精品解析：四川省阆中中学校2024-2025学年高三下学期5月模拟数学试题

阆中中学校2024-2025学年度下期高2022级5月模拟 数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出4个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量在向量上投影向量为，，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了分析某次数学模拟考试成绩，在90分及以上的同学中随机抽取了100名同学的成绩，得到如下成绩分布表： 分数区间 人数 14 16 18 30 20 2 根据表中的数据，下列结论中正确的是（ ） A. 所抽取的100名同学的成绩的中位数小于120 B. 所抽取的100名同学的成绩低于130所占比例超过 C. 所抽取100名同学的成绩的极差不小于40且不大于60 D. 所抽取的100名同学的成绩的平均分数介于100至110之间 5. 已知角的终边经过点，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥中，分别为中点，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 8. 已知函数的定义域为是偶函数，为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 相关系数为的两个随机变量比相关系数为的两个随机变量的线性相关性强 B. 一组数据5，7，9，11，13，15，17，19，21，23的上四分位数为19 C. 若数据的均值为的均值为11，则数据的方差为2 D. 已知随机变量～，若，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，函数恒有两个极值点 B. 设为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 11. 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是时的双纽线上一点，则（ ） A. 关于原点成中心对称 B. 上满足的点有2个 C. 面积的最大值为 D. 当直线与有3个交点时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，已知，则______． 13. 已知双曲线：的左右焦点分别为 ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为______. 14. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有_________种． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对边分别其中，，且. （1）求的值； （2）求的值； 16. 已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：. 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，为锐角，动点D在的边AC上，，，，三棱锥的体积为. （1）证明：平面平面PAB. （2）当点P到直线BD的距离为时，求PD与平面ABC所成的角. 18. 已知函数； （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若正数a使得对恒成立.求a的取值范围； （3）设函数，讨论其在定义域内的零点个数． 19. 为落实立德树人的根本任务，某校决定开展包括音乐课、舞蹈课、篮球课、围棋课等十余门兴趣课来丰富学生的校园生活．已知每门课每月上四节，第一个月每人任选一门进行学习，每上一节课可得1个绩点且表现优秀者额外得1个绩点，若本月获得不少于7个绩点，则此课程结业且下月选择其他的课程，否则继续上原来的课．若甲、乙两人在第一个月均选择了篮球课，且篮球课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为，每节课是否优秀互不影响，甲、乙两人之间也互不影响． （1）求甲同学在第一个月的绩点得分的分布列和数学期望； （2）求第一个月甲、乙两人均结业的概率； （3）为提升同学们的参与度，篮球课上老师策划了两个游戏项目，根据项目的难易度，选择项目的同学奖励1个徽章，选择项目的同学奖励2个徽章，假设每人只选择一个项目且选择项目的概率分别为，每个同学的选择相互独立．若某一时刻老师发放个徽章的概率为，且满足当时，，求及数列的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阆中中学校2024-2025学年度下期高2022级5月模拟 数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出4个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交运算的定义即可求解. 【详解】， 故， 故选：A 2. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据共轭复数的定义求出，由的实虚部可知对应的点的坐标，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以对应的点的坐标是，位于第一象限. 故选：A 3. 已知向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设 、 的夹角为 ，利用投影向量的定义可得出，再利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】设 、 的夹角为 ， 因为向量在向量 上的投影向量为，所以， 又因为，则 ． 故选：C. 4. 为了分析某次数学模拟考试成绩，在90分及以上的同学中随机抽取了100名同学的成绩，得到如下成绩分布表： 分数区间 人数 14 16 18 30 20 2 根据表中的数据，下列结论中正确的是（ ） A. 所抽取的100名同学的成绩的中位数小于120 B. 所抽取的100名同学的成绩低于130所占比例超过 C. 所抽取的100名同学的成绩的极差不小于40且不大于60 D. 所抽取的100名同学的成绩的平均分数介于100至110之间 【答案】C 【解析】 【分析】结合中位数定义判断A，计算成绩低于的同学所占比例判断B，根据极差的定义判断C，计算平均数的估计值判断D. 