复习课第03讲 二次函数的图像与性质 暑假讲义2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第03讲 二次函数的图像与性质 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 二次函数的图像与性质 【题型二】 二次函数图像与式子符号、数值的判定 【题型三】 待定系数法求二次函数解析式 【题型四】 利用二次函数对称性求最短路径 【题型五】 与二次函数有关的几何问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握二次函数的一般形式及其图象与性质； 2.掌握二次函数的顶点式及其图象与性质； 3.掌握二次函数与一元二次方程的关系. 1 二次函数的概念 一般地，自变量和因变量之间满足 为常数)，则称为的二次函数. 2 二次函数的解析式 (1)一般式：； (2)顶点式：，其中顶点为; (3)交点式：，其中，为抛物线与轴交点的横坐标. 3 二次函数的图像和性质 (1)二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 (2)二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 4 二次函数与一元二次方程 二次函数的图像与轴交点的横坐标是与一元二次方程根. 5 二次函数与轴交点个数 二次函数的图像与轴交点的个数情况如下， 当时，抛物线与轴有个交点； 当时，抛物线与轴有个交点； 当时，抛物线与轴没有交点. 【题型一】二次函数的图像与性质 【典题1】（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ， 无论取何值，总是负数，故①正确； 抛物线与交于点， 当时，，即，解得：， ， 可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故②正确； ， 随着的增大，的值减小；故③错误． 故选：C． 变式练习 1 （2025·黑龙江哈尔滨·二模）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性． 根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】A、抛物线中的，则该抛物线的开口方向向上，本选项错误； B、抛物线的对称轴是，本选项错误； C、抛物线的顶点坐标是，本选项正确； D、抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线，本选项错误． 故选：C． 2（24-25八年级下·北京·期中）已知，点、、都在函数的图象上，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据的范围确定的范围，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，， ∴关于的对称点为：， ∵， ∴； 故选C 3（2025·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 4（2025年河北省张家口市中考二模数学试题）如图，直线从左至右交抛物线，于点，，，，且两条抛物线的顶点，都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据题意得出，，，再结合抛物线的对称性得到，计算即可求出． 【详解】解：由图可知，，， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 5（2025·安徽六安·三模）已知二次函数（其中a，b，c是常数，且）的图象过点，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及通过不等式的性质确定式子的范围，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 求出二次函数图象与y轴的交点为，可得抛物线的对称轴为直线为，从而得到，进而得到，再逐项判断即可． 【详解】解：当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点为， ∵图象过点， ∴抛物线的对称轴为直线为， ∴， ∴， 把点，，代入得： ，， ， ∵， ∴，故A选项错误，不符合题意； 若， ∴， ∴，故B选项错误，不符合题意； 若，则， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； 若，则， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 【题型二】 二次函数图像与式子符号、数值的判定 【典题1】（2025·四川绵阳·二模）二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴是直线，且该图象过点．有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的各项系数与对称轴的关系是解题的关键． 根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到，得到，，于是可对①②进行判断；由于时，，则得到，则可对③进行判断；通过点离对称轴要比点离对称轴要远对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，则， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴，， 所以①②正确； ∵对称轴是直线，且该图象过点． ∴抛物线过点 ∴时，， ∴，所以③错误； ∵点离对称轴要比点离对称轴要远， ∴，所以④正确． 综上可知，①②④正确， 故选：B． 变式练习 1（2025·湖北·三模）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由函数图象可得，，得出，即可判断A；根据对称轴得出，再结合当时，，即可判断B、C；当时，，即可判断D． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴，即，故选项B不符合题意； ∵， ∴，故选项C不符合题意； 当时，，故选项D符合题意； 故选：D． 2（2025·湖北十堰·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的两个交点为，，且，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据对称轴为，得出，即可判断A，根据抛物线与轴的两个交点为，，得出，即可判断B，根据得出，结合函数图象即可判断C，根据抛物线开口向下，由，可得时，，结合，即可得出，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故A正确，不符合题意， ∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴，即，故B不正确，符合题意， ∴ ∵ ∴ 则，即 ∴，故C正确，不符合题意， ∵抛物线开口向下，时， 又∵ ∴ 即，故D正确，不符合题意， 故选：B． 3（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论： ①；    ②；   ③； ④       ⑤，    其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系， 根据函数图像可知：，，由对称轴直线可知，可得出，进而可判断①②，由二次函数的对称性可判断③，当时，，结合可判断④，由二次函数的最大值可判断⑤． 