第28讲平面 课件-2025年安徽省职教高考数学总复习

第28讲　平面 思维导图 构建 2 能力层级 考试内容　　　 了解 理解 掌握 平面的特征和表示 平面的概念. 平面与平面图形区别. 平面的表示方法. 空间中点与线、面的关系及符号表示 空间中点、线、面关系.   空间中点、线、面关系的符号表示. 平面的基本性质   平面性质的三个公理.   解读 考纲考情 3 复习建议： 1.考情小结：平面的基本性质近5年来没有直接考查.但本讲内容是学习立体几何的基础知识，是学生从二维认识到三维认识的起点知识. 2.备考攻略：本讲内容贯穿于整个立体几何学习过程，学好平面的基本性质是学好立体几何知识的前提. 解读 考纲考情 1.平面的特征 数学中的平面具有平和无限延展的特征.可以向各个方向无限 延展. 备考讲义 考点1 平面的特征和表示 核心考点 探究 5 2.平面的表示 (1)通常我们用平行四边形、三角形、圆等平面图形来表示. (2)为了叙述方便，常常把几何对象用字母表示.平面可以用小写希腊字母α、β、γ、… 表示，也可以用多边形的顶点字母表示. 核心考点 探究 例1　下列说法正确的个数是(　　　) (1)教室的黑板面是一个长2 m，宽1 m的平面； (2)篮球的球面是平面的一部分； (3)把两个平面叠加一起比一个平面要厚. A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】 D 核心考点 探究 【试题分析】 本题考查平面的特征.平面是抽象的，是平的且向各个方向无限延展.没有具体的面积和厚薄. 【解题过程】 根据平面的特征，黑板面只是平面的一部分不是平面，说法(1)错误；平面是平的，篮球球面是曲面，说法(2)错误；平面没有厚薄之分，无论多少个平面叠加在一起都一样，说法(3)错误，故选D. 核心考点 探究 跟踪训练1　下列说法正确的是(　　　) A.平面形状是多样的，如平行四边形、三角形、圆形等 B.两个平面的面积之和要比其中一个平面面积要大 C.平面图形是平面的一部分，常常代表平面 D.光滑的圆柱的侧面是平面 C 【试题分析】 本题考查平面的特征，弄清平面的特征，区分平面与平面图形是关键. 核心考点 探究 【解题过程】 平面是无限延展，没有形状；平面图形是平面的一部分，代表平面，其形状是多样的；平面是平的，圆柱的侧面是曲面不是平面. 核心考点 探究 例2　如图所示平行四边形ABCD表示平面，则下列平面表示错误的是(　　　) A.平面α B.平面ABCD C.平面AB D.平面AC 【答案】 C 核心考点 探究 【试题分析】 本题考查平面的字母表示.平面若用平行四边形表示，则可以用小写希腊字母或顶点字母表示，不可用连续的两个顶点字母表示. 【解题过程】 根据平面表示的规则，平面AB不符合要求，故选C. 核心考点 探究 跟踪训练2　下列图形中不能用来表示平面的是(　　　) A. B. C. D. B 【试题分析】 本题考查平面的表示，平面只能用平面图形表示. 【解题过程】 长方体不是平面图形，不能表示平面. 核心考点 探究 1.空间中点与线、面的关系 直线和平面均可看作由无数个点组成的点集.一个点要么在已知直线上，要么不在已知直线上；同样，一个点要么在已知平面内，要么不在已知平面内.点在直线上又可称为直线经过点；同样，点在平面内又可称为平面经过点.点不在直线上可称为直线不经过点或点在直线外.点不在平面内可称为平面不经过点或点在平面外. 备考讲义 考点2 空间中点与线、面的关系及符号表示 核心考点 探究 2.空间中点与线、面关系符号表示 点P在直线l上 点P不在直线l上 点P在平面α内 点P不在平面α内         P∈l P∉l P∈α P∉α 核心考点 探究 例3　“点A在直线m外；点O在平面ABCD内”用符号语言表示. 【试题分析】 本题考查空间中点与线、面的关系符号表示.直线与平面都是点的集合，点与直线和平面的位置关系符号表示就是元素与集合的关系. 【解题过程】 点A在直线m外，即点A不在直线m上，符号表示：A∉m；点O在平面ABCD内，符号表示：O∈平面ABCD. 