专题04 立体几何初步10大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（青海专用）

专题04 立体几何初步 题型概览 题型06 空间中的距离 题型01基本立体图形 题型07 空间角 题型02立体图形的直观图 题型03简单几何体的表面积与体积 题型01 立体几何综合问题 题型04空间点、线、面的位置关系 题型02 几何体的内切球与外接球 题型05空间中的平行 题型03立体几何中的最值问题 基本立体图形题型01 1. （23-24高一下·西宁市·期末）已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是（ ） A. 12 B. 18 C. 22 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】由棱锥的结构特点即可判断。 【详解】因为棱锥有12个面， 所以该棱锥为十一棱锥，则该棱锥的棱的条数是22． 故选:C. 2. （23-24高一下·西宁市·期末）下列说法中错误的是（ ） A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 【答案】C 【解析】 【分析】由棱台圆台和旋转体的结构特征，圆柱母线的定义，对选项进行判断. 【详解】由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确； 由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确； 直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥， 是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误； 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线， 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确. 故选：C 3. （23-24高一下·海西州·期末）下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱的轴截面是矩形 B. 圆锥的轴截面是等腰三角形 C. 所有空间几何体都是多面体 D. 有些三棱锥的四个面都是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由圆柱的性质判断，对于B，由圆锥的性质判断，对于D，举例判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，圆柱的轴截面是矩形，所以A正确， 对于B，圆锥的轴截面是等腰三角形，所以B正确， 对于C，因为旋转体不多面体，所以C项不正确， 对于D，如图，三棱锥中，当平面时，， 当平面时，， 所以均为直角三角形，所以D正确. 故选：C 4. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 圆台 D. 球 【答案】A 【解析】 【分析】由圆锥的定义即可求解 【详解】由圆锥的定义可得直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为圆锥 故选：A 5. （23-24高一下·西宁市·期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求. 【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得. 故选：B 立体图形的直观图题型02 6. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形， ∵是等腰直角三角形，，斜边， ∴， ∴， ∴原平面图形的面积是. 故选：A． 7. （23-24高一下·海南州·期末）如图，已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图即四边形，则四边形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】画出菱形的平面直观图，计算平面直观图的面积即可. 【详解】画出菱形的平面直观图，如图四边形所示： 在菱形中，，在四边形中，，， 所以四边形的面积为. 故答案为： 简单几何体的表面积与体积题型03 8. （23-24高一下·海南州·期末）如图，在梯形中，，，，，，以所在直线为轴将梯形旋转一周，所得的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易得旋转形成的几何体为圆台，结合圆台体积公式计算即可得. 【详解】易得旋转形成的几何体为圆台， 所以. 故选：C. 9. （23-24高一下·西宁市·期末）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，设和的外接圆的圆心，分别在，上，过，分别作两个半平面的垂线，交于，可得为三棱锥的外接球的球心，且可得，由等边三角形的边长为2，可得，及的值，进而求出外接球的半径的值，再求出外接球的表面积． 【详解】由题意如图所示：设为的中点，连接，设，分别为，的外接圆的圆心， 过，分别作两个半平面的垂线，交于，则可得为该三棱锥的外接球的球心， 连接，，则为外接球的半径， 由与均为边长为2的等边三角形，则 又，则由余弦定理可得，所以，， 因为，分别为，的外接圆的圆心，所以，， 可得，可得，而，所以， 在中：， 所以外接球的表面积， 故选：C． 10. （23-24高一下·海西州·期末）（多选题）以直角边长为2的等腰直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的体积可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分两种情况，以直角边所在直线为旋转轴时和以斜边所在直线为旋转轴时，求出答案. 【详解】①当以直角边所在直线为旋转轴时，得到一个底面圆半径为2，高为2的圆锥，则； ②当以斜边所在直线为旋转轴时，得到两个同样的圆锥，圆锥底面是以为半径的圆，高为， 则. 故选：. 11. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 12. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 三棱锥内切球的半径为 D. 三棱锥内切球的半径为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三棱锥特征构造长方体求出外接球半径，求得表面积，再由等体积法求出内切球半径. 【详解】由题意可知，，两两垂直， 则三棱锥外接球的半径满足， 从而三棱锥外接球的表面积为， 故A正确，B错误. 由题意可得三棱锥的体积， 三棱锥的表面积. 设三棱锥内切球的半径为， 因为， 所以，则C正确，D错误. 故选：AC 13.（23-24高一下·西宁市·期末） 在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是1.2米，下底面圆的直径是2.4米，母线长为1米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是__________立方米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由圆台的体积公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得该圆台形容器的高为米， 则该圆台形容器的容积是立方米. 故答案为： 14. （23-24高一下·西宁市·期末）已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出球心到两截面圆的距离，再讨论“两截面在球心的同一侧”和“球心在两截面之间”两种情况，得出半径，进而得出球的体积. 【详解】设球的半径为R，依题意，截面圆的面积分别为9π和16π，则截面圆的半径分别为3，4， 可得球心到两截面圆的距离分别为，． 当两截面在球心的同一侧时，因为两截面间的距离为1， 所以，解得或（舍）； 当球心在两截面之间时，可得，即，该方程无解． 综上，，故该球的体积为． 故答案为： 15. （23-24高一下·海西州·期末）有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】正六棱柱，分别计算即可； 【详解】 故答案为： 16. （23-24高一下·海西州·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果； （2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果. 【小问1详解】 设底面圆的直径为，则其高也为； 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为； 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1， 因此边长， 所以三棱柱的体积． 空间点、线、面的位置关系题型04 17. （23-24高一下·西宁市·期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面间的位置关系判断，根据线线平行与面面平行的性质判断D． 【详解】解：A．时，中存在直线（过的平面与的交线都与平行），，则，又，则，所以，A正确； B．，，与无公共点，则，B正确； C．，，时，与可以平行，相交，C错误． D．由线线平行的性质知时，与所成的角相等，时由面面平行的性质知与所成的角相等，因此D正确． 故选：C． 空间中的平行与垂直题型05 18. （23-24高一下·西宁市·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可. 【详解】由，得或，则A错误． 由，得或相交，则B错误． 由，得或，则C错误． 由，得，则D正确． 故选：D 19. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）已知直线与平面，能使得的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】要使得成立，即两平面平行，则这两个平面垂直于同一条直线，或者这两个平面平行于同一个平面，而两平面垂直于同一个平面或平行于同一个直线则不能判定这两个平面平行. 【详解】两平面垂直于同一个平面可以相交，故A错； ，两个平面垂直于同一条直线两平面平行，故B对. 两个平面平行于同一个平面两平面平行，故C对， ，平行于同一个直线的两平面可以相交，故D错， 故选：BC. 20. （23-24高一下·海南州·期末）（多选题）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线面，面面位置的判定方法逐一判断即可得. 详解】对A：若，，则或，故A错误； 对B：若，，则，又，故，故B正确； 对C：若，，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，故C错误； 对D：若，，则，又，则，故D正确. 故选：BD. 21. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证： （1）四点共面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接BH，由中位线可得，即可证明F，G，H，B四点共面； （2）由面面平行的判定定理即可证明. 【小问1详解】 连接， 分别是的中点, 为的中位线， ， 四点共面； 【小问2详解】 由（1）知， 平面面， 平面； 又分别是的中点 ， 平面平面， 平面； 面面， 平面平面. 22. （23-24高一下·西宁市·期末）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证： （1）E､F､G､H四点共面； （2）EG与HF的交点在直线AC上. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明出即可； （2）证明出EFHG为梯形，得到EG与FH必相交，设交点为M，再结合点，线与面的关系进行证明. 小问1详解】 ∵，∴. ∵E，F分别为AB，AD的中点，∴，且， ∴，∴E，F，G，H四点共面. 【小问2详解】 ∵G，H不是BC，CD的中点，∴，∴， 由（1）知，故EFHG为梯形. ∴EG与FH必相交，设交点为M， ∴平面ABC，平面ACD， ∴平面ABC，且平面ACD， ∴，即GE与HF的交点在直线AC上. 