专题03 平行四边形（8题型）（江西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题03 平行四边形 利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在平行四边形中，若，则 °． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）平面直角坐标系中，已知点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是 ． 4．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 5．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在平行四边形中，，平分交边于点，且，求的长． 6．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，四边形为平行四边形，对角线交于点O，，且，求平行四边形的面积． 利用平行四边形的性质证明 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，四边形是平行四边形，F是中点，延长交延长线于点E．证明：． 3．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，四边形为平行四边形，点E为边延长线上一点，连接．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图． (1)如图1，若，在上找一点F，使点F为的中点； (2)如图2，点，在平面内找一点G，使与全等． 4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在□ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，求证：BE平分∠ABC． 5．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，满足．    （1）求证：； （2）分别延长、交于点，若，，求的度数． 平行四边形的判定和证明 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江西新余·期末）四边形中，，，，，垂足分别为、．求证：四边形是平行四边形 4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，点A，F，C，D在一条直线上，且，． 求证：四边形是平行四边形． 5．（23-24八年级下·江西吉安·期末）已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN. （1）求证：△AEM≌△CFN； （2）求证：四边形BMDN是平行四边形. 特殊平行四边形之矩形 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，矩形的对角线与相交于点分别为的中点，则的长度为（    ）． A．5 B． C．2 D． 2．（23-24八年级下·江西南昌·期末）矩形的两边长分别是和，则它的对角线长是（    ） A． B． C． D．6 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为 4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图在矩形ABCD中，2AB=BC=4，点E在AD上，AE＝1，点Q、点P分别为AB、BC上的动点，将AQE沿EQ翻折到矩形内部，点A的对应点F，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是 ． 5．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，在中，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一条直线，平分平行四边形的面积； (2)在中挖去一个矩形（如图2），作一条直线平分剩下图形的面积． 特殊平行四边形之菱形 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）已知菱形的周长是高的8倍，则菱形的两邻角的度数之比为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，垂足为点E，则 ． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，且 ，连接．求证：四边形为矩形． 4．（23-24八年级下·江西抚州·期末）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．    若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 5．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在菱形中，交于点，点在上，求证：四边形是菱形．    6．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，等边三角形ABC和等边三角形ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，用无刻度的直尺通过连线的方式画图． (1)在图①中画一个直角三角形； (2)在图②中画出∠ACE的平分线．    7．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 8．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在中，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作， ，连接ED． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当D是AB的中点时， ①四边形ADCE的形状是______；请说明理由． ②若，，则四边形ADCE的面积为______． 特殊平行四边形之正方形 1．（23-24八年级下·江西·期末）如图，在正方形中，是上一点，，是延长线上一点，，连接，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等        b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等        d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（    ） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 3．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE，则∠AEB= ． 4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）已知正方形的边长为，点在边上，且，动点从点出发，沿正方形的边顺时针运动一周，当是等腰三角形时，线段的长为 ． 5．（23-24八年级下·江西吉安·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 6．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．      (1)在图中，在上找一点F，使； (2)在图中，在上找一点G，使． 7．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，正方形的边长2，点E，F分别是、的中点，仅用无刻度的直尺分别按要求作图． (1)在图1的正方形中，以为边作一个三角形，使其面积为1； (2)在图2的正方形中，以为边作四边形，使其面积为1． 8．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点H，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 9．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，在中，、相交于点O，点E、F在上，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 10．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 平行四边形性质的其他应用 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：    (1)在图1中，点A，B，C均落在格点上， ①画； ②画出中点O； (2)在图2中，点A，C，D均落在格点上，画出中点O． 2．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： 　 (1)在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份； (2)在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，中，点E在BC上，且，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，画出的平分线； （2）在图2中，画出的平分线，并说明理由． 平行四边形性质和判定的应用 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点，平分，分别交于点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的序号为 ． 