【详解】解：根据函数图像可知：，， ∵， ∴， ∴，故①正确， ，故②正确， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，y值相等，且当时，， 即，故③正确， 当时，， ∵ ∴， ∴ 即 ∴，故④正确， ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y有最大值， 当时，， ∴ ∴，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选∶D 【题型三】待定系数法求二次函数解析式 【典题1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数的与的部分对应值如下表，那么关于它的图象，下面判断错误的是（   ） x 1 5 y 0 5 9 5 A． B．关于的一元二次方程有两个相等的实数根 C．当时，的取值范围为 D．若点均在该二次函数图象上，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键．利用待定系数法求出的值即可判断A，利用根的判别式即可判断B，利用二次函数的性质可判断C，将值代入解析式求出值，比较大小即可判断D． 【详解】解：把代入， 得，解得：， ∴，故A正确，不符合题意； 当时，， ， ， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故B正确，不符合题意； ， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值 9 ，如图所示， ∴当时，的取值范围为，故C错误，符合题意； 当时，， 当时，， 当时，， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． 变式练习 1（2025·陕西咸阳·二模）如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数没有最大值 B．当时，随的增大而减小 C．抛物线的顶点坐标为 D．，两点之间的距离是4 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，先用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴相交于点，B，与y轴相交于点， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为， 故C不正确； ∴该二次函数没有最大值， 故A正确， ∴当时，随的增大而减小， 故B正确； ∵， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∴，即，两点之间的距离是4， 故D正确． 故选：C． 2（23-24九年级上·山东日照·期中）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． A、，抛物线开口向上，A不正确； B、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，B不正确； C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上， ∴当时，，故C正确； D、，二次函数的最小值是，D不正确； 故选：C． 【题型四】 利用二次函数对称性求最短路径 【典题1】（20-21九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 【答案】D 【详解】 解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1， 连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点， 当x＝﹣1时，y＝﹣1， 当x＝2时，y＝﹣4， 所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）， 设直线A′B为 当x=0时，y=-2 即C（0，-2） 故选D 变式练习 1（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据二次函数对称性求线段和的最值，掌握二次函数对称性是解题的关键． 2（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 【题型四】 与二次函数有关的几何问题 【典题1】（2025·山东临沂·二模）如图，等腰直角三角形的顶点A，B在抛物线上，点C在y轴上，．若A，B两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的性质，如图，分别过点A和点B作y轴的垂线，垂足分别为M和N．证明，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，分别过点A和点B作y轴的垂线，垂足分别为M和N． 将A，B两点的横坐标代入函数解析式得点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，，，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，                ∴， ∴， ∴，， ∴． 又∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 故选C． 【典题2】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，四边形面积的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质求出点的纵坐标是解题的关键． （1）根据待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据题意求出以及二次函数的对称轴，由题意可知，点和点关于对称，当点在上时，的周长最小，即可得到答案； （3）根据面积的和差，得到二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，求出点的坐标． 【详解】（1）解：将两点坐标代入， 得， 解得， ； （2）解：设， 将，代入， ， 解得 故， ， 对称轴， 设点， 由题意可知，点和点关于对称， 当点在上时，的周长最小， 此时点， （3）解：过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设点的横坐标为，则，， 由（2）得， 则点的坐标为， ， ， 当时，四边形的面积最大， 此时点的坐标为，四边形的面积最大为． 变式练习 1（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，等边三角形的性质．过点C作于点D，根据等边三角形的性质得出，，，，将点代入抛物线解析式，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∵抛物线的对称轴为，为等边三角形，且轴， ∴，，． ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2（2025·广东揭阳·一模）如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积，进而根据求得的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示， 解得：或， 则两抛物线的交点分别为原点和 设的顶点坐标为，与轴的另一个交点为， 又，则 ， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴ ∴三角形是等腰直角三角形 根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于等腰三角形的面积， ∴阴影部分面积为， 故选：C． 3（2025·安徽宣城·二模）如图，二次函数的图象的顶点与的点C重合，且经过点A，与交于点D，点B与点C的横坐标相同．若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，一次函数与二次函数的交点问题，先求出二次函数的顶点坐标，得到，再根据平行四边形的面积求出，代入二次函数解析式即可求出，再求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的顶点为，即， ∵点在x轴上， ∴，即， ∵点B与点C的横坐标相同，四边形是平行四边形，且， ∴，， ∴， ∵二次函数的图象的顶点经过点A， ∴，即， ∴，即， ∴，则， ∴，二次函数的解析式为， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，则， 解得：或（舍去）， ∴，则， ∴， 故选：A． 4（24-25九年级下·四川广安·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值； 【答案】(1) (2)四边形面积最大值等于9 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决． （1）利用已知条件求出点的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出四边形面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则，． ， ， ， ． 点、在抛物线上， ，解得， 抛物线的解析式为：． （2）解：令，得，， 令，得或1，． 设点坐标为，，， 如图所示，过点作轴于点，则，，． 点在抛物线上， ，代入上式得： ， 当时，四边形面积有最大值，最大值为9． 【A组---基础题】 1（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，把配成顶点式后求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 2（2025·广西南宁·模拟预测）二次函数的图象中，以下性质正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象向左平移1个单位得到 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．根据二次函数的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：中的，且顶点坐标是， 抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小， 选项A、B、D不符合题意； 二次函数图象向左平移1个单位得到，即． 选项C符合题意． 故选：C． 3（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，得它的对称轴为，开口向下， 则图象上的点离对称轴越远则的值越小， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 4（2025·湖北随州·二模）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．①：根据二次函数的对称轴，，即可判断出；②：结合图象发现，当时，函数值大于0，代入即可判断；③：结合图象发现，当时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 从图中可以看出，当时，函数值大于0，因此将代入得，，即，故②错误； ∵， ∴，从图中可以看出，当时，函数值小于0， ∴， ∴，故③正确； ∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为，将代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴当或时，； ∴根据二次函数的对称性，得到，故④正确； 综上所述，①③④均正确，故有3个正确结论， 故选B． 5（2025·河北沧州·一模）已知点为抛物线上一点，在透明胶片上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移该胶片得到点和抛物线，如图．已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的平移，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键． 先求出平移前的顶点，结合平移后的顶点，求出这两点间的距离,再根据，即可求． 【详解】解：抛物线， 平移前的顶点纵坐标为， 平移后的抛物线的顶点纵坐标为， 平移的距离为， ， 顶点在线段的垂直平分线上， 平移得到的点的纵坐标为． 故答案为：D． 6（2025·西藏日喀则·一模）如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数均成立 ④若点，在抛物线上，则有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，根据抛物线与轴相交于点，，求出其对称轴，再由抛物线的开口方向，结合二次函数的性质即可判断得解． 【详解】解：抛物线与轴相交于点，， 对称轴是直线． ． ． 又图象可得，，， ． ，故①错误． 在抛物线上， ． 又， ． ，故②错误． 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取最小值为． 对应任意的，当时，函数值． ，故③正确． 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ，故④错误． 综上，正确的有1个． 故选：A． 7（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点和点坐标代入后解方程组求出、，从而得到抛物线解析式； （2）抛物线与轴的另一个交点为,利用配方法求出抛物线的对称轴为直线，进而求出点的坐标，连接交直线于点，利用两点之间线段最短可判断此时最小，接着求出直线的解析式，进而求解． 【详解】（1）解：把分别代入得 ， 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线与轴的另一个交点为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得， ∴． 连接交直线于点，如下图 ∵， ∴， ∴此时最小， 设直线的解析式为， 把分别代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式的求法，二次函数的性质和最短路线问题．