暑假作业03 既非等差又非等比数列的通项公式（18题型）-【暑假分层作业】2025年高二数学暑假培优练（人教A版2019）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 既非等比又非等差数列的通项公式 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一： 由递推关系求数列通项 】 1．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 2．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【题型二：已知Sn和an关系求通项 】 1.（24-25高二下·上海·阶段练习）已知数列 满足 ，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）设为数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，且，数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记的前n项和为，证明：． 4．（23-24高二上·广东潮州·期末）数列的前项和为，且，在等差数列中，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，则 . 6．（24-25高二下·四川资阳·期中）知数列的前项和为，，，当时，总有，则数列的通项公式 ． 7．（24-25高二下·海南海口·期中）已知等差数列满足，.数列的首项，前项和为且满足. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 8.（24-25高二下·河南·阶段练习）已知在正项数列中，为其前项和，且，是与的等差中项． (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，为数列的前项和，证明：． 9．（2025·宁夏银川·三模）记数列的前n项和为，已知，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和. 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和； (3)记，求数列的前n项和． 11．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若，，，，…，，…成等比数列，求的前项和. 12．（2025·海南·模拟预测）记数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 13．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，证明：数列为等比数列． 14．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)证明: 为等比数列 (2)求数列的通项公式 (3)求数列的前 项和 15．（2025·江苏南京·一模）已知数列的前项和满足为常数，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列； (3)若，求的取值范围. 16．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知数列的前n项和为，，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 17．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）记数列的前n项和为，已知，. (1)求的通项公式. (2)若数列满足，其前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【题型三：向前递减一项递推求数列通项 】 1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 2．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）（1）在数列中，若，求； （2）已知数列满足，求数列的通项公式. 4．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 5．（24-25高二下·湖北·期中）等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 6.（2024高三下·四川内江·专题练习）数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 10．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式； (2)设数列前项和为，求． 【题型四： 累加法 】 1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列满足（，且），，则 . 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式及数列的前项和． (2)是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，，且． (1)求，； (2)求数列的通项公式； (3)若，其前n项和为，求数列的通项公式． 4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知数列满足，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数列满足，且，则等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 6．（24-25高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，且 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【题型五：通过加减等比数列构造等比数列求通项 】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，. (1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【题型六：方程组法求通项 】 1．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足． (1)记，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和，求证：． 2．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 3．（2025·江苏苏州·三模）已知数列的前项和为，． (1)求； (2)求． 4．（2025·河南·模拟预测）已知数列满足． (1)若，求的值． (2)若，证明：． (3)若，设，证明： 【题型七： 同除构造等差数列 】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，证明：数列为等比数列． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，试求的通项公式． 3.（24-25高三下·河南信阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为，求. 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且 (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前项和为 (3)若，求正整数的所有取值． 6．（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 7.（24-25高二下·广东深圳·期中）已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)是否存在正整数m、n （m<n），使得？若存在，请找出所有满足条件的m、n，若不存在，请说明理由. 【题型八： 和常数构造等比数列求数列通项 】 1．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列，若，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求； (3)若，且数列的前项和为，求证：. 2．（24-25高二下·四川成都·期中）已知在数列中，首项，且满足，数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)证明是等差数列，并求其通项公式； (3)令，记的前项和为，求． 3．（24-25高二下·江西南昌·期中）已知数列满足，，数列的各项均为正数且前项和满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列，的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【题型九：和等比数列构造等比数列求通项 】 1．（2025·河北·二模）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【题型十：同除构造分式求通项 】 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)记的前项和为，证明：. 2．（2025·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知非零数列的前项和为，且，，，则 【题型十一： 数列奇偶项问题 】 1．（24-25高二下·天津·期中）已知数列的前n项和为，且，，数列为等比数列且公比大于0，， (1)求：数列和的通项公式 (2)记，求数列的前项和． