暑假作业04 数列的求和（18题型）-【暑假分层作业】2025年高二数学暑假培优练（人教A版2019）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 数列的求和 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：倒序相加法求和 】 1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（   ） A．4046 B．4045 C．2024 D．2023 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 4．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．101 【题型二：错位相减法求和 】 1．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）数列的前n项和，满足：，，（），数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)设，求的前2n和． 2．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前项和为. 3．（2025·陕西汉中·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，求数列的前项和． 4．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知数列的前项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前项和为； ①求； ②若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（结果可保留幂的形式） 5．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 6．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列中，. (1)求； (2)证明：为等差数列； (3)求的前项和. 7．（24-25高二下·广东·阶段练习）在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 8．（2025·辽宁·二模）记数列的前项和为，已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. 10．（2025·湖南长沙·二模）已知数列的首项，的前项和为且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 11．（24-25高二下·广东·期中）已知数列满足， (1)探究数列的单调性； (2)求数列的前n项和 12．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列；． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前项的和． 13．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知等比数列的前项和为，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 14．（2025·天津河东·二模）设是公差d为的等差数列，是公比为q的等比数列，，，，，. (1)求数列与的通项公式及； (2)落在区间之内的项的个数为，. （ⅰ）求，及数列的通项公式； （ⅱ）求. 【题型三：裂项相消法求和 】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，若，则数列的前16项和为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·模拟预测）已知函数为函数的正零点，若（表示不超过的最大整数），则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山东·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和. 5.（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式. (2)证明：. 6．（24-25高二下·河北·期中）数列满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和. 7．（2025·重庆·三模）已知数列是首项为2的正项等比数列.又构成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足.令.求数列的前项和. 8．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知正项数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 9．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设是数列的前n项和，证明：． 10．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知数列是递增的等比数列且 (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值. 11．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知函数. (1)当为奇数时，证明：的图象关于点对称； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：当时，. 12．（湖南省天壹T8联盟2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题）已知等比数列的各项均为正数，首项为其前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和． 13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求． 14．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 15．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知等差数列的前n项和为，满足，． (1)求数列的通项公式． (2)求证： 16．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 17．（24-25高二下·四川内江·期中）已知数列中，，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 18．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型四： 分组并项法求和 】 1．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列满足，，，则的第2025项为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建三明·三模）若数列满足，，则（    ） A．155 B．156 C．203 D．204 4．（2025·江苏·三模）设，数列为等比数列，数列是公差不为零的等差数列，且，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为．若表示不超过的最大整数，则（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 6．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知数列满足，，记，则数列的前100项的和为（   ） A． B．25 C． D．50 7．（2025高三·全国·专题练习）已知，为的前项之和，则的值为（    ） A．