高考中的距离问题 课件-2025届高三数学二轮专题复习

《高考中的距离问题》 专题复习课 学情调研——测试卷 测试卷从距离的概念和距离的计算两个方面进行调查，分别考查学生对概念的理解和距离的求解. 咫尺与天涯 关于“距离”内容的学习大家仍存在很多问题，比如：只是会解一些比较简单的“距离”题目，没有真正理解“距离”的概念，导致在学习较有难度的内容时困难重重，再比如，求异面直线的距离、 点到平面的距离转化，与距离有关的最值问题，距离的新定义题目等等。 学情调研——问卷调查 距离中的难点 异面直线的距离41% 与距离有关的最值问题25% 距离新定 义19% 点到平面的距离转化 15% 异面直线的距离 复杂距离的计算 距离新定义 点到平面的距离转化 5.2 3.2 2.4 1.1 为了进一步探寻距离的本质，对教材内的距离概念深度覆盖和理解,领会距离问题的本质和研究方法，我们把教材中的距离复习问题划分为探寻距离内涵—推导距离公式—改编课后习题—梳理常用方法—距离的拓展和应用五个模块进行探究，来完成本次高考中距离问题的复习. 项目分组 1组 常用方法的梳理 2组 课本习题的改编 3组 距离的拓展和应用 4组 距离公式的推导 5组 探寻距离的内涵 深耕教材 融通高考 实践应用 课前成立学习小组 小组共研共学 形成成果 课堂展示 第一小组 01 探寻距离的内涵 万紫千红总是春 初中阶段：有关“距离”的两个重要的概念. 点与点之间的距离概念 连接两点间的线段的长度 点到直线的距离概念 点到直线的垂线段的长度 高中阶段：学习了平面两点之间、点到直线的距离公式，学习了空间两点距离公式，还有立体几何中点到平面距离、直线到平面距离、两个平行平面间的距离、两条异面直线距离等.另外，解析几何中的抛物线、椭圆和双曲线通过“距离”定义。 这些距离的本质都是特殊情况下点与点的距离。 阅读教材与查阅文献 在泛函分析中，距离的概念不局限于欧式距离，距离可以被抽象为一个度量。 满足非负性，对称性和三角不等式。 点与直线上点距离的最小值 点到直线的距离 两直线上点距离的最小值 点到平面的距离 直线与平面的距离 两直线距离 点与平面上点距离的最小值 直线上点与平面上点距离的最小值 两点间距离最小值 距离的内涵 “距离”知识内在联系图 第二小组 02 公式的推导 以点到直线的距离为例 吾将上下而求索 点到直线的距离 点到直线的距离 两点间距离 相互 转化 两平行线的距离 P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点间的距离公式为 点 到直线 的距离为 同一平面内 两条平行线 间的距离 步 骤 : (1)求直线PQ的斜率； (3)求出Q点的坐标； (4)由两点间距离公式d=|PQ|. 法一：定义法 探究：点到直线距离公式的证明 (2)用点斜式写出直线PQ的方程； 探究：点到直线距离公式的证明 法二：等面积法 探究：点到直线距离公式的证明 法三：向量法 探究：点到直线距离公式的证明 空间向量求点到直线距离 A P Q l 探究：点到直线距离公式的证明 法一：定义法 思路自然，但运算量大 法二：等面积法 观察图形的几何元素，分析他们之间的关系，并构造直角三角形。用图形求解运算简洁，因为既不需要写出垂线的方程，也不必求出垂足的坐标，减少了部分计算量。 法三：向量法 求空间距离的通法，构造性强，需要整体观和较高的思维水平，对向量的深入认识，运算简便 优化计算路径 经过刚刚的探究过程，我们已经知道利用几何图形的特征可以简化运算。 能不能对方法一的计算路径做一些优化？ 人教A版选择性必修一课本67页 几何图形建立直观，通过代数公式表达规律 第三小组 03 课本习题的改编 以异面直线的距离为例 一渠春水柳千条 师生共研共学 课前项目研讨视频片段 异面直线的距离 公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。 方法一：公垂线法 人教A版选择性必修一课本44页 14题 改编：求异面直线 之间的距离. 方法二：转化法 转化为求线面距 转化为求面面距 追本溯源 方法一：公垂线法 方法二：转化法 方法三：等体积 方法四：构造函数 方法五：向量法 异面直线的距离 那么，最小值就是异面直线AC和BF之间的距离吗？ M,N两点虽然是动点但是他们相互制约，因而不是异面直线间的距离。 原题解答： 改编——来自课后习题的PK 异面直线的距离 改编——来自课后习题的PK 改编1： 异面直线的距离 改编——来自课后习题的PK 改编2： 第四小组 04 常用方法的梳理 以点到平面的距离为例 为有源头活水来 点到平面的距离 定义：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离。 作用：（1）求几何体的体积； （2）求直线与平面所成的角； （3）求二面角； 常用方法总结 方法一：定义法，根据题意得到平面 外一点 P 在平面 内的射影 O，建立三角形，解出 PO 的长度。 α α 追本溯源 人教A版选择性必修一教材P42页 高考真题 周国红 (周) - 常用方法总结 追本溯源 人教A版选择性必修一教参P71页 线面距 点面距 高考真题 常用方法总结 追本溯源 常用方法总结 追本溯源 人教A版选择性必修一教材P44页 高考真题 将已知点作为某个三棱锥的顶点，在已知平面上取一个三角形作为该三棱锥的底面，先求出此三棱锥的体积和底面积，再用等体积法求棱锥的高，即点到平面的距离． 常用方法总结 追本溯源 向量法解题的一般步骤是： (1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系； (2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量； (3）设出相应平面的法向量，利用两个向量的数量积为零列出方程组求出法向量； (4）将空间位置关系转化为向量关系，求出相应的距离． 第五小组 05 距离的拓展和应用 以曼哈顿距离为例 千树万树梨花开 曼哈顿距离 欧式距离的拓展——折线距离 “折线距离”,也可称为“曼哈顿距离”或 “出租车距离”,是十九世纪德国数学家赫尔曼·闵科夫斯基所创，表示两点在平面直角坐标系中坐标轴绝对距离之和，可记作 如右图,实线表示A,B两点间欧氏距离的唯一“路径”,两条虚线都是两点间曼哈顿距离的“路径”,且两条虚线长度均是A,B 两点间的曼哈顿距离 A,B两点间的欧氏距离，指A,B两点之间的直线长度 欧式距离的拓展——折线距离 曼哈顿距离 绝对值三角不等式 性质一 性质二 曼哈顿距离 分析 该题是以城市中如棋盘式的道路 为背景而抽象出来的模型，这种模型正是曼哈顿距离的现实意义. 曼哈顿距离 根据定义得到： 分开来算 曼哈顿距离 距离的应用——建模 垂直方向距离 曼哈顿距离 距离的应用——建模 问题3：对于模型求解这一步，上面我们是通过解不等式的方法得到的，还有其他方法求出代数式Z的最小值吗？ GGB画图 曼哈顿距离 距离的应用——建模 A1 A2 曼哈顿距离 距离的应用——建模 总结： 通过本节课的学习，请你从知识，方法，思想等角度谈谈你的收获？你还存在那些疑惑？ 方法 数形结合、转化和化归 应用 数学源于生活应用于生活 定义法 向量法 构造函数 等体积转化法 公垂线 不等式放缩 思想 感谢聆听 Lavf58.20.100 空间的距离 $$