第40讲椭圆的定义与标准方程 课件-2025年安徽省职教高考数学总复习

第40讲　椭圆的定义与标准方程 思维导图 构建 2 　　能力层级 考试内容　　　 了解 理解 掌握 椭圆的定义 椭圆图形的实际背景及形成过程.   椭圆的定义及几何图形. 椭圆的标准方程     椭圆的标准方程. (2023，T56；2022，T60) 解读 考纲考情 3 复习建议： 1.考情小结：从近几年高考情况来看，椭圆属于高考必考知识点，2018年：第36题；2019年：第53题；2020年：第58题；2022年：第60题；2023年：第56题；分值4分，复习时要有所侧重. 2.备考攻略：本讲知识比较基础，考查难度适中，复习时注意各知识点的联系和考查方式.知识点方面，首先要掌握椭圆的定义.其次，对于椭圆的标准方程，除了记忆焦点在x轴上的以外，还要熟悉焦点在y轴上的情况，因此在做题时要准确判断焦点在哪个坐标轴上. 解读 考纲考情 一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数2a(2a＞)的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点间的距离称为椭圆的焦距. 备考讲义 考点1 椭圆的定义 核心考点 探究 5 若点M是椭圆上的任意一点，则有＝2a. 注意：(1)当2a＞|F1F2|时，动点M的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，动点M的轨迹是线段|F1F2|； (3)当2a＜|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 在判断动点M的轨迹时，一定要先比较2a和的大小关系，很多同学容易忽略. 核心考点 探究 例1　(真题)在平面直角坐标系中，若动点M到点F1(－1，0)，F2(1，0)的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是(　　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 【答案】 A 核心考点 探究 【试题分析】 本题考查椭圆的定义.解题时首先比较2a和的大小关系，以防出现动点M的轨迹不是椭圆的情况，这是考试的易错点.然后结合椭圆的定义来答题，解题时注意判断焦点的位置. 【解题过程】 由椭圆的定义可知，动点M的轨迹是椭圆.由椭圆的焦点坐标可知，该椭圆的焦点在x轴上，c＝1，2a＝4即a＝2，又由b2＝a2－c2可得b2＝3，故该椭圆的方程为＝1，故选A. 核心考点 探究 跟踪训练1　已知点P是椭圆x2＋9y2＝9上的一点，F1、F2是该 椭圆的焦点，若＝2，则＝(　　　) A.2 B.3 C.4 D.5 C 【试题分析】 本题考查椭圆的定义.先将椭圆方程转化为标准方程，进而求出a的值，根据椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a，可知|PF1|＋|PF2|＝2a. 核心考点 探究 【解题过程】 将椭圆方程转化为＋y2＝1，可知a＝3.由椭圆定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又因为|PF1|＝2，所以|PF2|＝4，故选C. 核心考点 探究 备考讲义 考点2 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0) 几何图形 核心考点 探究 椭圆的标准方程 ＝1(a＞b＞0) ＝1(a＞b＞0) 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 a2－b2＝c2 核心考点 探究 注意：(1)解决椭圆问题时，先判断椭圆方程是不是标准方程，如果不是，先转化为标准方程； (2)在标准方程下判断椭圆焦点位置，焦点在较大分母所对应的坐标轴上； (3)若不能判断椭圆焦点位置，则需分两种情况讨论. 核心考点 探究 例2　(2023·安徽职教高考真题)椭圆＝1(a＞b＞0)的长轴两端点到同一个焦点的距离分别为9和1，则该椭圆的方程为 (　　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＋y2＝1 【答案】 A 核心考点 探究 【试题分析】 本题考查椭圆的标准方程.解题时首先判断焦点位置，然后根据a2＝b2＋c2求解. 【解题过程】 该椭圆的焦点在x轴上，由题意得a＋c＝9，a－c＝1，解得a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以该椭圆的方程为＝1，故选A. 核心考点 探究 跟踪训练2　椭圆x2＋2y2＝1的焦距为(　　　) A. B.2 C. D.1 A 【试题分析】 本题考查椭圆的标准方程.先将椭圆方程转化为标准方程，然后根据a2－b2＝c2求出c，进而求出焦距2c. 核心考点 探究 【解题过程】 将椭圆方程转化为x2＋＝1，可知，该椭圆焦点在x轴上，a2＝1，b2＝，所以c2＝a2－b2＝，所以c＝，所以焦距2c＝，故选A. 核心考点 探究 例3　(2020·安徽职教高考真题)设点P(0，)在椭圆＝1上，F1，F2是该椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长为 (　　　) A.4 B.6 C.2＋2 D.2＋4 【答案】 B 核心考点 探究 【试题分析】 本题考查椭圆的定义.先将点P坐标代入椭圆方程，求出m，进而求出c，然后根据椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a求出该三角形周长. 【解题过程】 将点P坐标代入椭圆方程可得＝1，所以m＝3，所以a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2－b2＝1，所以a＝2，c＝1，所以＝2a＋2c＝6，故选B. 核心考点 探究 跟踪训练3　已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2， 直线l经过椭圆的左焦点F1，且与椭圆交于A，B两点，则 △ABF2的周长为(　　　) A.6 B.8 C.10 D.12 B 核心考点 探究 【试题分析】 本题考查椭圆的定义.首先根据椭圆方程求出a的值，将|AB|＋|BF2|＋|AF2|转化为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|，根据椭圆上的点到两焦点的距离之和等于2a即可求出. 【解题过程】 由椭圆方程可知a＝2，由椭圆定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a，所以，＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，故选B. 