第39讲平面向量的坐标表示 课件-2025年安徽省职教高考数学总复习

第39讲　平面向量的坐标表示 　　　能力层级 考试内容　　　 了解 理解 掌握 平面向量的坐标表示及其线性运算坐标表示 平面直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量. 相等向量的含义及表示. 平面向量的线性运算坐标表示以及中点坐标公式. 平面向量共线的坐标表示 在平面直角坐标系中平面向量坐标的各种表示. 共线向量的坐标表示. 平面向量共线的充要条件. (2023，T41) 思维导图 构建 2 复习建议： 1.考情小结：此部分知识偶有考查，难度适中，分值4分. 2.备考攻略 (1)复习此部分内容应该从知识体系和数学思想的高度把复习内容有机整合，体现知识体系的完备性和思想方法的融会贯通，达到螺旋上升的复习效果. (2)重点落实“一个基本定理、两个充要条件、三种表示方法、四种向量运算”，细化概念落实到位. (3)及时纠正典型错误，平面向量概念较多，易混易错，应及时纠正解题中的错误，强化对知识的准确掌握. 思维导图 构建 1.平面向量的坐标表示 (1)向量坐标的定义：平面内的任一向量a，都存在着一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj(其中i、j分别为x轴、y轴正方向上的单位向量)，记作a＝(x，y). 备考讲义 考点1 平面向量的坐标表示及其线性运算的坐标表示 解读 考纲考情 4 (2)若已知平面上点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，如图所示. 解读 考纲考情 2.相等向量 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔ 3.平面向量线性运算的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： ①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)； ②a－b＝(x1－x2，y1－y2)； ③λa＝(λx1，λy1). 解读 考纲考情 4.中点坐标公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且M(x，y)是线段AB的中点，由得 解读 考纲考情 例1　(1)若向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)，c＝(－1，3)，则3a－b＋2c的坐标为________；  (2)若a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c＝________(用含a和b的式子表示).  【答案】 (1)(－1，15)；(2)a－b. 【试题分析】 本题考查平面向量线性运算的坐标表示，再联立二元一次方程组解出即可. 解读 考纲考情 【解题过程】 (1)3a－b＋2c＝3(1，2)－(2，－3)＋2(－1，3)＝(－1，15)； (2)设c＝xa＋yb，则(－1，2)＝x(1，1)＋y(1，－1)， 所以解得所以c＝a－b. 解读 考纲考情 跟踪训练1　(1)(原创)已知A(x，3)，B(2，y)两点，且＝(1， 2)，则(　　　) A.x＝1，y＝5 B.x＝1，y＝－5 C.x＝－1，y＝－5 D.x＝－1，y＝5 (2)已知点M(3，－4)和向量a＝(2，－1)，且＝－2a，则点 N的坐标为(　　　) A.(2，0) B.(1，－2) C.(－1，2) D.(－1，－2) A D 解读 考纲考情 【试题分析】 本题考查向量的坐标运算，根据题意假设未知量建立等式，再解出所设的量即可. 【解题过程】 (1)因为＝(2－x，y－3)＝(1，2)，所以解得故选A；(2)设N(x，y)，则＝(x－3，y＋4)＝－2a＝(－4，2)，所以解得故选D. 解读 考纲考情 例2　已知平行四边形ABCD的三个顶点分别为A(－3，2)， B(－2，4)，C(4，5)，则顶点D的坐标为(　　　) A.(3，3) B.(3，－2) C.(－3，3) D.(－1，2) 【答案】 A 【试题分析】 本题在平行四边形中考查向量的坐标表示.需要清楚平行四边形的性质，可先设坐标，再建立等式算出即可. 解读 考纲考情 【解题过程】 设顶点D的坐标为(x，y)， 则＝(－2，4)－(－3，2)＝(1，2)，＝(4－x，5－y). 因为，所以解得所以顶点D的坐标为(3，3)，故选A. 解读 考纲考情 跟踪训练2　(改编)在梯形ABCD中，已知A(－2，2)，B(2，2)，C(4，－4)三点，且＝2，求点D的坐标. 【试题分析】 本题在梯形中考查向量的坐标运算，首先要清楚梯形是有一组对边平行的，可利用向量共线来解决问题. 【解题过程】 设D(x，y)，则＝(x－4，y＋4)，2＝2(－2－2，2－2)＝(－8，0)，由＝2得解得 所以点D的坐标为(－4，－4). 