专题02 勾股定理（8题型）（江西专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 勾股定理 用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级下·江西上饶·期末）在中，，，，则的长为（     ） A．5 B． C．5或 D．6 2．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，，过P作且，得；再过作且，得；又过作且，得；…依此法继续作下去，得= ． 4．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如果直角三角形的周长是，相邻两直角边长之比为，那么斜边长为 ； 5．（23-24八年级下·江西抚州·期末）某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 6．（23-24八年级下·江西新余·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长？” 7．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE； （2）若CD=，求AD的长． 勾股定理的运算 1．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，，则（    ）      A．76 B．54 C．62 D．81 2．（23-24八年级下·江西吉安·期末）已知直角三角形两直角边的比是3︰4，斜边长为20cm，则斜边上的高是 ． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 4．（23-24八年级下·江西九江·期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点D坐标为，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．    (1)如图①，当点P经过点C时，的长为______． (2)如图②，把长方形沿着直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，求点P的坐标． (3)在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使为等腰三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23-24八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点，，试求A，B两点间的距离； (2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标； (3)已知△ABC各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由． 6．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，ABC的三个顶点都在格点上． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）图中线段BC的长为 ； （3）ABC的面积为 ； （4）点P在y轴上，且ABP的面积等于ABC的面积，则点P的坐标为 ． 勾股树（数）问题 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．5，12，11 2．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（    ） A．，， B． C．，， D． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）试写出一组勾股数 ． 勾股定理与网格、折叠问题 1．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为 ． 2．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形． (2)在图2中，请在直线上找一点，使得． 3．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．    (1)直接写出图1中的面积是______； (2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式：的最小值． 4．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，图1为的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1．    (1)图1中正方形的面积为___________，边长为___________ (2)①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求： Ⅰ所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上； Ⅱ所作的正方形的边长为． ②请在图2中的数轴上标出表示实数的点，保留作图痕迹． 5．（23-24八年级下·江西南昌·期末）【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 三边构建直角三角形的判断 1．（23-24八年级下·江西抚州·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．，， 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）已知，则以，，为边的三角形是 三角形． 3．（23-24八年级下·江西上饶·期末）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形． 4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)_________，_________，_________； (2)判断是直角吗？并说明理由． 5．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 6．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点A和点B在格点上，仅用无刻度的直尺，按以下要求画图使其各顶点都在格点上． (1)在图1中作一个以为边的等腰直角三角形； (2)在图2中作一个以A为顶点，面积最大的等腰直角三角形． 用勾股定理构造图形解决问题 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若大正方形的面积是25，直角三角形的长直角边是4，则小正方形（即图中阴影部分）的面积是 ． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）课本再现 如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c． （1）请利用图1验证勾股定理． 知识应用 （2）在图1中，若，，求小正方形的面积． （3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________． 3．（23-24八年级下·江西上饶·期末）中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折者高几何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 4．（23-24八年级下·江西吉安·期末）小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 5．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 勾股定理的应用 1．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（    ） A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm 2．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，客船以24海里/时的速度从港口向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口向东南方向航行，则1小时后两船相距 海里． 4．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 5．