专题05～06 概率与统计-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（青海专用）

专题06 概率 题型概览 题型01概率的定义 题型01 频率分布直方图与概率综合问题 题型02样本空间 题型03古典概型 题型04互斥事件与对立事件 题型05概率加法公式与乘法公式 概率的定义题型01 1. （23-24高一下·海南州·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 某人抽奖100次，一定能中奖15次 B. 某人抽奖200次，至少能中奖3次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【解析】 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 样本空间题型02 2. （23-24高一下·西宁市·期末）袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球. （1）写出试验的样本空间； （2）用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数” 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）摸出一个球，上面的标号有9种可能；（2）由球的标号可得事件对应的样本空间。 【详解】解：（1）用球的标号表示对应的球，则该试验的样本空间可表示为； （2）；；. 【点睛】本题考查样本空间，属于简单题。 古典概型题型03 3. （23-24高一下·西宁市·期末）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型分析求解. 【详解】将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，共6种， 其中偶数有，共4种， 所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为． 故选：C． 4. （23-24高一下·西宁市·期末）从标有数字1，2，3，4的四张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由古典概率公式求解即可． 【详解】解：由题意可知，样本空间，共6种，卡片数字相邻有，共3种， 所以所求概率. 故选：B 5. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现小于5的奇数点数”，事件B表示“出现不小于5的点数”，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 事件或至少有一个发生的概率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据各事件包含的点数，然后由概率公式计算出概率后判断各选项． 【详解】事件A表示“出现点数为1，3”，事件表示“出现的点数为5，6”，可知互斥，所以错误. 事件表示“出现的点数为1，3”，所以，而，B正确. 由上知，所以，C正确. 因为，所以D正确. 故选：BCD． 6. （23-24高一下·西宁市·期末）为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节日氛围，某市文联在南山公园广场举办2023年正月十五“闹元宵猜灯谜”灯谜展猜活动，活动分一、二两关，分别竟猜5道、20道灯谜.现有甲、乙两位选手独立参加竟猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道.假设猜对每道灯谜都是等可能的. （1）从第一关5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； （2）从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型进行求解． （2）利用互斥事件、相互独立事件的性质进行求解． 【小问1详解】 设“任选2道灯谜，甲都猜对”，用1，2，3，4，5表示第一关的5道灯谜，其中1，2，3，4表示甲猜对的4道， 则样本空间为， ， 所以，，根据古典概型的计算公式，得. 【小问2详解】 设“任选一道灯谜，甲猜对”，“任选一道灯谜，乙猜对”，“任选一道灯谜，甲、乙两人恰有一个人猜对”，根据题意可得，，，. 因为，且，互斥，又甲、乙两位选手独立参加竞猜，所以B，C相互独立，从而，C，B，也相互独立. 所以. 即甲、乙两人恰有一个人猜对的概率为. 互斥事件与对立事件题型04 7. （23-24高一下·西宁市·期末）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）. A. 至多有1次中靶 B. 2次都中靶 C. 2次都不中靶 D. 只有1次中靶 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概念可得结果. 【详解】根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”. 故选：C. 8. （23-24高一下·海南州·期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（ ） A. 恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B. 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C. 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D. 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案. 【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误； 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确. 故选：D. 9. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A. 2张卡片都不是红色 B. 2张卡片恰有一张红色 C. 2张卡片至少有一张红色 D. 2张卡片都为绿色 【答案】ABD 【解析】 【分析】列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断. 