专题1.3 绝对值 有理数的大小比较（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题1.3 绝对值 有理数的大小比较 教学目标 1. 了解绝对值的意义； 2. 会求一个数的绝对值； 3. 掌握绝对值的化简； 4. 知道对有理数大小比较的方法。 教学重难点 1.重点 （1）求一个数的绝对值； （2）绝对值的应用； （3）比较有理数的大小。 2.难点 （1）含字母的绝对值化简问题； （2）比较有理数大小的特殊方法； （3）分类讨论思想。 知识点1 绝对值 1.观察 实例 如图1-1-13,小海家、乐乐家分别离学校多远?(图中的单位长度为1 km) 在数轴上，表示小海家的点A和表示乐乐家的点B 分别位于表示学校的点(原点)的两侧，它们对应的数分别是+3和-3,它们与原点的距离都是3km。 当我们只需要研究小海家、乐乐家与学校的距离，不需要考虑方向，也就是只研究点A、点B与原点的距离时，我们就说点A 、点B与原点的距离都是3km,我们把这里的3叫作+3的绝对值，它也是-3的绝对值. 2.绝对值 一般地，数a在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|, 读作“绝对值a”或“a的绝对值”. 如图1-1-14,表示3与-3的点到原点的距离都是3个单位长度，它们的绝对值都是3,即|3|=3, |-3|=3 . 要点： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或0;如果 一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或0. （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 3.绝对值性质： （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 4.用数轴上的点表示绝对值为a（a≥0）的数 ①a=0时，绝对值为a的数只有一个，即为0，用数轴上的点表示如下图所示： ②a＞0时，绝对值为a的数有两个，分别是a和—a. 以a=为例，画出数轴上的点表示绝对值为a的数，如下图所示： 【即学即练】 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．根据负数的绝对值等于它的相反数即可解答. 【详解】解：的绝对值是 故选：B． 2．求下列各数的绝对值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)． 【答案】(1)6 (2)4.7 (3) (4)2024 (5)0 (6) 【分析】本题主要考查绝对值．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的定义即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 3． ； ； ； ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：； ； ； ． 故答案为：，4；；． 【点睛】本题考查了绝对值，用绝对值的性质计算是解题的关键． 4．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 利用绝对值的定义解题即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5．任何一个数的绝对值都是 （填“正数”“负数”“0”或“非负数”）． 【答案】非负数 【分析】根据绝对值的意义，解答即可． 本题考查了绝对值的应用，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：任何一个数的绝对值都是非负数， 故答案为：非负数． 6．绝对值是它本身的数是 ，绝对值是它的相反数的数是 ，绝对值最小的负整数是 ． 【答案】 正数或0 负数或0 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义即可得出答案，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． 【详解】解：绝对值是它本身的数是正数或0，绝对值是它的相反数的数是负数或0，绝对值最小的负整数是， 故答案为：正数或0，负数或0，． 7．已知，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】首先根据绝对值的非负性，列出方程即可求出x、y的值． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 故答案为：2，3． 【点睛】本题考查了利用绝对值的非负性求参数，代数式求值问题，熟练掌握和运用绝对值的非负性是解决本题的关键． 8．绝对值不大于6的整数有 个． 【答案】13 【分析】本题主要考查的是有理数大小比较和绝对值，求得符合条件的数是解题的关键． 依次列出绝对值不大于6的整数即可解答． 【详解】解：绝对值不大于6的整数有：，，，，，，0． 绝对值不大于6的整数有13个． 故答案为：13． 知识点2 有理数的大小比较 1.数轴法 ①观察：把图1-1-16中温度计上的数值表示在数轴上，如图1-1-17所示. 观察表示这些数的点在数轴上的位置，温度的高低与相应的点在数轴上的位置有什么关系? ②每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示.用数轴上的点表示有理数时，这些点从左到右的顺序，就是有理数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数. 由此可知：4>0,0> -2,2>-4,...... ③正数大于零，零大于负数，正数大于负数. 2.法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1） 分别计算两数的绝对值； （2） 比较绝对值的大小： （3）判定两数的大小． 拓展： 3.作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立． 4.求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反． 5.倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 【即学即练】 1．在，，，这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握“两个负数的大小比较”是解本题的关键． 