解读 考纲考情 平面向量共线的充要条件： 若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 备考讲义 考点2 平面向量共线的坐标表示 解读 考纲考情 例3　(1)(2023·安徽职教高考真题)已知向量a＝(1，2)，b＝ (－2，m).若a∥b，则a＋b＝(　　　) A.(－1，－2) B.(－1，2) C.(－3，6) D.(3，－6) (2)已知A(0，－3)，B(2，1)，C(4，5)三点，求证：A，B，C三点共线. 【试题分析】 (1)本题考查平面向量共线知识的运用，不仅要掌握向量的表达式，还要掌握坐标的表达式；(2)若共点向量共线，则这些点共线. 解读 考纲考情 【解题过程】 (1)因为a∥b，所以m－(－4)＝0，解得m＝－4.所以b＝(－2，－4)，所以a＋b＝(－1，－2)，故选A. (2)因为＝(2－0，1－(－3))＝(2，4)，＝(4－0，5－(－3))＝(4，8)，2×8－4×4＝0， 所以∥，又因为与有公共点A，所以A，B，C三点共线. 解读 考纲考情 跟踪训练3　已知向量a＝(1，2)，b＝(－3，2).问：当k为何值时，ka＋b与a－3b平行? 【试题分析】 本题考查向量的平行问题，即两向量共线的条件，同时对于向量的坐标线性运算要熟练. 【解题过程】 ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，由(ka＋b)∥(a－3b)得－4(k－3)＝10(2k＋2)，解得k＝－. 解读 考纲考情 1.熟练掌握向量的加、减、数乘运算的法则是向量的坐标运算的前提；在解题过程中，一般通过列方程(组)进行求解. 2.解决向量共线问题有两种方法：一是根据向量共线定理并运用待定系数法建立方程组求解；二是运用a∥b⇔x1y2－x2y1＝0求解.若知道向量的坐标，则第二种方法比较方便. 核心考点 探究 19 1.(改编)已知＝(1，2)，点B的坐标为(－2，1)，则的坐标 为(O为坐标原点)(　　　) A.(3，1) B.(－3，1) C.(－3，－1) D.(3，－1) C 【试题分析】 本题考查平面向量的坐标运算. 【解题过程】 因为的坐标即为A点坐标，，所以＝(－2，1)－(1，2)＝(－3，－1)，故选C. 拓展 教材母题 20 2.(改编)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－1，2)，则－a＋2b＝ (　　　) A.(5，5) B.(－5，5) C.(5，－5) D.(－5，－5) B 【试题分析】 本题考查用已知向量的坐标去表示所求向量的坐标，计算时需要细心，不要把数据看错. 【解题过程】 －a＋2b＝－(3，－1)＋2(－1，2)＝(－5，5)，故选B. 拓展 教材母题 3.已知向量a＝，b＝且a⊥b，则m等于(　　　) A.0 B.1 C.2 D.3 C 【试题分析】 本题考查向量垂直的充要条件. 【解题过程】 由a⊥b，得x1x2＋y1y2＝0，所以(－2)×1＋1×m＝0，所以m＝2，故选C. 拓展 教材母题 4.(改编)已知向量a＝(3m，log2n)，b＝，且a＝2b，则 (　　　) A.m＝1，n＝16 B.m＝2，n＝1 C.m＝log32，n＝2 D.m＝2，n＝2 A 【试题分析】 本题考查向量相等，同时对于指数与对数的计算有所要求. 【解题过程】 由a＝2b得解得故选A. 拓展 教材母题 5.已知向量a＝(2，4)，b＝(3，1)，c＝(8，6)，则a、b、c的关 系是(　　　) A.c＝a＋b B.c＝2a＋b C.c＝2a－b D.c＝a＋2b D 【试题分析】 本题考查向量的坐标运算，看清楚题目所要求的，再往已知条件上转换，很快能看出答案. 【解题过程】 c＝(8，6)＝(2，4)＋2(3，1)＝a＋2b，故选D. 拓展 教材母题 6.已知向量a＝(x，5)，b＝(1，2)，且a＋b与a共线，则x的值为________.  【试题分析】 本题考查向量的坐标运算以及向量共线的问题，需要清楚概念. 【解题过程】 由题意可得a＋b＝(x＋1，7)，又因为(a＋b)∥a，所以5(x＋1)＝7x，解得x＝，故填. 拓展 教材母题 7.已知＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥ ，则x＋2y的值为________.  0 【试题分析】 本题考查向量的坐标表示、相反向量以及向量平行的条件. 【解题过程】 因为＝(4＋x，－2＋y)，即＝(－4－x，2－y)，又因为∥，所以xy－2x－y(4＋x)＝0，所以－2x－4y＝0，即x＋2y＝0. 拓展 教材母题 8.(改编)已知向量a＝(－1，2)，b＝(4，－3)，且ka＋b与a－b平行，求实数k的值. 【试题分析】 本题考查向量的坐标表示并考查共线向量的充要条件. 【解题过程】 由题意可得，ka＋b＝k(－1，2)＋(4，－3)＝(－k＋4，2k－3)，a－b＝(－1，2)－(4，－3)＝(－5，5)，由(ka＋b)∥(a－b)，得5(－k＋4)＋5(2k－3)＝0，即5k＝－5，解得k＝－1. 拓展 教材母题 $$