【详解】解：6张卡片中一次取出张卡片的所有情况有： “2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”， 选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”， 其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥. 故选：ABD. 10. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与相等 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用对立事件与相互独立事件的概念可判断A、B；求出概率可判断C、D. 【详解】由对立事件是在一次试验中，故A错误； ，为独立事件，B正确； 事件不是在一次试验中，事件不会相等，由， 可得C错误；D正确. 故选：BD． 概率加法公式、乘法公式题型05 11. （23-24高一下·西宁市·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.63 B. 两人都中靶的概率为0.70 C. 两人都中靶的概率为0.72 D. 两人都中靶的概率为0.74 【答案】C 【解析】 分析】根据相互独立事件概率计算公式，先求得，然后求得正确答案. 【详解】依题意， 解得， 所以两人都中靶的概率为. 故选：C 12. （23-24高一下·西宁市·期末）如图所示，表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8，则该系统的可靠性（3个开关只要一个开关正常工作即可靠）为（ ） A. 0.504 B. 0.994 C. 0.996 D. 0.964 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可知，当三个开关都不正常工作时，系统不可靠，再根据对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式即可求出． 【详解】由题意知，所求概率为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于容易题． 13. （23-24高一下·西宁市·期末）某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理.则每个零件报废的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用对立事件概率公式和概率乘法公式求解即可. 【详解】设事件“第一次检测零件合格”为，事件“第二次检测零件合格”为， 则事件“零件报废”可表示为， 由已知， 所以， 所以， 故答案为：. 14. （23-24高一下·西宁市·期末）端午节，又称端阳节､龙舟节､重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分.某校打算举办有关端午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A，B，C三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A类题目得10分，答对一道B类题目得20分，答对一道C类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛，已知甲､乙两位同学都参加了这次比赛，且甲答对A类题目的概率是，答对B类题目的概率是，答对C类题目的概率是，乙答对每类题目的概率都是.假设甲､乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互独立的. （1）求甲第一轮答对A类题目的概率； （2）求甲通过比赛的概率； （3）求甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助概率乘法公式计算即可得； （2）找出甲通过比赛的所有情况并求出对应概率后求和即可得； （3）借助间接法计算出甲､乙都没有通过比赛的概率后即可得. 【小问1详解】 甲第一轮答对类题目的概率为； 【小问2详解】 甲通过比赛的情况有以下三种： 第一种情况是甲答对1道类题目和1道类题目，其概率； 第二种情况是甲答对1道类题目和1道类题目，其概率； 第三种情况是甲答对2道类题目，其概率. 故甲通过比赛的概率为. 【小问3详解】 乙通过比赛的概率为. 甲､乙都没有通过比赛的概率为， 则甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率为. 频率分布直方图与概率综合问题题型01 15. （23-24高一下·海南州·期末）共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分直方图. （1）求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率. 【答案】（1），平均数75.5，中位数75 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求a；以每组区间中点值为代表，结合加权平均数求平均数的估计值；根据中位数的左右两侧频率和均为0.5，运算求解． （2）利用分层抽样可得在区间应抽取4人，在区间应抽取2人，再利用古典概型求解即可． 【小问1详解】 由题意知，解得. 满意度评分值的平均数； 设满意度评分值的中位数为，所以，解得，即满意度评分值的中位数为75. 【小问2详解】 满意度评分值在内的有（人），满意度评分值在内的有20（人）， 抽取的6人中满意度评分值在）内的有（人），记为， 满意度评分值在内的有（人），记为. 从这6人中随机抽取2人有，，共15种基本事件， 其中抽到的2人满意度评分值均在内的有，共6种基本事件， 所以抽到的2人满意度评分值均在内的概率. 16. （23-24高一下·西宁市·期末）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图. 根据直方图所提供的信息： （1）用分层抽样的方法在和中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率； （2）估计这40名同学周末学习时间的分位数. 【答案】（1）； （2）8.75小时. 【解析】 【分析】（1）借助分层抽样的性质得出在和中分别抽取的人数后，借助列举法得出所有的基本事件及符合要求的基本事件后即可得解； （2）借助百分位数定义计算即可得. 【小问1详解】 由图可知，40名学生中周末的学习时间在的人数为人， 周末的学习时间在的人数为人， 从中用分层抽样抽取6人，则周末的学习时间在的有4人，记为； 周末的学习时间在的有2人，记为； 则再从中选派3人接受检测的基本事件有， ，共有20个， 其中检测3人来自同一区间的基本事件有，共有4个， 所以检测的3人来自同一区间的概率； 【小问2详解】 学习时间在5小时以下的频率为， 学习时间在10小时以下的频率为， 所以分位数在区间内， 则， 所以这40名同学周末学习时间的分位数为8.75小时. 