3023 B．3024 C．3025 D．3026 7．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，，，数列满足，则数列的前1011项的和 . 8．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知数列满足，在之间插入个，连同的项构成数列，则数列的前200项的和为 . 9．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 10．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和； 11．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 12．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 13．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项的和． 【题型五：奇偶项求和 】 1．（24-25高二下·湖北·阶段练习）设是等差数列，数列的前项和为，满足，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 2.（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)已知，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 3．（2025·天津河北·二模）设数列是等差数列，是等比数列．已知． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前n项积为，证明：． 4．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 【题型六： 数列求和和函数的综合应用 】 1．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数共有个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 3．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 4．（2024高三·上海·专题练习）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 5．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4069 B．2023 C．2024 D．4046 6．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，其前项和为，设函数，则（    ） A．0 B．1 C．1012 D．2024 7．（2025·四川德阳·二模）已知数列前项和为，满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)令，讨论与的大小关系； (3)对任意正整数恒成立，求正整数的最小值． 【题型七：由数列求和求相关参数问题 】 1．（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（24-25高三上·河北邢台·期末）若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为． (1)当时，证明：． (2)当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值； (3)当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围． 【题型八：新定义问题 】 1．（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且． (1)求数列和的通项公式； (2)若 ①当为奇数，求； ②求． 2．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”． (1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由． (2)若为“上凸数列”，则当时，． （ⅰ）若数列为的前项和，证明：； （ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值． 3．（2025·安徽安庆·二模）定义在同一数集上的函数，按一定顺序排成一列，称为数集上的函数列，记为的导函数为. (1)若满足，证明：为等比数列： (2)定义在上的函数列满足，且. ①若，设，证明：： ②若，证明：. 4．（24-25高二下·广东·期中）设是等差数列，是等比数列，满足，，且，． (1)求与的通项公式； (2)设，在平面直角坐标系中，依次连接点，，，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积． 5．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. (1)若a=3，b=4，求S₆的值; (2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 数列的求和 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：倒序相加法求和 】 1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列是公比为的等比数列，且，若，则（   ） A．4046 B．4045 C．2024 D．2023 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】由题可得，利用等比数列性质可得，继而可计算. 【详解】由题可得， 又数列为等比数列，且，所以， 即， 所以， 故选：A 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、倒序相加法求和 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 3．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】由等比数列的性质可得，再计算，再利用倒序相加计算结果． 【详解】因，数列是等比数列，有， 因为，所以， 故有 设， 则， 则， 则. 故选：D. 4．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】倒序相加法求和 【分析】利用倒序相加法即可求解 【详解】因， 且① 则，② 由①+②可得：， 故. 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】倒序相加法求和 【分析】计算出的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】， 设， 则， ，所以， 故选：B． 6．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】利用等比数列的性质计算出的值，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】等比数列满足，则， 所以，对任意的的正整数， ， 令， 则， 故. 故选：A. 【题型二：错位相减法求和 】 1．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）数列的前n项和，满足：，，（），数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)设，求的前2n和． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）对于，由与的关系，通过作差即可求解，对于，通过的奇偶，分别确定递推公式即可求解； （2）由等比数列的求和公式及错位相减法，分别计算奇数项、偶数项的和，即可. 