有理数的大小比较：正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，根据有理数的大小比较的方法比较四个数的大小，从而可得答案． 【详解】解：，，， ， ， 故选：D． 2．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来：，，，，，． 【答案】数轴见解析；-4.5<-0.5<0<2.5<3.5<4 【分析】首先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的数，然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“<”连接起来即可． 【详解】解：如图所示， -4.5<-0.5<0<2.5<3.5<4 【点睛】本题考查了在数轴上表示数，有理数的大小比较．在数轴上，右边的数总比左边大；正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 3．比较大小： .（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查有理数比较大小，熟练掌握有理数比较大小是解题的关键. 【详解】解：，， 故， 故答案为：． 4．比较大小 （1） （2） （3） ． 【答案】 ＜ ＜ ＞ 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的含义，根据两个负数的大小比较，绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：＜． （2），且， ∴， 故答案为：＜． （3），，且， ∴； 故答案为：＞． 5．阅读与思考 请阅读小彬的日记，并完成相应的任务： X年X月X日 比较两个数的大小的方法今天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：比较与的大小．这道题利用绝对值法比较这两个负数的大小太复杂，怎样办？该书提供了如下的方法： 解：因为，，所以，所以． 我有如下思考：这种方法叫什么方法？是通过哪个量作比较的？…… 任务： (1)上述方法是先通过找中间量__________来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，__________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法． (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】（1）根据借助中间量比较法来求解； （2）先通过找中间量来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小来求解． 【详解】（1）解：观察可知，上述方法是先通过找中间量来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法． 故答案为：；绝对值； （2）解：因为，， 所以， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较，理解借助中间量比较法是解答关键． 题型01 绝对值；求一个数的绝对值 【典例1】．的绝对值是 ，记作 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质即可求出结果． 【详解】解：在数轴上，表示的点到原点的距离是， 所以的绝对值是，记作． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 【变式1】．写出下列各数的绝对值： ． 【答案】6，8，3.9，，，100，0 【分析】根据绝对值的定义，即绝对值是数轴上点到原点的距离，即可求解． 【详解】解： ； ； ； ； ； ； ． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值是数轴上点到原点的距离是解题的关键． 【变式2】．﹣（+0.5）的绝对值是 ． 【答案】0.5 【分析】先将﹣（+0.5）化简，再根据绝对值的定义求解即可. 【详解】解：﹣（+0.5）的绝对值是0.5， 故答案为0.5． 【点睛】本题主要考查相反数和绝对值的定义，解决本题的关键是要熟练掌握相反数和绝对值的定义. 【变式3】．求值： ； ； ； ； ． 【答案】 5 12 1.5 0 【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，求解即可． 【详解】解： ，，，，， 故答案为：5，12，1.5，，0． 【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握求绝对值的方法． 【变式4】．如果一个数的绝对值是10，那么这个数是 ． 【答案】 【解析】略 题型02 绝对值与相反数 【典例1】．的相反数是 ． 【答案】． 【分析】先根据绝对值的意义计算，再根据相反数的定义解答． 【详解】解：，而的相反数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的相反数与绝对值，属于应知应会题目，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【变式1】．的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 【分析】根据相反数和绝对值的概念写出即可． 【详解】的相反数是，的绝对值是， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了相反数和绝对值，熟练掌握其概念是解题的关键． 【变式2】．|﹣2|的相反数是 ；﹣的绝对值是 ． 【答案】 -2 【分析】根据相反数和绝对值的定义解答即可． 【详解】解：∵|﹣2|＝2，2的相反数是-2， ∴|﹣2|的相反数是-|-2|=-2； ∵|﹣|＝， 故答案为：﹣2；． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，相反数的定义，熟练掌握绝对值的意义，相反数的求法是解题的关键． 【变式3】．的相反数是（    ） A． B． C．2024 D．－2024 【答案】A 【分析】本题考查了化简绝对值以及相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可作答． 【详解】解： ∴的相反数是 故选：A 【变式4】．的绝对值的相反数是（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和相反数，理解绝对值和相反数的含义是解题的关键． 先求出的绝对值，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数解答． 【详解】的绝对值是3，3的相反数是． 故选：A． 题型03 含字母的求绝对值问题 【典例1】．如果，那么= ；如果，那么 ． 【答案】 13 【解析】略 【变式1】．若，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的性质，进行化简求解即可． 【详解】解： ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值方程问题，解题的关键是掌握绝对值化简的性质，正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数． 【变式2】．求下列各数的绝对值： （1）﹣38； （2）0.15； （3）a（a＜0）； （4）3b（b＞0）； （5）a﹣2（a＜2）； （6）a﹣b． 【答案】（1）38；（2）0.15；（3）﹣a；（4）3b；（5）2﹣a；（6）a﹣b≥0时， a﹣b；a﹣b＜0时， b﹣a． 【详解】（1）|﹣38|＝38； （2）|+0.15|＝0.15； （3）∵a＜0， ∴|a|＝﹣a； （4）∵b＞0， ∴3b＞0， ∴|3b|＝3b； （5）∵a＜2， ∴a﹣2＜0， ∴|a﹣2|＝﹣（a﹣2）＝2﹣a； （6）a﹣b≥0时，|a﹣b|＝a﹣b； a﹣b＜0时，|a﹣b|＝b﹣a． 题型04 绝对值的特点辨析 【典例1】．下列说法正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定是正数 B．一个数的相反数一定是负数 C．若不相等的两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数 D．整数的绝对值大于分数的绝对值 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，相反数及绝对值，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键． 根据正数和负数，相反数及绝对值的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：、一个数的绝对值是非负数，零的绝对值是零，则不符合题意． 、负数的相反数是正数，零的相反数是零，则不符合题意． 、若不相等的两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数，则符合题意． 、是整数，是分数，其绝对值大小为，则不符合题意． 故选：． 【变式1】．下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若，则a与 b一定互为相反数 D．若，则是非正数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的相关概念，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故一定是非正数，故A错误，不符合题意； 两个数相等或互为相反数时，它们的绝对值相等， 故B错误，不符合题意； 若，则a与 b互为相反数或， 故C错误，不符合题意； 若，则，则是非正数， 故D正确，符合题意； 故选：D 题型05 根据绝对值判断正负 【典例1】．如果a表示有理数，那么a+1，|a+1|，（a+1），|a|+1中肯定为正数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】根据有理数和绝对值的意义，可根据a的值不确定，知a+1不一定是正数，（a+1）的值不确定，但是|a|≥0，可知|a+1|是正数， |a|+1一定是一个正数. 故选A. 【变式1】．在，，，四个数中非负数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类．先把各数化简，然后根据非负数的意义求解，注意非负数包括0和正数． 【详解】解：∵是正数，是正数，，既不是正数，也不是负数，是负数， ∴非负数共有3个． 故选：C． 题型06 绝对值与数轴上点表示的数 【典例1】．如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的绝对值．根据数轴确定该数的绝对值在3到4之间即可判断． 【详解】解：由题意得，遮住的数在到之间， ∴遮住的数的绝对值在3到4之间， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 【变式1】．如图，数轴上被遮挡住的整数的绝对值是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查数轴以及绝对值的定义，根据数轴上点的特征可知遮住的点表示的数是，再根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：根据数轴上点的特征可知遮住的点表示的数是， 的绝对值是1， 故选A． 题型07 数轴上距离问题 【典例1】．数轴上到原点的距离等于8的点表示的数是 ． 【答案】8或-8 【分析】设这个点表示的数为a，根据数轴上到原点的距离等于8，可得 ，求解即可得出答案． 【详解】设这个点表示的数为a 数轴上到原点的距离等于8 解得 或 故答案为：8或-8． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，即一般地，数轴上表示a的点到原点的距离叫做数a的绝对值． 【变式1】．数轴上表示3的点到原点的距离是 ． 【答案】3 【分析】理解点到原点的距离等于这个数的绝对值，计算即可 【详解】∵|3|=3， ∴表示3的点到原点的距离是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了数轴上的点，绝对值，准确理解点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键． 【变式2】．在数轴上，与表示的点的距离为2的数是（    ） A．2 B．或2 C．1或 D．0 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点间距离， 先设此点表示的数为x，再根据数轴上两点间的距定义进行解答即可． 【详解】解：设在数轴上，与表示数的点的距离是2的点表示的数是x， 则， 解得或． 故选：C． 题型08 绝对值小于某数的整数问题 【典例1】．绝对值不大于3的非正整数是 . 【答案】-3，-2，-1，0． 【分析】根据绝对值的意义得到绝对值不大于3的非正整数有：-3，-2，-1，0． 【详解】∵|a|≤3， ∴非正整数a可为：-3，-2，-1，0． 故答案为-3，-2，-1，0． 