3．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，A、B两处被池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，，分别取，的中点，．测得，则A、B两地的距离为 m． 4．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是 ． 5．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）（1）如图①，在四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，求证：四边形为平行四边形． （2）如图②，已知的中线交于点O（点O即为的重心）．若点F、G分别为的中点，，连接，求的长． 6．（23-24八年级下·江西赣州·期末）（1）计算：； （2）如图，在中，，分别是，的中点．求证：． 7．（23-24八年级下·江西九江·期末）已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形 利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，，，，故C正确，符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在平行四边形中，若，则 °． 【答案】 【详解】解：∵在平行四边形中，，且， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）平面直角坐标系中，已知点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是 ． 【答案】或或 【详解】解：分三种情况：①为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为 ②为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为， ③为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为 综上所述，点的坐标可能是或或 故答案为：或或 4．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)8 【详解】（1）证明 ：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ； （3）解： ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ． 5．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在平行四边形中，，平分交边于点，且，求的长． 【答案】 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ，， ， ． 6．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，四边形为平行四边形，对角线交于点O，，且，求平行四边形的面积． 【答案】 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 利用平行四边形的性质证明 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵M为CD中点， ∴CM=DM=CD=AB=BC=AD， ∴∠DAM=∠DMA，∠CBM=∠CMB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠C+∠D=180°， ∴∠C=2∠DMA，∠D=2∠CMB， ∴∠DMA+∠CMB=（∠C+∠D）=90°， ∴∠AMB=180°-（∠DMA+∠CMB）=90° 即△MAB为直角三角形， ∵BM=a，AM=b， ∴CD=AB=， 故选：D． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，四边形是平行四边形，F是中点，延长交延长线于点E．证明：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵F是中点， ， ∴， ； 3．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）如图，四边形为平行四边形，点E为边延长线上一点，连接．请仅用无刻度直尺分别按下列要求作图． (1)如图1，若，在上找一点F，使点F为的中点； (2)如图2，点，在平面内找一点G，使与全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，连接交于O，连接交于G，连接并延长交于F，点F即为所求； 易证明点G为三条中线的交点，则点F即为所求； （2）解：如图所示，连接交于O，连接并延长交延长线于G，连接，点G即为所求； 易证明，则，据此易证明． 4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在□ABCD中，AD=2AB，E为AD的中点，求证：BE平分∠ABC． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD//BC， ∴∠AEB=∠EBC ， ∵E为AD的中点， ∴AD=2AE， ∵AD=2AB， ∴AE=AB， ∴∠ABE=∠AEB ， ∴∠ABE=∠EBC， ∴BE平分∠ABC． 5．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，是上一点，是上一点，满足．    （1）求证：； （2）分别延长、交于点，若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠BGC＝75°． 【详解】解：（1）在中，AD＝CB，∠A＝∠C， ∵， ∴； （2）∵在中，AD∥BC， ∴∠E＝∠GBC＝45°， ∴∠BGC＝180°－∠GBC－∠C＝180°－45°－60°＝75°． 平行四边形的判定和证明 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】A．根据“一组组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意； D．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵， ∴， ∴不能判定四边形是平行四边形；     B．不能判定四边形是平行四边形； C．∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；     D．不能判定四边形是平行四边形； 故选C． 3．（23-24八年级下·江西新余·期末）四边形中，，，，，垂足分别为、．求证：四边形是平行四边形 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵ ∴ 即 ∵，， ∴， 在与中， ∴ ； ∴， ∴， 又∵AD=BC ∴四边形是平行四边形， 4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，点A，F，C，D在一条直线上，且，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 5．（23-24八年级下·江西吉安·期末）已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE＝CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN. （1）求证：△AEM≌△CFN； （2）求证：四边形BMDN是平行四边形. 【答案】证明见解析 【详解】证明：(1） ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC ，AD∥BC． ∴∠E=∠F，∠DAB=∠BCD． ∴∠EAM=∠FCN． 又∵AE=CF ∴△AEM≌△CFN（ASA）． （2） ∵由（1）△AEM≌△CFN ∴AM=CN． 又∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ABCD ∴BMDN． ∴四边形BMDN是平行四边形． 特殊平行四边形之矩形 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，矩形的对角线与相交于点分别为的中点，则的长度为（    ）． A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵P，Q分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·江西南昌·期末）矩形的两边长分别是和，则它的对角线长是（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】解：依题意，对角线长为， 故选：B． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为 【答案】或或 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， 显然点P与点B重合时，为直角三角形， 此时斜边长为； 当点E为顶点时，为直角三角形，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴斜边长为； 当点F为顶点时，为直角三角形，如图， ∴， 过点P作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴，此时点P与点D重合，点G与点C重合， ∴， ∴斜边长为； 综上，斜边长为或或， 故答案为：或或． 