第33讲旋转体 课件-2025年安徽省职教高考数学总复习

第33讲　旋转体 　　能力层级 考试内容　　　 了解 理解 掌握 圆柱 旋转体及圆柱有关概念. 圆柱侧面展开图. 圆柱面积、体积计算. (2024，T51；2023，T51；2022，T53) 圆锥 圆锥的有关概念. 圆锥侧面展开图. 圆锥面积、体积计算. (2024，T51) 球 球的有关概念. 球的截面. 球面积、体积计算. (2023，T51) 思维导图 构建 2 复习建议： 1.考情小结：本讲知识近三年都有考查，主要考查旋转体的面积、体积的计算，难度中等，分值4分. 2.备考攻略：本讲中圆柱侧面展开图、圆锥侧面展开图及球的截面是学习关注点. 思维导图 构建 1.旋转体 一般地，一条平面曲线绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体，这条定直线称为旋转体的轴，这条曲线称为旋转体的母线. 备考讲义 考点1 圆柱 解读 考纲考情 4 2.圆柱 (1)定义 以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体称为圆柱. (2)构成 旋转轴称为圆柱的轴，垂直于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的底面.平行于轴的边称为圆柱的母线，母线旋转而成的曲面称为圆柱的侧面.两个底面圆心之间的距离称为圆柱的高.通常用表示旋转轴的字母来表示圆柱. 解读 考纲考情 如图所示圆柱记为圆柱OO1. 解读 考纲考情 (3)性质 ①两个底面是半径相等且平行的圆，平行于底面的横截面是与底面相同的圆； ②母线平行且相等，都等于圆柱的高； ③过轴的截面(轴截面)是长为圆柱的高、宽为底面直径的矩形. 解读 考纲考情 (4)面积和体积 我们沿圆柱的一条母线将圆柱侧面展开在一个平面上所得的图形称为圆柱的侧面展开图，它是一个矩形，矩形的边长分别是圆柱底面的周长和母线的长，如图所示. ①圆柱的侧面积为：S圆柱侧＝2πrh； ②圆柱的表面积为：S圆柱表＝2S底＋S圆柱侧＝2πr2＋2πrh； ③圆柱的体积为：V圆柱＝S底h＝πr2h. 解读 考纲考情 例1　已知圆柱底面直径为6，表面积为78π，求圆柱的体积. 【试题分析】 本题考查圆柱的表面积和体积计算. 【解题过程】 由题意可知：圆柱底面半径为r＝3，78π＝2πr2＋2πrh，解得圆柱的高h＝10.故这个圆柱的体积为：V＝S底h＝π×32×10＝90π. 解读 考纲考情 跟踪训练1　圆柱的母线长为4，圆柱的体积是16π，求圆柱的表面积. 【试题分析】 本题考查圆柱的表面积和体积计算. 【解题过程】 由题意可知：圆柱高h＝4，16π＝πr2h，则底面半径为r＝2.这个圆柱的侧面积为：S圆柱侧＝2πrh＝2π×2×4＝16π，故圆柱的表面积为：S圆柱表＝2π×22＋16π＝24π. 解读 考纲考情 1.定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭几何体称为圆锥 备考讲义 考点2 圆锥 解读 考纲考情 2.构成 旋转轴称为圆锥的轴，另一条直角边旋转所形成的圆面称为圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面称为圆锥的侧面，这条斜边称为圆锥的母线.母线与轴的交点称为顶点.顶点到底面圆心的距离称为圆锥的高.如图所示： 解读 考纲考情 3.性质 (1)平行于底面的截面都是圆； (2)高垂直于底面圆，且过圆心； (3)轴截面为等腰三角形，高为圆锥的高，腰是圆锥的母线，底边是底面圆的直径. 解读 考纲考情 4.面积和体积 (1)沿圆锥体的一条母线将圆锥侧面展开在一 个平面上所得的图形称为圆锥的侧面展开图，它是一个扇形. 如图所示，这个扇形的面积就是圆锥的侧面 积.扇形的弧长c是底面圆的周长，扇形的半 径l是圆锥母线的长. 圆锥的侧面积为：S圆锥侧＝cl＝πrl； (2)圆锥的表面积为：S圆锥表＝S底＋S圆锥侧＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)； (3)圆锥的体积为：V圆锥＝S底h＝πr2h，其中，r为圆锥的底面半径，h为圆锥的高. 解读 考纲考情 例2　圆锥的轴截面是边长为6 cm的等边三角形，求圆锥的表面积和体积. 【试题分析】 本题考查圆锥的表面积和体积计算.利用轴截面求出其底面半径和高. 【解题过程】 由题意可知，圆锥的母线l＝6 cm，底面半径r＝ 3 cm，高 h＝×6＝3 cm，由圆锥的表面积计算公式得： S圆锥表＝πr(r＋l)＝π×3×(3＋6)＝27π(cm2)； 由圆锥的体积计算公式得：V圆锥＝πr2 h＝π×32×3＝9π(cm3). 解读 考纲考情 例3　(2024·安徽职教高考真题)某粮囤由圆柱体和圆锥体的顶组成，它的直观图如图所示，已知圆柱的底面直径为8 m， 高为4 m， 圆锥的母线PB与底面圆的直径AB成45°角，则此粮囤的容积(单位：m3 )为(　　　) A. B.96π C.128π D. 