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 统计 题型概览 题型01抽样调查和普查 题型02简单随机抽样 题型03分层抽样 题型04频率分布直方图 题型05茎叶图 题型06百分位数 题型07样本的数字特征 题型08用样本估计总体 抽样调查和普查题型01 1. （23-24高一下·海南州·期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 了解某一品牌空调的使用寿命，选择普查 B. 了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查 C. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查 D. 了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查 简单随机抽样题型02 2. （23-24高一下·西宁市·期末）欲利用随机数表从00，01，02，，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为______. 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 分层抽样题型03 3. （23-24高一下·海南州·期末）某学校有高中学生800人，其中高一年级､高二年级､高三年级的人数分别为260，240，300.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用按比例分配的分层抽样方法从中抽取一个容量为200的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为__________. 4. （23-24高一下·西宁市·期末）某中学高一年级有男生640人，女生480人.为了解该年级男､女学生的身高差异，应采用__________（从“简单随机”和“分层随机”中选一个最合适的填入）抽样.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为__________. 频率分布直方图题型04 5. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（ ） A. 的值为0.005； B. 估计成绩低于60分的有25人 C. 估计这组数据的众数为75 D. 估计这组数据的第85百分位数为86 6. （23-24高一下·西宁市·期末）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a的值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 7. （23-24高一下·西宁市·期末）暑假期间，某中学为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了200名学生并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将其整理后分为5组画出频率分布直方图如图所示，但是第一、五两组数据丢失，只知道第五组的频率是第一组的2倍. （1）求第一组、第五组的频率并补全频率分布直方图（用阴影涂黑）； （2）现从第四、五组中按分层抽样方法抽取6人参加校古诗词比赛，经过比赛后，第四组得分平均数，方差，第五组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？ 8. （23-24高一下·西宁市·期末）为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计这批零件的直径的中位数； （2）已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数． 茎叶图题型05 9. （23-24高一下·西宁市·期末）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因事故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： (1)求分数在[50，60)的频率及全班人数； (2)求分数在[80，90)的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高； (3)若规定：90分(包含90分)以上为优秀，现从分数在80分(包含80分)以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率． 百分位数题型06 10. （23-24高一下·西宁市·期末）一组数据：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，则这组数据的分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 11. （23-24高一下·西宁市·期末）下表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据，则该队员得分的第40百分位数是（ ） 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 3 1 1 1 12. （23-24高一下·海南州·期末）某工厂12名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，，则这组数据的第75百分位数是______． 样本的数字特征题型07 13. （23-24高一下·西宁市·期末）四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 中位数为3，方差为2.8 D. 