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，对任意，恒成立，求的取值范围． 3．（24-25高三上·山西太原·期末）在正项数列中，，是的前项和，且满足，若，则的前项和 . 4．（2025·河北廊坊·模拟预测）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 5．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 【题型十二：和等差数列一起构造等比数列求数列通项 】 1．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，且，则（    ） A．182 B．173 C．164 D．155 【题型十三：累乘法 】 1．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知数列的前n项和为，若，则 ． 3．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知为数列的前n项和，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项的和为，，，求正整数的最小值. 【题型十四：因式分解求数列通项 】 1．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知各项均为正数的数列，其前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和； 2．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知各项均为正数的数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和； (3)若，求数列的前项和为 4．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且，求数列的通项公式． 【题型十五：求数列取值范围 】 1．（24-25高二下·湖北黄石·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，在数列中，，满足． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的前n项和，并证明． 2．（2025·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 3．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 4．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 5．（2025·湖南·三模）已知是等差数列，且，，数列是等比数列，其前n项和为，且满足，其中. (1)当时，求数列与数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，设数列的前n项和为，已知，证明：； (3)当时，若数列满足（），且，若对任意正整数i，j（），恒成立，求实数的取值范围. 6．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）记数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式. (2)若数列满足，其前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 7．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设是数列的前n项和，若，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，若对任意的，恒成立，其中是实数，求的最小值． 8．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 9．（2025·广西南宁·三模）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)对，将数列中不大于的项的个数记为．若恒成立，求实数的取值范围． 10．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知正项数列满足，且（）. (1)求的通项公式; (2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立?若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由. 11．（2025·全国·一模）设数列满足. (1)求并证明：； (2)证明： 12.（2025高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式; (2)设 为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值. 13．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设数列的前项和满足：． (1)求数列的通项； (2)设数列的前项和为，若，求实数的取值范围． 【题型十六： 数列比大小 】 1．（2024·四川攀枝花·一模）各项均为正数的数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前n项和，是数列的前m项和，当时，试比较与的大小． 2．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 【题型十七：组成新的数列问题 】 1．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求. 【题型十八：新定义问题 】 1．（24-25高二下·四川达州·期中）设数列的前项和为，且，数列满足，数列满足，其中． (1)证明：为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)表示不超过实数的最大整数，求． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 既非等比又非等差数列的通项公式 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一： 由递推关系求数列通项 】 1．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用数列的前 项和 与通项 的关系计算. 【详解】当 时，； 当 时，. , 代入通项公式：, 验证 时：若直接代入 ，得 ，与 矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 故答案为：. 2．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用构造法，可得数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式可求得，最后可由此求得. 【详解】因为，即， 所以，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 所以，， 当时，， 所以， 当时，也成立，所以， 故答案为： 3．（2025高三·全国·专题练习）已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列前n项和的其他性质、利用an与sn关系求通项或项 【分析】法一：利用求通项公式，结合等比数列的定义求参数值，法二：应用等比数列前n项和公式求参数值. 【详解】（方法一）因为， 当时，，可得，， 当时，． 因为数列为等比数列，所以，解得． （方法二）若数列公比为，当，则不可能恒相等, 所以，则，所以． 故答案为：. 【题型二：已知Sn和an关系求通项 】 1.（24-25高二下·上海·阶段练习）已知数列 满足 ，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】由已知得出是以为首项，公比为的等比数列，写出数列的通项公式即可求解． 【详解】由，得， 又，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，即， 所以， 故选：A． 2．（2025高三·全国·专题练习）设为数列的前项和，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据的关系以及等比数列即可求解. 【详解】根据，可得， 两式相减得，即． 当时，，解得． 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以． 故选：B. 3．（2025·甘肃金昌·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，且，数列满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)记的前n项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、由不等式的性质证明不等式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用等比数列定义推理得证. （2）由（1）求得，再利用前n项和与第n项的关系求解. （3）利用不等式的性质，结合数列求和推理得证. 【详解】（1）由，，得，而， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列. （2）由（1）得，则，而， 两式相减可得，即， 所以. （3）依题意，，而，则， 当时，， 故. 4．（23-24高二上·广东潮州·期末）数列的前项和为，且，在等差数列中，． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、前n项和与通项关系、错位相减法求和 【分析】（1）利用与之间的关系可得数列的通项公式；利用等差数列的通项公式列方程组可得数列的通项公式. （2）利用错位相减法可求得. 【详解】（1）当时，，即； 当时，由得， 则两式相减得，即，， 综上可知，是首项，公比的等比数列， 则，即. 设等差数列的公差为，则， 即，解得， 所以，即. 故，. （2）由（1）知，， 则①， ②， ①②得， 整理得 ， 即，所以. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】运用数列中与的关系，通过已知条件推导出数列相邻两项的关系，再利用分组求和的方法求出. 【详解】与之间的关系 对于，当时，，得， 当时，，所以， 所以， 即， 所以当且是奇数时，，所以. 故答案为： 6．（24-25高二下·四川资阳·期中）知数列的前项和为，，，当时，总有，则数列的通项公式 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据与的关系代入计算，再由等比数列的通项公式，即可得到结果. 【详解】当时，有， 则当时，有， 两式相减可得， 即， 又，，所以， 所以时，数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以. 故答案为： 7．（24-25高二下·海南海口·期中）已知等差数列满足，.数列的首项，前项和为且满足. (1)求数列和数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，计算等差数列的基本量，求出通项公式，再根据数列的项与前项和的关系，作差法求出数列通项并验证，求出数列通项公式. （2）数列是一个等差和一个等比乘积，使用错位相消求和方法，求出前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得， 由得，联立解得，， 所以数列的通项公式为. 因为① 当时，② ①②可得，， 当时，满足上式， 又，故，故是首项为2，公比为3的等比数列， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得 ① ② ①②得：. 化简得：. 8.（24-25高二下·河南·阶段练习）已知在正项数列中，为其前项和，且，是与的等差中项． (1)求，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若，为数列的前项和，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、等差中项的应用、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用等差中项列式，再依次计算即可. （2）由（1）中信息，利用前项和与第项的关系，借助等差数列定义求解. （3）求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）依题意，，即，而， 所以，. （2）由（1）知，，当时，， 则，整理得， 即，又，因此，而， 则数列是首项为1，公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式是. （3）由（2）得，则， 所以. 9．（2025·宁夏银川·三模）记数列的前n项和为，已知，. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解； （2）由（1）可得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）由， 当时，， 两式相减得，即，① 则，② 由①②整理得，， 所以； 又，则当时，， 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列，且首项为，公差为. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 则， 所以. 10．（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和； (3)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、含绝对值的等差数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）将题干式子变形得，利用与的关系化简可得，根据等差数列通项公式计算即可； （2）求得的通项公式，分类讨论求和即可； （3）由题意得，利用裂项相消求和即可. 【详解】（1），得， 当时，有， 得， 化简可得， 因为，所以，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）可得， 当时，， 当时，， 综上，； （3）由（1）可得， 则. 11．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)若，，，，…，，…成等比数列，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）通过已知的表达式，利用的关系推导出数列的通项公式； （2）根据等比数列的性质求出的表达式，进而得到的表达式，最后求出数列的前项和. 【详解】（1）中令， 得，所以， 因为， 整理得， 当时，， 所以时，是常数列，且， 所以， 又也满足上式， 所以. （2）因为成等比数列，且，， 所以该数列的第项为， 因为是数列的第项， 所以， 所以， 所以. 12．（2025·海南·模拟预测）记数列的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）当可求出的值，当时，由可得，两式作差可得出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差得，即， 所以，数列是首项为，公比也为的等比数列，故. （2）由（1）可得， 所以， 则， 上述两个等式作差得 ， 因此，. 13．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，证明：数列为等比数列． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项、由定义判定等比数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据数列递推式可得当时，，结合等比数列定义知是等比数列，得，进而证得为等差数列并求得的表达式，从而得的表达式，利用等比数列定义即可证明结论. 【详解】证明  由可得时，， ，则； 当时，， 即，故， 又因为， 所以，故是等比数列； 所以， 所以，即为等差数列，首项为，公差为， 所以，即， 所以，则， 又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 14．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列的前项和为，且. (1)证明: 为等比数列 (2)求数列的通项公式 (3)求数列的前 项和 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用关系变形已知等式，再同时除以可得； （2）先由等比数列的基本量法求出的通项，再利用关系可得； （3）由错位相减法求和即可. 【详解】（1）由题意可得，即， 两边同时除以可得， 又， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得， 当时，， 化简可得， 当时，代入也成立， 所以. （3）因为， 则， ， 两式作差可得， 所以. 15．（2025·江苏南京·一模）已知数列的前项和满足为常数，且. (1)求的值； (2)证明：为等差数列； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由关系式取可得，结合及条件求； （2）将关系式中的用替换，与原式相减，结合与关系可得递推式，再证明结论； （3）由（2）求，代入不等式可得恒成立，由此可求的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以. 又，所以. （2）由（1）可得，所以， 因此， 相减得， 得， 所以为等差数列. （3）由（2）得， 由，得. 因为对恒成立， 所以. 16．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知数列的前n项和为，，且， (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由的关系可判断为等差数列，进而可求解； （2）由错位相减法求和即可. 【详解】（1）由， ， ， ， 即是以2为公差，1为首项的等差数列， ，即， 当时，， 显然，时，上式不成立， 所以． （2）当时，， 当时，， 则， 两式相减得， 即， 化简可得：. 当时，，满足； 综上，. 17．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）记数列的前n项和为，已知，. (1)求的通项公式. (2)若数列满足，其前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）仿写作差后由等比数列的基本量法求出通项即可； （2）（ⅰ）由错位相减法求和即可； （ⅱ）将不等式变形后得恒成立，令，讨论数列的单调性求最小值即可； 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得（），即（）， 当时，有，即， 又，所以. 综上，可知是首项，公比为2的等比数列， 故的通项公式为. （2）（ⅰ）由（1）得， 则， 可得， 所以， 所以. （ⅱ）对任意恒成立， 即，整理得恒成立. 令，则， 当时，， 当时，， 当时，， 所以以，即的最小值为， 综上，，即实数的取值范围是. 