专题19 三角恒等变换（讲义） - 河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》(原卷版+解析版)

编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第19个专题 三角恒等变换。本专题涵盖两角和与差的正弦、余弦及正切公式、二倍角公式、辅助角公式等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题19 三角恒等变换（讲义） 1. 两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦及正切公式 (1) (S2α)． (2) (C2α)． (3) (T2α)． 3.二倍角公式的变形 （1）降幂公式： （2）升幂公式：. 4．辅助角(“二合一”)公式： ， 其中cos φ＝ 　，sin φ＝ 　. 【考点1】和角公式 1．（2024年河北），，，，那么______. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的基本关系式与角的范围求得，再利用正弦函数的和角公式即可得解. 【详解】因为，， 所以， 因为，， 所以， 则. 故答案为：. 2.(2020年河北) 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和差的正切公式即可求解. 【详解】. 故答案为： 3. (2019年河北) 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式进行化简即可得解. 【详解】. 故答案为：. 【考点2】二倍角公式 4．（2023年河北）函数的最大值是_______. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据诱导公式和正弦的二倍角公式化简，然后根据正弦函数的最值求出的最大值. 【详解】由， 可得， 因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故答案为：. 5.（2020年河北）已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式和化简原式，再将原式的分子分母同除构造求解即可. 【详解】因为， 又因为，， 所以原式. 故答案为：. 6.（2019年河北）已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件求出正余弦值，再结合二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为. 所以. 所以. 故答案为：. 7. (2019年河北对口高考) 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式化简解析式，再由正弦函数的性质得到最小正周期，从而得解. 【详解】因为， 又因为的最小正周期为， 所以的最小正周期为. 故选：A. 【考点3】三角恒等变换综合应用 8.（2021年河北）下列函数中，周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最小正周期公式、二倍角公式以及正弦函数的和角公式，结合三角函数的奇偶性即可解得. 【详解】选项A：根据诱导公式可得，此函数为偶函数周期为，则错误； 选项B：根据余弦二倍角公式可得，此函数为偶函数且周期为，则正确； 选项C：根据正弦二倍角公式可得，此函数为奇函数且周期为，则错误； 选项D：根据正弦函数的和角公式可得，此函数非奇非偶函数，周期为，则错误. 故选:B. 9．（2024年河北）(2024年河北对口高考) 已知函数，. 求： （1）函数的值域； （2）函数的最小正周期； （3）函数取得最大值时的集合. 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由两角和差公式,正弦型函数的性质即可得解. （2）由最小正周期的公式即可得解. （3）由正弦型函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为. 因为. 所以. 所以函数的值域为:. 【小问2详解】 最小正周期公式为. 所以函数的最小正周期为:. 【小问3详解】 当时,该函数取最大值. 此时. 解得. 故函数取最大值时的取值集合为:. 10．（2022年河北）已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当x取何值时，函数取得最大值，最大值为多少？ 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】(1)由三角函数诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简后，利用周期公式解答即可； (2)利用三角函数值域求解即可. 【小问1详解】 由三角函数周期性可将函数化简为， 再由二倍角公式化简为， 再由辅助角公式化简为， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 当时， 即时，函数取得最大值，且最大值为2. 知识点1 和角公式、二倍角公式 1．化简（        ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逆用两角差的余弦公式化简即可. 【详解】， 故选：A. 2．化简 的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】 . 故选：A. 3．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角差的余弦公式、两角差的正弦公式可求解. 【详解】由两角差的余弦公式 可得选项A、B不正确； 由两角差的正弦公式 可得选项C不正确，选项D正确. 故选：D. 4．若 ，在第二象限，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再根据两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为 ，在第二象限， 所以， 所以. 故选：D. 5．（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】. 故选：C. 6. 计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式和正弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】. 故选：A. 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解 【详解】由题意得，，则． 故选：A. 8．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的二倍角公式以及最小正周期公式求解即可. 【详解】函数， 所以最小正周期为. 故选：B. 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合同角三角函数的基本关系式可得，根据二倍角的正切公式即可求解. 【详解】由，得， 即，所以， 所以. 故选：C. 10．已知，且角为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式及同角三角函数基本关系式求出的值，代入二倍角公式即可得解. 