平均数为2，方差为2.4 14. （23-24高一下·西宁市·期末）某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（ ） A. 10 B. C. D. 5 15. （23-24高一下·西宁市·期末）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量(单位：kg)如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 根据以上数据，下面说法正确的是（ ） A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 16. （23-24高一下·海南州·期末）某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如下（单位：分）： 甲组：65，90，85，75，65，70，75，90，95，80 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85 （1）试分别计算两组数据的极差和方差； （2）试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？ 用样本估计总体题型08 17. （23-24高一下·西宁市·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（ ） A 2800 B. 1800 C. 1400 D. 1200 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 统计 题型概览 题型01抽样调查和普查 题型02简单随机抽样 题型03分层抽样 题型04频率分布直方图 题型05茎叶图 题型06百分位数 题型07样本的数字特征 题型08用样本估计总体 抽样调查和普查题型01 1. （23-24高一下·海南州·期末）下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 了解某一品牌空调的使用寿命，选择普查 B. 了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查 C. 了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择普查 D. 了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查和普查的定义，逐个选项判断调查方式是否合理即可. 【详解】对于A，了解某一品牌空调使用寿命，选择抽样调查更符合经济效益，故A错误； 对于B，了解神舟飞船的设备零件的质量情况， 安全是最重要的，应该采取普查，故B错误； 对于C，了解一批袋装食品否含有防腐剂，选择抽样调查更符合经济效益，故C错误； 对于D，了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查比较符合经济效益，故D正确． 故选：D． 简单随机抽样题型02 2. （23-24高一下·西宁市·期末）欲利用随机数表从00，01，02，，59这些编号中抽取一个容量为6的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第4个被抽取的样本的编号为______. 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 19 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】 【解析】 【分析】根据随机数表法的读取规则，读取第4个被抽取的样本的编号. 【详解】从随机数表的第1行第11列开始向右读取，每次读取两位编号有：16，95，55，67，……，不大于59的有16，55，19，19（重复划掉），50，……，第4个被抽取的样本的编号为50. 故答案为：50. 分层抽样题型03 3. （23-24高一下·海南州·期末）某学校有高中学生800人，其中高一年级､高二年级､高三年级的人数分别为260，240，300.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用按比例分配的分层抽样方法从中抽取一个容量为200的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为__________. 【答案】65 【解析】 【分析】利用抽样比可求出结果. 【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为， 则高一年级抽取的人数是. 故答案为：. 4. （23-24高一下·西宁市·期末）某中学高一年级有男生640人，女生480人.为了解该年级男､女学生的身高差异，应采用__________（从“简单随机”和“分层随机”中选一个最合适的填入）抽样.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为__________. 【答案】 ①. 分层随机 ②. 48 【解析】 【分析】利用分层抽样结合分层抽样的样本容量的计算公式求解即可. 【详解】因为男､女学生的身高存在明显差异，所以应采取分层随机抽样的方法抽取样本.若样本容量为112，则应抽取的女生人数为. 故答案为：分层随机，48. 频率分布直方图题型04 5. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党､知史爱国的热情，某校举办了“学党史､育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的（ ） A. 的值为0.005； B. 估计成绩低于60分的有25人 C. 估计这组数据的众数为75 D. 估计这组数据的第85百分位数为86 【答案】ACD 【解析】 【分析】由所有组频率之和为1求得a，再根据频率直方图中频数、众数及百分位数的求法可得结果. 【详解】对于A，由，得.故A正确； 对于B，估计成绩低于60分的有人.故B错误； 对于C，由众数的定义知，估计这组数据的众数为75.故C正确； 对于D，设这组数据的第85百分位数为m，则， 解得：，故D正确. 故选：ACD 6. （23-24高一下·西宁市·期末）为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分（满分100分），并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品. （1）求图中a的值，并求综合评分的平均数； （2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率； （3）已知落在的平均综合评分是54，方差是3，落在的平均综合评分为63，方差是3，求落在的总平均综合评分和总方差. 【答案】（1），平均数81 （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，结合加权平均数运算求解； （2）根据分层抽样求各层人数，利用列举法结合古典概型运算求解； （3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解. 【小问1详解】 由频率和为1，得，解得； 设综合评分的平均数为， 则， 所以综合评分的平均数为81. 