第11讲角的概念推广与弧度制 课件-2025年安徽省职教高考数学总复习

第11讲　角的概念推广与弧度制 思维导图 构建 2 能力层级 考试内容　　　 了解 理解 掌握   角的概念 推广 正角、负角、零角、象限角、界限角的概念. (2024，T55) 表示终边相同角的集合. (2023，T42；2022，T33) 象限角、界限角的特征及表示方法. 弧度制 1rad的定义及弧度制.   角度制与弧度制的互化. 弧长与面积公式 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.     解读 考纲考情 3 复习建议： 1.考情小结：本讲内容在2022、2023、2024年高考中独立出现，分值4分，它是学习三角函数的基础，特别是弧度，很多学生不熟练.建议同学们熟练掌握各个象限的特殊角. 2.备考攻略：在复习此讲的时候，要求同学们转变思维，角的定义和弧度制与初中既有联系，又有区别. 解读 考纲考情 1.正角、负角、零角的概念 定义：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角称为负角，按逆时针方向旋转形成的角称为正角，当射线未做任何旋转时，这个角称为零角. 备考讲义 考点1 角的概念推广 核心考点 探究 5 2.象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角. 3.界限角：如果角的终边落在坐标轴上，那么这个角就称为界限角. 核心考点 探究 例1　 (2024·安徽职教高考真题)若α是第二象限角，则π＋α是 (　　　) A.第一象限角　　　　 B.第二象限角　　　　 C.第三象限角　　　　 D.第四象限角 【答案】 D 【试题分析】 本题考查象限角这一知识点.解题时注意写对第二象限角的取值范围. 【解题过程】 由题意，得2kπ＋＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，2kπ＋＜π＋α＜2kπ＋2π(k∈Z)，所以π＋α是第四象限角，故选D. 核心考点 探究 例2　下列说法正确的是(　　　) A.一个小时，分针走了360° B.－185°是第三象限角 C.钝角比锐角大 D.第二象限角都大于90° 【答案】 C 【试题分析】 本题考查角的概念.解题时首先知道正角、负角、零角和象限角的概念，然后结合A、B、C、D选项采取排除法即可选出正确答案. 核心考点 探究 【解题过程】 A项时钟中，时分秒针旋转是顺时针方向，所以一个小时，分针走了－360°，A项错误；B项－185°是顺时针方向旋转，它是第二象限角，B项错误；C项锐角的范围是0°＜α＜90°，钝角的范围是90°＜α＜180°，C项正确；D项第二象限角可以是正角也可以是负角，D项错误，故选C. 核心考点 探究 跟踪训练1　(原创)下列关于角的概念理解正确的是(　　　) A.540°不是界限角 B.第一象限角都是锐角 C.－175°是第二象限角 D.正角、负角可以是同一象限角 D 【试题分析】 本题考查角的概念，解题时首先知道正角、负角、 零角和界限角、象限角的概念. 【解题过程】 A项540°＝360°＋180°，它是x轴负半轴的角， A项错误；B项第一象限角可以是正角，也可以是负角，大小不 确定，B项错误；C项－175°是第三象限角，C项错误，故选D. 核心考点 探究 所有与α角终边相同的角有无数个，与角α终边相同的角β组成的集合是： {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}. 备考讲义 考点2 终边相同的角 核心考点 探究 例3　将下列角转化为α＋k·360°(k∈Z且0°＜α＜360°)的形式，并指出它们是第几象限角. (1)－1 720°；(2)3 820°. 【试题分析】 本题考查终边相同角的集合公式{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的应用.第一要确定k的大小，第二要满足：0°＜α＜360°. 核心考点 探究 【解题过程】 (1)－1 720°＝80°＋360°×(－5)，所以它与80°角终边相同，它是第一象限角； (2)3 820°＝220°＋360°×10，所以它与220°角终边相同，它是第三象限角. 核心考点 探究 跟踪训练2　(原创)下列说法正确的是(　　　) A.－36°与684°终边相同 B.α＝－30°＋k·180°，k∈Z，则α是第四象限角 C.2 024°角是第四象限角 D.终边在x轴上的角的集合是{α|α＝k·360°，k∈Z} A 【试题分析】 本题考查终边相同角的集合的理解和应用，解题时，对k取特殊值. 核心考点 探究 【解题过程】 A项684°－(－36°)＝720°，A项正确；B项k＝1时，α＝150°，它是第二象限角，B项错误；C项2 024°＝224°＋5×360°，它是第三象限角，C项错误；D项终边在x轴上的角的集合是{α|α＝k·180°，k∈Z}，D项错误，故选A. 