【答案】 A 解读 考纲考情 【试题分析】 本题考查旋转体的有关知识.此粮囤的容积等于圆锥的体积加圆柱的体积，利用体积公式求解即可. 【解题过程】 因为圆柱的底面半径r＝4 m，高h＝4 m，所以圆柱的底面积S底＝πr2＝π×42＝16π(m2)，V圆柱＝S底h＝16π×4＝64π(m3).因为圆锥的底面半径r＝4 m，母线PB与底面圆的直径AB成45°角，所以圆锥的高h'＝4 m，所以圆锥的底面积S'底＝πr2＝π×42＝16π(m2)，V圆锥＝S'底h'＝×16π×4＝(m3).故此粮囤的容积＝V圆柱＋V圆锥＝64π＋(m3)，故选A. 解读 考纲考情 跟踪训练2　圆锥的轴截面是腰长为的等腰直角三角形，求圆锥的表面积和体积. 【试题分析】 本题考查圆锥的表面积和体积计算. 【解题过程】 由题意可知，圆锥的母线l＝，底面半径r＝1，高h＝1，由圆锥的表面积计算公式得：S圆锥表＝πr(r＋l)＝π×1×(1＋)＝π＋π； 由圆锥的体积计算公式得：V圆锥＝πr2h＝π×12×1＝. 解读 考纲考情 1.定义 一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周，半圆 弧线形成的曲面称为球面，球面所围成的几何体称 为球体，简称球.如图所示，半圆的圆心称为球心， 连结球心和球面上任意一点的线段称为球的半径.通 常用球心字母表示球， 如图所示，球心为O的球记为球O. 备考讲义 考点3 球 解读 考纲考情 2.截面 用一个平面去截球，截面是圆面，这个圆面称为球截面，如图所示.经过球心的平面截球所得的圆称为球的大圆，不经过球心的平面截球所得的圆称为球的小圆. 3.球及球截面性质 当球截面不经过球心时，球及球截面具有下列性质： (1)球截面的圆心与球心的连线垂直于球截面； (2)球心到球截面圆心的连线OO'的长为d，球的半径为R，球截面的半径为r，则有：r＝. 解读 考纲考情 4.表面积和体积 (1)球的表面积为：S球＝4πR2； (2)球的体积为：V球＝πR3. 解读 考纲考情 例4　已知球的大圆周长是6π，求球的表面积和体积. 【试题分析】 本题考查球的截面和面积及体积的计算. 【解题过程】 球的大圆半径即为球的半径，则2πR＝6π，即R＝3， 由球的表面积计算公式得：S球＝4πR2＝4π×32＝36π； 由球的体积计算公式得：V球＝πR3＝π×33＝36π. 解读 考纲考情 跟踪训练3　已知球的一个球截面的直径是6 cm，球心与该球截面的距离是4 cm，求球的表面积和体积. 【试题分析】 本题考查球的截面和面积及体积计算. 【解题过程】 由题意可知：球的截面半径r＝3 cm，球心与该球截面的距离d＝4 cm，由R＝得R＝＝5 (cm)， 由球的表面积计算公式得：S球＝4πR2＝4π×52＝100π (cm2)， 由球的体积计算公式得：V球＝πR3＝π×53＝π (cm3). 解读 考纲考情 1.(原创)下列几何体中不是旋转体的是(　　　) D 【试题分析】 本题考查旋转体的知识. 【解题过程】 D选项中几何体是三棱柱，不是旋转体，故选D. 拓展 教材母题 24 2.(原创)圆柱形水桶盛水量指的是(　　　) A.圆柱的侧面积 B.圆柱的表面积 C.圆柱的底面积 D.圆柱的容积 D 【试题分析】 本题考查圆柱的知识. 【解题过程】 圆柱形水桶盛水量指圆柱的容积，故选D. 拓展 教材母题 3.圆锥的侧面展开图是(　　　) A.圆弧 B.矩形 C.扇形 D.圆 C 【试题分析】 本题考查圆锥的知识. 【解题过程】 圆锥的侧面展开图是扇形，故选C. 拓展 教材母题 4.在右图中，以直线为轴旋转，可以得出的几何体是(　　　) A.棱柱 B.棱锥 C.圆柱 D.圆锥 D 【试题分析】 本题考查旋转体的有关知识. 【解题过程】 由圆锥定义可知该图形旋转形成圆锥，故选D. 拓展 教材母题 5.下列关于球截面的说法不正确的是(　　　) A.球的截面一定是圆 B.小圆的半径小于球的半径 C.大圆的半径大于球的半径 D.球的截面圆心与球心之间距离即为球心到截面的距离 C 【试题分析】 本题考查球的截面知识. 【解题过程】 大圆的半径等于球的半径，故选C. 拓展 教材母题 6.球的体积与表面积在数值上相等，则其半径大小是________.  3 【试题分析】 本题考查球的表面积和体积. 【解题过程】 球的表面积为4πR2，球的体积为πR3，由4πR2＝πR3，得R＝3. 拓展 教材母题 7.如图所示，在圆锥AO中，轴截面是一个边长为4的正三角形，求该圆锥的表面积和体积. 【试题分析】 本题考查正棱锥的表面积和体积计算. 拓展 教材母题 【解题过程】 因为圆锥轴截面是一个正三角形，所以底面的直径2r＝l＝4，即r＝2，圆锥的高h＝＝2.故这个圆锥的表面积为：S表＝πr(l＋r)＝2π×(4＋2)＝12π，体积为：V＝πr2h＝π×22×2π. 拓展 教材母题 $$