【详解】对于A选项，根据人数分布可知，所以所抽取的100名同学的成绩的中位数不小于120，所以A选项不正确； 对于B选项，所抽取的100名同学的成绩低于130的人数为， 故所抽取的名同学的成绩低于所占比例低于，所以B选项不正确； 对于C选项，所抽取的100名同学的成绩的极差最大值为，极差最小值大于，所以C选项正确； 对于D选项，成绩的平均分数，所以D选项不正确， 故选：C. 5. 已知角的终边经过点，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，，再求出，最后根据及两角差的正弦公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以，， 因为，， 所以， 又，所以， 所以， 所以 . 故选：A 6. 已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【详解】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 7. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算律计算可得. 【详解】由题意得，，，，， ∴，，. ∵， ∴ . 故选：D. 8. 已知函数的定义域为是偶函数，为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，分析函数的性质，再逐项判断. 【详解】函数的定义域为， 由是偶函数，得，即， 由为奇函数，得，即， 则，， 由，得，因此， ，，无条件保证都为为0， 所以选项ABC不一定成立，选项D一定成立，如函数符合题意， 而，. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 相关系数为的两个随机变量比相关系数为的两个随机变量的线性相关性强 B. 一组数据5，7，9，11，13，15，17，19，21，23的上四分位数为19 C. 若数据的均值为的均值为11，则数据的方差为2 D. 已知随机变量～，若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用相关系数的意义判断A；求出上四分位数判断B；利用方差公式求解判断C；利用正态分布期望及期望的性质计算判断D. 【详解】对于A﹐两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1， 一个是正相关，一个是负相关，，相关性一样，A错误； 对于B，由10×75%=7.5，得第75百分位数为第8个数，为19，B正确； 对于C，的方差为，C正确； 对于D，由，得，由，得，解得，D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，函数恒有两个极值点 B. 设为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的导数，由结合韦达定理求解判断AB；把代入求出极值点判断C；按给定等式计算判断D. 【详解】函数定义域为R，求导得， 对于A，，函数恒有两个变号零点，函数恒有两个极值点，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，当或时，， 当时，，因此分别是的极大值点和极小值点， 由在上有最大值，得，C错误； 对于D， ，则，D错误. 故选：AC 11. 双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是时的双纽线上一点，则（ ） A. 关于原点成中心对称 B. 上满足的点有2个 C. 面积的最大值为 D. 当直线与有3个交点时，的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设动点，把关于原点对称的点代入轨迹方程，显然成立；对于B，易得若|则在轴上再根据的轨迹方程求解即可；对于C，由三角形得面积公式求解判断即可；对于D，联立方程组，由判别式分析求解即可. 【详解】对于A，设动点，由题可得的轨迹方程， 把关于原点对称的点 代入轨迹方程显然成立，故A正确； 对于B，时的双纽线的方程为， 若，则在的中垂线轴上，故此时， 代入得，即，所以只有一个点，故B错误； 对于C，因为，是上的一点， 故， 当，即时等号成立， 下面说明垂直时可取到， ，则， 代入， 得，解得，故C正确； 对于D，直线与有3个交点时， 联立与， 得，当时，适合上述方程， 当时，， 即，则，则， 所以直线与有3个交点时，的取值范围是，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是利用方程的思想，转化为方程根的问题即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在等比数列中，已知，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】设数列的公比为，由条件结合等比数列性质可得，分类讨论求解即可. 【详解】设数列的公比为，由于，则， 若，则矛盾， 则，此时，符合． 所以. 故答案为：. 13. 已知双曲线：的左右焦点分别为 ，，过点的直线与的右支交于两点，且，若的周长为，则的实轴长为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合已知的线段比例关系以及的周长，求出的值，进而得到双曲线的实轴长. 【详解】设，因为，所以，. 根据双曲线的定义：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于定值（）的点的轨迹为双曲线. 对于点在双曲线右支上，有，即，可得 ①. 对于点在双曲线右支上，有，则 . 已知的周长为，的周长， 而. 所以，即 ②. 将①代入②中，得到，即，解得. 根据双曲线的性质，双曲线的实轴长为. 把代入，可得实轴长为. 故答案为：. 14. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法有_________种． 【答案】48 【解析】 【分析】根据分步乘法原理，先选一对双胞胎，再从剩下的三对双胞胎中选出两对，从这两对中各选一个人即可. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择， 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择， 根据乘法原理，总共有种选法. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别其中，，且. （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解； （2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 又，， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可得，，， 所以， 可得， 所以 16. 已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算推理得证. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为，由的面积为，得，解得， 由点在椭圆上，得，而，解得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为，，， 由，消去并整理得， ，又直线与线段交于点，则， ，，于是， 直线的斜率分别为， ，则，而， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，平面ABC，为锐角，动点D在的边AC上，，，，三棱锥的体积为. （1）证明：平面平面PAB. （2）当点P到直线BD的距离为时，求PD与平面ABC所成的角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质结合勾股定理可得，再根据三棱锥的体积公式可得，再根据余弦定理结合勾股定理可得，再根据线面垂直的判定与面面垂直的判定证明即可； （2）以为正交基底，建立空间直角坐标系，设，根据点到面的距离公式与线面夹角公式求解即可. 【小问1详解】 证明：因为平面ABC，平面ABC， 所以，，， 所以，同理得. 又因为， 所以. 因为为锐角三角形，所以. 由余弦定理，可知， 所以，所以， 又因为，，PA，平面PAB， 所以平面PAB，所以平面平面PAB. 【小问2详解】 如图，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，. 设，则. 由， 解得或（负值舍去），所以. 由（1）知PD与平面ABC所成的角为，所以， 所以，即PD与平面ABC所成的角为. 18. 已知函数； （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若正数a使得对恒成立.求a的取值范围； （3）设函数，讨论其在定义域内的零点个数． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，无零点；当时，1个零点. 【解析】 【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，计算及，求出切线方程作答. （2）构造，按正数a与1的关系分类讨论，并借助导数探讨函数的单调性求解作答. （3）求出的解析式，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合零点存在性定理确定零点的个数即可. 【小问1详解】 当时，，则， 所以函数在处的切线方程是：，即. 【小问2详解】 令函数，求导得， 当时，，对恒成立， 当时，由得：，即在上递增，则， 因此对恒成立， 当时，由得：，在上递减，则对，， 因此对恒成立，不符合题意， 所以的范围是. 【小问3详解】 依题意，，，求导得， 当时，无零点； 当时，则，即函数在上递减， 因为，因此函数在上只有1个零点； 当时，令，解得：，则当时，递增， 当时，递减，于是， 又，于是函数在上有唯一零点，在上只有1个零点， 所以当时，函数无零点，当时，函数在上有1个零点. 【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 19. 为落实立德树人的根本任务，某校决定开展包括音乐课、舞蹈课、篮球课、围棋课等十余门兴趣课来丰富学生的校园生活．已知每门课每月上四节，第一个月每人任选一门进行学习，每上一节课可得1个绩点且表现优秀者额外得1个绩点，若本月获得不少于7个绩点，则此课程结业且下月选择其他的课程，否则继续上原来的课．若甲、乙两人在第一个月均选择了篮球课，且篮球课上甲每节课表现优秀的概率为，乙每节课表现优秀的概率为，每节课是否优秀互不影响，甲、乙两人之间也互不影响． （1）求甲同学在第一个月的绩点得分的分布列和数学期望； （2）求第一个月甲、乙两人均结业的概率； （3）为提升同学们的参与度，篮球课上老师策划了两个游戏项目，根据项目的难易度，选择项目的同学奖励1个徽章，选择项目的同学奖励2个徽章，假设每人只选择一个项目且选择项目的概率分别为，每个同学的选择相互独立．若某一时刻老师发放个徽章的概率为，且满足当时，，求及数列的最值． 【答案】（1）分布列见解析， （2） （3）答案见解析， 最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】（1）确定随机变量取值，由独立重复试验概率公式求得概率即可求解； （2）由独立重复试验概率公式求得相应概率，再由独立事件乘法公式求解即可； （3）由条件确定，构造等比数列，由累加法求得，进而可求解. 小问1详解】 设甲同学第一个月的绩点得分为， 则的可能取值为． ， ， ， ， ． 所以的分布列为 4 5 6 7 8 ， 即甲同学在第一个月绩点得分的数学期望为． 【小问2详解】 设乙同学第一个月的绩点得分为， 的可能取值为． ， ． 设甲同学第一个月可以结业为事件，乙同学第一个月可以结业为事件，则 ， ， 根据题意事件显然相互独立， 所以． 【小问3详解】 由题意，当，即发放1个徽章，只有一种情况，， 当，此时有两种情况： ①给两位同学分别发放1个徽章； ②给一位同学发放2个徽章，， 当时，， 则， 所以是首项为，公比为的等比数列． 故成立． 则有 ， 所以， 又， 所以． 当偶数时，， 由于，易得随着的增大而减小， 所以当时取最大值，最大值为， 又当时，，此时无最小值； 当为奇数时，， 同理易得随着的增大而增大， 所以当时取最小值，最小值为， 又当时，，此时无最大值． 综上所述，数列的最大值为，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$