【小问2详解】 由题意，抽取5个产品，其中一等品有3个，非一等品有2个， 一等品记为a、b、c，非一等品记为D、E； 从这5个产品中随机抽取2个，试验的样本空间 ，； 记事件“抽取的这2个产品中最多有1个一等品”， 则，， 所以所求的概率为. 【小问3详解】 由题意可知：落在的频率为，落在的频率为， 所以， . 7. （23-24高一下·西宁市·期末）暑假期间，某中学为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了200名学生并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，将其整理后分为5组画出频率分布直方图如图所示，但是第一、五两组数据丢失，只知道第五组的频率是第一组的2倍. （1）求第一组、第五组的频率并补全频率分布直方图（用阴影涂黑）； （2）现从第四、五组中按分层抽样方法抽取6人参加校古诗词比赛，经过比赛后，第四组得分平均数，方差，第五组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？ 【答案】（1）第一组的频率为0.05，第五组的频率为0.10，频率分布直方图见解析 （2）平均数为7，方差为3.67 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据分层抽样抽样比求解第4组抽取4人，第5组抽取2人，即可利用方差的公式求解. 【小问1详解】 第一组的频率为x，则第五组的频率为2x. 依题意得，解得. 所以第一组的频率为0.05，则第五组的频率为0.10. 频率分布直方图如下： 【小问2详解】 因为第4组和第5组的频数之比为2：1， 所以从第4组抽取4人，第5组抽取2人. 所以这6人得分的平均数. 方差 8. （23-24高一下·西宁市·期末）为了解某批零件的质量，质检员从这批产品中随机抽取100件产品，测量它们的直径（单位：mm），根据测量所得数据，将其按分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计这批零件的直径的中位数； （2）已知这批零件共有10000件，若零件的直径在内为优等品，估计这批零件中优等品的件数． 【答案】（1） （2）5000 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用中位数的含义，列式计算，可得答案； （2）由频率分布直方图求得直径在内的频率,计算即可得出结果. 【小问1详解】 因为 所以这批零件的直径的中位数在内． 设这批零件的直径的中位数为，则， 解得， 即这批零件的直径的中位数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图可知这批零件的直径在内的频率为， 则可估计这批零件中优等品的件数为． 茎叶图题型05 9. （23-24高一下·西宁市·期末）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因事故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： (1)求分数在[50，60)的频率及全班人数； (2)求分数在[80，90)的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高； (3)若规定：90分(包含90分)以上为优秀，现从分数在80分(包含80分)以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率． 【答案】（1）25人；（2）0.016；（3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图能求出分数在[50，60）的频率，由茎叶图得分类在[50，60）的人数，由此能求出全班人数．（2）由茎叶图能求出分数在[80，90）之间的频数，由此能求出频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高．(3)利用古典概型的概率公式解答. 【详解】解：(1)分数在[50，60)的频率为0.008×10＝0.08. 由茎叶图知，分数在[50，60)的频数为2，所以全班人数为. (2)分数在[80，90)的频数为25－2－7－10－2＝4， 频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为. (3)由(2)可知分数在[80，100)的人数为4＋2＝6. 设分数在[80，90)的试卷为A，B，C，D，分数在[90，100]的试卷为a，b. 则从6份卷中任取2份，共有15个基本事件， 分别是AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab， 其中至少有一份优秀的事件共有9个， 分别是Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab， ∴在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率为. 【点睛】本题考查茎叶图、频率分布直方图的应用，考查古典概型的概率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用 百分位数题型06 10. （23-24高一下·西宁市·期末）一组数据：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，则这组数据的分位数是（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，根据第85百分位数的定义可得答案. 【详解】将数据从小到大排序为1，1，2，2，2，2，3，3，5，5， 因为不是整数，故取第9个数，第9个数为5， 故这组数据的第85百分位数为5. 故选：D． 11. （23-24高一下·西宁市·期末）下表是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据，则该队员得分的第40百分位数是（ ） 每场比赛得分 3 6 7 10 11 13 30 频数 2 1 2 3 1 1 1 A. 6 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先可得一共有场比赛得分，再根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】解：依题意可知一共有场比赛得分， 其中，所以第百分位数为第个数为； 故选：B 12. （23-24高一下·海南州·期末）某工厂12名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是，，则这组数据的第75百分位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义及求解方法计算即可. 