【详解】因为，则， 角为第二象限角，则，所以， 所以， 故选：. 知识点2 辅助角公式 1．函数的最小值为（   ） A．0 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据题意，结合辅助角公式、两角和的正弦公式，将函数化简为正弦型函数，结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】由题意，令， 则， 所以当时，函数取得最小值，即. 故选：C. 2．函数的最大值和最小正周期分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据辅助角公式及两角和的余弦公式，先化简函数为余弦型函数，结合余弦型函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为， 所以当时，函数取得最大值，即， 函数的最小正周期为. 故选：D. 3．函数的最大值和最小正周期分别为（   ）． A．2，π B．2，2π C．1，π D．1，2π 【答案】A 【分析】先根据两角和的正弦公式化简函数，再结合正弦函数的性质和最小正周期公式，即可求解. 【详解】因为， 由于正弦函数的最大值为1，所以 的最大值为2， 所以函数的最小正周期, 故选：A. 4．函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 【答案】C 【分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可． 【详解】， ， 当时，函数取得最大值， 函数的周期为，最大值． 故选：C． 5．函数的最大值是（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据结合辅助角公式，及两角和的正弦公式、正弦型函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为， 正弦函数的值域为， 所以当时，函数取得最大值，即. 故选：C. 6．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由辅助角公式化简，再由周期公式求周期即可. 【详解】函数 ， 其中，所以最小正周期是， 故选：D. 7．函数最大值是 . 【答案】 【分析】根据二倍角公式及辅助角公式对函数进行化简，再结合正弦型函数的性质分析求解即可. 【详解】 ， 因为， 所以，则， 因此函数最大值是. 故答案为：. 8．函数的最大值为 . 【答案】 【分析】利用诱导公式以及辅助角公式进行化简，再根据正弦函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意得， 所以， 由辅助角公式得， ，其中，, 所以函数的最大值为. 故答案为：. 9．当时，函数取得最大值，则 . 【答案】/ 【分析】根据辅助角公式与正弦型函数的最大值确定的值，进而求解特殊角的余弦值即可； 【详解】因为， 所以当，即时，函数取得最大值； 所以， 所以， 故答案为： 10．已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值及取最大值时自变量的集合； (3)求函数的单调递减区间. 【答案】(1) (2)最大值为，函数取最大值时自变量的集合 (3) 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式化简函数式，由公式求函数的最小正周期； （2）根据（1）的结果，结合正弦型函数的性质即可求解； （3）根据（1）的结果，由正弦函数的性质及整体法求单调增区间. 【详解】（1） 所以最小正周期为：. （2）函数，当时， 函数取得最大值：，此时，即， 所以函数取最大值时自变量的集合. （3）当时函数递减，解得 所以函数的单调递减区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是河北省2026年对口升学考试一轮复习《数学知识点清单》的第19个专题 三角恒等变换。本专题涵盖两角和与差的正弦、余弦及正切公式、二倍角公式、辅助角公式等知识点，知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 河北省2026年对口升学考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题19 三角恒等变换（讲义） 1. 两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： 2.二倍角的正弦、余弦及正切公式 (1) (S2α)． (2) (C2α)． (3) (T2α)． 3.二倍角公式的变形 （1）降幂公式： （2）升幂公式：. 4．辅助角(“二合一”)公式： ， 其中cos φ＝ 　，sin φ＝ 　. 【考点1】和角公式 1．（2024年河北），，，，那么______. 2.(2020年河北) 计算：______． 3. (2019年河北) 已知，则__________. 【考点2】二倍角公式 4．（2023年河北）函数的最大值是_______. 5.（2020年河北）已知，则______． 6.（2019年河北）已知，则__________. 7. (2019年河北) 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【考点3】三角恒等变换综合应用 8.（2021年河北）下列函数中，周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 9．（2024年河北）(2024年河北对口高考) 已知函数，. 求： （1）函数的值域； （2）函数的最小正周期； （3）函数取得最大值时的集合. 10．（2022年河北）已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当x取何值时，函数取得最大值，最大值为多少？ 知识点1 和角公式、二倍角公式 1．化简（        ）. A． B． C． D． 2．化简 的结果是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若 ，在第二象限，则 的值为（    ） A． B． C． D． 5．（   ） A．1 B． C． D． 6. 计算：（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．已知，且角为第二象限角，则（   ） A． B． C． D． 知识点2 辅助角公式 1．函数的最小值为（   ） A．0 B． C． D．5 2．函数的最大值和最小正周期分别为（     ） A． B． C． D． 3．函数的最大值和最小正周期分别为（   ）． A．2，π B．2，2π C．1，π D．1，2π 4．函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 5．函数的最大值是（    ） A． B． C．2 D．1 6．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 7．函数最大值是 . 8．函数的最大值为 . 9．当时，函数取得最大值，则 . 10．已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值及取最大值时自变量的集合； (3)求函数的单调递减区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$