核心考点 探究 1.若椭圆的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的一点，则△PF1F2的周长＝2a＋2c. 2.若椭圆的焦点为F1，F2，点P是椭圆上的一点，则△PF1F2的面积＝b2tan . 3.若椭圆的焦点为F1，F2，直线l经过椭圆的焦点F1，且与椭圆交于A、B两点，则△ABF2的周长＝4a. 归纳 常用结论 22 1.若动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为4，则 动点P的轨迹为(　　　) A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.不存在 C 【试题分析】 本题考查椭圆的定义.解题时首先比较2a和|F1F2|的大小关系，再判断动点P的轨迹.当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆，当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2，当2a＜|F1F2|时，动点P无轨迹. 拓展 教材母题 23 【解题过程】 由题意可知，2a＝4，|F1F2|＝4，所以2a＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是线段F1F2，故选C. 拓展 教材母题 2.椭圆＝1的焦距为4，则m的值为(　　　) A.4 B.12 C.4或12 D.4或8 C 【试题分析】 本题考查椭圆的标准方程.由于无法确定焦点位置，所以需要分两种情况讨论.先根据焦距求出c，再由a2－b2＝c2，求出m即可. 拓展 教材母题 25 【解题过程】 由题意得，2c＝4，所以c＝2，c2＝4.若焦点在x轴上，由a2－b2＝c2得，m－8＝4，所以m＝12.若焦点在y轴上，由a2－b2＝c2得，8－m＝4，所以m＝4.所以，m＝4或12，故选C. 拓展 教材母题 3.方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范 围是(　　　) A.(2，3) B.(2，＋∞) C.(1，3) D.(1，2) A 【试题分析】 本题考查椭圆的标准方程，已知方程是焦点在x轴上的椭圆方程的条件是和的分母都大于0，且的分母大于的分母. 拓展 教材母题 27 【解题过程】 由题意可得解得2＜m＜3，故选A. 拓展 教材母题 4.已知椭圆＝1的两个焦点为F1，F2，点P是该椭圆上的 一点，∠F1PF2＝60o，则△PF1F2的面积为(　　　) A.2 B.6 C.9 D.9 A 【试题分析】 本题考查椭圆焦点三角形面积公式，＝b2tan，代入数值即可. 拓展 教材母题 29 【解题过程】 由椭圆方程可知，b2＝6，所以＝b2tan＝6tan 30°＝2，故选A. 拓展 教材母题 5.已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为8，焦距为4，则该椭 圆的标准方程为________________________.  ＝1或＝1 【试题分析】 本题考查椭圆的定义和标准方程.由椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a，焦距为2c，可求出a和c，再由a2－b2＝c2求出b2，由于无法确定焦点位置，所以需要分两种情况讨论. 【解题过程】 由题意可知2a＝8，2c＝4，所以a＝4，c＝2，所以b2＝a2－c2＝12.当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＝1；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＝1. 拓展 教材母题 31 6.椭圆3x2＋2y2＝6的焦点坐标为____________________.  (0，－1)、(0，1) 【试题分析】 本题考查椭圆的标准方程，解题时先将方程转化为标准方程，进而判断焦点位置. 【解题过程】 将椭圆方程转化为＝1，可知椭圆焦点在y轴上，a2＝3，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝1，所以c＝1，所以焦点坐标为(0，－1)、(0，1). 拓展 教材母题 32 7.已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M是该 椭圆上的一点，则△MF1F2的周长为________.  10 【试题分析】 本题考查椭圆的定义和标准方程.根据椭圆方程求出a和c，再由椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a，得出|MF1|＋|MF2|＝2a即可. 【解题过程】 由椭圆方程可得a2＝16，b2＝15，所以c2＝a2－b2＝1，所以a＝4，c＝1，所以＝|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10. 拓展 教材母题 33 8.已知椭圆C的两焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，点P是该椭圆上的一点，且满足＝2. (1)求该椭圆的标准方程； (2)若直线x－y－1＝0与该椭圆交于A，B两点，求线段AB的长. 【试题分析】 本题考查椭圆定义和标准方程.关键是先利用椭圆焦点坐标和椭圆定义，求出a和c的值，进而求出b，即可得到椭圆标准方程，然后将直线方程代入椭圆方程，消去未知数y，得到一个一元二次方程，然后设点A坐标为(x1，y1)，点B坐标为(x2，y2)，利用韦达定理得到x1＋x2和x1x2的值，再利用弦长公式即可求出AB的长. 拓展 教材母题 34 【解题过程】 (1)由题意可知，2a＝2，c＝1，所以，b2＝a2－c2＝1，又因为该椭圆的焦点在x轴上，所以该椭圆标准方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得3x2－4x＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝0，所以|AB|＝·. 拓展 教材母题 9.已知点F1、F2是椭圆＝1(a＞b＞0)的两个焦点，点P是该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为5，周长为10，求该椭圆的标准方程. 【试题分析】 本题考查椭圆的标准方程.由椭圆焦点三角形面积公式可求出b，再由焦点三角形周长可得a＋c的值，进而可求出a、b，即可求出椭圆标准方程. 拓展 教材母题 36 【解题过程】 由题意可知＝b2tan＝5，＝2a＋2c＝10，所以b2＝5，a＋c＝5，由a2－b2＝c2得a2－5＝(5－a)2，所以a＝3，所以该椭圆的标准方程为＝1. 拓展 教材母题 37 $$