核心考点 探究 跟踪训练3　如图所示，下列关系表示错 误的(　　　) A.P∉平面α B.A∈平面α C.A∈直线l D.P⊈直线l D 【试题分析】 本题考查点与线、面位置关系及符号表示，结合图形观察位置关系，用符号正确表示. 【解题过程】 点P在直线l外，符号表示：P∉直线l. 核心考点 探究 1.公理1　 经过不在同一条直线上的三点，有且 只有一个平面.这个公理也可以说成 “不共线的三点确定一个平面”. 如图所示，点A、B、C不共线.由公理1可知，存在唯一的平面α，使得A∈α，B∈α，C∈α. 备考讲义 考点3 平面的基本性质 核心考点 探究 2.公理2 如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内. 当一条直线上的所有点都在平面内时，称直线在平面内，或者说平面经过直线.直线l在平面α内可表示为l⊆α.当直线l不在平面α内时，表示为l⊈α，此时直线与 平面有一个公共点或没有公共点. 如图所示，由A∈α，B∈α， 可知AB⊆α. 核心考点 探究 3.三个推论 由公理1、2得到以下结论： 推论1　经过一条直线和该直线外一点有且只有一个平面. 如图1所示，A∉l，存在唯一的平面α，使得A∈α，l⊆α. 图1 核心考点 探究 推论2　经过两条相交直线有且只有一个平面. 如图2所示，直线m与直线n相交于点A，存在唯一的平面α，使得m⊆α，n⊆α. 推论3　经过两条平行直线有且只有一个平面. 如图3所示，m∥n，存在唯一的平面α，使得m⊆α，n⊆α. 图2　　　　　　　　 　图3 核心考点 探究 4.公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条经过该点的公共直线. 当平面α与平面β相交于直线l时，记作 α∩β＝l. 如图所示，A∈α，A∈β，存在唯一的 直线l，使得A∈l，α∩β＝l. 核心考点 探究 例4　下列说法正确的是(　　　) A.经过空间的任意三个点，只能确定一个平面 B.三条直线相交，最多可确定两个平面 C.一条直线和这条直线外的一点，可以确定一个平面 D.四条线段首尾相连，所得的图形一定是平面图形 【答案】 C 【试题分析】 本题考查平面的基本性质.确定平面依据是公理1、2和三个推论，要注意依据中的条件. 核心考点 探究 【解题过程】 不共线的三点确定一个平面，A选项错误；三条直线相交，每两个直线确定一个平面，故最多可确定三个平面，B选项错误；四条线段首尾相连，所得的图形也可以是空间四边形，D选项错误；根据推论1，C选项正确，故选C. 核心考点 探究 跟踪训练4　在空间中，可以确定一个平面的条件是(　　　) A.四个点不共线 B.两条直线不垂直 C.三条直线相互平行 D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点 D 【试题分析】 本题考查平面的基本性质——共面，弄清公理1与三个推论是关键. 核心考点 探究 【解题过程】 四个点中某个点可以与另外三个点所确定的平面不共面；两条直线不垂直不能确定两条直线一定是平行或相交；三条直线相互平行时，某一条直线可以与另外两条直线所确定的平面不共面；由公理1可知，D选项正确. 核心考点 探究 例5　若平面α与平面β满足：α∩β＝m，α∩β＝A，则点A与直线m关系正确的是(　　　) A.A⊆m B.A∈m C.m⊆A D.m∈A 【答案】 B 【试题分析】 本题考查平面的基本性质.两个平面相交有交线，有交点，且交点一定在交线上. 核心考点 探究 【解题过程】 α∩β＝m表示平面α与平面β的交线是直线m，α∩β＝A，表示平面α与平面β的交点是点A，点A在直线m上，符号表示是：A∈m，故选B. 核心考点 探究 跟踪训练5　下列图形正确表示两个平面α，β相交于直线l的是 (　　　) A.① B.①③ C.①②④ D.②④ D 核心考点 探究 【试题分析】 本题考查平面的基本性质——两个平面相交，弄清公理3是关键. 【解题过程】 两个平面相交，必有交线且画图要画出来，平面被遮挡时要画虚线或不画，故②④画法正确的. 核心考点 探究 1.(原创)关于平面的特征理解正确的是(　　　) A.