【题型三：向前递减一项递推求数列通项 】 1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先求出的通项，再利用退位相减法可求的通项，利用错位相减法可求. 【详解】因为是首项为1、公差为1的等差数列，故， 而，故， 故，而，故，符合该式， 故， 故，所以， 所以， 故， 故答案为： 2．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，设，问是否存在实数使得数列是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与的关系得到数列递推式，利用等比数列定义判断并求出其通项公式即得； （2）由数列递推式构造两方程，相减即可求得通项，检验首项即得； （3）根据数列为递增数列，得到对任意恒成立，化简得对任意恒成立，即，再由解得，综合即可求得参数范围. 【详解】（1）由，，两式相减，可得， 即得，又，得，， 故数列为等比数列，且首项为2，公比为， 所以. （2）由（1）知. 则①，可得， 当时，②， 由①-②：可得， 故得，显然不满足此式， 故. （3）因为， 时，则. 因为数列递增，则对任意恒成立 由，化简得， 即对任意恒成立，故 又因为，则，解得. 综上，的取值范围为. 3．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）（1）在数列中，若，求； （2）已知数列满足，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由，利用累加法即可求解； （2）令，利用即可求解. 【详解】（1）由题意有：， 则， ， ， ， 以上个式子相加，得 时，， . 又当时，适合上式， 故. （2）：令， 当，有，所以， 化简得， 当时，， 解得，符合上式. 故. 4．（24-25高二下·山东德州·期中）已知数列和满足. (1)求数列和的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）作差即可求解，同除以得为等差数列，即可求解，或者利用累加法求解， （2）利用裂项求和可得，即可求解. 【详解】（1）① 当时，，当时，② ①－②，可得，所以 又满足，故. 对于数列 法一 由数列，同除得 ， 即， 又 故数列是首项为2的常数列，故通项公式为. 法二 ， 累加得：，又所以 当时，符合上式.所以 （2）令， 所以 因为，故 5．（24-25高二下·湖北·期中）等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 【答案】(1)， (2)4231 【难度】0.65 【知识点】等差数列与等比数列综合应用、等差数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用等差数列的性质求出公差即可求数列的通项公式；利用降标作差求得，再代入检验即可； （2）计算以及至，即可观察得出数列中的项，进而利用等差数列的前项和公式计算. 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则， 因， 则当时，，    两式作差得，即， 令，得，则，满足上式，则， 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，，且， 经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为， 从而数列中去掉的是这4项， 所以 6.（2024高三下·四川内江·专题练习）数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先由题设等式作差推得，再由和的关系推出，结合条件得到为公差是2的等差数列，利用通项公式计算即得. 【详解】由题知 ①， 则 ②， 由①－②，可得：，即，，， 在已知等式中令，得，则，显然满足上式， 故有③，则④． 由③－④，可得：，即， 即，∵，∴， 故为公差是2的等差数列，又由可解得， ∴． 故选：A. 7．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和 【分析】由条件可得当时，，相减可求当时，的表达式，再求，再求数列的前项和，结合关系恒成立求的范围，由此可得结论. 【详解】因为， 所以当时，， 所以， 所以， 当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，，时，也适合， 由恒成立，可得， 所以的最小值为， 故选：D. 8．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）利用通项公式和前项和的关系可求得，又，可得的通项公式； （2）首先分母有理化求得的通项公式，再利用裂项相消法即可其前项和为. 【详解】（1）由题干条件，当时，， 当时，， 与已知式子相减得，因为，所以， 又也符合上式，故； （2）由已知得， 故. 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定条件，利用求出数列通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 10．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式； (2)设数列前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据条件，利用间的关系，即可求解； （2）由（1）得到，再利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②，得到，所以， 又时，，得到，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由题意， 所以③，得到④， 由③④，得到， 所以. 【题型四： 累加法 】 1．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列满足（，且），，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】结合累加法，由裂项相消法化简求解即可. 【详解】因为（，且），， 所以； 经验证，时，，符合条件. 故答案为：. 2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，数列的前项和为． (1)求数列的通项公式及数列的前项和． (2)是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】等比中项的应用、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用等差数列的求和公式与已知条件求出通项公式，再通过裂项相消法求出数列的前项和. （2）根据等比中项的性质列出等式，然后求解的值. 【详解】（1）是各项均不为0的等差数列， ， . ， . （2）若存在正整数，使得成等比数列， 则，即， 化简得：，解得：， 又且，所以， 故存在正整数，使得成等比数列． 3．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，，且． (1)求，； (2)求数列的通项公式； (3)若，其前n项和为，求数列的通项公式． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合前n项和的意义依次计算即可. （2）由前n项和与第n项的关系可得，进而求出当时，，再分奇偶求出通项公式. （3）由（2）的结论，利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）由，，得，即，解得； ，即，解得. （2）当时，，作差得， 当时，，作差得，而，则当时，， 当为偶数时，数列是首项为，公差为2的等差数列，， 当为奇数时，数列是首项为，公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式. （3）由（2）知， ， 因此， 两边相减得 所以. 4．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知数列满足，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（    ） A．403 B．404 C．405 D．406 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、求等比数列前n项和、数列不等式恒成立问题 【分析】利用累加法结合等比数列的项和求出数列的通项，再利用分离参数法求解即可. 【详解】由，得， 则， 累加得， 所以， 因为恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 因为，所以， 所以，即的最大值为. 故选：C. 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）数列满足，且，则等于（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、由递推关系式求通项公式、累加法求数列通项 【分析】递推公式两侧同时乘以，化简递推公式，得，运用累加法及裂项相消法求和，化简整理，即可得到所求通项，代入数值即可得解. 【详解】因为，，， 所以有，，，，. 累加得，又， 所以，即. 当时，符合上式，所以. 则. 故选：B. 6．（24-25高二下·湖北·期中）已知数列的前项和为，且 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据给定条件，利用与的关系，结合等比数列求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，而，即， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 所以数列的前项和. 