专题2.1 函数的概念（七类核心考点精讲）-2026年高考数学一轮复习【重点•难点突破】精讲(新教材新高考)

专题2.1 函数的概念 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 5 【课程标准】 5 【考情分析】 6 【2026考向预测】 6 三、知识点•逐点夯实 6 知识点1、函数的概念 6 知识点2、函数的三要素 6 知识点3、函数的表示法 6 知识点3、分段函数 6 【常用结论】 7 四、重点难点•分类突破 7 考点1 函数的概念 7 考点2 求函数的定义域 9 考点3 求抽象函数的定义域 11 考点4 判断函数为（同一）相等函数 12 考点5 函数的表示法（求函数的值域） 14 考点6 求函数的值域 16 考点7 分段函数 18 五、必考题型•分层训练 21 A、基础保分 21 B、综合提升 25 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 6．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，第5题,5分 函数的奇偶性和周期性 一般 2024年新I卷，第6题,5分 根据分段函数的单调性求参数 一般 2024年新I卷，第8题,5分 求函数值 抽象函数的关系 较难 2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数奇偶性的应用 较难 2023年新I卷，第4题,5分 复合函数的单调性 一般 【2026考向预测】 历年高考对函数概念的考查相对比稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、函数的概念 （1）一般地，给定 ，，按照某个对应法则，使得中 元素，都有中 的 与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作： ，．集合叫做函数的 ，记为，集合，叫做 ，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 知识点2、函数的三要素 （1）函数的三要素： 、 、 ． （2）如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为同一个函数． 知识点3、函数的表示法 表示函数的常用方法有 、 和 ． 知识点4、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【常用结论】 1、基本的函数定义域限制 （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 四、重点难点•分类突破 考点1 函数的概念 例1．（2024·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数的图象的是（    ） A．B．C．D． 例2．（2025高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024高三·全国·专题练习）已知，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ） A．  B．  C．    D．       【变式训练2】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 考点2 求函数的定义域 例3．（2024·河北·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024高三上·北京·期中）函数的定义域是 . 【变式训练3】（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【变式训练4】（2024·陕西西安·一模）函数的定义域为 考点3 求抽象函数的定义域 例5．（2025·天津·二模）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 例6．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】（23-24高三上·新疆·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【变式训练6】（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点4 判断函数是否为（同一）相等函数 例7．（2023·四川·模拟预测）与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 例8．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练7】（23-24高三上·云南大理·期中）（多选题）下列两个函数是相同函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式训练8】（多选题）下列各组函数中表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点5 函数的表示法（求函数的解析式） 例9．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 例10．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练9】（2023·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【变式训练10】若，则 . 考点6 求函数的值域 例11．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 例12．（2025·四川泸州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练11】（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 【变式训练12】（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 考点7 分段函数 例13．（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 例14．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式训练13】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则 . 【变式训练14】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为 . 五、分层训练 1．下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）设集合，．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（2025·陕西咸阳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 5．下列函数中，与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 8．若函数满足关系式，则 . 9．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（多选题），下列说法正确的有（    ） A．的减区间为 B．的值域为 C．若有3个零点，则 D．若有5个零点，则 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 函数的概念 目录 目录 1 一、5年高考•真题感悟 2 二、课程标准•考情分析 5 【课程标准】 5 【考情分析】 6 【2026考向预测】 6 三、知识点•逐点夯实 6 知识点1、函数的概念 6 知识点2、函数的三要素 6 知识点3、函数的表示法 6 知识点3、分段函数 6 【常用结论】 7 四、重点难点•分类突破 7 考点1 函数的概念 7 考点2 求函数的定义域 9 考点3 求抽象函数的定义域 11 考点4 判断函数为（同一）相等函数 12 考点5 函数的表示法（求函数的值域） 14 考点6 求函数的值域 16 考点7 分段函数 18 五、必考题型•分层训练 21 A、基础保分 21 B、综合提升 25 一、5年高考•真题感悟 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、抽象函数的值域 【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025·全国一卷·高考真题）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 5．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求已知函数的极值点 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 6．