，且．下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$