（23-24八年级下·江西南昌·期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：    ①测得的长度为8米；（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高米； (1)求风筝的垂直高度． (2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 6．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了，木板顶端向下滑动了，求出的距离和这块木板的长度． 7．（23-24八年级下·江西赣州·期末）（1）计算：． （2）如图，一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，求木杆折断之前的高度．    8．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离； (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 勾股定理逆定理的实际应用 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 . . 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，已知，， (1)求AB的长； (2)求的面积． 3．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积． 4．（23-24八年级下·江西吉安·期末）张明家有一块菜地如图所示，已知米，米，米，米，且，求这块菜地面积是多少平方米？ 5．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图是某班的劳动实践基地，经测量，，，，． (1)求的长； (2)连接，试判断的形状． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级下·江西上饶·期末）在中，，，，则的长为（     ） A．5 B． C．5或 D．6 【答案】B 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在中，，平分，，，则点D到的距离是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作于点E，    ∵平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 又， ∴， ∴， 解得，， 即：点D到的距离是， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，，过P作且，得；再过作且，得；又过作且，得；…依此法继续作下去，得= ． 【答案】 【详解】解：由勾股定理得：，，…， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如果直角三角形的周长是，相邻两直角边长之比为，那么斜边长为 ； 【答案】10 【详解】解：直角三角形两直角边分别为，， 则斜边长为：， ∴直角三角形的周长， ∴， ∴斜边长为：， 故答案为：10． 5．（23-24八年级下·江西抚州·期末）某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度、测得水平距离的长为15米；风筝线的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)8米 【详解】（1）解：由勾股定理得， （米）, （米）, （2）解：如图，在上截取米，连接， 由勾股定理得，（米）, （米）, 他应该往回收线8米． 6．（23-24八年级下·江西新余·期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，问绳索有多长？” 【答案】14.5尺． 【详解】解： ∵ ∴四边形是矩形 ∴ 依题意得 则设绳索有尺长， 在中， 即， 解得：， 即绳索长14.5尺． 7．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE； （2）若CD=，求AD的长． 【答案】（1）见解析 （2）2+ 【详解】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证． （2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．　 解：（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°， ∴△ABD是等腰直角三角形． ∴AD=BD． ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°． ∴∠CAD=∠CBE． 在△ADC和△BDF中，∠CAD=∠CBF，AD=BD，∠ADC=∠BDF=90°， ∴△ADC≌△BDF（ASA）． ∴BF=AC． ∵AB=BC，BE⊥AC， ∴AC=2AE． ∴BF=2AE． （2）∵△ADC≌△BDF， ∴DF=CD=． 在Rt△CDF中，． ∵BE⊥AC，AE=EC， ∴AF=CF=2． ∴AD=AF+DF=2+． 勾股定理的运算 1．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，，则（    ）      A．76 B．54 C．62 D．81 【答案】C 【详解】连接，    由题意得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 2．（23-24八年级下·江西吉安·期末）已知直角三角形两直角边的比是3︰4，斜边长为20cm，则斜边上的高是 ． 【答案】9.6cm 【详解】解：设直角边为3xcm，4xcm，则斜边为5xcm， ∴5x=20 ∴x=4 直角三角形的三边长为12，16，20 cm 斜边上的高为：12×16÷20＝9.6 cm 故答案为9.6cm． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵点表示原点，点表示的数为 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江西九江·期末）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形的顶点A，B分别在x轴和y轴上，已知，，点D坐标为，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿线段的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动的时间为t秒．    (1)如图①，当点P经过点C时，的长为______． (2)如图②，把长方形沿着直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，求点P的坐标． (3)在点P的运动过程中，是否存在某个时刻使为等腰三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）解：如图1，   ，， ； 故答案为：10； （2）解：由折叠的性质可知，，， 在中，由勾股定理可得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； （3）解：存在， ， ， ①当时， ， 在上， 由勾股定理可得：， ， ②当时，在的垂直平分线， 在上， ， ③当时，在上， 由①可知，， ， 的坐标为：或或． 5．（23-24八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列一段文字，再回答问题． 已知平面内两点，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或． (1)已知点，，试求A，B两点间的距离； (2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标； (3)已知△ABC各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由． 【答案】(1)A，B两点间的距离为13 (2)A的纵坐标为6或 (3)为等腰直角三角形 【详解】（1）， 即A，B两点间的距离为13． （2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4， ∴A的纵坐标为或者．即点A的纵坐标为6或． （3）为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ， ， ∴，且 ∴为等腰直角三角形． 