第09讲 三角形中角的关系（2知识点+16考点+过关检测）（暑假预习讲义）新八年级数学新教材沪科版

第09讲 三角形中角的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：16大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.会将三角形按照角的大小进行分类； 2.探索三角形内角和定理的证明过程，并利用三角形的内角和定理进行相关计算； 3.了解三角形外角的概念，并能利用其相关性质进行计算. 知识点 1 三角形内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 证明方法： 图示 方法 构造平角 构造邻补角 构造同旁内角 具体 把三个角“移”成一个平角 可延长三角形的任一边，得到邻补角，然后过该角的顶点作该角的对边的平行线. 过三角形的一个顶点作平行于这一点所对边的射线. 【解读】 1）无论三角形的形状、大小如何改变，三角形三个内角的和仍等于180°； 2）根据三角形的内角和定理可知，三角形中任意一个内角都小于180°，其内角可能都是锐角，也可能有一个直角或一个钝角. 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（   ） A．， B． C． D． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，点、为边、上的两点，将沿线段折叠，点落在上的处，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，平分，若，则 ． 5．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ． 6．（24-25八年级上·广东广州·期中）设三角形与某长方形相交于如图所示的、、、点，如果，，，那么（    ） A． B． C． D． 知识点 2 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． . 1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，是的外角，平分，若，，则等于（    ） A．40° B．45° C．50° D．55° 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将直尺与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图所示，，，，则四边形外的角 ． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ． 【题型 1证明三角形内角和】 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在证明“的内角和等于”时，延长到点，过点作，得到，．由，可得．这个证明方法体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．特殊到一般的思想 C．一般到特殊的思想 D．方程思想 3．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．B．C．D． 【题型 2由三角形内角和直接求角度】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，是角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图所示，在中，，的角平分线，交于点，外角平分线，交于点，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 【题型 3由三角形内角和判断三角形形状】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期中）一个三角形有两个内角的度数分别为和，则这个三角形属于 ． 【题型 4三角形内角和与平行线的综合运用】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，直线于点，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）把一块含有角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，是的角平分线，，交于点．若，，则的度数为 ． 【题型 5三角形内角和与角平分线的综合运用】 1．（20-21八年级上·广东广州·期中）如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是角平分线，是高，，求（    ）（用和来表示） A． B． C． D． 3．（19-20八年级上·湖北黄石·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，若，，则的大小为 °． 4．（23-24七年级下·山东·期末）如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 【题型 6三角形内角和与翻折的综合运用】 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，将沿翻折得到，其中、B、A三点共线，、C、D三点共线，若，则（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，将沿翻折得到，若，，则 ． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，将沿着翻折，若，则的大小为 度． 【题型 7三角形内角和与三角板的综合运用】 1．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，把一副含角和角的直角三角板拼在一起，那么图中度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，点在的延长线上，点在上．若，则的度数为 ． 4．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【题型 8由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，将沿折叠，使点落在处，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图， 把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变．则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 【题型 9 求三角形外角的度数】 1．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）在中，若，则的外角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·浙江金华·期末）一个三角形的其中两个外角分别是和，则可知第三只外角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）等腰三角形的两个外角的度数比为2：5，则它的顶角的度数是 (      ) A．40° B．120° C．140° D．40°或140° 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，则与相邻的外角的度数为 ． 【题型 10 由三角形的外角性质求角度】 1．（2025·河北唐山·二模）直线a，b，c按照如图所示的方式摆放，与相交于，将直线绕点按照逆时针方向旋转后，，则的值为（   ） A．60 B．40 C．30 D．20 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）等腰的一个外角的大小为，则这个三角形的底角的大小为 ． 3．（2025·北京顺义·二模）如图所示的网格是正方形网格，则 （点，，，是网格线交点）． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图， ． 【题型 11 三角形的外角性质与平行线的综合运用】 1．（2025·江苏泰州·二模）如图，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，折射光线与经过光心O的光线相交．