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】求函数值、指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 二、课程标准•考情分析 【课程标准】 （1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 【5年考情分析】 5年考情分析 考题示例 考点分析 难易程度（简单、一般、较难、很难） 2025年新I卷，第5题,5分 函数的奇偶性和周期性 一般 2024年新I卷，第6题,5分 根据分段函数的单调性求参数 一般 2024年新I卷，第8题,5分 求函数值 抽象函数的关系 较难 2024年新Ⅱ卷，第6题,5分 函数奇偶性的定义与判断 函数奇偶性的应用 较难 2023年新I卷，第4题,5分 复合函数的单调性 一般 【2026考向预测】 历年高考对函数概念的考查相对比稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质． 三、知识点•逐点夯实 知识点1、函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 知识点2、函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 知识点3、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 知识点4、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【常用结论】 1、基本的函数定义域限制 （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 四、重点难点•分类突破 考点1 函数的概念 例1．（2024·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数的图象的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义，对于一个，只能有唯一的与之对应，只有D满足要求 故选：D 例2．（2025高三·全国·专题练习）下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】观察所给的四个选项是否符合函数的概念，自变量到因变量对应关系允许“一对一”、“多对一”不允许“一对多”；自变量元素不允许“剩余”即可判断. 【详解】A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对应，故A选项不正确； B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不正确； C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确； D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D选项正确． 故选：D 【变式训练1】（2024高三·全国·专题练习）已知，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ） A．  B．  C．    D．       【答案】C 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据定义域以及值域概念，由函数概念即可判断结论. 【详解】对于A，函数的值域为，不符合题意； 对于B，函数的值域为，不符合题意； 对于C，函数的定义域为，值域为，符合题意； 对于D，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为（     ） A．31 B．33 C．41 D．133 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【分析】由知，且不能只，中至少还要有1个函数值等于1，然后进行分类列举即可. 【详解】因为，若，则，所以， 若仅，设，则， 所以函数不能仅有，在中至少还要有1个函数值等于1，具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1,又，4个中取3个函数值为1有种，另一个的取值有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，4个中取2个函数值为1有种，另外2个的取值有种，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，4个中取1个函数值为1有种，另3个的取值有1种，此时有种情况； 综上共有， 故选：C. 考点2 求函数的定义域 例3．（2024·河北·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意得，解不等式得解. 【详解】由，即，即，解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 例4．（2024高三上·北京·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】由解析式有意义可得，解不等式可得结论. 【详解】要使函数有意义，则满足：， 解得： 所以函数的定义域为. 故答案为： 【变式训练3】（2025·北京朝阳·一模）函数的定义域为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故答案为：. 【变式训练4】（2024·陕西西安·一模）函数的定义域为 【答案】且 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域 【分析】利用函数有意义列不等式求解. 【详解】由题意得 ， 则函数定义域为 且. 故答案为且. 考点3 求抽象函数的定义域 例5．（2025·天津·二模）若函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】先由求得，再由可求出的定义域 【详解】因为，所以，所以的定义域为， 要使有意义，需满足，解得. 故答案为： 例6．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域列不等式组即可求解. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 【变式训练5】（23-24高三上·新疆·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据抽象函数定义域求法和分式、根式有意义的要求可构造方程组求得结果. 【详解】由题意知：，解得：，的定义域为. 故答案为：. 【变式训练6】（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、抽象函数的定义域 【分析】由题可知解即可得答案. 【详解】解：因为函数的定义域为， 所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 故选：C 考点4 判断函数是否为（同一）相等函数 例7．（2023·四川·模拟预测）与函数是相同函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据，对原不等式等价变形即可. 【详解】由得， 所以． 故选：C． 例8．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得． 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，但对应法则不同，所以不是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数. 故选：A． 【变式训练7】（23-24高三上·云南大理·期中）下列两个函数是相同函数的有（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】利用函数的定义域和对应法则、判断函数是否相同的方法分析运算判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，故不是相同函数，故A错误； 对于选项B，， 两函数定义域和对应法则相同，故为相同函数，故B正确； 对于选项C，与定义域不同， 故不是相同函数，故C错误； 对于选项D，，函数的定义域、对应法则均相同， 所以两函数是相同函数，故D正确. 故选：BD． 【变式训练8】（多选题）下列各组函数中表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断． 【详解】A中两个函数定义域都是，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数； B中两个函数定义域都是，对应法则都是取平方，是同一函数； C中定义域是，的定义域是，不是同一函数； D中的定义域是，的定义域是，不是同一函数． 故选：AB． 考点5 函数的表示法（求函数的解析式） 例9．（2024·四川德阳·三模）已知，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求解析式中的参数值 【分析】令，求出，代入解出. 【详解】， 且， 令，，解得， ，即, . 故选：C. 例10．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】先由换元法求得函数的解析式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则，所以，即， 则 故选：D． 【变式训练9】（2023·河南·模拟预测）已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】先把x都化为2x，进行化简得到，再把x替换为得到，最后联立方程组求解即可. 【详解】由，得，即①，将换为，得②，由①+2②，得，故. 故答案为：. 