2025年中考数学专题复习反比例函数综合部分重难点专项练习

2025年中考数学专题复习反比例函数综合部分重难点专项练习 1．如图是反比例函数，的图象，点为图象上的一点，且轴，轴，垂足分别为点、点，、分别交的图象于点、点． (1)当点的横坐标为1时，求点、点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，点的坐标为连接交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 3．如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求与一次函数的函数表达式； (2)连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 4．如图，反比例函数的图象与直线：交于点和点、与轴的负半轴相交于点A，且点为的中点． (1)求反比例函数解析式． (2)结合图象，直接写出不等式的解集． (3)连接，，求的面积． 5．如图，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)把直线绕点旋转至与轴垂直，旋转后的直线与反比例函数的图象交于点，求线段的长． 6．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，以，为邻边作，反比例函数的图象经过点，设点的横坐标为． (1)当时，求的值； (2)当时，求反比例函数的解析式． 7．如图，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线相交于点P，轴于点C，且，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与相似时，求点Q的坐标． 8．如图，正比例函数的图象与反比例函数为常数，且）的图象交于两点． (1)求的值； (2)求点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于点，点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出的取值范围； (3)点是轴上的一点，当以点，，，为顶点的四边形的面积为7时，求点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，与轴，轴分别交于点，点，与反比例函数图象交于第一象限的点，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)若直线右侧的点在反比例函数图象上，的面积为，直线与轴交于点，求． 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，与轴相交于点．      (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)点是轴上一动点，连接，，当面积为10时，请求出点的坐标； (3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在反比例函数上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为________； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，b为常数． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集为______． 14．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线分别与双曲线（k是常数）和轴相交于点和点，且点的纵坐标为3．点在双曲线上，其横坐标为． (1)求双曲线对应的函数表达式； (2)不等式的解集为_____； (3)当的面积与面积相等时，求点的坐标； (4)连结．将绕点顺时针旋转得到，连结，当与直线有交点时，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)点的坐标为，点的坐标为； (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）先求得点的坐标，由轴，可求得点的坐标，由轴，得到点的纵坐标为，据此求解即可； （2）由（1）得，，同理点的坐标为，求得，，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标为， 当时，，， ∴点的坐标为； （2）解：由（1）得，，同理点的坐标为， ∴，， ∴． 2．(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的交点的计算，一次函数与几何图形面积的计算，掌握相关知识是关键． （1）根据题意得到点的横坐标为，运用待定系数法即可求解； （2）联立方程组得到点，运用待定系数法得到直线的解析式，则，结合面积的计算即可求解． 【详解】（1）解：∵轴于点，点的坐标为， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， 把点代入直线中得，， ∴； （2）解：直线与双曲线联立方程组得， ， 解得，， ∴，且， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴ ∴． 3．(1)； (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及反比例函数解析式的求解、一次函数解析式的确定、三角形面积的计算等知识点．熟练掌握反比例函数和一次函数的性质，以及利用坐标求三角形面积的方法是解题的关键． （1）先利用反比例函数性质，将点坐标代入设好的反比例函数表达式，求出反比例函数的，得到反比例函数解析式．再把点坐标代入反比例函数解析式，求出的值．最后设一次函数表达式，将、两点坐标代入，通过解方程组求出一次函数的和，确定一次函数表达式． （2）先求出一次函数与轴交点的坐标，再通过算出的面积．由面积是面积的一半，结合长度，利用三角形面积公式求出点纵坐标的绝对值，进而得到纵坐标的值．最后把点纵坐标代入反比例函数解析式，求出横坐标，确定点坐标． 【详解】（1）解：设反比例函数表达式为，将代入，得， 将代入，得 ， ∴； 设一次函数表达式为，将代入得 ， ∴， 一次函数表达式为； （2）解：在中，令，则， ∴． ∵，，， ∴． ∵的面积是面积的一半， ∴． 在中，令，则，解得， ∴，． 由，即， 解得， ∴． 当时，代入，得，解得； 当时，代入，得，解得． ∴点的坐标为或 ． 4．(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，三角形中线的性质． （1）把点代入反比例函数中，即可求解； （2）由点是线段的中点，且点的纵坐标为0，得到点的纵坐标为4，把代入反比例函数，可得．根据函数与不等式的关系即可求解； （3）运用待定系数法求出直线的解析式，令，求出点A的坐标，根据三角形中线的性质得到即可求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ，解得， 反比例函数解析式为． （2）解：点是线段的中点，且点的纵坐标为0， 由中点公式，得点的纵坐标为4， 把代入反比例函数，得． 点的坐标为． 结合图象，得不等式的解集为． （3）解：把点，代入直线：， 得解得 直线的解析式为． 当时，即，解得， ∴ ． 点是线段的中点， ． 5．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法，即可求出一次函数和反比例函数的表达式． （2）根据轴，可得点的横坐标为，代入中，可得点，再根据，即可求得线段的长． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴点， ∴， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵轴，， ∴点的横坐标为， 把代入， 得， ∴点， ∵， ∴线段的长为． 6．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，求得C的坐标是解题的关键． （1）由题意可知，结合平行四边形的性质求出，然后利用待定系数法即可求解； （2）由题意可知，然后利用待定系数法，根据得到，即可求解． 【详解】（1）点在直线上，点的横坐标为1， ． 四边形为平行四边形，轴， 轴，． ． 点在反比例函数的图象上， ． （2）点在直线上，点的横坐标为， ． 四边形为平行四边形，轴， 轴，． ． 点在反比例函数的图象上，， ， 解得（舍去），． 