【点睛】要正确理解绝对值的意义，注意“0”属于非正整数． 【变式1】．绝对值小于4的整数有 个． 【答案】7 【分析】根据绝对值的定义即可得到结果． 【详解】解：绝对值小于4的整数有0，±1，±2，±3，共7个 故答案为：7 【点睛】本题考查的是绝对值，有理数的大小比较，解答本题的关键是熟练掌握正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数． 【变式2】．绝对值小于的整数有 ． 【答案】-3，-2，-1，0，1，2，3 【分析】先将化为，再根据绝对值的意义即可求解． 【详解】解：因为， 所以绝对值小于的整数有-3，-2，-1，0，1，2，3． 故答案为：-3，-2，-1，0，1，2，3 【点睛】本题考查了绝对值的意义，能准确估算出的大小，熟知绝对值的意义是解题关键． 【变式3】．绝对值大于2，小于5的所有整数是 . 【答案】±3，±4 【分析】绝对值绝对值大于2且小于5的所有整数就是在数轴上-5与-2之间和2与5之间的所有整数，即可解答． 【详解】绝对值大于2且小于5的所有整数是：-4，-3，3，4． 故答案为±3，±4 ． 【点睛】此题考查绝对值，结合数轴确定所有的整数，是解决本题的关键． 题型09 绝对值方程 【典例1】．如果|a|=|-8|,则a= . 【答案】±8 【分析】利用绝对值的定义求解． 【详解】∵|a|=|-8|， ∴|a|=8， ∴a=±8， 故答案为±8． 【点睛】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义． 【变式1】．若，那么 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的含义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， 故答案为：或． 【变式2】．如果|x-3|=0,则|x+2|= ,|2-x|= . 【答案】 5; 1 【分析】根据0的绝对值是0，先求出x的值，再代入即可求出|x+2|和|2-x|的值． 【详解】∵|x-3|=0, ∴x-3=0， ∴x=3． 则|x+2|=|3+2|=|5|=5; |2-x|=|2-3|=1. 故答案为5；1. 【点睛】解题关键是掌握互为相反数的两个数的绝对值相等，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 题型10 绝对值的非负性 【典例1】．已知，则 ， ． 【答案】 -1 3 【详解】根据非负数的性质，可求出a、b的值． 【解答】 解：根据题意得：， 解得：． 故答案是：﹣1，3． 【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 【变式1】．如果，那么a，b的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【变式2】．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 题型11 绝对值的实际应用 【典例1】．排球比赛时所使用的排球质量是有严格规定的．现检查4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号，②号，③号，④号，那么质量最接近标准的排球是（    ） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正数和负数的实际应用、绝对值的应用，明确质量最好即绝对值最小是解题的关键． 【详解】解：在四个数：，，，中， ，，，， ∵的绝对值最小， ∴质量最好的排球是的那一个， 即③号， 故选：C． 【变式1】．在食盐质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正数和负数．根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：，，，， ∵， ∴则最接近标准的是，故C正确． 故选：C． 【变式2】．下表是2023年9月中旬全国农产品价格变化情况统计表 流动领域中农产品价格变化表 种类 稻米 小麦 玉米 棉花 生猪 大豆 豆粕 油料花生 涨跌幅 1 其中价格变化最大是（    ） A．稻米 B．生猪 C．豆粕 D．玉米和棉花 【答案】C 【分析】价格变化分上涨与下跌两种情况，上涨为正数，下跌为负数，分别计算表格中的涨跌幅的绝对值是解题的关键． 【详解】稻米、生猪、豆粕、玉米和棉花的涨跌幅分别是，分别计算其绝对值，其中绝对值最大的是豆粕：． 故价格变化最大的豆粕． 故选：C． 题型12 有理数的大小比较 【典例1】．比较大小（填写“＞”或“＜”）： －2 －3 ； ； 【答案】 > > < 【解析】根据有理数的大小比较方法作答． 【详解】解：∵|-2|<|-3|， ∴-2>-3， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为>；>；<． 【点睛】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法、分数比较大小的方法及多重符号的化简是解题关键 ． 【变式1】．在0，，，中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据有理数的大小比较的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：是正数，，是负数， ∵， ∴， ∵和均为非负数，显然大于负数， 故最小的数是； 故答案为：； 【变式2】．将下列各式用“＜”号连接起来：－4，，3，－2.7，－|－3.5|,0. 【答案】见解析 【分析】先比较负数的大小，再根据有理数的大小比较法则比较即可. 【详解】解：－4＜－|－3.5|＜－3＜－2.7＜0＜3. 【点睛】本题考查了对有理数的大小比较法则的应用.注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小. 【变式3】．比较下列每组数的大小： （1）与；    （2）与；    （3）与； （4）与；    （5）与；    （6）与． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【详解】解（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以； （5）因为，所以； （6）因为，所以． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，正确掌握绝对值概念与性质是解此题关键． 【变式4】．有理数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示，试比较，，，，，，0的大小，并用“<”连接. 