【详解】这组数据按从小到大的顺序排列为． 因为， 所以这组数据的第75百分位数是． 故答案为： 样本的数字特征题型07 13. （23-24高一下·西宁市·期末）四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 中位数为3，方差为2.8 D. 平均数为2，方差为2.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误； 对于C，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为：， 方差为， 可以出现点数6，故C错误； 对于D，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故D正确． 故选：D． 14. （23-24高一下·西宁市·期末）某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（ ） A. 10 B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数与方差的公式列方程可得解. 【详解】因为这组数据的平均数为48，方差为7， 所以 整理得 设，则， 因为50，所以，即， 则． 故选：A 15. （23-24高一下·西宁市·期末）水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮.以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破，杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量(单位：kg)如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 甲 900 920 900 850 910 920 乙 890 960 950 850 860 890 根据以上数据，下面说法正确的是（ ） A. 甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大 B. 甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小 C. 甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D. 甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算两种水稻产量的平均数、中位数、极差、方差即可判断四个选项的正误，即可得出正确选项. 【详解】对于选项A：甲种水稻产量的平均数：， 乙种水稻产量的平均数：， 所以甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等，故选项A不正确； 对于选项B：甲种水稻产量分别为：，中位数为， 乙种水稻产量分别为，中位数为， 所以甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数大，故选项B不正确； 对于选项C：甲种水稻产量的极差为：，乙种水稻产量的极差为： ，甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差不相等，故选项C不正确； 对于选项D：甲种水稻的产量的方差为： 乙种水稻的产量的方差为： ， 甲种水稻产量的平均数和乙种水稻产量的平均数相等， 甲种水稻产量的方差小于乙种水稻的产量的方差， 所以甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定，故选项D正确， 故选：D. 16. （23-24高一下·海南州·期末）某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如下（单位：分）： 甲组：65，90，85，75，65，70，75，90，95，80 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85 （1）试分别计算两组数据的极差和方差； （2）试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？ 【答案】（1）甲组数据的极差为30（分），方差为104；乙组数据的极差为30（分），方差为75.25 （2）乙组的成绩较稳定． 【解析】 【分析】（1）根据公式直接求极差、平均数、方差即可； （2）根据（1）的结果可得答案． 【小问1详解】 甲组最高分为95分，最低分为65分，极差为， 平均数为， 方差为 ， 乙组最高分为95分，最低分为65分，极差为， 平均数为， 方差为 ； 【小问2详解】 由于甲乙两组极差相同，但乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定． 用样本估计总体题型08 17. （23-24高一下·西宁市·期末）管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（ ） A 2800 B. 1800 C. 1400 D. 1200 【答案】C 【解析】 【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解. 【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为， 由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条， 所有池塘中有标记的鱼的概率为：， 又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼， 所以，解得， 即估计该池塘内共有条鱼. 故选：C. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 概率 题型概览 题型01概率的定义 题型01 频率分布直方图与概率综合问题 题型02样本空间 题型03古典概型 题型04互斥事件与对立事件 题型05概率加法公式与乘法公式 概率的定义题型01 1. （23-24高一下·海南州·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（ ） A. 某人抽奖100次，一定能中奖15次 B. 某人抽奖200次，至少能中奖3次 C. 某人抽奖1次，一定不能中奖 D. 