【详解】（1）由，当，可得，当，解得， 所以，所以， 即，而，所以从第二项起为等比数列，∴ 因为数列满足 因为所以， 当，时，， 当，时，， 所以，所以n为奇数时， 当，时，， 所以，所以，所以n为偶数时，， 所以 （2） ∴ ∴ ∴， ∴ 2．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知数列的前项和为，，且；数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求的通项公式； (3)设，求数列的前项和为. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项、定义法求数列通项 【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义即可得证； （2）利用与的关系式，结合常数列的定义即可得解； （3）利用（1）与（2）的结论化简，再利用错位相减法即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 又，则，故， 所以是首项与公比都为的等比数列. （2）依题意，， 当时，， 两式相减，得 整理得，即，则， 又，所以， 所以是各项为的常数列， 所以，即. （3）由（1）得，即， 所以， 则， 所以， 两式相减，得 . 所以. 3．（2025·陕西汉中·二模）对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． (1)若数列为数列的偶数列，求． (2)若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． (3)在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】数列新定义、错位相减法求和、由定义判定等比数列、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）列出在区间内的偶数，根据偶数列的概念即可求解； （2）找出在区间内的偶数，求出数列的通项公式，利用等比数列的定义即可证明； （3）利用等差数列的基本量求出，可得，可得，利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）解：在区间内的偶数为2，4，6，8，10， 共有5个，则． （2）证明：在区间内的偶数为， 则． 因为， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （3）解：设等差数列的公差为，则， 所以， 所以． 由（2）知，，则， ①， 则②， 所以①-②可得： ， 故． 4．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知数列的前项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前项和为； ①求； ②若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（结果可保留幂的形式） 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【难度】0.4 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用的关系结合等差数列的定义可得； （2）①先由等差数列的性质求出的通项，再由错位相减法求和可得； ②先分离参数，然后构造数列，利用单调性法求出其最大值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，所以， 所以是公差为1的等差数列； （2）①因为，所以，所以， ， ， ， 两式相减得， ， ． ②对任意的恒成立， 所以则对任意的恒成立， 令； 所以， 则当时，为递增数列，； 当时，； 当时，为递减数列，. 当或6时，，故． 5．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】由定义判定等比数列、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）由已知构造数列后由等比数列的性质可得； （2）由错位相减法求和可得. 【详解】（1）因数列满足， 所以， 因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，所以. （2）由（1）知， 所以， 则， 以上两式相减，得 ， 所以. 6．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知数列中，. (1)求； (2)证明：为等差数列； (3)求的前项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）由递推关系代入可得； （2）由已知递推代入仿写后，由等差数列的性质可得； （3）由错位相减法求和可得. 【详解】（1）因为，. 所以，即， 所以即. （2）证明：因为， 所以， 又， 所以数列为首项为，公差为2的等差数列. （3）由（2）得 所以， 则， 所以， 所以 ， 所以. 7．（24-25高二下·广东·阶段练习）在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出首项、公差即可； （2）由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 所以 解得，， 故的通项公式为． （2）因为， 所以，① ，② ①-②得 ， 故． 8．（2025·辽宁·二模）记数列的前项和为，已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）利用和等比数列的定义即可求证； （2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解； （3）利用错位相减法和分组求和即可求解. 【详解】（1）因为， 所以当时，； 当时，， 所以， 即， 又， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）得 所以． （3）由（2）得， 记，① 则，② 由①－②得 所以， 所以． 9．（2025·陕西西安·模拟预测）已知数列的前n项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和 【分析】（1）利用与的关系先表示出，再代入原式变形，然后根据等差数列的定义证明即可； （2）先求出的解析式，再利用错位相减法求数列的前n项和即可. 【详解】（1）因为，又因为， 所以，即， 两边同时除以可得，， 即，所以. 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可知，所以. 所以， ， 所以 ， 所以. 10．（2025·湖南长沙·二模）已知数列的首项，的前项和为且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和 【分析】（1）由题意将题给等式变形为，则根据等差数列的定义可证明数列是等差数列； （2）由（1）先求出数列的通项公式，从而求得数列的前n项和，再根据可求出，从而求出的通项公式，最后利用错位相减法求出的前项和. 【详解】（1）证明：因为，所以， 又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列. （2）由（1）可得，所以， 当时， 所以， 当时也成立，所以，所以， 因，① ，② ②-①得，③ 则，④ ③-④得 所以. 11．（24-25高二下·广东·期中）已知数列满足， (1)探究数列的单调性； (2)求数列的前n项和 【答案】(1)当时，单调递增；当时，单调递减 (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列的单调性、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据等比数列的定义写出通项公式，再应用作差法判断数列的单调性； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求 【详解】（1）因为，且， 所以数列是首项为、公比为的等比数列， 故，即，且， 易得时，，即，数列单调递增， 时，，即，数列单调递减. （2）由（1）可得，所以，， 两式相减得， 所以 12．