6．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，ABC的三个顶点都在格点上． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）图中线段BC的长为 ； （3）ABC的面积为 ； （4）点P在y轴上，且ABP的面积等于ABC的面积，则点P的坐标为 ． 【答案】（1）A（3，4），B（0，2）；（2）；（3）；（4）（0，）或（0，） 【详解】解：（1）由图可知： A（3，4），B（0，2）； （2）BC==； （3）S△ABC==； （4）由题意可得：S△ABP=， ∵点P在y轴，则设P（0，a）， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为（0，）或（0，）． 勾股树（数）问题 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【详解】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、1，，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，故6，8，10是勾股数，符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意， 故选：C． 2．（23-24八年级下·江西萍乡·期末）若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（    ） A．，， B． C．，， D． 【答案】C 【详解】解：正整数a，b，c是一组勾股数，根据题意，不妨设c最大，则：， A．，，， ∵， ∴，，不一定是勾股数，故A错误； B．，，， ∵， ∴不一定是勾股数，故B错误； C．，，， ∵， ∴，，一定是勾股数，故C正确； D．，，， ∵， ∴不一定是一组勾股数 ，故D错误． 故选：C． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）试写出一组勾股数 ． 【答案】3、4、5（答案不唯一）． 【详解】解：最常见的勾三股四弦五，勾股数为3，4，5． 故答案为：3、4、5（答案不唯一）． 勾股定理与网格、折叠问题 1．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，点D在射线上．将沿直线翻折，使点A恰好落在坐标轴上，则点D的坐标为 ． 【答案】或或 【详解】解：①如图，设翻折之后的A落点点E，作． 设，由题意可得，，， 与关于直线对称， ，， 在中，， ． 在中，， ， 即， 解得， 点D的坐标是． ②如图2：翻折之后A点落在y轴上时，即图中点E，则， 这时，， ； ③如图3，当翻折之后A点落在x轴负半轴时，， 在中，，则， 中，设， 利用勾股定理得到， 解得， D点坐标为， 故D的坐标为或或． 故答案为：或或． 2．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形． (2)在图2中，请在直线上找一点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，在网格中选取点D，连接，与直线的交点即为点P．    证明：由勾股定理可得： ，， ， ． 3．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法．    (1)直接写出图1中的面积是______； (2)若的边长分别为、、（，，且），试运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积． (3)拓展应用：求代数式：的最小值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)5 【详解】（1）解：由图可知：的面积是； 故答案为：； （2）的边长分别为、、（，，且）， ∴的三边分别是直角边长为m，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边，构造三角形如图：    由图可知：的面积是； （3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：    设，，，则：， 过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长， ∵，， ∴． ∴的最小值为5． 4．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，图1为的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1．    (1)图1中正方形的面积为___________，边长为___________ (2)①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求： Ⅰ所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上； Ⅱ所作的正方形的边长为． ②请在图2中的数轴上标出表示实数的点，保留作图痕迹． 【答案】(1)10，； (2)①见解析；②见解析； 【详解】（1）正方形的边长为：，面积为：， 故答案为：10，； （2）①如图所示的正方形即为所作；    ②如图2中，正方形是所画的面积为8的格点正方形， 以点为圆心、为半径画弧，交数轴于点，则点的坐标为实数．    5．（23-24八年级下·江西南昌·期末）【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 【答案】(1)不是，不是 (2)或或 (3)，证明见解析 (4)是，理由见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴三边长为的三角形不是型三角形，三边长为的三角形不是型三角形， 故答案为：不是，不是； （2）解：①是最短边，则设最长边为， 由题意得：， 解得：； ②是中等长度边，则设最长边为， 由题意得， 解得：； ③最长边为， ∴综上所述：最长边为或或． （3）解：数量关系：． 证明：∵四边形是长方形， ∴，， 连接，由折叠性质得到：，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （4）解：是型三角形，理由如下： 如图：由折叠知，， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴是型三角形． 三边构建直角三角形的判断 1．（23-24八年级下·江西抚州·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，符合题意， 故选：D． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）已知，则以，，为边的三角形是 三角形． 【答案】直角 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 3．（23-24八年级下·江西上饶·期末）若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形． 【答案】直角 【详解】解：∵一个三角形的三边长之比为8∶15∶17， 设三边分别为，，， 而， ∴三角形构成直角三角形， 故答案为：直角 4．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，每个小正方形的边长都为1． (1)_________，_________，_________； (2)判断是直角吗？并说明理由． 【答案】(1)，， (2)直角，理由见解析 【详解】（1）解：，，， 故答案为：，，； （2）是直角，理由如下： 连接， 由图可知：，，， ， ． 5．（23-24八年级下·江西上饶·期末）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 6．（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点A和点B在格点上，仅用无刻度的直尺，按以下要求画图使其各顶点都在格点上． (1)在图1中作一个以为边的等腰直角三角形； (2)在图2中作一个以A为顶点，面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如图，即为所作： 用勾股定理构造图形解决问题 1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若大正方形的面积是25，直角三角形的长直角边是4，则小正方形（即图中阴影部分）的面积是 ． 