若，则 ． 2．（2025·四川绵阳·二模）某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为 ． 3．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 4．（2025九年级下·广东·学业考试）汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型 12 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是与的角平分线，点D在的延长线上，则 ． 2．（21-22八年级上·四川达州·期末）如图，是的角平分线，，相交于D，的度数是 ．    3．（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D    (1)若，则_________． (2)从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）； (3)如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由． (4)如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）． 【题型 13三角形的外角性质与垂线的综合运用】 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是 ． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，高与角平分线相交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，，则 ． 4．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）在中，是高，是角平分线，已知，，则的度数为 ． 【题型 14三角形的外角性质与翻折的综合运用】 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D．60° 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，E是射线上一点（不包括端点B，三角形沿翻折得到三角形，，，则 ． 3．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    4．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，将沿折叠，使点落在点处． 嘉嘉认为此题与，的关系为： 淇淇认为此题与，的关系为： 老师说她俩的答案都有错误，同学们，你们认为与，的关系是 ． 【题型 15由三角形的外角性质确定角度之间的关系】 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点． （1）当与满足 的关系时，； （2）当时， ．    2．（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）已知，D为所在平面上一点，平分，平分． (1)若D点是中边上一点，如图1所示，判断之间存在怎样的等量关系？直接写出结论，无需证明． (2)若D点是中边上一点，如图2所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (3)若D点是外任一点，如图3所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (4)若D点是内一点，如图4所示，判断之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明） 【题型 16 三角形的内角和定理/外角性质的应用】 1．（2025·山东滨州·二模）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏淮安·二模）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 度． 4．（2025·陕西西安·二模）如图是用矩形纸条折正五边形的步骤，将图①中的矩形纸条打结，并拉紧压平，得到如图②所示的正五边形，则图中的度数为 ． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）一把直尺和一块三角板（含、角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、A，且，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，点D是和角平分线的交点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形顶角为，则这个三角形的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，如界，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，则的度数是（   ）．    A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知点为边的中点，点在边上，将沿若折叠，使点落在上的点处．若，则等于（   ） A．65° B．50° C．60° D．57.5° 8．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）将一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（   ）． A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·山东滨州·期中）中，若，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．的外角是 D．是一个锐角三角形 10．（24-25八年级上·广东汕头·期中）某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如图的同一高度定出了两个开挖点P和Q，然后在左边定出开挖的方向线，为了准确定出右边开挖的方向线，测量人员取一个可以同时看到点A，P，Q的点O，测得，，那么应等于（   ）度才能确保与在同一条直线上． A．52 B．100 C．28 D．任意度数 11．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，，则的度数为 ． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图中，，是高，， ． 14．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·重庆巫山·期中）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是 度． 16．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为 ． 17．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）若三角形分别满足以下条件：①，；②；③；④；⑤则其中能判断直角三角形的个数是 个 18．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，于点D．垂直平分．交于点F．交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 19．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是角平分线． (1)若，求； (2)若是的高线，且，，求的度数． 20．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图所示，P是内一点，延长交于点D，连接． (1)、、的大小关系是：______＞______＞______； (2)若，，，嘉嘉想求的度数，请你补全下列思路并帮助嘉嘉完成求解． 思路：先利用三角形外角求出______的度数，再利用三角形______（填“内”或“外”）角求出的度数． 21．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______； (3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 三角形中角的关系 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：16大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1.会将三角形按照角的大小进行分类； 2.探索三角形内角和定理的证明过程，并利用三角形的内角和定理进行相关计算； 3.了解三角形外角的概念，并能利用其相关性质进行计算. 知识点 1 三角形内角和定理 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 证明方法： 图示 方法 构造平角 构造邻补角 构造同旁内角 具体 把三个角“移”成一个平角 可延长三角形的任一边，得到邻补角，然后过该角的顶点作该角的对边的平行线. 过三角形的一个顶点作平行于这一点所对边的射线. 【解读】 1）无论三角形的形状、大小如何改变，三角形三个内角的和仍等于180°； 2）根据三角形的内角和定理可知，三角形中任意一个内角都小于180°，其内角可能都是锐角，也可能有一个直角或一个钝角. 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列条件中，可以判定是等腰三角形的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理、三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．根据三角形的内角和定理可得的度数，由此即可判断A错误；根据三角形的三边关系即可判断B错误；根据三角形的内角和定理可得，，由此即可判断C正确；根据三角形的内角和定理可得，由此即可判断D错误． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意； B、由题意，设，则， ∵， ∴不能构成三角形，则此项不符合题意； C、∵， ∴，， ∴可以判定是等腰三角形，则此项符合题意； D、∵，， ∴， ∴可以判定是直角三角形，不可以判定是等腰三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，点、为边、上的两点，将沿线段折叠，点落在上的处，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及折叠性质、三角形内角和定理、平角定义等知识，先由折叠性质得到，再由三角形内角和定理得到，最后由邻补角定义即可得到答案．熟记折叠性质、三角形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：将沿线段折叠，点落在上的处，若， ， 在中，由三角形内角和定理可得，即， 解得， ， 故选：D． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，判断三角形能否构成直角三角形等．根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴，即：，即①能确定是直角三角形， ∵， ∴设， ∴，即：， ∴，即②能确定是直角三角形， ∵，， ∴，解得：，即③不能确定是直角三角形， ∵，， ∴，解得：， ∴，即④能确定是直角三角形， 故选：C． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，平分，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与高和角平分线有关的三角形内角和的运算，先算出，通过角的运算，得出，结合三角形的内角和180度进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则 故答案为：。 5．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和为以及四边形内角和为等知识内容，该题运用整体思想法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形内角和为以及四边形内角和为，即可列式作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·广东广州·期中）设三角形与某长方形相交于如图所示的、、、点，如果，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质等知识点，根据三角形外角性质求出，根据长方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再得出答案即可． 【详解】解：，， ， ， ． 故选：C． 知识点 2 三角形的外角 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． . 1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，是的外角，平分，若，，则等于（    ） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，根据三角形外角性质求出，根据角平分线定义求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，将直尺与含角的直角三角板叠放在一起，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，三角板的有关计算，由题意可得，，根据平行线的性质得出，最后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图所示，，，，则四边形外的角 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题的关键是作出辅助性构造出三角形的外角．连接并延长，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长， 则，， ， ，，， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，设，由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质可得，即得，即得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型 1证明三角形内角和】 1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（   ） A．图①过点C作 B．图②作于点D C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键． 作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：A、由， 得，． 由， 得． 故A不符合题意； B、由于D， 得， 无法证得三角形内角和是． 故B符合题意； C、由， 得，，． 由， 得，， 那么． 由， 得． 故C不符合题意， D、由， 得，． 由， 得． 故D不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图，在证明“的内角和等于”时，延长到点，过点作，得到，．由，可得．这个证明方法体现的数学思想是（    ） A．转化思想 B．特殊到一般的思想 C．一般到特殊的思想 D．方程思想 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理的证明过程，可寻找到转化的解题思想，此题得解． 【详解】解：， ，， ， ． 此方法中用到了替换，将三角形的三个内角转化到一条直线上，利用平角的定义求解，体现了转化的思想． 故选：A． 3．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 【题型 2由三角形内角和直接求角度】 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，是角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，正确计算是解题的关键．