【题型五：通过加减等比数列构造等比数列求通项 】 1．（24-25高二下·河南·阶段练习）已知数列满足，. (1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）根据已知有、，应用等比数列的定义证明结论，并写出通项公式； （2）应用裂项相消法求即可. 【详解】（1）由，则，又，则， 所以是首项、公比都为4的等比数列，则，故； （2）由（1）及已知有， 所以， 所以. 【题型六：方程组法求通项 】 1．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足． (1)记，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等比数列定义证明即可，再应用通项公式计算求解； （2）根据等差数列通项公式基本量运算求解； （3）应用裂项相消计算证明. 【详解】（1），，即， 又，所以数列为以6为首项，以3为公比的等比数列， 故 （2）由（1）知，，所以， 所以数列为等差数列，且公差为2所以， 即，所以． （3）因为， 所以 ． 2．（2025·广东广州·三模）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求证：数列是等差数列，并求出其的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)若，求的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）由先求，根据等差数列的定义验证是否为不变的常数即可验证； （2）由（1）有，利用累加法即可求解； （3）由有，利用裂项相消法即可求解. 【详解】（1）由有， 所以，又，，解得， 又因为，即， 所以数列是以公差为3，首项为的等差数列， 所以， （2）由（1）有， 所以， 上式相加有， 所以， 所以； （3）由（2）有， 所以， 所以 ， 所以. 3．（2025·江苏苏州·三模）已知数列的前项和为，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）将和及的值分别代入，计算即可求出； （2）利用与的关系得到，再按照等差数列的定义证明是以为首项，18为公差的等差数列，再求即可. 【详解】（1）因为， 所以当时， ， 因为，所以解得； 当时， ， ，解得. （2）因为①， 所以②， 所以②—①可得，时，上式也成立， 所以用代换可得， 所以， 这说明数列是以 为首项，18为公差的等差数列. 所以. 4．（2025·河南·模拟预测）已知数列满足． (1)若，求的值． (2)若，证明：． (3)若，设，证明： 【答案】(1)98 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）结合题设，直接求解即可； （2）由题设可得，由等差数列的前项和公式可得，再结合裂项相消法求证即可； （3）结合题设可得，，可得，进而求证即可. 【详解】（1）由题可知， 则． （2）证明：因为， 所以， 则， 则． （3）证明：由，可得， 又，则， 则，则． 因为，所以 ． 【题型七： 同除构造等差数列 】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，证明：数列为等比数列． 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据数列递推式可得当时，，结合等比数列定义知是等比数列，得，进而证得为等差数列并求得的表达式，从而得的表达式，利用等比数列定义即可证明结论. 【详解】证明  由可得时，， ，则； 当时，， 即，故， 又因为， 所以，故是等比数列； 所以， 所以，即为等差数列，首项为，公差为， 所以，即， 所以，则， 又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，试求的通项公式． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用前n项和与通项公式的关系并构造等比数列得到，再构造等差数列得到即可. 【详解】由题意得，，则当时，， 因此， 即， 而，则，又， 得到，即，有， 故数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 即， 则，又， 得到是首项为，公差为的等差数列． 则，即． 3.（24-25高三下·河南信阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，，. (1)求证：数列是等差数列. (2)设，数列的前n项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由，根据，得到，两边同除以，得到，结合等差数列的定义，即可得证； （2）由（1）求得，得到，利用乘公比错位相减法求和，即可求得. 【详解】（1）证明：因为，可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列. （2）由（1）可得，所以，可得， 所以， 则. 两式相减，可得 ， 所以. 4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，中是否存在三项构成等差数列？若存在，求满足条件的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】验证是否为等差数列中的项、由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可； （2）首先求得，然后结合分组求和法以及错位相减法即可求解； （3）利用反证法，假设存在导出矛盾即可说明不存在. 【详解】（1）由已知， ， 所以数列为首项，公差的等差数列． （2）由（1），且时，， ，也符合，所以 所以， 所以， 因为， 所以， ，所以， 记数列的前项和为， 则， ， 所以， 所以. （3）不存在，显然数列为递增数列， 若存在正整数，使得成等差数列，不妨设， 则， 即， 因为，所以，显然不成立， 所以数列中不存在不同的三项构成等差数列． 5．（24-25高二下·广东广州·期中）已知数列的前项和为，且 (1)求，并证明数列是等差数列； (2)求数列的前项和为 (3)若，求正整数的所有取值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)可取1，2，3 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）将代入即可得出.当时，由化简得出，根据定义法即可证明； （2）由（1）得出，利用错位相减法即可得出； （3）由（1）（2）得出，则.代入不等式化简可得出.构造函数，根据函数的单调性以及函数值，即可得出答案. 【详解】（1）当时，有，解得. 当时，有， ， 作差可得， 所以有， 所以有. 又， 所以数列为以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）可知，，则. 所以，， 则， 作差可得， ， 所以，. （3）由（1）（2）可知，，. 所以，，. 由可得，， 整理可得. 令， 易知在上单调递增，在上单调递增， 所以，在上单调递增. 又， ，，， 所以，当时，有， 即在时不成立. 所以可取1，2，3. 6．（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】（1）构造法判断为等差数列，并写出其通项公式，再应用关系求的通项公式； （2）应用裂项相消法求. 【详解】（1）由，，得，又， 数列是首项为，公差的等差数列， ，即， 当时，，且也满足， ，则数列的通项公式为； （2）由（1）得， . 7.（24-25高二下·广东深圳·期中）已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)是否存在正整数m、n （m<n），使得？若存在，请找出所有满足条件的m、n，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在, 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由等差数列的定义即可证明； （2）由错位相减法代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，计算即可得到结果. 【详解】（1）证明：根据条件可得， ， 数列是以为首项，1为公差为等差数列. （2） 数列为以为首项，1为公差的等差数列， ， ， ①， ②， ①-②得：， . （3）， 当时 ， 当时 ， 当时 ， 又，即 ， 当且仅当时，有. 【题型八： 和常数构造等比数列求数列通项 】 1．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列，若，且． (1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，求； (3)若，且数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）先对变形得到，结合的值确定是等比数列，进而求出. （2）由（1）得出表达式，再对裂项，通过裂项相消求出. （3）同样由（1）得到表达式并裂项，用裂项相消求，根据单调性和范围确定范围. 【详解】（1）因为，所以，又，所以， 所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则. （2）由（1）可得， 所以 所以 （3）由（1）可得 易知在上单调递增，且恒成立，所以 故得证. 2．（24-25高二下·四川成都·期中）已知在数列中，首项，且满足，数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)证明是等差数列，并求其通项公式； (3)令，记的前项和为，求． 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据等比数列通项公式计算求解； （2）应用 求出通项，再应用等差数列定义证明； （3）应用错位相减法计算求解. 【详解】（1）， ，     是首项为2，公比为2的等比数列， ，即； （2）由， 当时，，     当时，，     也满足， ，     当时，， 数列是以1为首项，2为公差的等差数列； （3）， ，         ①， ②，     ①－②可得， 即，     ． 3．（24-25高二下·江西南昌·期中）已知数列满足，，数列的各项均为正数且前项和满足. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列，的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由递推关系式变形及等比数列的定义得证； （2）由（1）可得，再由的关系求出数列为等差数列，即可得出； （3）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）， 又因为， 所以， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得，所以. 因为，即， 当时，. 当时，由有：， 两式相减得， ，即， 所以（）， 所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列. 所以，. （3）由题意， 所以①， ②， ①－②得： ， 所以. 【题型九：和等比数列构造等比数列求通项 】 1．（2025·河北·二模）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与的关系可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案； （2）由（1）可得的通项，利用错位相减法，可得答案. 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，，解得； 当时，， 所以，即， 所以，又． 所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）知，．所以， 则，① ，② —②有． 所以 【题型十：同除构造分式求通项 】 1．（2025·江苏南通·模拟预测）已知数列满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)记的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用构造法可得，故可证数列是等比数列； （2）结合（1）的结果求得的通项，由可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为，故，若，则， 则依次有，与题设矛盾，故，故， 故，故，所以， 而，故，故，， 故为等比数列，且首项为，公比为. （2）由（1）可得，故， 当时，； 当时，， 当时，有， 故， 因为， 所以， 综上，. 2．（2025·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 3．（24-25高二下·云南昭通·期中）已知数列的首项，的前n项和为，且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用构造法，可得数列是以1为首项，以为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式可求得，最后可由此求得. 【详解】因为，即， 所以，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 所以，， 当时，， 所以， 当时，也成立，所以， 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）已知非零数列的前项和为，且，，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】由，得到，进而得到，得到数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，进而求得的通项公式. 【详解】因为， 所以当时，， 又因为，可得，解得， 由， 可得，即， 则，即，所以， 又由，所以，可得， 所以数列为从第二项起，第二项为，公比为的等比数列， 则，可得， 经检验，满足上式，所以，即数列的通项公式为. 故答案为：. 【题型十一： 数列奇偶项问题 】 1．（24-25高二下·天津·期中）已知数列的前n项和为，且，，数列为等比数列且公比大于0，， (1)求：数列和的通项公式 (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）结合题意由以及等差数列的基本量法可得数列的通项；由等比数列下标的性质可得的通项公式； （2）奇数项利用等比数列的求和公式求解，偶数项和由裂项相消法求和，然后再相加可得. 【详解】（1）由可得， 当时，， 所以，整理可得， 又，所以，即，即公差 当时，，即， 所以数列的通项公式为； 设等比数列的公比为， 由，可得，即， 解得或（舍去）， 所以. （2）奇数项为，对应通项为， 所以， 偶数项为，令可得， 求和为， 所以数列的前项和. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、基本不等式的恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）对任意的，由，得，两式作差推导出数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列，求出、的值，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）对任意的，由①，得②， 两式相减，可得，即， 所以，所以． 所以，数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列， 在①式中，令，可得，令，可得， 所以当为奇数时，， 当为偶数时，， 综上所述，. （2）因为，所以， 当时，． 可得，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为，所以，即的取值范围为． 3．（24-25高三上·山西太原·期末）在正项数列中，，是的前项和，且满足，若，则的前项和 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和 【分析】由已知可得，可得，可得数列的奇数项，偶数项分别构成以4为公差的等差数列，进而可求得数列的通项公式，进而可得，可求得. 【详解】由，得， 两式相减得，即， 当，显然不满足，所以， 当时，可得，又，所以， 所以数列的奇数项，偶数项分别构成以4为公差的等差数列， 且首项分别为1，3，所以可得，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 4．（2025·河北廊坊·模拟预测）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）先由题设依次求得、和，进而结合等比数列定义求出和，从而得解； （2）分奇数项和偶数项再结合错位相减法即可求解. 【详解】（1）， 所以当时，， 且， ， 所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以； （2）由（1）， 所以 则， 所以 ， ， 所以，， 所以 5．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、数列求和的其他方法、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）首先求出，再利用数列通项公式与前项和的关系得到递推关系，因为，可求得数列为等差数列，由此可写出数列的通项公式； （2）先写出数列的通项公式，再求出数列的前项和为，解法一是分部求和，解法二是分组求和，解法三直接从问题入手，构造新数列，求其最小值，则不大于其最小值，此即为恒成立，由此可得实数的取值范围. 【详解】（1）时，，解得或，因为，所以， 时，，得， 因为，所以，又， 故数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为； （2）解法一：由，所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以， 因为对任意的，成立， 所以，当为奇数时，即，所以， 不等号的右边可看作关于的二次函数，对称轴为， 因为为奇数，所以时，，则 当为偶数时，，所以， 同理可得，因为为偶数，所以时，，则， 综上，. 解法二：由， 当为偶数时， . 当为奇数时， ， 所以（下同解法一） 解法三：因为对任意的，成立， 则，即求的最小值，令， 当为奇数时， 则，所以最小值一定在为奇数时取到， 当为奇数时， ， 当时，，当时，， 所以当为奇数时，， 则的最小值为， 所以. 【题型十二：和等差数列一起构造等比数列求数列通项 】 1．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，且，则（    ） A．182 B．173 C．164 D．155 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、求等差数列前n项和 【分析】根据题意，由累加法求出通项，进而求得答案. 【详解】因为，则， ， ，…，， 将这个式子相加，可得， 化简得，又， ，则. 故选：D. 【题型十三：累乘法 】 1．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】累乘法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】2500 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和 【分析】先化简已知条件得出数列是常数列，再计算求出通项公式，最后应用等差数列求和公式计算. 