【变式训练10】若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知f（g（x））求解析式、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角余弦公式可求得，从而得到，代入即可得到结果. 【详解】，，则. 故答案为：. 考点6 求函数的值域 例11．（2025·安徽·一模）函数的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求指数函数在区间内的值域 【分析】由函数的单调性即可求解. 【详解】因为与在上均为减函数， 且当时，，所以， 故的值域为. 故答案为： 例12．（2025·四川泸州·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、求指数函数在区间内的值域 【分析】由题意可得，，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 【变式训练11】（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、分段函数的值域或最值 【分析】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 【详解】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 【变式训练12】（2025·重庆·模拟预测）函数 的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、判断指数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域. 【详解】函数的定义域为， 又与在上均单调递增， 所以在上单调递增， ，故的值域为. 故选：D. 考点7 分段函数 例13．（2025·海南·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】先求出当时，的值域为，分析出要使的值域为，必须让时，的值域取到的所有值，然后分和两种情况分别求出的值域即可得解. 【详解】当时，的值域为， 所以要使的值域为，当时， 的值域需取到的所有值. 若，则的值域为， 所以只须，解得， 所以当时，的值域为； 若，则的值域为， 此时的值域不可能取到的所有值， 综上，实数的取值范围是. 故选：B 例14．（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、求指数型复合函数的值域、分段函数的值域或最值 【分析】结合分段函数的性质先求出定义域，再结合指数函数的及二次函数的性质求出值域，即可求解. 【详解】由题意可得函数的定义域为， 当时，， 要使得定义域和值域的交集为空集，则， 又时，， 若，则，此时显然不满足题意， 若，则在上单调递减，， 故， 所以，解得. 故选：B. 【变式训练13】（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值 【分析】根据分段函数的解析式，先求出，再求出即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 【变式训练14】（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解分段函数不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合对数函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由函数， 当时，可得且，则 此时不等式，即为， 即， 令，可得函数在上为单调递增函数， 且，所以，所以的解集为； 当时，不等式，即为，此时不等式不成立，舍去； 当时，可得且，则 此时不等式，可得， 令，可得函数在上为单调递减函数， 且，所以，所以的解集为， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 五、分层训练 1．下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数关系的判断 【详解】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 2．（2024高三·全国·专题练习）设集合，．下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】函数关系的判断 【分析】根据集合到集合的函数定义即可求解. 【详解】A中中的x没有对应的象，不符合； B符合函数定义， C也符合函数定义， D中对于的x有两个象与之对应，不符合． 所以有2个满足． 故选：B 3．（2025·陕西咸阳·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算、具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出函数定义域分别化简集合，，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】由得，∴， 由，得，解得或 ∴， 故选：B. 4．（2023·江苏镇江·模拟预测）若函数的定义域为，则的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域 【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为，则，可得， 所以，函数的定义域为， 对于函数，则有，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：C. 5．下列函数中，与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等、具体函数的定义域 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数. 【详解】解：对于A，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数； 对于C，两函数的定义域都是，且对应关系相同，故两函数为相同函数； 对于D，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数. 故选：C. 6．（2025·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求已知指数型函数的最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】考虑，函数的值域，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，及时代入判断即可. 【详解】当时， ， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最大值， 若，在上单调递减， 要想函数有最大值，则，解得； 若，，函数有最大值1，符合题意； 故实数的取值范围为. 故选：A. 7．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、抽象函数的定义域 【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数的定义域是， 所以，故， 因为有意义， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 8．若函数满足关系式，则 . 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】函数方程组法求解析式、求函数值 【分析】用方程组法求得，代入求值即可解答. 【详解】因为，所以， 解得，所以. 故选： 9．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】求出在区间上的值域，要使的值域为R，只需在区间上的值需取遍区间内所有值，列出关于的不等式组可得答案. 【详解】由题知，在区间上单调递增， ∴在区间上的值域为， 时，， 其对称轴为，要使的值域为R， 则在区间上的值需取遍区间内所有值， ，解得. 故选：C． 10．（多选题），下列说法正确的有（    ） A．的减区间为 B．的值域为 C．若有3个零点，则 D．若有5个零点，则 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据函数的解析式，可画出函数草图，利用函数草图，可轻松判断ABC的真假；再结合分类讨论思想的应用，判断D的真假. 【详解】函数的草图如下： 由图象可知： 函数的减区间为和两个，不能用“并集”符号连接，故A错误； 函数值域为，故B正确； 若有3个零点，则，故C正确； 对D：结合函数草图：由或； 由或，解得：或或. 设，由题意方程有5个不同的根. 由， 若，则只有1解，且，此时方程有3个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有7个解； 若，则有3解，且或或， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有和两个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有1个解，所以方程有5个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有，共2个解，方程有1个解，所以方程有3个解； 若，则有1解，且，此时方程至多有1个解. 综上：若有5个零点，则.故D正确. 故选：BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 $$