平面是具体的，现实中存在平面 B.平面图形是平面的具体化的体现 C.广袤平坦的大草原是平面 D.平面的形状是多姿多彩的 B 【试题分析】 本题考查平面特征，解题时一定抓住平面的“平”“无限延展”两个重要特征. 拓展 教材母题 31 【解题过程】 平面和直线一样是抽象的，不是具体的，现实中不存在；平面图形是平面的一部分，是平面的具体化体现，故选B. 拓展 教材母题 2.(改编)下列图形不能代表平面的是(　　　) A. B. C. D. D 【试题分析】 本题考查平面的表示，解题时首先明确平面只能用平面图形表示. 【解题过程】 圆柱不是平面图形，不能表示平面，故选D. 拓展 教材母题 33 3.(改编)如图所示，下列表示的关系不正确 的是(　　　) A.α∩β＝l B.A∉l C.C⊆β D.B∉β 【试题分析】 本题考查空间中点与线、面位置关系及符号表示，解题时首先看懂图形表示，正确使用符号表示. 【解题过程】 通过图形可以看出点C在平面β内，符号表示是：C∈β，其余选项表示位置关系和符号表示都是正确的，故选C. C 拓展 教材母题 34 4.(原创)若空间中存在不同点A，B，直线l与平面α，满足条件 A∈l，l⊈α，则下列说法正确的是(　　　) A.A∉α B.若B∈l，A∈α，则B∉α C.若B∈α，则B∉l D.若B∉α，则B∉l B 【试题分析】 本题考查平面的基本性质——公理2，直线上至少有两个点在平面内，则这条直线在平面内，否则直线在平面外. 拓展 教材母题 35 【解题过程】 l⊈α则直线l不存两个或两以上点在平面α内，但直线l与平面α可以有最多一个交点，A选项中点A可以在平面α内；C选项中若A∉α，则点B可以在直线l上；D选项中，B∉α时点B可以在线l，故选B. 拓展 教材母题 5.(改编)若直线a，b，c满足a∥b，a∩c＝A，b∩c＝B，则a， b，c确定的平面数为(　　　) A.0 B.1 C.2 D.1或2 B 【试题分析】 本题考查平面的基本性质——公理2和推论3，解题时先利用推论3确定两条平行的直线共面，再利用公理2确定第三条直线和它们共面. 拓展 教材母题 37 【解题过程】 由a//b得直线a、b确定一个平面(假如是平面α)，直线c上两点A、B都在平面α内，从而得出直线c也在平面α内，故选B. 拓展 教材母题 6.(原创)根据语言描述，写出符号表示直线l不是平面α与平面β的交线，但点A是平面α与平面β的交点__________________.  α∩β≠l，A∈(α∩β) 【试题分析】 本题考查空间中点与线、面位置关系符号表示，解题时可以结合集合中的符号表示. 【解题过程】 直线l不是平面α与平面β的交线：α∩β≠l，点A是平面α与平面β的交点：A∈(α∩β). 拓展 教材母题 39 7.(原创)请添加条件(用符号表示)使得下列结论成立 (1)过直线m与点A确定一个平面：____________；  (2)过无公共点的两条直线a与直线b确定一个平面：________.  A∉m　 a//b 【试题分析】 本题考查平面的基本性质——共面，解题时不要忘记三个推论中的条件. 【解题过程】 过直线m与点A确定一个平面，这个点在直线 外；过无公共点的两条直线a与直线b确定一个平面，这两条直线平行. 拓展 教材母题 40 8.(原创)平面α不经过直线m，但直线m与平面α和平面β的交线l交于点O，点A在直线m上且在平面β内. (1)用符号表示上述语言描述内容； (2)判断点A与平面α，直线m与平面β的关系. 【试题分析】 本题考查空间中点与线、面位置关系符号表示.解题时根据点、线、面位置关系语言描述，正确选择符号表示. 拓展 教材母题 41 【解题过程】 (1)平面α不经过直线m：m⊈α，平面α与平面β的交线是l：α∩β＝l，直线m与交线l交于点O：m∩l＝O，点A在直线m上且在平面β内：m∩β＝A. (2)由m⊈α得直线m与平面最多有一个交点，由α∩β＝l，m∩l＝O得m∩α＝O，由m∩β＝A得A∈m，故点A不可能在平面α内：A∉α.由α∩β＝l，m∩l＝O得m∩β＝O，再由m∩β＝A得m⊆β. 拓展 教材母题 42 $$