【详解】因为， 所以，所以数列是常数列， 因为，所以， 所以. 故答案为：2500. 3．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知为数列的前n项和，，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项的和为，，，求正整数的最小值. 【答案】(1) (2)24 【难度】0.65 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）根据题意，当时，，两式相减，求得，结合累乘法，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得，结合裂项相消法，求得，得到不等式，进而求得的最小值. 【详解】（1）解：当时，，因为， 两式相减，可得， 所以，可得， 又因为，，…，， 累乘得，所以. （2）解：由（1）知，可得， 所以， 所以，解得，故的最小值为24. 【题型十四：因式分解求数列通项 】 1．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知各项均为正数的数列，其前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用与的关系，消去，推得，再根据等差数列的定义即可求得通项； （2）利用错位相减法即可求得. 【详解】（1）当时，由，解得， 由，得， 两式相减，得，即， 即． 因为数列各项均为正数，所以，所以 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 因此，． （2）由（1）得， 则 ， 两式相减得 故. 2．（24-25高二下·黑龙江·阶段练习）正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，若对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）当时，，与题目式子联立化简得，从而，再求出，根据等差数列的定义求出通项公式即可； （2）先求出，然后利用错位相减法求和即可； （3）由题意得恒成立，设，进而得数列是递减数列，求出数列的最大值为，即可求解. 【详解】（1）当时，， 有， 整理得，又，有， 所以， 当时，，整理得，得（舍）或， 所以数列是等差数列，首项，公差为，， 因此数列的通项公式； （2）由（1）知， ① ② ①—②得， 所以； （3）若不等式恒成立，即， 等价于恒成立， 设，则有， 对，所以，即， 可知数列是递减数列， 数列的最大值为，所以， 因此实数的取值范围为． 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知各项均为正数的数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和； (3)若，求数列的前项和为 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用的关系求递推公式，然后因式分解，结合已知可得为等差数列，然后可得通项公式； （2）利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）当时，由，得，得， 由，得，两式相减， 得，即， 即. 因为数列各项均为正数，所以，所以 所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列. 因此， （2）由（1）得， ， 则， 两式相减得 （3）由（1）知，所以. 所以. 所以 4．（24-25高三下·贵州贵阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为， (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、特殊角的三角函数值 【分析】（1）由的关系，作差即可求解； （2）通过和，得到，再由错位相减法即可求解. 【详解】（1）由， 得当时，． 两式相减得， 整理得， ， ∴． 当时，，解得（负值舍）． ∴是以7为首项，4为公差的等差数列， ∴． （2）当，时，；当，时，， 所以， ①， ②， ①减②得： ， ∴． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知正项数列的前项和为，且，求数列的通项公式． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】由题意，当时，，结合，可得与的递推关系式，再求通项公式． 【详解】当时，，解得；当时，①， 又②，②-①得， 整理得，即， 也即， 又，所以，所以是以为首项，2为公差的等差数列， 所以． 【题型十五：求数列取值范围 】 1．（24-25高二下·湖北黄石·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，在数列中，，满足． (1)求数列的通项公式； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的前n项和，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据的关系求数列通项公式； （2）设，利用待定系数法求出，再由等比数列定义式证明即可； （3）分组法求等比数列的和，再由奇偶性讨论，利用单调性得证. 【详解】（1）当时，， 当时，， 综上， （2）∵，，，， 设， ∴ ∴ ∴是首项为，公比为的等比数列． （3）由（2）知， ， ∴ n为奇数时，是递减数列，∴， n为偶数时，是递增数列，．∴， ∴． 2．（2025·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】（1）首先可得是首项为，公比为的等比数列，即可求出，再由作差计算可得； （2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，可得， 则，所以， 又， 所以是首项为，公比为的等比数列. 所以，则， 当时，， 当时，，时也适合， 所以. （2）因为， 所以①， 则②， 所以①②得， 则， 所以. 因为，所以. 3．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用错位相减法求出前项和；②由①的结论，结合已知分离参数，构造新数列，利用不等式确定最大项即可. 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 4．（2025·山西朔州·模拟预测）已知数列的前项和满足. (1)求的通项公式； (2)若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用数列前项和与第项的关系求出通项公式. （2）由（1）得，再分离参数并构造新数列，并求出数列的最小项即可. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 而，不满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，不等式， 依题意，，不等式恒成立，令， ，由，得；由，得； 由，得， 因此，则当或时，，， 所以实数的取值范围是. 5．（2025·湖南·三模）已知是等差数列，且，，数列是等比数列，其前n项和为，且满足，其中. (1)当时，求数列与数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，设数列的前n项和为，已知，证明：； (3)当时，若数列满足（），且，若对任意正整数i，j（），恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求出的通项，根据等比数列的性质求出的通项； （2）先对进行裂项，再通过裂项相消法求出，进而证明不等式； （3）先求出，再利用累加法求出，最后根据不等式恒成立求出的取值范围. 【详解】（1）设等差数列的公差为，已知，，根据等差数列通项公式可得： ，即. 由可得，将其代入得：， 解得.把代入得. 所以. 当时， ①， 当时， ②. ①-②得：，即. 当时，，又，所以，解得. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则. （2）已知，将其变形为： . 则 . 因为，所以，则. 又 ， 所以单调递增，. 综上，. （3）当时， ③， 当时， ④. ③-④得：，即. 当时，，又，所以，解得.所以. 因为. 当时， . 当时，也满足上式. 当为奇数时，单调递减，； 当为偶数时，单调递增，. 因为对任意正整数，恒成立，所以，即，又，解得. 所以，实数的取值范围是. 6．（24-25高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）记数列的前项和为，已知 (1)求的通项公式. (2)若数列满足，其前n项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）运用关系式，得到数列是等比数列，再由等比数列的基本量法求出通项即可； （2）（ⅰ）由错位相减法求和即可；（ⅱ）将不等式变形后得恒成立，令，讨论数列的单调性求最小值即可； 【详解】（1），则，两个式子相减，化简得（），即（）， 当时，有，即， 又，所以. 综上，可知是首项，公比为2的等比数列， 故的通项公式为. （2）（ⅰ）由（1）得， 则， 可得， 所以， 所以. （ⅱ）对任意恒成立， 即，整理得恒成立. 令，则， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，即的最小值为， 综上，，即实数的取值范围是. 7．