根据三角形的内角和求出，再根据角平分线定义求解即可 ． 【详解】解：在中，，， ， 是角平分线， 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求角度，先由角平分线定义得到，，在和中，由三角形内角和定理求解即可得到答案， 数形结合，掌握角平分线定义及三角形内角和定理是解决问题的关键． 【详解】解：都是的角平分线， ，， 在中，，则， ， 在中，， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，若，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据高定义求出，根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据直角三角形的两锐角互余求出，根据含角的直角三角形的性质得出，，再把代入求出即可． 【详解】解：∵是高， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图所示，在中，，的角平分线，交于点，外角平分线，交于点，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角、角平分线的定义、四边形内角和定理，根据各角之间的关系，求出是解题的关键．利用邻补角互补及角平分线的定义，可求出，的度数，再结合四边形的内角和为，即可求出． 【详解】解：如图所示，设点在的延长线上，点在的延长线上， ，的角平分线，交于点， ，， 和平分线，交于点， ，， ， ， ， ， 又， ． 故选：C． 5．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）将正五边形与正方形按如图所示的方式摆放，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正五边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正五边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【详解】解：在正五边形中，， ， 在正方形中，且正五边形的边与正方形的边在同一条直线上， ， ， 故答案为：． 【题型 3由三角形内角和判断三角形形状】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定义，三角形的分类．根据题意得出，根据三角形的内角和列出方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴是直角三角形， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川泸州·期中）已知，则下列条件能判定是锐角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类、三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．根据各角度数之间的关系，结合三角形内角和定理，求出的最大内角的度数，再将其与比较后，即可得出结论． 【详解】解：A．， ， 又， ， 是直角三角形，选项A不符合题意； B．， ，， 又， ， ， ， 是锐角三角形，选项B符合题意； C．， ，， 又， ， ， ， 是钝角三角形，选项C不符合题意； D．，， ， ， 是钝角三角形，选项D不符合题意． 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南商丘·期中）一个三角形有两个内角的度数分别为和，则这个三角形属于 ． 【答案】锐角三角形 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的分类等知识，求出三角形的第三个内角即可判断． 【详解】解：∵三角形的两个内角的度数分别为和， ∴这个三角形的第三个内角是， ∵三个内角都小于， ∴这个三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形． 【题型 4三角形内角和与平行线的综合运用】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用，先根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图，直线于点，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，由得，由垂直的定义得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）把一块含有角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质，三角形内角和定理的内容是解题的关键． 根据三角板的性质得到，由直尺得到，则，在中，由三角形内角和定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C ． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，是的角平分线，，交于点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质以及平行线的性质，解题的关键是通过这些性质求出的度数． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再利用角平分线的性质得到的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】在中，已知， ． 是的角平分线 ． ． 故答案为：． 【题型 5三角形内角和与角平分线的综合运用】 1．（20-21八年级上·广东广州·期中）如图，在三角形中，平分平分，其角平分线相交于D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，理解三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：，，平分，平分， ， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，是角平分线，是高，，求（    ）（用和来表示） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由角平分线得到，由高得到，再根据角度的和差计算即可表示． 【详解】解：， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（19-20八年级上·湖北黄石·期中）如图，是的角平分线，，垂足为D，若，，则的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 因为是的角平分线，所以，由得，则，在中，，即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： ． 4．（23-24七年级下·山东·期末）如图， 在中， ， ，分别为边， 上两点，且 是 的角平分线． 若， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数． 【详解】解：，，， ．， 是的角平分线， ． 在中，，， ， 故答案为：． 【题型 6三角形内角和与翻折的综合运用】 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，将沿翻折得到，其中、B、A三点共线，、C、D三点共线，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本体考查了等腰三角形的性质、三角形折叠中的角度问题，根据折叠的性质得，，进而可得，进而可得，再根据可得，进而可求解，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 【详解】解：将沿翻折得到， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选A． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线性质，三角形内角和定理等知识，由等腰三角形的性质得出，再根据折叠的性质可得，，由，得，最后由三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在四边形中，，，将沿翻折得到，若，，则 ． 