【答案】c＜b＜a＜0＜-a<-b<-c． 【分析】根据相反数的意义，可得-a、-b，再根据正数大于负数，可得答案． 【详解】由数轴上点的位置，得-a＞0，-b>0，-c>-b 由正数大于负数，数轴上右边的数大于左边的数，得 c＜b＜a＜0＜-a<-b<-c． 【点睛】本题考查了有理数比较大小，利用了正数大于负数． 题型13 化简绝对值 【典例1】．在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】 本题考查数轴判断式子的正负，化简绝对值，关键是数形结合解题． （1）通过数轴直接判断出每个字母的正负，结合即可得出结果； （2）通过字母的正负化简绝对值即可； （3）通过字母以及式子的正负化简绝对值即可；． 【详解】（1） 解：（1）由数轴知，， 故答案为：；；；；； （2） ； （3） ． 【变式1】．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，试化简：．    【答案】 【分析】先由数轴判断，，的大小，再根据进行化简，即可求解． 【详解】解：由图可知， 所以，，， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了利用数轴比较数的大小，用绝对值的性质进行化简，掌握性质是解题的关键． 【变式2】．已知a，b在数轴上对应的点如图示．化简：|a|＋|a＋b|﹣|a﹣b|﹣|b﹣a|． 【答案】﹣3b 【分析】首先根据图示，可得a＜0，a＋b＜0，b﹣a＞0，a﹣b＜0，然后根据整数的加减的运算方法，求出算式的值是多少即可． 【详解】解：根据图示，可得a＜﹣b＜0＜b＜﹣a； ∴a＜0，a＋b＜0，a﹣b＜0，b﹣a＞0， ∴|a|＝﹣a，|a＋b|＝﹣（a＋b），|a﹣b|＝﹣(a﹣b），|b﹣a|＝b﹣a， ∴|a|+|a＋b|﹣|a﹣b|﹣|b﹣a| ＝﹣a﹣a﹣b+a﹣b﹣b＋a ＝﹣3b． 【点睛】此题考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．还考查了整式的加减运算，解答此类问题的关键是要明确整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 题型14 比较大小的特殊方法 【典例1】．阅读材料，解答下列问题 例：当时，如则，故此时a的绝对值是它本身 当时，，故此时a的绝对值是零 时，如则，故此时a的绝对值是它的相反数 所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想 (1)比较大小：______7，______；（用，，填写） (2)请仿照例中的分类讨论的方法，分析猜想与的大小关系． 【答案】(1)，； (2)见解析 【分析】本题考查了去绝对值，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析即可 ． 【详解】（1）解：， 故答案为：，； （2）显然当时，， 当时，， 当时，． 【变式1】．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 【变式2】．先比较下列各式的大小，再回答问题． (1)_____； (2)______； (3)_______； (4)再举出一些类似的比较大小的算式，归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了绝对值的意义，比较有理数的大小，熟练掌握绝对值的意义是解此题的关键． （1）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （2）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （3）根据绝对值的意义得到，，即可得解； （4）根据前面的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴； （2）解：，， ∴； （3）解：，， ∴； （4）解：例如，，故， 故当a，b为有理数时，与的大小关系为． 【变式3】．试比较，，，这四个数的大小． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，绝对值的求解，根据这几个数的特点，先求出每个数的绝对值，再将这些数的绝对值表示为1与某个分数的差的形式比较大小，最后由“几个负数，绝对值大的反而小”即可得出结论. 【详解】∵，，，，且， ， . 【变式4】．阅读下列材料，解决问题。 比较两个有理数大小的方法有一种叫做作差法，例如：比较与的大小。 解：∵ 这种利用作差法比较大小的原理是： （1）若则 （2）若a-b<0,则a<b （3）若则 解决下列问题： （1）比较与的大小； （2）已知试比较A和B的大小。 【答案】（1）>；（2）A>B 【分析】（1）、（2）依据作差法列出代数式，然后去括号、合并同类项即可． 【详解】解：（1） ∴>； （2） ∴>0 即A>B. 【点睛】本题主要考查的是比较代数式的大小以及有理数的大小比较，掌握比较两个代数式大小的方法是解题的关键． 题型15 绝对值的化简难点分析 【典例1】．若ab＞0，则的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．±1或±3 D．3或﹣1 【答案】D 【分析】首先根据两数相乘，同号得正，得到a，b符号相同；再根据同正、同负进行分情况讨论． 【详解】因为ab＞0，所以a，b同号． ①若a，b同正，则=1+1+1=3； ②若a，b同负，则=-1-1+1=-1． 故选D． 【点睛】考查了绝对值的性质，要求绝对值里的相关性质要牢记：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．该题易错点是分析a，b的符号不透彻，漏掉一种情况． 【变式1】．，，，为互不相等的有理数，且，，则 ． 【答案】3 【分析】根据题意分别求出a、b的值，然后分情况讨论求出对应的d的值，再分别计算即可． 【详解】解：∵a、b、c、d为互不相等的有理数，且c＝3，|a−c|＝|b−c|＝1， ∴a＝2，b＝4或a＝4，b＝2， 当a＝2，b＝4，|d−b|＝1时，d＝3或5， ∵c＝3， ∴d＝5，则|a−d|＝3， 当a＝4，b＝2，|d−b|＝1时，d＝3或1， ∵c＝3， ∴d＝1，则|a−d|＝3， 综上所述：|a−d|＝3． 【点睛】本题考查的是绝对值的概念和性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，绝对值不可能等于负数是解题的关键，注意分情况讨论思想的正确运用． 一、单选题 1．的绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故选D． 2．下列各式中结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多重符号化简、以及绝对值的化简，根据相关运算法则对各项进行运算，并对运算的结果进行判断，即可解题． 【详解】解：A选项，结果为正数，不符合题意； B选项，结果为正数，不符合题意； C选项，结果为负数，符合题意； D选项，结果为正数，不符合题意； 故选：C． 3．下列四个数中，绝对值大于本身的数是（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据“正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值是它的相反数”可知负数的绝对值是正数，一定大于它本身，只需找出选项中的负数即可． 【详解】解：A、，等于本身，故A不符合题意； B、，大于本身，故B符合题意； C、，等于本身，故C不符合题意； D、，等于本身，故D不符合题意． 故选：B ． 4．大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查了比较有理数的大小，找出符合条件的点，即可得到答案． 【详解】解：大于而小于2.3的整数有，，，，0，1，2，共7个， 故选：C． 5．式子的最小值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】当绝对值有最小值时，式子有最小值，进而得出答案． 【详解】解：当绝对值最小时，式子有最小值， 即|x-2|=0时，式子最小值为0+1=1． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，任意数的绝对值为非负数，即绝对值最小为0，进而求得式子的最小值． 二、填空题 6．的相反数为 ；的绝对值是 ；绝对值是2的数是 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了绝对值和相反数．根据相反数的定义：如果两个数只有符号不同，数字相同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0；绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对数是它的相反数，0的绝对值是0，进行求解即可 【详解】解：的相反数为；的绝对值是5；绝对值是2的数是． 故答案为：；5，． 7． ． 【答案】0.27 【分析】此题考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数求解即可． 【详解】． 故答案为：0.27． 8．绝对值小于2.5的所有整数是 ，其中，绝对值等于它本身的数是 ． 【答案】 2，1，0，， 0，1，2 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义求解即可． 【详解】绝对值小于2.5的所有整数是2，1，0，，； 绝对值等于它本身的数是0，1，2． 故答案为：2，1，0，，；0，1,2． 9．已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据，得到, 代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 三、解答题 10．将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接起来：． 【答案】 【分析】先求得，，再根据正数大于零，零大于负数进行比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查绝对值、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键． 11．已知有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．先根据各点在数轴上的位置判断出的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】由数轴可知： 原式 ． 12．如图，点在数轴上，回答下列问题． (1)写出点所表示的数，并且比较它们的大小．（用“＜”连接） (2)若D点与B点的距离是3，则D点表示的数是 ． 【答案】(1)点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是， (2)1或 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较和数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式． （1）观察数轴，分别找出点表示的数，按照从左到右的顺序把它们表示的数排列起来，并用小于号连接起来即可； （2）设点D表示的数为x，然后根据数轴上两点间的距离公式，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知：点A表示的数是， 点B表示的数是， 点C表示的数是2， ∴． （2）解：设点D表示是数是x， ∵D点与B点的距离是3， ∴， 即， 则， 解得：或． ∴点D表示的数是1或； 故答案为：1或． 13．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 已知数轴上两点对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．    (1)两点之间的距离是 ； (2)设点在数轴上表示的数为，则与之间的距离表示为 ； (3)若点到点、点的距离相等，则点对应的数为 ； (4)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为8？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)1 (4)或5 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想在解题中的运用． （1）在数轴上两点之间的距离为，依此即可求解； （2）在数轴上两点之间的距离为，依此即可求解； （3）根据中点坐标公式即可求解； （4）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：两点之间的距离是， 故答案为：4； （2）x与之间的距离表示为， 故答案为：； （3）． 故点P对应的数是1， 故答案为：1； （4）点P在点A的左边， x的值是； 点P在点B的右边， x的值是． 故x的值是或5． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 绝对值 有理数的大小比较 教学目标 1. 了解绝对值的意义； 2. 会求一个数的绝对值； 3. 掌握绝对值的化简； 4. 知道对有理数大小比较的方法。 教学重难点 1.重点 （1）求一个数的绝对值； （2）绝对值的应用； （3）比较有理数的大小。 2.难点 （1）含字母的绝对值化简问题； （2）比较有理数大小的特殊方法； （3）分类讨论思想。 知识点1 绝对值 1.观察 实例 如图1-1-13,小海家、乐乐家分别离学校多远?(图中的单位长度为1 km) 在数轴上，表示小海家的点A和表示乐乐家的点B 分别位于表示学校的点(原点)的两侧，它们对应的数分别是+3和-3,它们与原点的距离都是3km。 当我们只需要研究小海家、乐乐家与学校的距离，不需要考虑方向，也就是只研究点A、点B与原点的距离时，我们就说点A 、点B与原点的距离都是3km,我们把这里的3叫作+3的绝对值，它也是-3的绝对值. 2.绝对值 一般地，数a在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|, 读作“绝对值a”或“a的绝对值”. 如图1-1-14,表示3与-3的点到原点的距离都是3个单位长度，它们的绝对值都是3,即|3|=3, |-3|=3 . 要点： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 反过来，如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是正数或0;如果 一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数是负数或0. （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 3.绝对值性质： （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 4.用数轴上的点表示绝对值为a（a≥0）的数 ①a=0时，绝对值为a的数只有一个，即为0，用数轴上的点表示如下图所示： ②a＞0时，绝对值为a的数有两个，分别是a和—a. 以a=为例，画出数轴上的点表示绝对值为a的数，如下图所示： 【即学即练】 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 2．求下列各数的绝对值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)0； (6)． 3． ； ； ； ． 4．如果，那么 ． 5．任何一个数的绝对值都是 （填“正数”“负数”“0”或“非负数”）． 6．绝对值是它本身的数是 ，绝对值是它的相反数的数是 ，绝对值最小的负整数是 ． 7．已知，则 ， ． 8．绝对值不大于6的整数有 个． 知识点2 有理数的大小比较 1.数轴法 ①观察：把图1-1-16中温度计上的数值表示在数轴上，如图1-1-17所示. 观察表示这些数的点在数轴上的位置，温度的高低与相应的点在数轴上的位置有什么关系? ②每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示.用数轴上的点表示有理数时，这些点从左到右的顺序，就是有理数从小到大的顺序，即右边的点表示的数大于左边的点表示的数. 由此可知：4>0,0> -2,2>-4,...... ③正数大于零，零大于负数，正数大于负数. 2.法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1） 分别计算两数的绝对值； （2） 比较绝对值的大小： （3）判定两数的大小． 拓展： 3.作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立． 4.求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反． 5.倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小． 【即学即练】 1．在，，，这四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 2．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来：，，，，，． 3．比较大小： .（填“”、“”或“”） 4．比较大小 （1） （2） （3） ． 5．阅读与思考 请阅读小彬的日记，并完成相应的任务： X年X月X日 比较两个数的大小的方法今天，我在一本数学课外书上看到这样一道题：比较与的大小．这道题利用绝对值法比较这两个负数的大小太复杂，怎样办？该书提供了如下的方法： 解：因为，，所以，所以． 我有如下思考：这种方法叫什么方法？是通过哪个量作比较的？…… 任务： (1)上述方法是先通过找中间量__________来比较出，的大小的，再根据两个负数比较大小，__________大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法． (2)利用上述方法比较与的大小． 题型01 绝对值；求一个数的绝对值 【典例1】．的绝对值是 ，记作 ． 【变式1】．写出下列各数的绝对值： ． 【变式2】．﹣（+0.5）的绝对值是 ． 【变式3】．求值： ； ； ； ； ． 【变式4】．如果一个数的绝对值是10，那么这个数是 ． 题型02 绝对值与相反数 【典例1】．的相反数是 ． 【变式1】．的相反数是 ，的绝对值是 ． 【变式2】．|﹣2|的相反数是 ；﹣的绝对值是 ． 【变式3】．的相反数是（    ） A． B． C．2024 D．－2024 【变式4】．的绝对值的相反数是（    ） A． B．3 C． D．0 题型03 含字母的求绝对值问题 【典例1】．如果，那么= ；如果，那么 ． 【变式1】．若，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 【变式2】．求下列各数的绝对值： （1）﹣38； （2）0.15； （3）a（a＜0）； （4）3b（b＞0）； （5）a﹣2（a＜2）； （6）a﹣b． 题型04 绝对值的特点辨析 【典例1】．下列说法正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定是正数 B．一个数的相反数一定是负数 C．若不相等的两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数 D．整数的绝对值大于分数的绝对值 【变式1】．下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若，则a与 b一定互为相反数 D．