第26讲圆的方程 课件-2025年安徽省职教高考数学总复习

第26讲　圆的方程 能力层级 考试内容　　　 了解 理解 掌握 圆的方程 圆的定义. 二元二次方程表示圆的条件和圆的一般方程. (2023，T37)   圆的标准方程. (2024，T42) 思维导图 构建 2 复习建议： 1.考情小结：圆的标准方程、圆的一般方程近三年涉及2次， 属于高频考点，主要考查由圆的标准方程、一般方程求圆心坐标及半径，由给定条件写出圆的标准方程.题目难度适中，分值4分. 2.备考攻略：待定系数法求圆的一般方程学有余力的同学可以掌握. 思维导图 构建 1.圆的定义 圆是平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹，定点称为圆心，定长称为半径. 备考讲义 考点1 圆的定义与圆的标准方程 解读 考纲考情 4 2.圆的标准方程 在平面直角坐标系中，圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.若圆心在坐标原点O(0，0)处，则半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 解读 考纲考情 例1　(2024·安徽职教高考真题)以点(1，－1)为圆心，且过坐标原点的圆的方程为(　　　) A.(x－1)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋1)2＋(y－1)2＝4 C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 【答案】 C 【试题分析】 本题考查圆的标准方程.首先根据(1，－1)为圆心，排除B、D选项，再结合圆过坐标原点，代入A、C选项，利用排除法即可求出答案. 【解题过程】 因为点(1，－1)为圆心，所以B、D选项错误，又因为圆过坐标原点，所以A选项错误，故选C. 解读 考纲考情 例2　(2021·安徽职教高考真题)以点C(－5，2)为圆心，5为半径的圆的标准方程为(　　　) A.(x－5)2＋(y＋2)2＝5 B.(x－5)2＋(y＋2)2＝25 C.(x＋5)2＋(y－2)2＝5 D.(x＋5)2＋(y－2)2＝25 【答案】 D 【试题分析】 本题考查圆的标准方程. 【解题过程】 根据圆的标准方程，本题中a＝－5，b＝2，r＝5，故所求方程为(x＋5)2＋(y－2)2＝25，故选D. 解读 考纲考情 例3　(真题)已知点A(－1，2)，B(3，0)，则以线段AB的中点为圆心，1为半径的圆的方程是(　　　) A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x－2)2＋(y－2)2＝1 C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 D.(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 【答案】 A 【试题分析】 本题考查圆的标准方程、线段的中点坐标公式.根据线段的中点坐标公式求得圆心. 解读 考纲考情 【解题过程】 因为点A(－1，2)，B(3，0)，所以根据线段的中点坐标公式可得圆心坐标为＝(1，1).所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，故选A. 解读 考纲考情 跟踪训练1　(改编)已知圆上的两个点分别为A(2，5)，B(4，3)，且圆心在直线x＋y－3＝0上，求该圆的标准方程. 【试题分析】 本题考查求圆的标准方程.根据圆心在直线x＋y－3＝0上，可设出圆心坐标，而圆经过A(2，5)，B(4，3)，则圆心到A、B两点的距离相等，都等于半径，从而建立等式，求出圆心坐标与半径. 解读 考纲考情 【解题过程】 因为圆心在直线x＋y－3＝0上，可设圆心坐标为(a，－a＋3)，而圆经过A(2，5)，B(4，3)，则圆心到A，B两点的距离相等，都等于半径.从而 ，解之得a＝1.所以圆心坐标为 (1，2)，半径为.故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝10. 解读 考纲考情 对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D、E、F为常数)，有： (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D、E、 F为常数)表示圆，这个方程称为圆的一般方程，圆心坐标为 ，半径为. 备考讲义 考点2 圆的一般方程 解读 考纲考情 (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D、E、 F为常数)表示点. (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D、E、F为常数)不表示任何图形. 解读 考纲考情 例4　(改编)已知圆的方程为x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，则圆心坐标与半径为(　　　) A.(2，－3)，1 B.(－2，3)，1 C.(2，－3)，2 D.(－2，3)，2 【答案】 B 【试题分析】 本题考查圆的一般方程.找到方程中的D，E，F，代入公式可得圆心坐标为，半径为. 解读 考纲考情 【解题过程】 由圆的方程为x2＋y2＋4x－6y＋12＝0可得，D＝4，E＝－6，F＝12，代入公式可得圆心坐标为＝ (－2，3)，半径为r＝＝1，故选B. 解读 考纲考情 例5　(2023·安徽职教高考真题)过三点A(0，0)，B(－4，0)，C(0，－2)的圆的方程是(　　　) A.(x＋2)2＋y2＝5 B.x2＋(y＋1)2＝5 C.(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D.(x＋1)2＋(y＋2)2＝5 【答案】 C 【试题分析】 本题考查圆的方程.利用待定系数法设出圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，把A(0，0)，B(－4，0)，C(0， －2)代入，解三元一次方程组，可以求得D，E，F的值. 解读 考纲考情 【解题过程】 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，把A(0，0)，B(－4，0)，C(0，－2)代入可得，解之得故所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y＝0， 配方得：(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，故选C. 