核心考点 探究 1.弧度与弧度制 把等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度角，记作：“1弧度”或“1rad”.以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零. 角α的弧度数的绝对值等于弧长l与半径r的比，即rad. 备考讲义 考点3 弧度的定义及角度与弧度的互化 核心考点 探究 2.角度与弧度的互化 1°＝ rad≈0.017 45 rad，1 rad＝°≈57.3°. 核心考点 探究 例4　把下列各角的弧度制化为角度制，角度制化为弧度制. (1)；(2)3；(3)－165°. 【试题分析】 本题考查角度与弧度的互化.熟悉角度与弧度的互化公式：1°＝ rad，1 rad＝°. 【解题过程】 (1) rad＝×180°＝315°；(2)3 rad＝3×°＝°；(3)－165°＝－165×＝－ rad. 核心考点 探究 跟踪训练3　(原创)下列转化结果错误的是(　　　) A.60°化为弧度是 B.化为角是600° C.－150°化为弧度是－ D.化为角度是15° C 【试题分析】 本题考查角度与弧度的互化，利用公式1°＝rad，1rad＝°. 【解题过程】 C项：－150°×＝－，C项错误，故选C. 核心考点 探究 由 rad，得弧长公式l＝r，扇形的面积公式为： S扇形＝lr＝r2.  备考讲义 考点4 弧长公式和扇形的面积公式 核心考点 探究 例5　已知扇形的圆心角为120°，半径为，求此扇形的面积. 【试题分析】 本题考查扇形的面积公式.首先把角度化为弧度，再应用公式：S扇形＝lr＝r2. 【解题过程】 因为120°＝，所以S扇形＝r2＝××3 ＝π. 核心考点 探究 跟踪训练4　已知扇形的面积为，半径是1，求扇形的圆心角. α＝ 【试题分析】 本题考查扇形的面积公式，由面积和半径确定圆心角. 【解题过程】 由S扇形＝lr＝|α|r2＝×|α|×1＝⇒α＝. 核心考点 探究 1.由终边相同角组成的集合{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}可知：若β－α＝2kπ，k∈Z，那么它们终边相同. 2.在解答题过程中，角度与弧度不能混用. 3.熟练掌握特殊的角度数与弧度数之间的换算(见下表). 象限   第一象限角   第二象限角   第三象限角   第四象限角   度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° －60° －45° －30° 360° 弧度 0 π － － － 2π 归纳 常用结论 23 1.(2023·安徽职教高考真题)角2 023°的终边在(　　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 【试题分析】 本题考查终边相同角的集合. 【解题过程】 因为2023°＝223°＋5×360°，223°在第三象限，故角2023°的终边在第三象限，故选C. 拓展 教材母题 1 2 3 4 5 6 7 24 2.(原创)若角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 (　　　) A.α＝β B.β＝α＋2kπ，k∈Z C.α＋β＝0 D.β＝α＋kπ，k∈Z D 【试题分析】 本题考查终边相同角的集合的理解，解题时首先根据两角终边的位置关系确定正确答案. 【解题过程】 因为角α与β的终边关于原点对称，所以β－α＝kπ，k∈Z，故选D. 拓展 教材母题 1 2 3 4 5 6 7 25 3.(改编)已知角α是锐角且4α是第一象限角，求角α的范围. 0＜α＜ 【试题分析】 本题考查角的概念，由α与4α的范围解出角α的范围即可. 【解题过程】 角α是锐角，0＜α＜，0＜4α＜2π，因为0＜4α＜，所以0＜α＜. 拓展 教材母题 1 2 3 4 5 6 7 26 4.(改编)若α是第四象限角，则是(　　　) A.第一、二象限角 B.第二、三象限角 C.第三、四象限角 D.第二、四象限角 D 【试题分析】 本题考查象限角的范围，首先写出α的范围，再讨论的情况. 拓展 教材母题 1 2 3 4 5 6 7 27 【解题过程】 因为α是第四象限角，所以＋2kπ＜α＜2π＋2kπ，k∈Z. 所以＋kπ＜＜π＋kπ，k∈Z，因为当k＝2n(n∈Z)时，＋2nπ＜＜π＋2nπ， 所以是第二象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，＋2nπ＜＜2π＋2nπ，即是第四象限角，所以为第二或第四象限角，故选D. 拓展 教材母题 1 2 3 4 5 6 7 $$