4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图在矩形ABCD中，2AB=BC=4，点E在AD上，AE＝1，点Q、点P分别为AB、BC上的动点，将AQE沿EQ翻折到矩形内部，点A的对应点F，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是 ． 【答案】4 【详解】解：如图：作点D关于BC的对称点D'，连接PD'，ED'，则DD'=2DC ∵在矩形ABCD中，2AB=BC=4 ∴CD=AB=2，AD=BC=4，DD'=4，∠ADC=90°， ∵AE=1 ∴DE=3 ∴ ∵PD+PF=PD'+PF， ∴EF=EA=1是定值， ∴当E、F、P、D’共线时，PF+PD'的值最小且最小值=5-1=4， ∴PF+PD的最小值为4． 故答案为：4． 5．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，在中，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一条直线，平分平行四边形的面积； (2)在中挖去一个矩形（如图2），作一条直线平分剩下图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图1，直线即为所求作； （2）解：如图2，直线即为所求作． 特殊平行四边形之菱形 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）已知菱形的周长是高的8倍，则菱形的两邻角的度数之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，高为AE，菱形的周长是高的8倍， 设AE=1，则周长为8， ∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180°，, ∴AE=AB， ∴∠B=30°，∠BAE=60°， ∴∠DAB=90°+60°=150°， ∴∠DAB：∠B=5：1 故选C. 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，垂足为点E，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO， ∵AC＝24，BD＝10， ∴AO＝12，OD＝5，由勾股定理得：AD＝13， ∴BC＝13， ∴， ∴×24×10＝13×DE， 解得：DE＝， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，且 ，连接．求证：四边形为矩形． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形 是菱形，点为对角线交点， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． 4．（23-24八年级下·江西抚州·期末）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁： 这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．    若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】赞成小洁的说法，补充证明见解析 【详解】解：赞成小洁的说法，补充 证明：∵OB＝OD， 四边形是平行四边形， AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 5．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在菱形中，交于点，点在上，求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【详解】证明：四边形为菱形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 在和中， ≌， ， 四边形为菱形． 6．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，等边三角形ABC和等边三角形ECD的边长相等，BC与CD两边在同一直线上，请根据如下要求，用无刻度的直尺通过连线的方式画图． (1)在图①中画一个直角三角形； (2)在图②中画出∠ACE的平分线．    【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）直接利用等边三角形的性质结合菱形的性质得出△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形； （2）利用菱形的判定与性质得出△AFG≌△EFH，得出FG=FH，进而结合角平分线的判定得出答案． 解：（1）如图①所示：连接AE， ∵△ABC与△ECD全等且为等边三角形， ∴四边形ACDE为菱形，连接AD，则AD平分∠EDC， ∴∠ADC=30°， ∵∠ABC=60°， ∴∠BAD=90°， 则△ABD为直角三角形，同理可知，△BED也为直角三角形； （2）如图②所示：连接AE、BE、AD，则四边形ABCE和四边形ACDE为菱形， 则AC⊥BE，AD⊥CE，设BE，AD相交于F，AC交BE于点G，CE交AD于点H， 则FG⊥AC，FH⊥BC， 由（1）得：∠BEC=∠DAC，∠AEF=∠EAF， 则AF=EF， 在△AFG和△EFH中 ∵∠AGF=∠FHE, ∠GFA=∠HFE, AF=EF, ∴△AFG≌△EFH（AAS）， ∴FG=FH， 由到角两边距离相等的点在角平分线上，可知，连接CF，GF为所作的角平分线．    7．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2． 【详解】（1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 8．（23-24八年级下·江西赣州·期末）在中，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作， ，连接ED． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当D是AB的中点时， ①四边形ADCE的形状是______；请说明理由． ②若，，则四边形ADCE的面积为______． 【答案】（1）见解析；（2）①菱形，②6． 【详解】解：（1），， ∴四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形， ； （2）①∵在中，是的中点， ∴， 又四边形是平行四边形 ∴四边形是菱形； 故答案为：菱形； ②设和交于点，如图， ， ∵在中，， ∴， 又∵四边形是菱形； ∴，，， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， S菱形ADCE=． 特殊平行四边形之正方形 1．（23-24八年级下·江西·期末）如图，在正方形中，是上一点，，是延长线上一点，，连接，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接，    ∵正方形中，是上一点， ∴， ∵是对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形： a.两组对边分别相等        b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等        d.一个角是直角 顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c 则正确的是：（    ） A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ 【答案】C 【详解】解：①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形；正确，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，故错误，不符合题意； ∴正确的有①②； 故选C． 3．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE，则∠AEB= ． 【答案】30° 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°． ∵△DCE是等边三角形， ∴CD=DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°． ∴AD=ED，BC=CE，∠ADE=150°，∠BCE=150°． ∴∠AED=∠BEC=15°， ∴∠AEB=60°-15°-15°=30°． 故答案为30°． 4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）已知正方形的边长为，点在边上，且，动点从点出发，沿正方形的边顺时针运动一周，当是等腰三角形时，线段的长为 ． 【答案】或或 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 如图，当， 由勾股定理得：， ∴； 如图，当时， ∴； 如图，时， 综上可知：的长为或或． 5．（23-24八年级下·江西吉安·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ． 【答案】20 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 6．