（24-25高二下·四川广安·阶段练习）已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列；． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前项的和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）由已知条件列方程组求出和，可求数列的通项公式； （2）求出数列的通项，利用错位相减法求和. 【详解】（1）由题意，可得，即， 解得或，又， ，所以. （2）由（1）得，所以， 则， 有， 两式相减得， ， . 13．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知等比数列的前项和为，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、等比数列前n项和的基本量计算、求等比数列前n项和、等差中项的应用 【分析】（1）先分析知，然后利用等比数列的求和公式列式求得，再利用等差中项性质列式求得，即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 当时，，即，解得，显然不合题意，故， 因为，所以，所以，解得， 又是与的等差中项，所以，所以， 所以，所以； （2）由（1）知， 则， ， 所以， ，则. 14．（2025·天津河东·二模）设是公差d为的等差数列，是公比为q的等比数列，，，，，. (1)求数列与的通项公式及； (2)落在区间之内的项的个数为，. （ⅰ）求，及数列的通项公式； （ⅱ）求. 【答案】(1)，， (2)（i），，；（ii） 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式及等差数列求和公式计算即可； （2）（ⅰ）根据第一问结论依次表示，即可，利用数字的规律找出区间中整除3余1的个数即可；（ii）利用错位相减法计算求和即可. 【详解】（1）设，，，， 由已知，， 所以， 所以， 所以，，所以， 又因为， 所以，所以， 所以，， 所以； （2）（ⅰ）由已知，在此区间内，∴， 因为， 所以即为， ∴. ， 所以即为， 所以，所以， 所以数列的通项公式为. （ⅱ）记， ①， ②， ①-②为， ， . 【题型三：裂项相消法求和 】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，若，则数列的前16项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和 【分析】根据已知等式通过作差法求出数列的通项公式，再对进行裂项，最后利用裂项相消法求出数列的前项和. 【详解】根据的关系求出，然后使用裂项相消法可得. ①， 当时，， 当时，②， ①-②得，所以， 显然也满足上式，所以，所以， 记数列的前项和为，则 故选：A 2．（24-25高二下·辽宁·期中）若数列满足（且），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】利用递推思想，结合累加法和裂项相消法即可求解. 【详解】由，可得： ，累计可得：， 故选：D. 3．（2025·河北·模拟预测）已知函数为函数的正零点，若（表示不超过的最大整数），则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、函数新定义 【分析】由二次函数的性质可得正零点在区间上，即可得到，再由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】是关于的二次函数，其对称轴为， 因为，且在区间上单调递增， 所以正零点一定在区间上， 又因为， 所以，所以， 则，故. 故选：A． 4．（2025·山东·模拟预测）记正项数列的前项和为，已知. (1)求，； (2)证明：是等差数列； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）根据给定的递推公式，依次代入计算得解. （2）由结合已知推理即得. （3）由（2）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）在正项数列中，， 令，得，解得，负值舍去； 令，得，即，则， 所以，负值舍去’ （2）当时，，而，则， 即，又， 所以是首项为2，公差为2的等差数列. （3）由（2）知，可得， 则， 所以. 5.（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知数列的首项为1，其前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式. (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）首先根据时，利用公式，得到关于数列的递推关系式，再通过构造证明数列是等差数列，即可求通项公式； （2）根据（1）的结果，将通项放缩为，，再相消求和. 【详解】（1），① 当时，，② ①-②，得， 两边同时除以，得. 当时，. ， ，解得， 此时，也满足， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. （2）证明：当时，， 当时，， ， 6．（24-25高二下·河北·期中）数列满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）方法一直接利用等差数列的定义判断等差数列，方法二对原递推式合理变形，再利用等差数列的定义判断等差数列即可. （2）利用给定的递推式求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）方法一：因为，且，， 所以 故是首项为，公差为1的等差数列. 方法二：由题意得（），同除以得， 因为，， 所以，且， 故是首项为，公差为1的等差数列. （2）由题意得是从开始的等差数列， 则，即， 得到， 则， 而， . 7．（2025·重庆·三模）已知数列是首项为2的正项等比数列.又构成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足.令.求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据构成等差数列列式计算即可求解； （2）利用退位相减法求得，即，再根据裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为构成等差数列， 所以，即，解得或（不符合题意舍去）， 所以； （2）令， 当时，， 当时，， 显然时也满足上式， 因为，所以， 所以， 所以. 8．（24-25高二下·江西上饶·阶段练习）已知正项数列满足，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列的定义写出的通项，在通过赋值求出，进而可求； （2）运用裂项的方法求解即可. 【详解】（1）由题可知是以1为首项、为公差的等差数列， 故， 令，有， 即，解得. 代入得，即. （2）由（1）可得， 故 . 9．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设数列满足，；正项数列满足，． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列、的通项公式； (3)设是数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）由递推公式通过构造得到，即可求证； （2）由（1）可求，由，通过因式分解得到，即可求解； （3）通过裂项相消法求和，进而可求证. 【详解】（1）证明：由得 进而 又 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列 （2）由（1）得 所以 由得， 因为，所以 又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以 （3） 所以 因为，所以 易知是关于的增函数，所以 综上 10．