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设是数列的前n项和，若，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，若对任意的，恒成立，其中是实数，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）当时，由题可得，两式相减得，据此可得通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得，则，然后由单调性可得答案. 【详解】（1）当时，，两式相减可得： . 中令，得，注意到 符合上式，所以数列是以为首项，为公比得等比数列． 所以 （2） ，相减得 所以，则 从而恒成立．即 令， 则当为奇数时，随着n增大而减小，当为偶数时，随着n增大而增大， 又注意到，则 所以，从而 8．（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列的各项均为正整数，其前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用与关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果； （2）由（1）得，利用裂项相消法求和，得证. 【详解】（1）由，当时，， 两式相减得，整理得， 又数列的各项均为正整数，则，即，， 又，解得， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知，所以， 所以. 9．（2025·广西南宁·三模）已知正项数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)对，将数列中不大于的项的个数记为．若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）首先解出，再降次作差因式分解得，则，再利用等差数列通项公式即可； （2）先求出，再利用等比数列求和公式即可得，解出即可. 【详解】（1）当时，，得，所以． 当时， 联立，两式相减可得： ，化简得， 因为，所以， 故数列是以，公差的等差数列，所以； （2）由，得，即， ， 是以4为首项，8为公比的等比数列， 所以. 因为，即，即， 所以． 10．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知正项数列满足，且（）. (1)求的通项公式; (2)设数列{}的前n项和为，是否存在p、q，使得恒成立?若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在. 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、构造法求数列通项、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据已知可得，进而有，写出通项公式，即可得； （2）由（1）得，应用错位相减法、等比数列前n项和公式求得，进而有恒成立，即可得结论并求出参数值. 【详解】（1）∵， ∴，则， ∴，又数列为正项数列， ∴，即， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴，则； （2）∵，则， 故 ∴， 则，故恒成立， ∴，解得， ∴存在满足条件. 11．（2025·全国·一模）设数列满足. (1)求并证明：； (2)证明： 【答案】(1)；证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）根据已知递推公式得出是常数列，再计算化简证明； （2）根据单调性结合累加法计算证明即可. 【详解】（1）因为数列满足， 所以,， 所以， 所以是常数列，所以， 所以； （2）因为，所以,所以， 因为都大于零，所以可逐步推出, 所以,所以是单调增数列， 所以， 所以,, 即， 以上个式子累加计算得，所以， 所以,, 所以，所以. 12.（2025高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式; (2)设 为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、判断等差数列 【分析】（1）因为，构造，两式相减，可证为等差数列，再求，可得的通项公式. （2）利用裂项求和法求数列的前项和，再解不等式即可. 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②可得：， 化简可得，， 即，， 又，当时，，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 且. （2） 因为 所以， 则 ， 由可得，化简可得，解得， 所以使成立的最小正整数的值为. 13．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）设数列的前项和满足：． (1)求数列的通项； (2)设数列的前项和为，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和 【分析】（1）利用与的关系可得，解得，再根据等差数列的定义求解即可； （2）利用错位相减法求出，再结合一元二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】（1）由可得当时，， 所以，解得， 所以， 又，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 当时，满足， 故. （2）由（1）可得， 所以①， ②， ①②得， 所以， 若，即， 整理得对恒成立， 当时，恒成立， 当时，对于一元二次方程在处取得最小值， 所以只需即可，解得， 综上实数的取值范围为. 【题型十六： 数列比大小 】 1．（2024·四川攀枝花·一模）各项均为正数的数列的前n项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前n项和，是数列的前m项和，当时，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）首先根据，再结合公式，从而降次化简为，再消去和，即可证明数列是等差数列，求通项公式； （2）根据（1）的结果，分别求和，再比较大小. 【详解】（1）由，得时， 两式相减得：，即 数列的各项均为正数， 时， 两式相减得： 数列的各项均为正数． 由，可得 由，可得 ，即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故 （2）由（1）得，则 所以 由（1）得 所以 当时，，故，从而 2．（2025·湖南·三模）已知数列满足，数列满足，且. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的之间插入项，从而构成一个新数列，设的前项和为，求. 【答案】(1) (2) (3)12182 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和、构造法求数列通项、定义法求数列通项 【分析】（1）构造数列为等比数列，通过等比数列通项公式即可求的通项公式； （2）易知是常数列，即可求的通项公式； （3）根据新数列的形成规则，判断其前100项中数列，分别有多少项，再分组求和可求. 【详解】（1）由可得，又， 所以是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即. （2）方法一：由已知得，所以， 所以，又， 等式两边同时相乘，可得， 得，该式对也成立. 故. 方法二：由可知是常数列， 所以， 即. （3）设在的前100项中，来自的有项. 若第100项来自，则应有， 整理可得，该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自，则应有，整理可得. 易知在时单调递增， 当时，，不满足题意，当时，，满足题意， 故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自， 所以. 【题型十七：组成新的数列问题 】 1．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)保持的各项顺序不变，在和之间插入k个1，使它们与数列的项组成一个新的数列，记的前n项和为，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）借助与的关系计算可得，再利用等比数列定义计算即可得； （2）由题意可得，数列的其余项为1，则可借助分组求和计算即可得解. 【详解】（1）由，得， 则，即， 又，满足，所以， 所以是首项是，公比为的等比数列，故； （2）由题知，数列的其余项为1， 则 . 【题型十八：新定义问题 】 1．（24-25高二下·四川达州·期中）设数列的前项和为，且，数列满足，数列满足，其中． (1)证明：为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)表示不超过实数的最大整数，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）令可得出的值，当时，由可得，两式作差可得，变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立，再利用等差数列的通项公式可得出数列的通项公式； （2）计算得出，利用裂项相消法可求得； （3）由放缩法得出，可求出的取值范围，即得出的值. 【详解】（1）因为数列的前项和为，且， 当时，，则， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，所以， 等式两边同时除以可得， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 故，所以. （2）因为 ， 所以，. 故数列的前项和. （3）因为， 因为， 所以， ， ， 所以，故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$