在利用待定系数法求函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 8（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t． (1)求抛物线解析式； (2)当，求t的值； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求一次函数与坐标轴的交点坐标，待定系数法求二次函数解析式等等，通过把求线段的长转换成点P横坐标的二次函数是解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出A、B的坐标，再把A、B坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可； （2）由，得，，分别表示出，，由，建立方程，，解方程即可得到答案； （3）如图所示，连接，设点N到的距离为d，设，同理得到，利用勾股定理求出，根据，最大值为8，得，推出，即d的最大值为 【详解】（1）解：直线中，时，；时，． ∴点A的坐标为，点B的坐标为． ∵抛物线经过点A，B， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵设点（），则点，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或4（与点B重合，舍去）， ∴； （3）解：点N到直线的距离为d， 求d的最大值即为求面积的最大值， 连接，如下图所示， ∵点， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴面积最大为8， ∵， ∴， 解得， 即d的最大值为； 【B组---提高题】 1（2025·浙江·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．由，函数有最小值；后分类解答即可． 【详解】解：由，得函数有最小值；且距离对称轴越远，函数值越大； 又当时，函数的最大值与最小值的和为2， 当时，根据对称轴左侧，y随x的增大而减小， 故时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据题意，得， 解得，与矛盾， 故时无解； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 此时函数的最大值与最小值的和为2， ∴当时，符合题意； 当时；根据对称轴右侧，y随x的增大而增大， 当时，函数取得最大值，且为， 当时，函数取得最小值，且为， 根据函数的最大值与最小值的和为2，得， 解得或，这与矛盾， 故时无解； 综上分析可知：n的取值范围是． 故选：C． 2（2025·黑龙江大庆·二模）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论一定正确的是（　　） A． B．=2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ，选项D正确，符合题意； A、B、C选项无法得出，故不符合题意． 故选：D． 3（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)如图1，连接，在对称轴上找一点D，使得是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标； (3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值． 【答案】(1)， (2)或或 (3)， 【分析】（1）将，代入解析式，即可求解； （2）由二次函数的对称轴得对称轴为直线，设，①当时，②当时，由勾股定理，即可求解； （3）过作轴交于，由等腰三角形的定义得，由勾股定理得直线的解析式为，设，，可得， ，由二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 解得， 故抛物线的表达式为：， 当时，， ； （2）解：， 对称轴为直线， 设， ①当时，如图， ， 解得：， ； ②当时，如图， ， 解得：，， ； 故点D的坐标为或或； （3）解：过作轴交于， 轴， ，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， ， ， 当时， 的最大值是； ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，二次函数的性质求最值，掌握待定系数法，能熟练利用二次函数的性质求最值及根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数的图像与性质 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 二次函数的图像与性质 【题型二】 二次函数图像与式子符号、数值的判定 【题型三】 待定系数法求二次函数解析式 【题型四】 利用二次函数对称性求最短路径 【题型五】 与二次函数有关的几何问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握二次函数的一般形式及其图象与性质； 2.掌握二次函数的顶点式及其图象与性质； 3.掌握二次函数与一元二次方程的关系. 1 二次函数的概念 一般地，自变量和因变量之间满足 为常数)，则称为的二次函数. 2 二次函数的解析式 (1)一般式：； (2)顶点式：，其中顶点为; (3)交点式：，其中，为抛物线与轴交点的横坐标. 3 二次函数的图像和性质 (1)二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 (2)二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 4 二次函数与一元二次方程 二次函数的图像与轴交点的横坐标是与一元二次方程根. 5 二次函数与轴交点个数 二次函数的图像与轴交点的个数情况如下， 当时，抛物线与轴有个交点； 当时，抛物线与轴有个交点； 当时，抛物线与轴没有交点. 【题型一】二次函数的图像与性质 【典题1】（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 变式练习 1 （2025·黑龙江哈尔滨·二模）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线开口向下 B．对称轴是 C．顶点坐标是 D．抛物线向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得抛物线 2（24-25八年级下·北京·期中）已知，点、、都在函数的图象上，那么（    ） A． B． C． D． 3（2025·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4（2025年河北省张家口市中考二模数学试题）如图，直线从左至右交抛物线，于点，，，，且两条抛物线的顶点，都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5（2025·安徽六安·三模）已知二次函数（其中a，b，c是常数，且）的图象过点，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型二】 二次函数图像与式子符号、数值的判定 【典题1】（2025·四川绵阳·二模）二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴是直线，且该图象过点．