9.3 旋转课件 2024-2025学年华东师大版七年级数学下册

9.3.1  图形的旋转 1.了解图形的旋转变换的意义. 2.理解旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.（重点） 3.观察图形，判断两个图形是否能通过旋转后重合，以及旋转中心和旋转角度的识别.（难点） 学习目标 在日常生活中，除了物体的平行移动外，我们还可以看到许多物体的旋转现象.例如，时钟上的秒针在不停地转动；大风车的转动给人们带来快乐；飞速转动的风扇叶片给人们带来丝丝凉意. 新课导入 知识点1 旋转的识别 如图，单摆上小球的转动，由位置P转到位置P′，像这样的运动就叫做旋转，这个悬挂点O就叫做小球旋转的旋转中心. 显然，旋转中心 O 在旋转过程中保持不动，图形的旋转由旋转中心、旋转角度和旋转的方向决定. 在旋转过程中，图形的 _____ 和_____ 没有改变. 形状 大小 合作探究 下列四个图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是(　 ) C ☀方法总结 旋转必须有的三要素：（1）定点，即旋转中心；（2）旋转方向；（3）旋转角度. 针对训练 试一试 如图，用一张半透明的薄纸覆盖在作有任意△AOB的纸上，在薄纸上作出与△AOB 重合的一个三角形. 然后用一枚图钉在点O处固定，将薄纸绕着图钉 (即点O)逆时针旋转45°，薄纸上的三角形就旋转到了新的位置，标上点A′、B′，我们可以认为△AOB逆时针旋转 45°后变成△A′OB′. 在这样的旋转过程中，你发现了什么？ 知识点2 图形的旋转 合作探究 分析：可以看到点A旋转到点_____，OA旋转到_____，∠AOB旋转到 ________，OB的中点D旋转到_____的中点，这些都是相互对应的点、线段与角. 那么点B的对应点是_____； 线段OB的对应线段是线段_____； 线段AB的对应线段是线段_____； ∠A的对应角是_____； ∠B的对应角是_____； 旋转中心是点_____；旋转的角度是_____. A′ OA′ ∠A′OB′ OB′ B′ OB′ A′B′ ∠A′ ∠B′ O 45° 合作探究 ☀归纳 (1)从上面图形中我们可以发现：旋转中心在旋转过程中不动，图形的旋转是由旋转角度和旋转方向决定的. (2)将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，意味着图形上每个点同时按同一方向旋转相同角度. 新知小结 例1 如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过逆时针旋转后到达△ACE的位置. (4)图中的对应线段有：线段AB的对应线段为_____，线段AD的对应线段为_____，线段BD的对应线段为_____. ∠BAC 60° A AC 的中点 AC AE CE (1)旋转中心是点_____. (2)旋转的角度可以用_____来表示，旋转了____°. (3)如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M 转到了__________. 典例精析 例2 如图①，点M是线段AB上一点，将线段AB绕着点M顺时针方向旋转90，旋转后的线段与原线段的位置有何关系？如果逆时针方向旋转90呢？ A B A B A M B M M ① ② ③ 解 如图②，顺时针旋转90°，A′B′与AB互相垂直. 如图③，逆时针旋转90°，A′B′与AB互相垂直. 典例精析 ☀提示 (1)图形在旋转的过程中，其形状和大小不发生变化，只是位置发生了改变． (2)在旋转的过程中，图形上的每一个点同时按相同的方向旋转相同的角度． (3)旋转角是大于0°而小于360°的角，旋转的方向通常说顺时针或逆时针，一组对应点与旋转中心的连线所成的角即为旋转角． (4)旋转中心可以是平面内的任一点． 新知小结 1.如图，若叶片A绕O顺时针旋转到叶片B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____度 . O A C D E F O ∠AOB 60 B 随堂检测 2.△A′OB′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知∠AOB=20°, ∠A′OB =24°，则旋转中心是_____,旋转角等于 ,点A的对应点是_____,线段AB的对应线段是_____. O A′ 44° A′B′ 随堂检测 3.如图，如果把钟表的指针看作三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中： (1) 旋转中心是什么？旋转角是什么？ (2) 经过旋转，点 A，B 分别移动到什么位置？ 解：(1)旋转中心是点O，∠AOE，∠BOF是旋转角. (2)经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置. 