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）已知数列是递增的等比数列且 (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）设公比为，依题列方程组，求解即得的值，即可写出通项公式； （2）由（1）求得，代入，化简裂项得，求和得，利用数列的增减性即可求得实数的最大值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，依题意得：， 由，解得或，回代入方程组，可得或， 因数列是递增数列，故，则数列的通项公式为. （2）由（1）可得，， 则， 于是，， 因在上单调递增，故， 因不等式对任意的恒成立， 所以的最大值为. 11．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知函数. (1)当为奇数时，证明：的图象关于点对称； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、裂项相消法求和 【分析】（1）依据函数的性质，通过对进行化简，结合为奇数这一条件，判断函数的对称性. （2）对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而分析函数的最值情况，从而确定满足时的取值范围. （3）利用已知不等式对进行放缩，然后通过裂项相消法对数列求和，进而证明不等式. 【详解】（1）由题得. 因为为奇数， 所以. 即. 所以的图象关于点对称. （2）令. 则. ①当时，显然有. 所以成立； ②当时， 当时，因为， 所以， 即在区间上单调递减， 所以当时，. 即， 所以，不满足题意； ③当时， 当时，因为， 所以， 即在区间上单调递增， 当时，，即. 当时，因为， 所以，即在区间上单调递减， 所以的最大值为. 所以，即. 所以，符合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，. 因为. 显然，且. 所以. 当时，显然成立； 当时，因为. 所以. 即 . 综上，当时， 12．（湖南省天壹T8联盟2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题）已知等比数列的各项均为正数，首项为其前项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）利用和表示出已知等式，进而求得公比，根据等比数列通项公式得到结果； （2）根据（1）的结论可整理得到，采用裂项相消法求得结果. 【详解】（1）设等比数列由的公比为，且， 因为，则，即， 又，上式整理得，解得或 （舍去）， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则， . 13．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知数列的前项和为，，对，都有． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列的前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据与的关系计算可得，结合累乘法运算即可求解； （2）利用（1）中结论，得，再利用裂项相消法求和可得结果. 【详解】（1）由，得 当时，， 两式相减可得，，即，所以， 所以，即， 因为，所以， 而也满足， 故数列的通项公式为. （2）由（1）知，故， . 14．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等差数列求和公式基本量运算求解； （2）（ⅰ）根据已知化简再应用等比数列求和公式求解即可；（ⅱ）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）设首项为，公差为， 由题意得解得， 所以． （2）（ⅰ）由（1）知， 因为， 所以 ， 所以． 所以， 所以． （ⅱ）因为 ， 所以 ． 15．（24-25高二下·黑龙江·期中）已知等差数列的前n项和为，满足，． (1)求数列的通项公式． (2)求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、放缩法 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项公式求出首项和公差即可得解； （2）根据，利用裂项相消法求和，即可得证. 【详解】（1）等差数列中，设公差为， ， ， 所以，故； （2）， 当时，成立； 当时，， 所以成立. 16．（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项求和公式建立方程组，解之即可求解； （2）由（1）可得，进而，结合裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以. （2）由（1）知，则， 所以， 所以. 17．（24-25高二下·四川内江·期中）已知数列中，，且满足． (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）由题意，可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解； （3）由（2）可得，利用裂项相消求和法可得，结合作差法即可证明. 【详解】（1）由题意知，所以， 由于，故， 故， 故数列是以3为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1）知，数列是以3为首项，公比为3的等比数列， 所以，故 （3）由（2）知．， 所以，- 故 由于，故， 18．（2025·江西·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）由于数列满足，且．可得，再利用等比数列的通项公式即可得出． （2）由，得到，利用“裂项求和”即可得出． 【详解】（1）由，变形可得 因为，所以数列是以1为首项、2为公比的等比数列， 故，即. （2）因为，由（1）知， 所以， 故 【题型四： 分组并项法求和 】 1．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】由题意可得数列的前项和，数列的前项和，利用，可求解. 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 2．（2025·福建泉州·模拟预测）已知数列满足，，，则的第2025项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由余弦（型）函数的周期性求值、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据已知及递推关系得、，再依次写出，应用等比数列前n项和公式及余弦函数的周期性求值即可. 【详解】由，则，可得，且， 所以，，，，， 所以 . 故选：B 3．（2025·福建三明·三模）若数列满足，，则（    ） A．155 B．156 C．203 D．204 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和 【分析】由，可以得到奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，再由，利用合并项求出 【详解】由，则， 故奇数项成等差数列，偶数项成等差数列， 由，则，， 则， 故 . 故选：A 4．（2025·江苏·三模）设，数列为等比数列，数列是公差不为零的等差数列，且，，，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，由题意得出，可得出，进而可得出关于的方程，结合可得出的值，进而可求出的值，可得出这两个数列的通项公式，再利用分组求和法可求得数列的前项和. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中， 由题意，即，即，整理得， 因为，所以，故， 所以，则，故， 又因为, 所以数列的前项和为 . 故选：A. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为．若表示不超过的最大整数，则（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】首先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而可求出该等差数列的通项公式和前项和，然后求出的表达式，最后判断的值. 【详解】因为数列是等差数列，所以由 可得解得， 故． 根据设问所求，可知， 故当时，， 当时，， 所以． 故选：A. 6．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知数列满足，，记，则数列的前100项的和为（   ） A． B．25 C． D．50 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】先由递推关系式得到数列的周期为2，再利用并项求和法计算前100项的和即可. 【详解】由题意得，，，，，…，所以数列的周期为2， 所以数列的前100项的和为． 故选：B 7．（2025高三·全国·专题练习）已知，为的前项之和，则的值为（    ） A．3023 B．3024 C．3025 D．3026 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项、数列求和的其他方法 【分析】利用时，进行求和或利用数列求和的立方和公式求解. 【详解】方法一、当时，易知，所以． 方法二、由， 所以. 故选：C． 7．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足，，，数列满足，则数列的前1011项的和 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、分组（并项）法求和 【分析】由题意可得数列是等比数列，求得通项公式，进而可得，利用并项求和法求解即可. 【详解】因为，所以数列是等比数列，设数列的公比为， 又因为，，所以，解得，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 8．（24-25高二下·吉林长春·期中）已知数列满足，在之间插入个，连同的项构成数列，则数列的前200项的和为 . 【答案】813 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】根据递推公式和等差数列的定义与通项公式可得，进而可知数列的前200项的和为前18组所有数的和加上第19组前11个数的和，记，求出插入的所有项的和即可. 【详解】依题意， 即，整理得， 所以，即， 则为公差为4的等差数列，所以.的前项的和为, 记连同后面插入的个为1组，则第组有个数， 由于， 当时，当时， 所以数列的前200项的和为前18组所有数的和加上第19组前11个数的和， 数列前200项中的项有19项，这19项的和为， 记，当为奇数时，当为偶数时， 则插入的所有项的和为， 所以数列的前200项的和为. 故答案为：813 9．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列是首项为2且公差不为0的等差数列，为和的等比中项，记数列的前项和为. (1)求和； (2)设，求数列的前2022项的和. 【答案】(1)， (2)-1011 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项的性质求出公差，进而得到和； （2）先求出的表达式，再分析数列的前2022项和的规律进行计算. 【详解】（1）因为为和的等比中项，所以， 又因为数列是首项为2且公差不为0的等差数列，则，所以，，. （2）因为 所以数列的前2022项的和为： . 10．（2025·广东广州·三模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，去掉数列中的第项，余下的项顺序不变，构成新数列，写出数列的前4项并求的前项和； 【答案】(1)； (2)3，9，81，243； 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由等比中项和等差中项的性质，及等比数列和等差数列的通项公式可得结果； （2）由分组求和法计算. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得： ， 又，，解得， 所以，； （2）由（1）得， 去掉第项后，前4项依次为3，9，81，243， ， 综上，. 11．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知正项数列的首项为7，且，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）对于，由变形因式分解，结合得出，确定是等差数列求通项；对于，用项和与项和作差得，再验证首项． （2）已知，是其前项和，分别用等差数列和等比数列求和公式计算． （3）先对裂项相消求出，找到最小值，再根据恒大于等于，解关于的不等式． 【详解】（1）（1）因为，所以． 因为，所以，即． 又，所以是首项为7，公差为3的等差数列． 因为，① 所以当时，，② ①-②得也满足． 故的通项公式为的通项公式为． （2）由（1）知， 所以 （3）因为， 所以， 当时，取得最小值． 因为对任意恒成立，所以， 整理得，解得． 12．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列. (1)求数列，的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差中项的应用、写出等比数列的通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据等差数列的定义写出的通项公式，由等差中项的性质有，应用等比数列的通项公式求公比，进而确定的通项公式； （2）应用分组求和，结合等差、等比前n项和公式求. 【详解】（1）因为，又， 故是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 又，，成等差数列，故， 设的公比为，其中，则，解得或 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，舍去， 综上，，； （2）由（1）， . 13．（2025·贵州黔东南·三模）已知等差数列的前n项和为，等比数列的首项为2，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项的和． 【答案】(1), (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】(1)根据等差数列通项公式和前n项和的公式,求出公差,在求出等比数列公比,求出两个数列的通项公式. (2)采用分组求和的方式,分为两个部分,分别求和. 【详解】（1）设等差数列公差为,根据题意得,解得 所以, 可知, 设等比数列的公比为,带入得,解得, 可知. （2）有第一问可知,,则. 分组得 计算, 计算 则. 【题型五：奇偶项求和 】 1．（24-25高二下·湖北·阶段练习）设是等差数列，数列的前项和为，满足，且，，. (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3). 