【答案】/95度 【分析】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理．根据两直线平行，同位角相等求出，，再根据翻折的性质求出和，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵沿翻折得， ∴，， 在中， ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，将沿着翻折，若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及四边形内角和问题，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，再根据平角以及四边形内角和，得出，即可求出的大小． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， 四边形的内角和， ， ， ， 故答案为：36． 【题型 7三角形内角和与三角板的综合运用】 1．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，把一副含角和角的直角三角板拼在一起，那么图中度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和，由题意可得，，再根据三角形是内角和可得，进一步计算即可得出答案． 【详解】解：由三角板可得，，， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，点在的延长线上，点在上．若，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查平行线的性质，求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数，关键是由平行线的性质推出． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系， 根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案． 【详解】如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型 8由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，将沿折叠，使点落在处，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形翻折与三角形内角和，熟练掌握三角形内角和为及翻折中的角度不变是解题的关键．利用翻折得，，可分别求出和，再利用三角形内角和可求． 【详解】由翻折知，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·贵州贵阳·期末）如图， 把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变．则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角，三角形内角和定理，解答本题的关键要明确：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和：(2)三角形的内角和是180度求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180度这一隐含的条件；根据即可求解． 【详解】∵把纸片沿折叠，当点 C落在四边形内部 ∴ 故选：B ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二： 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【详解】探索一：如图1，，， ， 故答案为； 探索二：如图2，、分别平分、， ，， 由（1）可得：，， ， 即， ，， ， 故答案为； 探索三：由①， 由②， ①②得： ． ． 故答案为：． 应用一：如图4，由题意知延长、，交于点， ，，， ，， ； 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：，； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点， ，，， ， 平分，平分， 平分，平分， 由应用一得：， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； 拓展二：如图7， 平分，平分的邻补角， ，， 由探索一得：①，②， ②得：③， ③①，得：， ， 故答案为：． 【题型 9 求三角形外角的度数】 1．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）在中，若，则的外角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角定义，根据三角形内角和定理得，再结合已知条件，得，即可得出的度数，再根据的外角的度数等于即可得出答案，解题关键是掌握三角形内角和定理． 【详解】解：， ， ， ， ， 的外角的度数为， 故选：B． 2．（22-23七年级下·浙江金华·期末）一个三角形的其中两个外角分别是和，则可知第三只外角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键，根据题意求出三角形的两个内角，再根据外角的定义求出结果即可． 【详解】解：由题意可知：角形的其中两个内角和， ∴第三只外角的度数是， 故选：C． 3．（22-23八年级下·四川达州·阶段练习）等腰三角形的两个外角的度数比为2：5，则它的顶角的度数是 (      ) A．40° B．120° C．140° D．40°或140° 【答案】B 【分析】分这个等腰三角形三个外角之比是和两种情况讨论，根据三角形外角和是求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形有两个底角相等，这两个底角的邻补角即等腰三角形的两个外角相等， ∴这个等腰三角形三个外角之比是和 当这个等腰三角形三个外角之比是时，这三个外角分别是， 则有， 解得：， ∴(不合题意，舍去) 当这个等腰三角形三个外角之比是时，这三个外角分别是， 则有， 解得：， ∴(符合题意)， ∴顶角的邻补角，也即其对应的外角是 ∴顶角的度数是 故选：B 【点睛】本题考查三角形外角和，根据题意分类讨论是解题的关键． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）在中，，则与相邻的外角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴与相邻的外角的度数， 故答案为：． 【题型 10 由三角形的外角性质求角度】 1．（2025·河北唐山·二模）直线a，b，c按照如图所示的方式摆放，与相交于，将直线绕点按照逆时针方向旋转后，，则的值为（   ） A．60 B．40 C．30 D．20 【答案】C 【分析】本题考查三角形的相关知识，掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质是解题关键.先求出∠O的度数，再根据垂直的定义即可得到旋转的度数. 【详解】解：根据三角形外角的性质可得， 已知将直线绕点按照逆时针方向旋转 ()后，， 故. 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）等腰的一个外角的大小为，则这个三角形的底角的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形内外角的关系，等腰三角形的性质．先根据三角形相邻的内角与外角互补即可求出相邻的内角为，然后分两种情况讨论：①的内角为顶角，②的内角为底角，求解即可． 【详解】解：等腰的一个外角为，则相邻的内角为， ①若的内角为顶角，则底角为， ②若的内角为底角，则底角为． 综上所述，这个三角形的底角为或． 故答案为：或 3．（2025·北京顺义·二模）如图所示的网格是正方形网格，则 （点，，，是网格线交点）． 