某人抽奖20次，可能1次也没中奖 样本空间题型02 2. （23-24高一下·西宁市·期末）袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球. （1）写出试验的样本空间； （2）用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数” 古典概型题型03 3. （23-24高一下·西宁市·期末）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为（ ） A. B. C. D. 4. （23-24高一下·西宁市·期末）从标有数字1，2，3，4的四张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 5. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“出现小于5的奇数点数”，事件B表示“出现不小于5的点数”，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 事件或至少有一个发生的概率为 6. （23-24高一下·西宁市·期末）为弘扬中华民族传统文化，营造浓厚的节日氛围，某市文联在南山公园广场举办2023年正月十五“闹元宵猜灯谜”灯谜展猜活动，活动分一、二两关，分别竟猜5道、20道灯谜.现有甲、乙两位选手独立参加竟猜，在第一关中，甲、乙都猜对了4道，在第二关中，甲、乙分别猜对12道、15道.假设猜对每道灯谜都是等可能的. （1）从第一关5道灯谜中任选2道，求甲都猜对的概率； （2）从第二关的20道灯谜中任选一道，求甲、乙两人恰有一个人猜对的概率. 互斥事件与对立事件题型04 7. （23-24高一下·西宁市·期末）有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）. A. 至多有1次中靶 B. 2次都中靶 C. 2次都不中靶 D. 只有1次中靶 8. （23-24高一下·海南州·期末）从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（ ） A. 恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B. 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C. 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D. 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 9. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ） A. 2张卡片都不是红色 B. 2张卡片恰有一张红色 C. 2张卡片至少有一张红色 D. 2张卡片都为绿色 10. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（ ） A. 与互为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与相等 D. 概率加法公式、乘法公式题型05 11. （23-24高一下·西宁市·期末）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.63 B. 两人都中靶的概率为0.70 C. 两人都中靶的概率为0.72 D. 两人都中靶的概率为0.74 12. （23-24高一下·西宁市·期末）如图所示，表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8，则该系统的可靠性（3个开关只要一个开关正常工作即可靠）为（ ） A. 0.504 B. 0.994 C. 0.996 D. 0.964 13. （23-24高一下·西宁市·期末）某工厂现对一批零件的性能进行抽检，第一次检测每个零件合格的概率是0.8，不合格的零件重新加工后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.9，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理.则每个零件报废的概率为______. 14. （23-24高一下·西宁市·期末）端午节，又称端阳节､龙舟节､重午节，端午节是中华民族传统文化的重要组成部分.某校打算举办有关端午节的知识竞答比赛，比赛规则如下：比赛一共进行两轮，每轮比赛回答一道题，每轮比赛共有A，B，C三类题目，参赛选手随机从这三类题目中选择一类作答，第一轮中被选中的题目在第二轮比赛开始前工作人员会用同一类型的题目替换，参赛选手答对一道A类题目得10分，答对一道B类题目得20分，答对一道C类题目得40分，两轮比赛后，若选手累计得分不低于50分，则通过比赛，已知甲､乙两位同学都参加了这次比赛，且甲答对A类题目的概率是，答对B类题目的概率是，答对C类题目的概率是，乙答对每类题目的概率都是.假设甲､乙选择哪类题目作答相互独立，且每轮比赛结果也是相互独立的. （1）求甲第一轮答对A类题目的概率； （2）求甲通过比赛的概率； （3）求甲､乙两人中至少有1人通过比赛的概率. 频率分布直方图与概率综合问题题型01 15. （23-24高一下·海南州·期末）共享单车企业通过在校园､地铁站点､公交站点､居民区､商业区､公共服务区等提供服务，完成交通行业最后一块“拼图”，带动居民使用其他公共交通工具的热情，与其他公共交通方式产生协同效应.共享单车是一种分时租赁模式，也是一种新型绿色环保共享经济.某城市交通部门为了调查该城市共享单车使用的满意度，随机选取了200人就该城市共享单车的使用满意度进行问卷调查，并将问卷中的这200人根据其满意度评分值（百分制）分成5组：（满意度评分值均在内），制成如图所示的频率分直方图. （1）求的值，并求出满意度评分值的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； （2）用分层抽样的方法在满意度评分值在内的抽出6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽到的2人满意度评分值均在内的概率. 16. （23-24高一下·西宁市·期末）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图. 根据直方图所提供的信息： （1）用分层抽样的方法在和中共抽取6人成立学习小组，再从该小组派3人接受检测，求检测的3人来自同一区间的概率； （2）估计这40名同学周末学习时间的分位数. 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $$