21.2.2解一元二次方程——公式法（第2课时）（教学设计）数学人教版九年级上册

21.2.2公式法第二课时教学设计 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十一章一元二次方程，21.2解一元二次方程——21.2.2公式法第二课时，内容为公式法解一元二次方程。 2.内容解析 公式法的优点是操作简单、直接计算，它利用了配方法解一元二次方程一般形式的结果，省去了配方的中间过程。求根公式的推导，困难在于字母符号多、分式运算复杂，让学生自己动手推导，在加深认识求根公式的同时，还可以培养学生的运算能力。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：求根公式的推导和应用。 1.教学目标 （1）认识到公式法是解一元二次方程的普适方法，适用于所有形式的一元二次方程；准确记忆并运用一元二次方程的求根公式。 （2）理解求根公式的推导过程是通过配方法得到的，认识到公式法是配方法的一般化结果。 （3）感受数学公式的简洁性、普适性和强大威力，体会数学抽象的价值，在运用公式法解题的过程中，培养严谨、规范、细致的运算习惯和书写习惯。 2.目标解析： （1）理解求根公式的推导过程是避免机械套用求根公式的关键，它揭示了求根公式的来源和合理性，有助于学生理解求根公式的结构，增强对求根公式的认同感和记忆深度。 （2）公式法不依赖于方程是否容易分解或配方，是解一元二次方程的“万能钥匙”。 强调一元二次方程用公式法都一定适用，正确应用公式法的前提是将一元二次方程化为一般形式。 （3）在教学中，不仅要让学生“会算”，更要让他们理解“为什么这样算”（推导）、“算之前可以知道什么”（判别式）、“这样算有什么好处”（普适性、规范性）、“算出来的结果有什么用”（解决实际问题），并在过程中培养积极的学习态度和数学素养。 学生已学习了配方法解一元二次的方程，本节课重点是怎样将方程通过配方的方法求出方程的根，公式法的优点是操作简单、直接计算，它利用了配方法解一元二次方程一般形式的结 果，省去了配方的中间过程，教学中应使学生认识到:抽象的一般形式具有广泛的应用价值，一元二次方程的一般形式代表了所有的一元二次方程，因此求根公式适用于所有的一元二次方程。学生已经熟悉了用配方法解数字系数的一元二次方程，用配方法解字母系数的一元二次方程求根公式的推导，因为字母符号多、分式运算复杂仍是难点。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为公式的推导。 创设情景，引入新课 探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式(Ш) 解呢?上一节课我们学习了将方程(Ш)配方的结果是① 根据的值来判断一元二次方程根的情况，怎样进一步求出(Ш)的解呢? (设计意图：提出问题引入新课) 探究点1 求根公式 当时，方程的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果。 解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代人求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 (设计意图：总结归纳便于学生掌握运用) 典例分析 例1. 用公式法解下列方程: (1) ； (2) ； (3) ； (4) . (活动方法：解方程让学生自己尝试解决，教师提醒学生确定a、b、c的值时，要注意它们的符号，学生解答完毕教师再给予总结) 答案：；；； 无解. (设计意图：巩固用公式法解一元二次方程) 回到本章引言中的问题，雕像下部高度(单位: )满足方程. 用公式法解这个方程，得， 即，， 结果保留小数点后两位，那么，，. 这两个根中，只有符合问题的实际意义，因此雕像下部的高度设计为约. (设计意图：呼应本章引言，运用公式法解一元二次方程) 探究点2 用公式法解方程 追问1：根的判别式和求方程根的公式是与一元二次方程一般形式相对应的，因此使用根的判别式和求根的公式之前应先将方程怎样变形？ 使用根的判别式和求方程根的公式之前应先将方程化为“一般形式”. 追问2：通过以上学习你能归纳出如何根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？ 由上可知，当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。反过来也成立。 追问3：什么是求根公式？ 当时，方程的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式。 求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果，在应用公式前要将一元二次方程化为一般形式，验算根的判别式是否是非负数。 (设计意图：总结归纳便于学生掌握运用) 典例分析 例2.用公式法解下列方程: 　　 参考答案： (活动方法：解方程让学生自己尝试解决，教师提醒学生先将方程化为一般式，确定a、b、c的值时，要注意它们的符号，学生解答完毕教师再给予示范写出解答) (设计意图：巩固用公式法解一元二次方程) 1．定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)已知是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系； (2)已知关于x的方程是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值． 【分析】本题考查了根的判别式，公式法解一元二次方程，正确理解“凤凰”方程的定义是解题的关键． （1）根据有两个相等的实数根得到，根据是“凤凰”方程得到，则，代入整理得，即可得到结论； （2）根据“凤凰”方程的定义列式求出，然后求出，可得，，再根据两个实数根都是整数可得整数m的值． 【详解】（1）解：∵有两个相等的实数根， ∴， ∵是“凤凰”方程． ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即； （2）解：方程整理得：， ∵此方程是“凤凰”方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵两个实数根都是整数， ∴或， ∴或或或， ∴整数m的值为0或2或4或6． (设计意图：拓展一元二次方程求根公式和根的判别式的综合运用) 1.（课本练习）解下列方程： 　　　　　 　　　　 2.求第 21.1节中问题1的答案. 参考答案： 1. 2. 切去边长为5cm的正方形. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.(2024·四川南充·中考真题)已知、是关于x的方程的两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)若，且k，、都是整数，求的值. 【详解】(1)解:∵、是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴. , 解得: ； (2)解:∵，由(1)得， ∴. ， ∴整数的值有2，3，4， 当时，方程为, 解得: (都是整数，此情况符合题意); 当时，方程为, 解得: (不是整数，此情况不符合题意): 当时，方程为, 解得: (不是整数，此情况不符合题意); 综上所述，的值为2. （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） （1）理解求根公式的推导过程是通过配方法得到的，认识到公式法是解一元二次方程的普适方法，适用于所有形式的一元二次方程。 （2）一元二次方程`的求根公式是：当时，. （3）当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根。反过来也成立。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题： 1.习题21.2 第5题。 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若此方程的两个根分别为，，其中，且，求的值． 【详解】（1）证明：根据题意得： ， 此方程有两个不等的实数根， （2）解：方程的两个根分别为，，其中，若， 由（1）知，， ， ，， ， 解得：， 即的值为． 探究性作业： 习题21.2 　第13题. 主板书 21.2.2　公式法第二课时 探究点1　求根公式 探究点2 用公式法解方程 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$