【答案】45 【分析】本题考查了三角形外角的定义和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的外角的定义及性质可知，然后利用网格的性质可推出，即可得到答案 【详解】解：如图所示，点是网格线交点，连接， 根据题意可知，， ， 根据网格的性质可知，，， ， ， 故答案为：45． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图， ． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及三角形外角性质、四边形内角和为等知识，先由是的一个外角，是的一个外角，得到，在四边形中，由，将代入即可得到答案．熟记三角形外角性质、四边形内角和为等知识，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， 在四边形中，， ， 故答案为：． 【题型 11 三角形的外角性质与平行线的综合运用】 1．（2025·江苏泰州·二模）如图，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，折射光线与经过光心O的光线相交．若，则 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等．设交于点G，根据平行线的性质，可得，再由三角形外角的性质，可得，然后根据对顶角相等，即可解答． 【详解】解：如图，设交于点G， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：25 2．（2025·四川绵阳·二模）某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：25． 4．（2025九年级下·广东·学业考试）汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等可得，然后利用三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：由题意可得，如图， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【题型 12 三角形的外角性质与角平分线的综合运用】 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是与的角平分线，点D在的延长线上，则 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查三角形外角的性质及角平分线的定义，根据点D在的延长线上，得到，由角平分线的定义可得，根据三角形外角的性质即可求的度数． 【详解】解：点D在的延长线上， 是的一个外角， ， 分别是与的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 2．（21-22八年级上·四川达州·期末）如图，是的角平分线，，相交于D，的度数是 ．    【答案】/70度 【分析】本题考查了角平分线的有关计算、三角形的外角定理等．熟记相关几何结论是解题关键． 由角平分线的定义可得，进而可求，根据即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴ 故答案为： 3．（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D    (1)若，则_________． (2)从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）； (3)如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由． (4)如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： (4) 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握其性质定理． （1）利用求出，再利用角平分线的性质求出，即可求解； （2）结合（1）的过程得，即可作答． （3）利用三角形的外角性质得出，，从而可得，，再利用角平分线的性质，即可证明； （4）与（3）同理先求出，则得，再观察规律，得即可求解． 【详解】（1）解：∵的角平分线和的角平分线交于点D， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由（2）得出， 故答案为：． （3）解：依题意，，， ，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， ； （4）解：依题意，，，， ∴，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， 由（3）可知： ， ， 同理得 ， 以此类推，得， 故答案为：． 【题型 13三角形的外角性质与垂线的综合运用】 1．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握三角形内角和有关性质．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，在中，高与角平分线相交于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的高、三角形的角平分线、三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的高、三角形的角平分线、三角形的外角的性质是解决本题的关键．根据角平分线的定义、三角形的高的定义，由平分，得．由是的高，得．根据三角形外角的性质，得，即可得出答案． 【详解】解：平分， ． 是的高， ． ， ， ． 故选：B 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，是高，是角平分线，，相交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线，三角形的外角，三角形的高，解题的关键是熟练掌握以上知识点；根据角平分线的定义可得，再根据三角形的外角即可得解． 【详解】解：是角平分线，， ， 是的高， ， ， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）在中，是高，是角平分线，已知，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】分点E在线段上和点E在线段上，两种情况讨论，利用三角形的外角性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，当点E在线段上时， ∵为的外角， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴； 如图，当点E在线段上时， 在中，，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，分点E在线段上及点E在线段上两种情况，求出的度数是解题的关键． 【题型 14三角形的外角性质与翻折的综合运用】 1．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若，则的度数是（   ） A． B． C． D．60° 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、翻折变换等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由折叠的性质得到，由三角形外角性质可得、，易得，则，即，然后求解即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， ∴， ∴，即． ∵ ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，已知，E是射线上一点（不包括端点B，三角形沿翻折得到三角形，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线翻折问题，涉及到平行线性质和翻折性质．过点F作，则，分点F在之间，点F在上方，点F在下方三种情况讨论，由平行线的性质即可求出答案． 【详解】解：过点F作，则 ， 如图，点F在之间时， ， 由翻折性质可得：， ， ， ， ， ； 如图，当点F在下方时， 同理得：，， 由折叠的性质得：， ； 如图，当点F在上方时，设交于点G， ， ， ， ， 与矛盾，不符合题意； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，是边上一点，．将沿所在直线翻折，使点落在边上的点处．若，则 ．    【答案】 【分析】此题重点考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，利用翻折性质及线段和差将转换为线段相等是解题的关键．由翻折得，，，结合，得出，所以，再利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：由翻折得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，将沿折叠，使点落在点处． 嘉嘉认为此题与，的关系为： 淇淇认为此题与，的关系为： 老师说她俩的答案都有错误，同学们，你们认为与，的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，由折叠可得，进而由三角形外角性质可得，再根据三角形外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，由折叠可得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， 故答案为：． 【题型 15由三角形的外角性质确定角度之间的关系】 1．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，的平分线与的外角平分线交于点． （1）当与满足 的关系时，； （2）当时， ．    【答案】 /度 【分析】（1）根据角平分线的性质平分，可得，再由两直线平行线同位角相等，内错角相等可得即可解答； （2）利用角平分线的性质和三角形的外角定理即可求解 【详解】（1）解：平分， ， ， 当时，， 故答案为：； （2）解：平分，平分， ， 又 , 当时, ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，熟练的掌握相关的性质定理是解题的关键： 2．（24-25八年级下·山东菏泽·开学考试）已知，D为所在平面上一点，平分，平分． (1)若D点是中边上一点，如图1所示，判断之间存在怎样的等量关系？直接写出结论，无需证明． (2)若D点是中边上一点，如图2所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (3)若D点是外任一点，如图3所示，判断之间存在怎样的等量关系？并证明你的结论． (4)若D点是内一点，如图4所示，判断之间存在怎样的等量关系？（直接写出结论，不需要证明） 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)，证明见解析 (4) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，再由三角形内角和定理进行计算即可得出答案； （2）由角平分线的定义可得，由三角形外角的定义及性质可得，，即可得出，从而得出答案； （3）由角平分线的定义可得：，，再由，即可得出答案． （4）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：结论：， 证明：平分，平分， ，， ， ； （2）解：结论：， 证明：平分， ， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （3）解：结论：， 证明：平分，平分， ，， ，， ． （4）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵平分，平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 【题型 16 三角形的内角和定理/外角性质的应用】 1．（2025·山东滨州·二模）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·江苏淮安·二模）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先由平角的定义得到的度数，再由平行线的性质得到的度数，据此根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．连接，并延长至点，由内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接，并延长至点， 在中，，， ， ， ，， ， ，， ， ， 应调整为． 故答案为：． 4．（2025·陕西西安·二模）如图是用矩形纸条折正五边形的步骤，将图①中的矩形纸条打结，并拉紧压平，得到如图②所示的正五边形，则图中的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的内角，三角形的外角，根据正多边形的内角的计算方法，求出的度数，等边对等角，求出的度数，同理求出的度数，再利用外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：如图， 多边形是正五边形， ，， ， ， ， ， 同理， ， 故答案为： 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）一把直尺和一块三角板（含、角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D、E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F、A，且，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据直尺的对边平行求出的度数，再根据三角形的外角的性质，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴； 故选D． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，中，，，平分，交于点，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义等知识，在中，由三角形内角和定理得到，再由角平分线定义求出，最后，在中，由三角形内角和定理即可得到答案．熟练掌握三角形内角和定理及角平分线定义是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，则， 平分， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故选：A． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，点D是和角平分线的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是和角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等腰三角形顶角为，则这个三角形的底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．根据等腰三角形的特征以及三角形内角和为进行作答即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故选：A． 5．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，如界，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，多边形的内角与外角，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，由外角性质可得，由四边形的内角和定理可得，则，又，从而求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，则的度数是（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，求出的度数，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 7．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，已知点为边的中点，点在边上，将沿若折叠，使点落在上的点处．若，则等于（   ） A．65° B．50° C．60° D．