【难度】0.4 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、错位相减法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据，得到为公比为3的等比数列，求出的通项公式，进而得到的首项和公差，得到通项公式； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）求参数的范围，可以采用分离参数的方法，求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【详解】（1）当时，，解得， ，当时，， 上面两式相减得，故， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列，故， 所以，， 设的公差为，则，解得， 故， 故，． （2）当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得：， ， ， 当为偶数时，， 记 ， ． （3）由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，先求出的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 2.（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)已知，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】数列不等式能成立（有解）问题、分组（并项）法求和、错位相减法求和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据已知条件可求出等差数列的公差的值，结合等差数列的通项公式可求出的表达式，设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出等比数列的通项公式； （2）分别利用裂项求和法、错位相减法求出数列的前项中的奇数项、偶数项的和，即可得出； （3）分析可知，集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，、进行讨论，推出矛盾，可得出，然后利用不等式的基本性质可得出解的个数，即可得出数列的通项公式. 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，该数列的公差为， 所以，， 设等比数列的公比为， 由可得，解得，则. （2）当为奇数时，， 设数列奇数项的和为， 则. 当为偶数时，，设数列的偶数项的和为， 则， 可得， 上述两个等式作差得 ， 整理可得， 所以，. （3）集合中元素个数等价于满足的不同解的个数， 若，则，与已知矛盾； 若，则，与已知矛盾，所以，， 又因为， 所以，， 即、、、、，共个解，故. 3．（2025·天津河北·二模）设数列是等差数列，是等比数列．已知． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，数列的前n项积为，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据等差和等比数列通项公式得到方程组，解出即可； （2）为奇数时，求得，为偶数时，利用错位相减法得，最后相加即可； （3），利用作差法得其单调性，即可证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，所以， 所以． （2）为奇数时，， ， 为偶数时，， ， 所以 所以． （3），， 当时，； 当时，即 又， 所以，当时，， 所以． 4．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知数列的前项和为，且． (1)求、、的值． (2)求数列的通项． (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项、由Sn求通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据递推公式代入计算求解； （2）分奇偶两种情况，当为奇数时，当为偶数时，应用分别求出通项公式； （3）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由条件知， ，． （2）当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列 （3）由题可知，所以， 所以数列的前项和为 【题型六： 数列求和和函数的综合应用 】 1．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数共有个交点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、倒序相加法求和 【分析】由题意可得的图象关于点对称，函数的图象也关于对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数满足， 的图象关于点对称， 而， 所以函数的图象也关于对称， 设 令，则， ， 令，则， ， ， 故选：C 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正项数列是公比不等于1的等比数列，且，若，则等于（   ） A．2022 B．4036 C．2023 D．4038 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】根据题意结合等比数列的性质可得，根据函数解析式可得，利用倒序相加法运算求解. 【详解】因为正项数列是公比不等于1的等比数列， 且，则，即， 结合等比数列性质可得， 又因为函数，则， 令，则， 可得， 所以． 故选：C. 3．（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】先由得，再由等比中项的性质得， 再得定值，直接代入求和即可. 【详解】由数列是公比为的正项等比数列，故， 因为，故， 即有， 由，则当时， 有， 设， ， ，， 故． 故选：. 4．（2024高三·上海·专题练习）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等比数列下标和性质及应用、倒序相加法求和 【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件，利用倒序相加法，求和即可． 【详解】等比数列满足，则， 函数， ， 所以， 所以． 故选：A． 5．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4069 B．2023 C．2024 D．4046 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等比中项的应用、倒序相加法求和 【分析】由等比数列的性质可得，由，可得，故有，即可计算. 【详解】由数列是公比为q（）的正项等比数列，故， ，故， 即有， 由，则当时， 有， 故， 故， 故. 故选：D. 6．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，其前项和为，设函数，则（    ） A．0 B．1 C．1012 D．2024 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】倒序相加法求和、裂项相消法求和 【分析】由可得，从而可得，又由可得，从而利用倒序求和法即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为， 所以，，…，，以上各式相加， . 故选：C 7．（2025·四川德阳·二模）已知数列前项和为，满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)令，讨论与的大小关系； (3)对任意正整数恒成立，求正整数的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)2. 【难度】0.4 【知识点】导数的运算法则、利用导数研究不等式恒成立问题、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据可得时，两式相减结合构造法可得数列为等比数列，由此可计算数列的通项公式. （2）求导，得到，利用错位相减法计算，讨论n的取值范围即可得到与的大小关系. （3）构造函数，结合导数可得，则，累加后，结合对数运算即可得解. 