随堂检测 识别 图形的旋转 旋转中心、 旋转角度、 旋转方向 对应元素 对应点、 对应角、 对应线段 课堂总结 9.3.2 旋转的特征 1. 掌握旋转的特征；（重点） 2. 能用旋转的特征解决旋转作图的相关问题.（难点） 学习目标 如图，将△ABC绕点C逆时针方向旋转，请说出： 旋转中心是点____； 点B的对应点是点____； CA的对应边是______； ∠A的对应角是_______; 点A的旋转角是∠_______， 点B的旋转角是∠_______. C E CD ∠D ACD BCE 思考：这些对应点、线段与角之间有什么关系呢？ 复习导入 知识点1 旋转的特征 在下图中,△AOB绕点O(点O是三角形的顶点)逆时针旋转到△A′OB′处，你发现有哪些线段相等?有哪些角相等? 45° A′ B′ O A B 合作探究 如图，在旋转过程中, 图形上的每一点绕着点O转过的角度都相等，即可得 ∠AOA= ∠BOB′. 除此之外，我们还可以发现： OA=OA′, 0B =OB′，AB=A′B′; ∠AOB=∠A′OB′,∠A=∠A′，∠B=∠B′. 45° A′ B′ O A B 合作探究 A′ B′ C′ O 60° B C A 在下图中,△ABC绕点O(点O不是三角形的顶点，而是在三角形外)逆时针旋转到△A′B′C′处，你发现有哪些线段相等?有哪些角相等? 合作探究 A′ B′ C′ O 60° B C A 如图，在旋转过程中，我们也可以发现类似的结果： ∠AOA′=∠BOB′=∠COC′; OA=______,OB=______,OC=______; AB=______,BC=______,CA=______; ∠CAB=__________,∠ABC=__________, ∠BCA=__________. OA′ OB′ OC′ A′B′ B′C′ C′A′ ∠C′A′B′ ∠A′B′C′ ∠B′C′A′ 合作探究 ☀旋转的特征： （1）图形中每一点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度，都等于旋转角; （2）对应点到旋转中心的距离相等; （3）对应线段相等，对应角相等； （4）旋转不改变图形的大小和形状． 合作探究 2.如右图所示,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′,若AC⊥B′C′,则∠C的度数是　 　.  30° 1.如左图，点D是等边△ABC内一点, 若将△ABD旋转到△ACP, 则旋转中心是 ; 旋转角是 = 度，若连结DP，则△ADP是 三角形. 点A ∠BAC 60 等边 A B C D P 针对训练 例1 如图所示,在8×8的正方形网格中有一个△ABC,画出以点B为旋转中心,将△ABC按顺时针方向旋转90°后的图形(画图不写画法). 解:如图所示,△A′BC′即为所求. 知识点2 旋转作图 典例精析 ☀归纳总结 旋转作图的方法： (1)先确定图形的关键点; (2)利用旋转的特征画出关键点的对应点; (3)按原图形中的方式顺次连结对应点. 画图时一定要注意旋转中心、旋转方向和旋转角度. 新知小结 1.如图所示,在由边长为1的小正方形组成的方格纸上,将△ABC绕着点A顺时针旋转90°,请画出旋转后得到的△AB′C′. 解:旋转后得到的△AB′C′如图所示. 针对训练 2.如图所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,画出将△ABC以点A为旋转中心,逆时针旋转45°后的图形. 解:如图所示,△AB′C′就是所画的图形. 针对训练 做一做 如图，作△ABC和过点P的两条直线PQ、PR. 作出△ABC关于PQ对称的△A′B′C′，再画出△A′B′C′关于PR对称的△A″B″C″. B A C P R A′ B′ C′ A′′ B′′ C′′ 观察△ABC和△△A″B″C″，你能发现这两个三角形有什么关系吗？ △A″B″C″可以看作是把△ABC绕点P旋转2倍∠QPR得到的. Q 合作探究 ①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小. B A C O ②不同 图形变换 运动方向 运动量的衡量 平移 直线 移动一定距离 旋转 顺时针或逆时针 转动一定的角度 平移和旋转的异同 拓展 1.一个图形经过平移或旋转，有以下的说法：①对应线段平行；②对应线段相等； ③对应角相等； ④图形的形状和大小都没有发生变化，其中正确的是（ ） A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④ D 2.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC,则∠AED的度数为( ) A.105° B.120° C.135° D.150° B 随堂检测 3.如图所示,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1.则它的旋转中心一定是( ) A.点A B.点B C.点C D.点D B 4.如图所示,四边形ABCD是正方形,△ADE旋转后能与△ABF重合.旋转中心是哪一点?顺时针旋转了多少度? 解:旋转中心是点A,顺时针旋转了90°. 随堂检测 5.如图所示,请画出将△ABC绕点D按顺时针方向旋转90°后的图形. 解:如图所示,△A′B′C′就是所画的三角形. 随堂检测 旋转的特征 对应线段相等，对应角相等 对应点到旋转中心的距离相等 旋转角都相等 课堂总结 9.3.3 旋转对称图形 1. 通过具体实例认识旋转对称图形. 2. 能按要求作出简单平面图形旋转后的图形.（重点） 3. 会求一个旋转对称图形绕着旋转中心旋转多少度 (小于周角) 后，能与原图形重合.（难点） 学习目标 旋转的特征有哪些？ (2)对应点到旋转中心的距离相等； (4)图形的形状和大小不变； (1)图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小 的角度； (5)旋转中心是唯一不动的点. (3)对应线段相等，对应角相等； 复习导入 知识点1 旋转对称图形的识别 在日常生活中，我们经常可以看到，一些图形绕着某一定点旋转一定的角度后能与自身重合.如图所示，电扇的叶片旋转120°、螺旋桨旋转180°后，都能与自身重合. 你能再举出一些这样的实例吗？ 那么这样的图形，我们该如何称呼它呢？ 合作探究 试一试 用一张半透明的薄纸，覆盖在如图所示的图形上，在薄纸上画这个图形，使它与如图所示的图形重合.然后用一枚图钉在圆心处穿过，将薄纸绕着图钉旋转，观察旋转多少度 (小于周角) 后，薄纸上的图形能与原图形再一次重合. 合作探究 由上述操作可知：该图形围绕圆心旋转_____°、_____°、_____°、_____°、_____°后都能与自身重合. 60 120 180 240 300 ☀归纳 像这样旋转一定角度后能与自身重合的图形就称为旋转对称图形. 旋转对称图形顺时针或逆时针旋转一定角度后，均能与原图形重合，因此可以淡化旋转方向.旋转角度可以在0°到360°之间. 合作探究 下列图案中是旋转对称图形，但不是轴对称图形的是(　 　) C 针对训练 知识点2 确定旋转图形的旋转角 做一做 设计一个旋转90°后能与自身重合的旋转对称图形.将如图①所示的图形绕圆心旋转90°,再将旋转后所得到的图形绕圆心旋转90°，然后再重复旋转一次，可以得到图②所示的图形. ① ② 合作探究 将如图所示的图形绕圆心旋转90°后，可以发现旋转以后的图形能与原来位置上的原图形重合，因此该图形是旋转对称图形.当然该图形绕圆心旋转180或270°后的图形也能与原图形重合，也可得出该图形是旋转对称图形. ☀归纳 旋转的度数称为旋转角度. 合作探究 例1 下列各图形是不是旋转对称图形？如果是，请找出旋转中心在何处.旋转角度是多少？这些图形是轴对称图形吗？ 答：这些图形都是旋转对称图形；旋转中心和其中一个旋转角度如图所示；这些图形都是轴对称图形. 典例精析 ☀归纳 (1)绕着某一点转动一定角度后，能与自身重合的图形称为旋转对称图形.其中这一点就是旋转中心，这个角度就是旋转角度； (2)如果一个图形既是旋转对称图形，又是轴对称图形，那么它的旋转中心就是对称轴的交点； (3)正n边形既是旋转对称图形，又是轴对称图形，所以它的旋转中心就是对称轴的交点，并且其中一个旋转角度等于360°除于n所得的商. 新知小结 下图可以看做是一个或几个菱形通过多次旋转得到的. 由一个菱形通过6次旋转得到，每次旋转60度. 针对训练 由两个菱形旋转3次得到，每次旋转120度. 由三个菱形旋转2次得到，旋转180度. 针对训练 1.如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为( ) A. 45 B. 60 C. 72 D. 144 C 随堂检测 2. 如图，在图 ①～④ 中是旋转对称图形的有( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 A 随堂检测 3. 如图，其中不是旋转对称图形的是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ A 随堂检测 4.下列多边形中，旋转60°后可以和原图形重合的是( ) A. 正六边形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 正三角形 5.等边△ABC绕着它的中心旋转，要使其与本身重合，至少旋转( ) A. 60° B. 120° C. 180° D. 360° 6.正方形绕它的________________旋转____度与自身重合；正六边形至少旋转____度，才能与自身重合. A B 对角线的交点 90 60 随堂检测 定义 旋转对称图形 旋转一定角度后能与自身重合的图形. 确定旋转对称图形的旋转角度 课堂总结 $$