57.5° 【答案】B 【分析】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键． 先根据图形翻折不变性的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：是沿直线翻折变换而来， ， 是边的中点， ， ， ， ， ． 故选：B． 8．（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）将一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形中两个锐角互余，三角形的外角性质．先求得的度数，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴． 故选：C． 9．（24-25八年级上·山东滨州·期中）中，若，，则下列结论错误的是（　　） A． B． C．的外角是 D．是一个锐角三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义，根据已知条件和三角形内角和定理求出三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是一个锐角三角形，的外角是， ∴四个选项中只有C选项中的结论错误，符合题意； 故选：C． 10．（24-25八年级上·广东汕头·期中）某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如图的同一高度定出了两个开挖点P和Q，然后在左边定出开挖的方向线，为了准确定出右边开挖的方向线，测量人员取一个可以同时看到点A，P，Q的点O，测得，，那么应等于（   ）度才能确保与在同一条直线上． A．52 B．100 C．28 D．任意度数 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．要确保与在同一条直线上，即在同一条直线上，则点需在的边上，利用三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：要确保与在同一条直线上，即在同一条直线上，则点需在的边上， ∴， ∵，， ∴， 即应等于52度才能确保与在同一条直线上． 故选：A． 11．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，设，由三角形外角的性质可得出，在中，利用三角形内角和定理可求出x的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图中，，是高，， ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和、含角直角三角形的性质及三角形面积公式，解题关键是通过角的度数推出边的关系，进而得出面积比． 先依据三角形内角和求出各角度数，再利用含角直角三角形性质设边表示出、关系，最后根据同高三角形面积比等于底之比求出与的比值． 【详解】在中，，， ． ∵是高， ∴． 在中， ． 在中，设， ∴． 在中，，， ∴， ∴． ∵与的高都是． ，． ∴， 把，代入，可得 ． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，设，，，由三角形内角和定理得，求出即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·重庆巫山·期中）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，则的度数是 度． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】解：如图， 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 则， 则． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，正六边形和正五边形的边，在同一直线上，正五边形在正六边形右侧，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的定义和性质，正多边形的内角和定理，正多边形的外角和定理，正确理解正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的每个外角都相等求出，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：是正六边形的外角， 是正五边形的外角， ， ， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）若三角形分别满足以下条件：①，；②；③；④；⑤则其中能判断直角三角形的个数是 个 【答案】 【分析】此题考查三角形的内角和定理：掌握三角形的内角和是解决问题的前提．利用三角形的内角和定理分别求得最大角的度数，进一步判断即可． 【详解】解：①，判定三角形是直角三角形，故①符合题意； ②，， 两式相加得，故是直角三角形，故②符合题意； ③， ∴设，则 ∵ ∴， ∴ ∴三个内角为，故不是直角三角形，故③符合不题意；； ④∵ ∴设， ∵ ∴， ∴ ∴，故是直角三角形，故④符合题意； ⑤由条件得到，，而，求出，得到，判定三角形是直角三角形，故⑤符合题意． 其中能判断直角三角形的个数是个． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，中，于点D．垂直平分．交于点F．交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握相减性质是解答本题的关键． （1）设，根据线段垂直平分线的性质可得 ，得，，由得，再根据三角形内角和定理得可得； （2）由题意得到，再将转化成，则问题可解． 【详解】（1）解：设， ∵垂直平分． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是角平分线． (1)若，求； (2)若是的高线，且，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角平分线性质定理以及三角形内角和定理，熟练掌握角平分线性质是解答本题的关键． （1）过点作于点，于点，由角平分线性质定理得，根据三角形面积公式可得结论； （2）由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，由直角三角形两锐角互余得出，从而可求出． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点， ∵是的平分线， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图所示，P是内一点，延长交于点D，连接． (1)、、的大小关系是：______＞______＞______； (2)若，，，嘉嘉想求的度数，请你补全下列思路并帮助嘉嘉完成求解． 思路：先利用三角形外角求出______的度数，再利用三角形______（填“内”或“外”）角求出的度数． 【答案】(1)，， (2)，外， 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键； （1）根据“三角形的外角都大于与它不相邻的两个内角”进行求解即可； （2）根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为，，； （2）解：思路：先利用三角形外角求出的度数，再利用三角形外角求出的度数；过程如下： ∵，， ∴， ∵， ∴． 21．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______； (3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理，外角和性质，多边形内角和等． （1）根据可得，再利用角平分线定义可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据角平分线定义得出，再由四边形内角和定理可得结论； （3）先求出，后得到，，，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵作外角，的角平分线交于点， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$