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，四边形为正方形，点在边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．      (1)在图中，在上找一点F，使； (2)在图中，在上找一点G，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图1，即为所求    （2）解：如图2，即为所求．      7．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，正方形的边长2，点E，F分别是、的中点，仅用无刻度的直尺分别按要求作图． (1)在图1的正方形中，以为边作一个三角形，使其面积为1； (2)在图2的正方形中，以为边作四边形，使其面积为1． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）如图1所示，即为所求； （2）如图2所示，四边形即为所求（答案不唯一）． 8．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在正方形中，点E是边的中点，将沿翻折得到．延长交于点H，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵正方形中，点E是边的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴，， 在中，， 设，则：， 在和中：， 即：， 解得：； ∴． 9．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，在中，、相交于点O，点E、F在上，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， 是菱形， ，即， 又， ， 四边形是平行四边形， 四边形是正方形． 10．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，E、F、M、N分别是正方形四条边上的点，且， (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴正方形EFMN的周长为：． 平行四边形性质的其他应用 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：    (1)在图1中，点A，B，C均落在格点上， ①画； ②画出中点O； (2)在图2中，点A，C，D均落在格点上，画出中点O． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【详解】（1）①如图1，即为所求． ②如图1，连接，交于点O， 则点O即为所求． （2）如图2，取点M，连接，设与网格线交于点N，连接，交于点O，连接， 可知四边形为平行四边形， ∴点O为的中点， 则点O即为所求．      2．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图： 　 (1)在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份； (2)在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，线段AC（或BD）即为所示． （2）解：如图所示，直线OE即为所示． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，中，点E在BC上，且，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，画出的平分线； （2）在图2中，画出的平分线，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】解：（1）如图所示，连接AC，则AC平分∠DAE； （2）如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EO平分∠AEC． 理由：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC，BD交于点O， ∴AO=CO， 又∵AE=CE，OE=OE ∴△AOE≌△COE ∴∠AEO=∠OEC ∴EO平分∠AEC． 平行四边形性质和判定的应用 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ． 故选：D． 2．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，平行四边形的对角线相交于点，平分，分别交于点，连接，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的序号为 ． 【答案】①②④ 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 又平分， ， 为等边三角形， ， 又 ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ，故①正确， ∵，，， ∴ ， ∴， ，故②正确， ∵， ，故③错误， ，， 为三角形的中位线， ，， ， 又， ，故④正确． 故答案为：①②④． 3．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，A、B两处被池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，，分别取，的中点，．测得，则A、B两地的距离为 m． 【答案】72 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线 ∵， ∴， 故答案为：72． 4．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点F是BC的中点，作AE⊥CD于点E，点E在线段CD上，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠C；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定正确的是 ． 【答案】①②④． 【详解】解：①∵F是BC的中点， ∴BF＝FC， ∵在▱ABCD中，AD＝2AB， ∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB， ∴∠AFB＝∠BAF， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴2∠BAF＝∠BAD， ∵∠BAD＝∠C， ∴∠BAF＝2∠C故①正确； ②延长EF，交AB延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠MBF＝∠C， ∵F为BC中点， ∴BF＝CF， 在△MBF和△ECF中，∠MBF=∠C，BF=CF,∠BFM=∠CFE， ∴△MBF≌△ECF（ASA）， ∴FE＝MF，∠CEF＝∠M， ∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEC＝∠BAE＝90°， ∵FM＝EF， ∴EF＝AF，故②正确； ③∵EF＝FM， ∴S△AEF＝S△AFM， ∴S△ABF＜S△AEF，故③错误； ④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x， ∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x， ∴∠EFA＝180°﹣2x， ∴∠EFB＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x， ∵∠CEF＝90°﹣x， ∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确， 故答案为①②④． 5．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）（1）如图①，在四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，求证：四边形为平行四边形． （2）如图②，已知的中线交于点O（点O即为的重心）．若点F、G分别为的中点，，连接，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形． （2）∵是的两条中线， ∴是的中位线， ∴， ∵F、G分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 6．（23-24八年级下·江西赣州·期末）（1）计算：； （2）如图，在中，，分别是，的中点．求证：． 【答案】（）；（）证明见解析． 【详解】（）解：原式 ； （）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，即有， ∵，分别是，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 7．（23-24八年级下·江西九江·期末）已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点，连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG． 【答案】证明见解析． 【详解】试题解析： 证明：由题意得点E，D分别是AC，AB的中点， ∴ED是△ABC的中位线． ∴DEBC，DE= BC． ∵F，G分别是BO，CO的中点， ∴FG是△OBC的中位线． ∴FGBC，FG=BC，． ∴DEFG， DE=FG． ∴四边形EDFG是平行四边形． ∴DF＝EG． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$