【答案】1 【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为， ∵直角三角形的长直角边为4， ∴直角三角形的短直角边为， ∴小正方形的边长为， 小正方形的面积为， 故答案为：1． 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）课本再现 如图1，我们称该图案为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，其中直角三角形的两直角边长为a，b（），斜边长为c． （1）请利用图1验证勾股定理． 知识应用 （2）在图1中，若，，求小正方形的面积． （3）小明按图2的方式把边长为和的两个正方形切割成5块，按图3的方式无缝拼成一个大正方形，则大正方形的边长是________． 【答案】（1）见解析；（2）9；（3） 【详解】（1）证明：∵大正方形的面积四个直角三角形的面积小正方形的面积， ， ． （2）由勾股定理得， ∴小正方形的面积． （3）大正方形的面积为：， 大正方形的边长：． 3．（23-24八年级下·江西上饶·期末）中国古代《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折者高几何．意思是：一根竹子，原高1丈（1丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？ 【答案】3.2尺 【详解】解：如图．设折断处离地面的高度为x尺， 则AB＝（10－x）尺，BC＝6尺． 在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2， 即x2＋62＝（10－x）2       即折断处离地面的高度为3.2尺 4．（23-24八年级下·江西吉安·期末）小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 【答案】这块地的面积是． 【详解】解：连接， ，， 在中，根据勾股定理，得 ， 四边形的周长为， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形， ， 答：这块地的面积是． 5．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）．理由如下： ∵与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 勾股定理的应用 1．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（    ） A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm 【答案】D 【详解】当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：18−15=3(cm)； 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为18−12=6（cm）， 即铅笔在笔筒外面最长不超过6cm， 所以铅笔露出笔筒部分的长度不短于3cm，不超过6cm． 所以前三项均符合题意，只有D选项不符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解∶如图， 由题意，得，，， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，客船以24海里/时的速度从港口向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口向东南方向航行，则1小时后两船相距 海里． 【答案】30 【详解】解：∵客船以24海里/时的速度从港口 A 向东北方向航行， 货船以18海里/时的速度同时从港口 A 向东南方向航行， ∴客船与货船方向的夹角为， 且客船行驶1小时的距离为24海里，货船行驶1小时的距离为18海里， 故两船1小时后的距离为海里， 故答案为：30． 4．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ． 【答案】 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·江西南昌·期末）燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：    ①测得的长度为8米；（注：） ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的王明身高米； (1)求风筝的垂直高度． (2)若王明同学想让风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米； (2)7米． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米）， 答：风筝的高度为米； （2）解：连接，由题意得，米，   ， （米）， （米）， 他应该往回收线7米． 6．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了，木板顶端向下滑动了，求出的距离和这块木板的长度． 【答案】，． 【详解】解：由题意，得，，，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得，， ∴， 答：的距离是，这块木板的长度是． 7．（23-24八年级下·江西赣州·期末）（1）计算：． （2）如图，一木杆在离地面处折断，木杆顶端落在离木杆底端处，求木杆折断之前的高度．    【答案】（1） （2） 【详解】（1） （2）根据题意可知为直角三角形，则 ． 所以，木杆折断之前的高度． 8．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，一辆小汽车在一条限速的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离； (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)没有超速，理由见解析 【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边， 根据勾股定理可得． 答：，间的距离为． （2）解：这辆小汽车没有超速，理由如下： ， 而， ， 所以这辆小汽车没有超速． 勾股定理逆定理的实际应用 1．（23-24八年级下·江西南昌·期末）若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 . . 【答案】120 cm 【详解】设三边的长是，，， 则， 解得：， 则三边长是10 cm，24 cm，26 cm． ∵ ∴三角形是直角三角形， ∴三角形的面积是（cm） 故答案为：120 cm 2．（23-24八年级下·江西赣州·期末）如图，已知，， (1)求AB的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵AC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∵AC＝BC＝2， ∴AB＝， ∴AB的长为； （2）解：∵AB2+BD2＝ ，AD2＝， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠ABD＝90°， ∴△ABD的面积＝AB•BD ＝ ＝， ∴△ABD的面积为． 3．（23-24八年级下·江西景德镇·期末）在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积． 【答案】△ABC的面积为84． 【详解】∵BD2+AD2=62+82=102=AB2， ∴△ABD是直角三角形， ∴AD⊥BC， 在Rt△ACD中，CD==15， ∴BC=BD+CD=6+15=21， ∴S△ABC=BC•AD=×21×8=84． ∴△ABC的面积为84． 4．（23-24八年级下·江西吉安·期末）张明家有一块菜地如图所示，已知米，米，米，米，且，求这块菜地面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【详解】解：连接，如图， ∵，米，米， ∴米． ∵米，米， ∴， ∴， ∴这块菜地面积等于平方米． 5．（23-24八年级下·江西抚州·期末）如图是某班的劳动实践基地，经测量，，，，． (1)求的长； (2)连接，试判断的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ； （2）解：由（1）知：， ，， ， 为直角三角形． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$