第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系（知识清单+5必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（人教A版2019选修一）

第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 题型梳理 题型方法 题型一 直线的方向向量的理解 题型二 平面的法向量的理解 题型三 平行关系的判定与应用 题型四 垂直关系的判定与应用 题型五 空间线面位置关系的探索性问题 知识清单 知识点01 空间中点的向量和直线的向量表示 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 知识点02 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 知识点03 直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 知识点04 直线和平面平行 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 知识点05 平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 知识点06 直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 知识点07 直线与平面垂直 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 知识点08 平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 题型方法 【题型一】直线的方向向量的理解 【例1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（    ） A．相交或异面 B．相交 C．异面 D．平行 【变式2】（22-23高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知点，，则直线的一个方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(多选)（22-23高二上·福建漳州·阶段练习）下列向量为直线的方向向量的有（    ） A． B． C． D． 【题型二】平面的法向量的理解 【例2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 解题技巧 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【变式3】（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 【题型三】平行关系的判定与应用 【例3】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 解题技巧 证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 . 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【题型四】垂直关系的判定与应用 【例4】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 解题技巧 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 证明线面垂直的方法： (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【变式2】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 【变式3】（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 【题型五】空间线面位置关系的探索性问题 【例5】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题： (1)证明：直线平面； (2)是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【举一反三】【变式1】（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25高二上·重庆·期中）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海宝山·期中）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A． B．20 C． D． 4．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 二、多选题 7．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）．    A．与不可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 8．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论正确的是（    ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．当点为中点时，平面 D．存在点，使得 三、填空题 9．（24-25高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是 . 10．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知直线的法向量为，且直线经过点，则直线的方程为 ． 11．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 12．（24-25高二上·云南文山·期末）已知平面过点，，三点.直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是 . 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 .（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个） 14．（24-25高二下·湖北随州·阶段练习）若直线的方向向量，平面的一个法向量，且，则实数 . 15．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 三、解答题 16．（21-22高二上·安徽亳州·期末）已如空间直角坐标系中，点都在平面内，求实数的值. 17．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 18．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 19．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面的一个法向量． 20．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 21．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 题型梳理 题型方法 题型一 直线的方向向量的理解 题型二 平面的法向量的理解 题型三 平行关系的判定与应用 题型四 垂直关系的判定与应用 题型五 空间线面位置关系的探索性问题 知识清单 知识点01 空间中点的向量和直线的向量表示 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即＝t. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，即＝＋t. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 注意点： (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个． 知识点02 空间中平面的向量表示 1.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2.如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}． 注意点： (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 知识点03 直线和直线平行 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 知识点04 直线和平面平行 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 注意点： (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外． 知识点05 平面和平面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 知识点06 直线与直线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 注意点： (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 知识点07 直线与平面垂直 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 知识点08 平面与平面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 题型方法 【题型一】直线的方向向量的理解 【例1】（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 解题技巧 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 【举一反三】【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（    ） A．