解读 考纲考情 跟踪训练2　(改编)若圆的方程为x2＋y2＋8y＝0，则该圆的面积 为(　　　) A.2 B.4 C.16π D.8π C 【试题分析】 本题考查由圆的一般方程求圆的半径.由圆的方程 为x2＋y2＋8y＝0，可以求出半径，再由圆的面积公式可以求解. 解读 考纲考情 【解题过程】 由圆的方程为x2＋y2＋8y＝0，知D＝0，E＝8，F＝0，代入公式可得，半径为r＝＝4，从而圆的面积为16π，故选C. 解读 考纲考情 1.点和圆的位置关系的判断 (1)几何法：比较点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系： ①当d＜r时，点在圆内；②当d＝r时，点在圆上；③当d＞r时，点在圆外. (2)根据点的坐标p0(x0，y0)与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系进行判断： ④当(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内；⑤当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；⑥当(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外. 核心考点 探究 20 2.圆外一点到圆上点的最短距离与最长距离 设点P为圆C外一点，点P到圆心C的距离为d，圆C的半径为r，则点P到圆上一点的最长距离是d＋r，最短距离是d－r. 核心考点 探究 1.(改编)已知圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝2，则圆心坐标 及半径为(　　　) A.(3，－2)，2 B.(3，－2)， C.(－3，2)， D.(－3，2)，2 C 【试题分析】 本题考查求圆的标准方程.由圆的标准方程易得圆心坐标与半径. 拓展 教材母题 22 2.(原创)已知圆的方程为x2＋y2＝5，则点(2，0)与圆的位置关系 是(　　　) A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.不能确定 A 【试题分析】 本题考查点与圆的位置关系，根据＜r2，可知点在圆内. 【解题过程】 把点(2，0)代入圆的方程左侧得22＋02＝4＜r2，可知点在圆内，故选A. 拓展 教材母题 3.(改编)已知两点A(－2，3)和B(4，5)，则以AB为半径，点A为 圆心的圆的标准方程是(　　　) A.(x＋2)2＋(y－3)2＝20 B.(x＋2)2＋(y－3)2＝40 C.(x－2)2＋(y－3)2＝20 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝40 B 【试题分析】 本题考查求圆的标准方程.因为AB为半径，所以可根据两点间的距离公式求得半径，再根据点A为圆心可写出圆的标准方程. 拓展 教材母题 【解题过程】 已知两点A(－2，3)和B(4，5)和圆以AB为半径，故r＝＝2，而圆以点A为圆心，所以圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝40，故选B. 拓展 教材母题 4.(改编)二元二次方程x2＋y2－2x－6y－m2＝0表示的是(　　　) A.圆 B.点 C.不表示任何图形 D.根据m的值来确定 A 【试题分析】 本题考查二元二次方程表示圆的条件.根据D2＋E2－4F与0的大小关系来判断此方程表示的图形. 【解题过程】 由二元二次方程x2＋y2－2x－6y－m2＝0可得D＝－2，E＝－6，F＝－m2，所以D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－6)2＋4m2＝4m2＋40＞0，所以此方程表示一个圆，故选A. 拓展 教材母题 5.(改编)已知圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－4＝0，则圆心坐标是 ___________，半径长为________.  (1，－2)　 3 【试题分析】 本题考查由圆的一般方程求半径与圆心坐标.找到方程中的D、E、F，代入公式圆心坐标为，半径为，即可求得. 拓展 教材母题 【解题过程】 由圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－4＝0可得，D＝ －2，E＝4，F＝－4，代入公式可得圆心坐标为＝(1，－2)，半径为r＝＝3. 拓展 教材母题 6.(改编)已知两点P(3，0)和Q(－1，2)，则以线段PQ为直径 的圆的标准方程是___________________________.  (x－1)2＋＝9 【试题分析】 本题考查求圆的标准方程.因为PQ为直径，所以可根据两点间的距离公式求得半径，再根据中点坐标公式求圆心坐标，从而得圆的标准方程. 拓展 教材母题 【解题过程】 由两点P(3，0)和Q(－1，2)，而PQ为直径，故r＝|PQ|＝＝3，圆心为PQ的中点，由线段的中点坐标公式可得圆心坐标为＝(1，)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋＝9. 拓展 教材母题 7.(改编)求过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圆的一般方程，并求圆的圆心坐标和半径长. 【试题分析】 本题考查求圆的一般方程.利用待定系数法设出圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，把A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)三点代入，解三元一次方程组，可以求得D，E，F的值，再由公式得圆心坐标及半径. 拓展 教材母题 【解题过程】 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，把A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)代入可得，解之得故所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0，代入公式可得圆心坐标为 ＝(2，1)，半径为r＝＝5. 拓展 教材母题 8.(改编)已知方程x2＋y2－4x－16y＋3k＝0表示圆，求实数k的取值范围，并求出圆心坐标和圆的半径. 【试题分析】 本题考查二元二次方程表示圆的条件.根据D2＋E2－4F＞0表示圆来建立关于k的方程，求k值，再由公式得圆心坐标与半径. 拓展 教材母题 【解题过程】 由二元二次方程x2＋y2－4x－16y＋3k＝0可得D＝－4，E＝－16，F＝3k，而方程表示一个圆，所以D2＋E2－4F＝(－4)2＋(－16)2－12k＞0，解之得k＜.代入公式可得圆心坐标为＝(2，8)，半径为r＝. 拓展 教材母题 $$