有下列说法：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中正确的是（　　） A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④ 变式练习 1（2025·湖北·三模）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2（2025·湖北十堰·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的两个交点为，，且，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 3（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为直线，有以下5个结论： ①；    ②；   ③； ④       ⑤，    其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型三】待定系数法求二次函数解析式 【典题1】（24-25九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数的与的部分对应值如下表，那么关于它的图象，下面判断错误的是（   ） x 1 5 y 0 5 9 5 A． B．关于的一元二次方程有两个相等的实数根 C．当时，的取值范围为 D．若点均在该二次函数图象上，则 变式练习 1（2025·陕西咸阳·二模）如图，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点，下列说法中不正确的是（   ） A．该二次函数没有最大值 B．当时，随的增大而减小 C．抛物线的顶点坐标为 D．，两点之间的距离是4 2（23-24九年级上·山东日照·期中）二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 【题型四】 利用二次函数对称性求最短路径 【典题1】（20-21九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（    ） A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，） 变式练习 1（22-23九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 2（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【题型四】 与二次函数有关的几何问题 【典题1】（2025·山东临沂·二模）如图，等腰直角三角形的顶点A，B在抛物线上，点C在y轴上，．若A，B两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【典题2】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点．A点在原点的左侧，B点的坐标为．点P是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值． 变式练习 1（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线与y轴的交点，轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若为等边三角形，则a的值为（    ） A． B． C． D．1 2（2025·广东揭阳·一模）如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 3（2025·安徽宣城·二模）如图，二次函数的图象的顶点与的点C重合，且经过点A，与交于点D，点B与点C的横坐标相同．若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 4（24-25九年级下·四川广安·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，直线交抛物线于点D，并且，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形面积的最大值； 【A组---基础题】 1（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2（2025·广西南宁·模拟预测）二次函数的图象中，以下性质正确的是（   ） A．图象开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．图象向左平移1个单位得到 D．当时，随的增大而增大 3（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4（2025·湖北随州·二模）如图是二次函数的图象，其对称轴为直线，且过点，有以下四个结论：①，②，③，④若顶点坐标为，当时，y有最大值为2、最小值为，此时m的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5（2025·河北沧州·一模）已知点为抛物线上一点，在透明胶片上描画出包含点的抛物线的一段，向上平移该胶片得到点和抛物线，如图．已知抛物线的顶点的纵坐标为，且，则平移得到的点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 6（2025·西藏日喀则·一模）如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（    ） ① ② ③对任意实数均成立 ④若点，在抛物线上，则有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7（24-25九年级上·广东广州·期中）抛物线经过点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线对称轴上一点，连接，，当最小时，求点的坐标． 8（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，已知直线与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t． (1)求抛物线解析式； (2)当，求t的值； (3)若点N到直线的距离为d，求d的最大值； 【B组---提高题】 1（2025·浙江·二模）已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的和为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2（2025·黑龙江大庆·二模）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论一定正确的是（　　） A． B．=2 C． D． 3（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及C点坐标； (2)如图1，连接，在对称轴上找一点D，使得是以为底角的等腰三角形，求点D的坐标； (3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作轴，连接交于点Q．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$