相交或异面 B．相交 C．异面 D．平行 【答案】A 【分析】令，利用空间向量的坐标运算判断即可. 【详解】令，即， 则，此方程组无解，则直线，不平行，即相交或异面. 故选：A． 【变式2】（22-23高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知点，，则直线的一个方向向量可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量中直线的方向向量的坐标运算求解即可. 【详解】解：由题意得： ，则直线的方向向量为 逐项分析即可知只有C符合要求. 故选：C 【变式3】(多选)（22-23高二上·福建漳州·阶段练习）下列向量为直线的方向向量的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】直线的方向向量为或. 【详解】直线的方向向量为或，又向量与共线. 故选：BCD 【题型二】平面的法向量的理解 【例2】（24-25高二下·江苏扬州·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据空间向量的平行公式求解即可. 【详解】由可得，故，故，，故. 故选：A 解题技巧 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如，. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)． (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可. 【详解】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量， 故选：A． 【变式2】（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知， 于是，,故① ，② 正确； 因平面，而， 故 可作为平面的法向量，即③正确； 在正方体中，因平面,平面， 则，易得，又，故平面， 而，即可作为平面的法向量，故④错误. 故答案为：①②③. 【题型三】平行关系的判定与应用 【例3】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】通过，列出等式求解即可. 【详解】由题意可知，，所以， 解得，所以. 故选：A. 解题技巧 证明线线平行的两种思路： (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示． 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示． (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证． (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】确定两个向量是否垂直即可． 【详解】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，，D可能满足直线与平面平行． 故选：D． 【变式2】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 . 【答案】/2.5 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【题型四】垂直关系的判定与应用 【例4】（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则的值（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】由已知可得，即，计算即可得出结果. 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且直线平面，所以， 所以，解得. 故选：B. 解题技巧 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 若证明线面垂直，即证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 证明线面垂直的方法： (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论． 证明面面垂直的两种方法 (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·北京平谷·期末）如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（    ） A．存在点，使得平面 B． C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 D．平面平面 【答案】B 【分析】通过建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的相关运算即可判断线面、线线以及面面之间的位置关系，逐一判断A，B，D项，对于C，只需通过作截面，说理计算即可判断. 【详解】 如图建系，设正方体的棱长为2. 对于A，易得， 因是的中点，故，点在上，设， 则， 平面的法向量可取为， 由，解得，即存在，使得平面， 此时，点恰为的中点，故A正确； 对于B，由上建系，则， 由，可知与不垂直，故B错误； 对于C，如图，取的中点为，连接，易得， 因，则得，故有，则， 又平面平面，平面平面， 故即为平面与平面的截线， 又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确； 对于D，由上建系，因为的中点，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 由，可得， 故平面平面，即D正确. 故选：B. 【变式2】（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知在长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，由得，即，利用二次函数即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设，，则，，， ，， ，， 即，所以， 当时，所以，所以.    故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，. (1)求的长； (2)求证：直线平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案； （2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明. 【详解】（1）， 可得 所以； （2），，， 所以 ， 所以，所以， ， 所以，所以，又，平面， 所以平面. 【题型五】空间线面位置关系的探索性问题 【例5】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题： (1)证明：直线平面； (2)是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，1. 【分析】（1）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）设点的坐标为，求出平面的法向量，若假设存在，由，即可求解. 【详解】（1）在棱长为2的正方体中，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， ， 于是， 即，而平面， 所以直线平面. （2）由（1）知，设平面的法向量为， 则，取，得， 假定存在点，使直线平面，设点的坐标为， 则，由，得，解得， 而平面，则平面， 所以存在点，使直线平面，此时. 【举一反三】【变式1】（23-24高二下·四川凉山·期末）如图，在多面体中，四边形是菱形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得∥平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，当与重合时，使得∥平面. 【分析】（1）连接交于点，则由四边形为菱形，得，由平面，得，再利用线面垂直的判定定理可结论； （2）由题意可证得两两垂直，则以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：连接交于点， 因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面； （2）解：取的中点，连接， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以， 因为平面，平面，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，所在的直线分别为建立空间直角坐标系， 设，则， 所以， 假设存在点，使得∥平面， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 由，得， 此时与重合，平面， 所以存在点，当与重合时，使得∥平面. 【变式2】（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 【变式3】（24-25高二上·重庆·期中）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面.    (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. （2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离. （3）以为原点，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为，平面的法向量为，求出两个平面的法向量，由即可求解. 【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以    （2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. （3）    取的中点为，连接， 因为四边形是菱形，且， 所以，， 又因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， ，即， 如图，以为原点， 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设，， 所以，可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， ， 设平面的法向量为， 则， 可得， 使得平面平面， 则，解得， 故上存在一点，当时，平面平面. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·山东枣庄·期末）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 2．（24-25高二下·上海宝山·期中）设直线的方向向量为，平面的法向量为，则是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【分析】根据线面平行时直线的方向向量和法向量的位置关系判断. 【详解】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立， 当时，则必有，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（    ） A． B．20 C． D． 【答案】A 【分析】利用线面垂直可知直线方向向量与平面的法向量平行即可求解. 【详解】直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 因为直线平面，所以，解得. 故选：A. 4．（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 5．（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 6．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】B 【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）如图，在正方体中，当点在线段上运动时，下列结论正确的是（    ）．    A．与不可能平行 B．与始终异面 C．与平面可能垂直 D．与始终垂直 【答案】AD 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，代入计算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为1，    则，，，，， 则， 因为点在线段上，令，，则 由∥得. ∴且，故， 而，，， 所以，即，故D正确； 显然在由相交线和所成的平面上， 且与该平面有交点， 故在上移动过程中可能与相交，B错误； 若且，则，不存在这样的值，A正确； 若面，则，显然不存在这样的值，故C错误． 故选：AD 8．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论正确的是（    ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．当点为中点时，平面 D．存在点，使得 【答案】ABC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项推理判断. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长， 则， 对于A，取的中点，连接，则， ，而直线，于是，梯形即为平面截正方体所得截面， ，因此梯形为等腰梯形，A正确； 对于B，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，即，因此平面平面，B正确； 对于C，由点为中点，得，而平面的法向量为， 则，于是平面，而平面，因此平面，C正确； 对于D，，设， 则， 此时，即不成立， 所以不存在点，使得，D错误. 故选：ABC 三、填空题 9．（24-25高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是 . 【答案】(时，均可) 【分析】求出向量符合题意，所有与共线的非零向量均可. 【详解】点，点在直线上， 则直线的一个方向向量为， 时，也都是直线的方向向量. 故答案为：（时，均可） 10．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知直线的法向量为，且直线经过点，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】由直线的法向量得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，由点斜式写出直线方程. 【详解】∵直线的法向量为，设直线的方向向量为， 则，令，则， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为：，即， 故答案为： 11．（24-25高二上·上海金山·期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则 . 【答案】 【分析】由线面平行得到求解即可； 【详解】直线的一个方向向量 平面的一个法向量，且， 所以 解得. 故答案为： 12．（24-25高二上·云南文山·期末）已知平面过点，，三点.直线与平面垂直，则直线的一个方向向量的坐标可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平面法向量的求法求出一个法向量，即可得出直线的一个方向向量. 【详解】易知， 可设平面的一个法向量为， 可得，令，可得； 所以； 因为直线与平面垂直，所以直线的一个方向向量与共线， 所以直线的一个方向向量的坐标可以是. 故答案为：（答案不唯一） 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是 .（填“平行”，“相交”，“线在面上”中的一个或两个） 【答案】平行或线在面上 【分析】根据方向向量与法向量的数量积判断出线面关系. 【详解】因为， 所以，则， 所以直线与平面平行或直线在平面上， 故答案为：平行或线在面上. 14．（24-25高二下·湖北随州·阶段练习）若直线的方向向量，平面的一个法向量，且，则实数 . 【答案】2 【分析】由线面垂直得到方向向量与法向量共线即可求解； 【详解】因为，所以的方向向量与平面的法向量共线， 所以存在实数λ，使，即 故答案为：2 15．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，，，是的中点，，若点在矩形内，且平面，则 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，设，根据条件有，从而得到，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，， ， 设平面的法向量为 则 令，得,所以， 设，则，又平面，则， 所以，解得，，所以. 故答案为：. 四、解答题 16．（21-22高二上·安徽亳州·期末）已如空间直角坐标系中，点都在平面内，求实数的值. 【答案】 【分析】方法一：根据共面，由平面向量基本定理列方程即可解出； 方法二：先求出平面的一个法向量，再根据即可求出. 【详解】方法一：， 由题意知四点共面，则存在实数，满足： ，，而. 方法二：， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， ，解得. 17．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； 【详解】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 18．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 19．（24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据法向量的求法即可得答案. 【详解】（1）因为底面为正方形，故； 平面，平面，故， 平面， 故平面； （2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    设，则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 故平面的一个法向量为. 20．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 21．（24-25高二上·福建福州·期中）在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）取AD中点，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，设，使得平面，用空间向量建立等量关系，求得的值. 【详解】（1）∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面， （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$