若，则是非正数 题型05 根据绝对值判断正负 【典例1】．如果a表示有理数，那么a+1，|a+1|，（a+1），|a|+1中肯定为正数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．在，，，四个数中非负数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型06 绝对值与数轴上点表示的数 【典例1】．如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，数轴上被遮挡住的整数的绝对值是（    ） A．1 B． C． D．0 题型07 数轴上距离问题 【典例1】．数轴上到原点的距离等于8的点表示的数是 ． 【变式1】．数轴上表示3的点到原点的距离是 ． 【变式2】．在数轴上，与表示的点的距离为2的数是（    ） A．2 B．或2 C．1或 D．0 题型08 绝对值小于某数的整数问题 【典例1】．绝对值不大于3的非正整数是 . 【变式1】．绝对值小于4的整数有 个． 【变式2】．绝对值小于的整数有 ． 【变式3】．绝对值大于2，小于5的所有整数是 . 题型09 绝对值方程 【典例1】．如果|a|=|-8|,则a= . 【变式1】．若，那么 ． 【变式2】．如果|x-3|=0,则|x+2|= ,|2-x|= . 题型10 绝对值的非负性 【典例1】．已知，则 ， ． 【变式1】．如果，那么a，b的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 题型11 绝对值的实际应用 【典例1】．排球比赛时所使用的排球质量是有严格规定的．现检查4个排球的质量，超过规定质量的克数记作正数，不足规定质量的克数记作负数．检查结果如下：①号，②号，③号，④号，那么质量最接近标准的排球是（    ） A．①号 B．②号 C．③号 D．④号 【变式1】．在食盐质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是(   ) A． B． C． D． 【变式2】．下表是2023年9月中旬全国农产品价格变化情况统计表 流动领域中农产品价格变化表 种类 稻米 小麦 玉米 棉花 生猪 大豆 豆粕 油料花生 涨跌幅 1 其中价格变化最大是（    ） A．稻米 B．生猪 C．豆粕 D．玉米和棉花 题型12 有理数的大小比较 【典例1】．比较大小（填写“＞”或“＜”）： －2 －3 ； ； 【变式1】．在0，，，中，最小的数是 ． 【变式2】．将下列各式用“＜”号连接起来：－4，，3，－2.7，－|－3.5|,0. 【变式3】．比较下列每组数的大小： （1）与；    （2）与；    （3）与； （4）与；    （5）与；    （6）与． 【变式4】．有理数，，所对应的点在数轴上的位置如图所示，试比较，，，，，，0的大小，并用“<”连接. 题型13 化简绝对值 【典例1】．在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 【变式1】．已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，试化简：．    【变式2】．已知a，b在数轴上对应的点如图示．化简：|a|＋|a＋b|﹣|a﹣b|﹣|b﹣a|． 题型14 比较大小的特殊方法 【典例1】．阅读材料，解答下列问题 例：当时，如则，故此时a的绝对值是它本身 当时，，故此时a的绝对值是零 时，如则，故此时a的绝对值是它的相反数 所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想 (1)比较大小：______7，______；（用，，填写） (2)请仿照例中的分类讨论的方法，分析猜想与的大小关系． 【变式1】．请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【变式2】．先比较下列各式的大小，再回答问题． (1)_____； (2)______； (3)_______； (4)再举出一些类似的比较大小的算式，归纳出当a，b为有理数时，与的大小关系． 【变式3】．试比较，，，这四个数的大小． 【变式4】．阅读下列材料，解决问题。 比较两个有理数大小的方法有一种叫做作差法，例如：比较与的大小。 解：∵ 这种利用作差法比较大小的原理是： （1）若则 （2）若a-b<0,则a<b （3）若则 解决下列问题： （1）比较与的大小； （2）已知试比较A和B的大小。 题型15 绝对值的化简难点分析 【典例1】．若ab＞0，则的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．±1或±3 D．3或﹣1 【变式1】．，，，为互不相等的有理数，且，，则 ． 一、单选题 1．的绝对值是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列四个数中，绝对值大于本身的数是（    ） A． B． C．2 D．0 4．大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 5．式子的最小值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．的相反数为 ；的绝对值是 ；绝对值是2的数是 ． 7． ． 8．绝对值小于2.5的所有整数是 ，其中，绝对值等于它本身的数是 ． 9．已知b、c满足，则的值是 ． 三、解答题 10．将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接起来：． 11．已知有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：． 12．如图，点在数轴上，回答下列问题． (1)写出点所表示的数，并且比较它们的大小．（用“＜”连接） (2)若D点与B点的距离是3，则D点表示的数是 ． 13．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离． 已知数轴上两点对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为．    (1)两点之间的距离是 ； (2)设点在数轴上表示的数为，则与之间的距离表示为 ； (3)若点到点、点的距离相等，则点对应的数为 ； (4)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为8？若存在，请直接写出的值；若不存在，说明理由． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$