故反比例函数的解析式为． 7．(1) (2)或 【分析】本题属于反比例函数综合题，主要相似三角形的性质、待定系数法求函数解析式等知识点，熟练掌握待定系数法以及分类讨论思想是解题的关键． （1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式，把代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，再代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式； （2）设代入反比例解析式得到，分两种情况考虑：当时；当，由相似得比例求出m的值，进而确定出n的值，即可得出Q坐标． 【详解】（1）解：把代入中，得：， ∴， ∵， ∴把代入中，得：，即， 把代入中，得：， ∴双曲线解析式为． （2）解：如图，轴于点H，连接；设， ∵在双曲线上， ∴， ∵点B在上， ∴． 当时，，即，整理得：，即，解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，即，整理得，解得：或（舍）， ∴， ∴， 综上所述，或． 8．(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数，反比例函数，二元一次方程组求交点的坐标，掌握以上知识是关键 （1）把点代入正比例函数得到，再代入反比例函数解析式得到； （2）联立正比例函数，反比例函数得到二元一次方程组，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）得，正比例函数解析式为，反比例函数解析式为， ∴联立得： ， 解得： 或， ∴． 9．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （）由待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可得到不等式的解集； （）由得，当时，，当时，，求出，，然后分当时，和当时，两种情况可得关于的一元一次方程，然后解方程即可； 【详解】（1）解：将点代入，得， ； 反比例函数的表达式为． 将点代入，得， ． 将，代入，得， 解得 一次函数的表达式为； （2）解：由图象得，当时，即时，的取值范围为或； （3）解：设， 由得，当时，， 当时， ， ∴，， 当时， ， ∴， ∴点的坐标为， 当时，如图： ， ∴， ∴点的坐标为， 综上可知：点的坐标或． 10．(1) (2)或3 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握反比例函数与几何的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后根据中点坐标公式可得，进而问题可求解； （2）由题意可分当点在第一象限时，则过点作轴交直线于点，过点作轴于点，当点在第三象限时，则过点作轴于点，然后根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】（1）解：由直线与直线交于点，可知：，即， ∴， ∴，即， ∴， 令时，则有，令时，则有， ∴， ∵，即点为中点， ∴根据中点坐标公式可得点的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可分：当点在第一象限时，则过点作轴交直线于点，过点作轴于点，如图所示： 由（1）可知：，反比例函数解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； 当点在第三象限时，则过点作轴于点，如图所示： 同理可得， ∴，则， ∵轴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或． 11．(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】对于（1），先求出反比例函数的解析式，可得点B的坐标，再代入直线关系式得到方程组，求出解即可； 对于（2），先求出点G，再设，则，然后根据可求出答案； 对于（3），设交轴于点，先求出点，再求出，，然后证明，求出，进而求出直线的解析式，最后与反比例函数关系式联立求出解即可． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为； 将点代入，解得， ， 把和分别代入，得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设直线交轴于点，如图1， 令得， 则， 设，则， ∵， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，如图2，设交轴于点， ∵直线与轴交于点， ∴， 解得， ∴. ∵，， ∴，. ∵线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∵， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ， ， 直线的解析式为， 联立得， 解得：， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，相似三角形的性质和判定，勾股定理等，用面积差表示出是解题的关键． 12．(1)； (2) (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 13．(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题以及借助图象求不等式的解集． （1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图象位置关系找到一次函数在反比例函数上方的部分即可得解． 【详解】（1）解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴ 将点、分别代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象可知，当时，直线在反比例函数图象的上方，满足， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 14．(1)； (2)； (3)存在，点P的坐标为． 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， ∵点B坐标为， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 15．(1)； (2)或； (3)或或或； (4)或． 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据待定系数法求出的值即可； （2）先求出直线与双曲线的两个交点的横坐标，再结合图象找出直线在双曲线上方部分对应的自变量取值范围即可； （3）过点作直线，则直线，由平行线间距离相等可知，直线与双曲线的交点为点，联立直线和双曲线，求出交点；在轴上截取，过点作直线，同理求出交点即可； （4）讨论两个临界点：①当点在第一象限双曲线的图象上，点在直线上时，设，过点作轴于点，过点作延长线于点，证明，得到，，从而得到点的坐标，求出的值；②当点在第三象限双曲线和直线的交点上时，此时，即可求解． 【详解】（1）解：点在直线的图象上，且纵坐标为3， 则，解得：， ， 点在双曲线的图象上， ， 双曲线对应的函数表达式为； （2）解：联立，整理得：， 解得：，， 即直线与双曲线的两个交点的横坐标分别为和， 由图象可知，当或时，直线在双曲线上方， 即不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：的面积与面积相等， 点到直线的距离等于点到直线的距离， 如图，过点作直线，则直线， 平行线间距离相等， 直线与双曲线的交点为点， 联立，整理得：， 解得：， 点的坐标为或； 如图，在轴上截取，过点作直线， 令，则， ， ， ， 直线， 联立，整理得：， 解得：， 点的坐标为或； 综上可知，点的坐标为或或或； （4）解：由旋转的性质可知，，， ①当点在第一象限双曲线的图象上，点在直线上时， 设， 过点作轴于点，过点作延长线于点，则，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在直线上， ， 解得：， 则当时， 与直线有交点，   ②当点在第三象限双曲线和直线的交点上时，此时， 则当时， 与直线有交点， 综上可知，与直线有交点时，的取值范围为或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$