【详解】（1）时，，所以， 因为，所以时，， ， 又成立， 所以对成立， 所以数列为以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. （2）因为， ， ， ， ， 令， ， 则， 所以，故， 所以 所以当时，，当时，， ， 单调递增，. （3）令，则， 令，则，令，则， 故在单调递减，单调递增，则， 所以（当且仅当时取等号）， 则， 所以， 所以， ， ， 设，则， 则单调递增，又因为， 所以正整数的最小值为2． 【点睛】方法点睛：解决本题的重点是构造函数，结合导数进行放缩，在导数中重要的放缩不等式有:等. 【题型七：由数列求和求相关参数问题 】 1．（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和 【分析】由题意可得是以为首项，2为公比的等比数列，从而可得，利用错位相减法可求得，可求解. 【详解】因为，所以，又，所以， 所以，所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 所以 所以， 所以， 所以，又，， 所以使得成立的最小整数为. 故选：B. 2．（24-25高三上·河北邢台·期末）若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为． (1)当时，证明：． (2)当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值； (3)当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】累加法求数列通项、错位相减法求和、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由已知可得，由累加法可证结论； （2）由累加法可求得，进而可得，结合已知可得，参变分离可求的最大值． （3）由（2）可得，进而利用错位相减法可求得，当为奇数时，可得，当为偶数时，可得，进而可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则． 当时，，满足， 故，当且仅当时，等号成立． （2）因为， 所以， 当时，满足上式，则． 因为，所以， 整理得． 因为，所以． 因为，所以当且仅当时，等号成立．因为，所以． （3）由（2）可得， 则． 设， 则， 所以， 所以，即． 因为对任意的，都有， 所以，即． 当为奇数时，，所以， 易证为递减数列，则； 当为偶数时，，所以， 易证为递增数列，则． 综上，的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：对于第三问，关键在于利用错位相法求得，进而分类讨论可得或，分类讨论是种常用方法. 【题型八：新定义问题 】 1．（2024·天津·二模）已知为等差数列，是公比为2的等比数列．，且． (1)求数列和的通项公式； (2)若 ①当为奇数，求； ②求． 【答案】(1) (2)① ；② 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、倒序相加法求和、错位相减法求和 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式列方程求解； （2）①利用条件直接求解；②求出当为偶数时，然后利用倒序相加以及错位相减法求和即可. 【详解】（1）设数列的公差为的公比为， 由已知可得，得， ； （2）①为奇数，为偶数．      ； ②当为偶数，为奇数， 令， ， 即， ， 所以 所以 所以 所以. 2．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”． (1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由． (2)若为“上凸数列”，则当时，． （ⅰ）若数列为的前项和，证明：； （ⅱ）对于任意正整数序列（为常数且），若恒成立，求的最小值． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、倒序相加法求和、数列新定义、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）构造函数，利用导数研究其单调性结合“上凸数列”定义判定即可； （2）（ⅰ）利用“上凸数列”定义及倒序相加法证明即可；令，利用条件及数列求和适当放缩计算即可. 【详解】（1）是“上凸数列”，理由如下： 因为， 令， 则． 当时，， 所以， 所以在区间上单调递减， 所以， 所以， 所以是“上凸数列”． （2）（ⅰ）证明：因为是“上凸数列”，由题意可得对任意， ， 所以， 所以． （ⅱ）解：令， 由（1）可得当时，是“上凸数列”， 由题意可知，当时，． 因为， 即 ． 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以． 综上所述，的最小值为． 3．（2025·安徽安庆·二模）定义在同一数集上的函数，按一定顺序排成一列，称为数集上的函数列，记为的导函数为. (1)若满足，证明：为等比数列： (2)定义在上的函数列满足，且. ①若，设，证明：： ②若，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【难度】0.4 【知识点】错位相减法求和、求等比数列前n项和、等比数列的定义、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，然后利用等比数列的定义证明即可； （2）①构造函数，求导，结合条件判断其单调性，得出，然后错位相减法即可完成证明； ②利用①构造的函数得出，然后证明即可. 【详解】（1）由，得，显然， 又，故为首项为1，公比为2的等比数列. （2）① 设，则， 因为时，所以在恒成立， 故在上单调递增， 当， 得，故， 令， 则， 故，由于， 得； ②当时，左边右边都等于0，显然成立； 当时，由于在上单调递增， 若，则，即， 此时，由①得，所以， 若，则，即， 此时，所以，故， 下证：当，且时，，令， 即证明：. 令，故在上单调递减， 故时，，即， 时，，即， 从而， 故. 4．（24-25高二下·广东·期中）设是等差数列，是等比数列，满足，，且，． (1)求与的通项公式； (2)设，在平面直角坐标系中，依次连接点，，，得到折线，求由该折线与直线，，所围成的区域的面积． 【答案】(1)，． (2)． 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和 【分析】（1）设等差数列的公差为根据条件列出关于的关系式，求解即可求出，再根据、即可求出数列的公比和首项； （2）记梯形的面积为，则，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得，即， 由，得， 解得，，故， 所以，，从而等比数列的公比， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列，故， 故，． （2）过，，，，向轴作垂线，垂足分别为，，，，， 由（1）得，则， 记梯形的面积为， 则由题意可得，， 所以 则， 两式相减得， ， 得． 故由折线与直线，，所围成的区域的面积. 5．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. (1)若a=3，b=4，求S₆的值; (2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】数列求和的其他方法 【分析】（1）利用“隙积术”， 代入公式直接计算. （2）用表示，再利用公式建立方程并求出正整数解即可. （3）求出第所放物体数，再将各层物体数乘以2，利用“隙积术”求解即可. 【详解】（1）依题意，，则， 所以. （2）依愿意，， 由给出的公式，得， 即，整理得， 而为正整数，又，则， 而，则是30的正约数，因此或， 或，所以. （3）依题意，第所放物体个数为， 从上往下n层三角垛，将每层所放物体数乘以2， 从上往下各层物体数依次为：，物体总数为， 此时，项数为， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：正确理解“隙积术”的意义，确定公式中的各量是求解的关键. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$