23. （23-24高一下·海南州·期末）如图，在四棱柱中，底面是菱形，. （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直的判定与性质定理即可得证. 【小问1详解】 连接，记，连接，如图所示. 因为在四棱柱，易得为的中点，为的中点， 所以， 又平面平面，所以平面； 【小问2详解】 连接，如图所示. 因为四边形是菱形，所以， 因为，所以， 所以，又为的中点，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. 24. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意可证∥，∥，结合线面平行、面面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可证平面，结合面面垂直的判定定理分析证明. 【小问1详解】 由题意可知：∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 又因为∥，，可知为平行四边形， 则∥，且平面，平面，可得∥平面， 且，平面，所以平面∥平面. 【小问2详解】 因为为正方形，则， 因为，则， 可得， 设，可知为的中点，则， 且，平面，可得平面， 由平面，所以平面平面. 25. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，正四棱锥中． （1）求证：平面PAC⊥平面PBD； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明线面垂直，再利用面面垂直判定定理证明平面PAC⊥平面PBD； （2）先作出二面角的平面角，再去求其余弦值即可． 【小问1详解】 设点O是AC与BD的交点，连接PO， 则由正四棱锥得：AC⊥BD且PO⊥面ABCD 又∵面ABCD，∴PO⊥BD，又∵， ∴BD⊥面PAC，又∵面PBD， ∴平面PAC⊥平面PBD 【小问2详解】 过点O作OE⊥PC交PC于点E，连接BE， 由（1）知BD⊥平面PAC，平面PAC， ∴BD⊥PC，又∵OE⊥PC，且 ∴PC⊥平面BOE，又∵平面BOE，∴PC⊥BE 则BEO是二面角BPCA的平面角． 设，，则 在Rt△POC中，，，得， 在Rt△BOE中，∴ 故二面角的余弦值为． 空间中的距离题型06 26. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在棱长为a的正方体中，点E为棱的中点，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直可得面面垂直，进而根据面面垂直的性质可得的长即为点A到平面的距离，即可利用等面积法求解. 【详解】在正方体中，平面，而平面， 则平面平面， 在平面内过点A作于F，连接，如图， 因平面平面，平面,于是平面， 则的长即为点A到平面的距离，点E为棱的中点， 在中，，， 即，解得，所以点A到平面的距离为， 故选:C. 空间中的角题型07 27. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先取正方形的中心，连接，由知为异面直线与所成的角，再在中求的正弦即可. 【详解】连，相交于点，连、， 因为为的中点，为的中点，有，可得或其补角为异面直线与所成的角， 不妨设正方形中，，则，由平面，可得， 则，， 因为，为的中点，所以，． 故选：C. 【点睛】方法点睛： 求空间角的常用方法： （1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果. 28. （23-24高一下·海南州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可求得结果. 【详解】因为底面，所以，又， 所以以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 则，，，， ，， 设异面直线与所成的角为，， 则. 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故选：A 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求异面直线所成的角，属于基础题. 29. （23-24高一下·西宁市·期末）在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】构造平行线，将异面直线转化为相交直线，再利用余弦定理解三角形求解所成角的余弦值. 【详解】如图，取的中点，连接， 则，所以，且， 故四边形是平行四边形， 则，故即为与所成的角（或其补角）， 设正方体的棱长为，由勾股定理得，， 在中，由余弦定理得 ， 故与两条异面直线所成角的余弦值为. 故答案为： 30. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在长方体中，，，点P为棱上一点. （1）试确定点P的位置，使得平面，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）P为棱的中点，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线证明线线平行即可求证， （2）根据线线平行找到异面直线的所成角，即可结合三角形边角关系求解. 【小问1详解】 当P为棱的中点时，平面. 理由如下：设和交于点O，则O为的中点. 连接，又因为P是的中点，所以. 又因为平面，平面. 所以直线平面. 【小问2详解】 由（1）知，，所以即为异面直线与所成的角或其补角. 因为，且， 所以. 又，所以. 故异面直线与所成角的大小为. 31. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． （1）证明：平面． （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，通过四边形是正方形，得到，进而可求证； （2）作，垂足为，连接.先证明平面，得到是二面角的平面角，在判断四棱锥为正四棱锥，求得，再由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． 【小问2详解】 解： 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 32. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明，再利用线面垂直的定义得，再利用线面垂直的判定定理证得面，则； （2）首先证明，再求出相关三角形面积和棱锥的高，最后利用等体积法和棱锥体积公式即可得到答案. 【小问1详解】 因为为正三角形,所以,又,所以. 又底面，底面，所以， 又，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 【小问2详解】 因为底面，底面，所以，由已知， 又，且平面，所以 平面， 又平面，所以，又， 所以就是二面角的平面角，所以 因为，则, 在中，因为是正三角形，则易知， 所以在中，， 因为底面,平面, 所以.知, 所以的面积. 因为,所以, 又因为为中点,所以. 设点到平面的距离为,由,得, 解得,即点到平面的距离为, 又,所以三棱锥体积. 33. （23-24高一下·海南州·期末）如图1，是等边三角形，是直角三角形，BD⊥BC，，将沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2. （1）证明：BC⊥平面ABD； （2）求平面ABC与平面BCD所成的二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，依题意可得，再由面面垂直得到平面，即可得到，再由，即可得证； （2）由（1）可知，又，则为平面与平面所成的角，从而得解. 【小问1详解】 证明：由已知，折叠后的几何体是三棱锥，取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面BCD＝BD，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以平面； 【小问2详解】 解：由（1）知平面. 因为平面，所以， 又，所以平面与平面所成的角为， 因为是等边三角形，所以， 所以平面与平面所成角的正切值. 立体几何综合问题题型05 34. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）在棱长为3的正方体中，M是的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点N，使得 B. 三棱锥M—的体积等于 C. 有且仅有两个点N，使得平面 D. 有且仅有三个点N，使得N到平面距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，取N为的中点时判断即可 对B，根据计算即可； 对C，取分别为中点可得平面，平面判断即可； 对D，根据正方体的性质可知与平面，平面均垂直，且被两平面平分为3段可得点四点到平面的距离为 【详解】对于A，当N为的中点时，易得，又，故，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，如图所示分别为中点，有平面，平面，故C正确； 对于D，易证平面，平面，分别交平面，于，则，所以有点四点到平面的距离为，故D错． 故选：ABC 35. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在三棱柱中，平面ABC，且D，E分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）若是等边三角形，，求三棱柱的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）取棱BC的中点，利用线面平行的判定、面面平行的判定及性质推理得证. （2）结合（1）中信息，利用线面垂直的性质，结合勾股定理求出三棱柱的高，进而求出体积. 【小问1详解】 如图，取棱BC的中点，连接DF，EF，由D是棱AB的中点，得， 而平面平面，则平面， 在三棱柱中，， 由E，F分别是棱的中点，得， 则四边形是平行四边形，有，又平面平面， 则平面，而平面DEF，且， 因此平面平面，又平面DEF， 所以平面. 【小问2详解】 由D，F分别是棱AB，BC的中点，得， 设，则，又，则， 由（1）知，又平面ABC，则平面ABC， 而平面ABC，于是，则， 又，则，解得，即， 等边三角形的面积， 所以三棱柱的体积. 36. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点D为棱AB的中点，点E为棱上一点. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）20 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明出平面，利用线面垂直的性质即可证明； （2）利用等体积法即可求解； （3）先判断出为直线与平面所成的角，在中利用余弦的定义直接求解. 【小问1详解】 ∵三棱柱是直三棱柱，∴平面平面ABC. ∵，，，∴，∴. ∵平面平面，平面，∴平面. 又平面，∴. 【小问2详解】 ∵三棱柱是直三棱柱， ∴点E到平面ABC的距离即的长，为5. ∵D是AB的中点，∴， ∴. 【小问3详解】 （3）由（1）知平面， ∴为直线与平面所成的角. 在中，，， ∴，∴， 即直线与平面所成角的余弦值为. 几何体的内切球与外接球题型02 37. （23-24高一下·西宁市·期末）中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．在如图所示的堑堵中，，则堑堵的外接球的体积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将该堑堵补充成长方体，求长方体外接球体积即可. 【详解】将该堑堵补充为一个长方体，如图， 则该堑堵的外接球即为长方体的外接球， 设长方体的体对角线为，则， 所以，所以外接球的体积为， 故答案为: . 立体几何中的探索问题题型03 38. （23-24高一下·海南州·期末）如图，在边长为2的正方体中，点在正方体的表面上移动，且满足，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是______. 【答案】 【解析】 【分析】证明平面，可知满足条件的所有点构成的平面图形为，求出三角形的面积即可得解. 【详解】 因为平面，平面，所以，又，，所以平面，所以，同理可得， 因为，所以平面，因为点在正方体的表面上 故满足条件的所有点构成的平面图形为，由，可得构成平面图形的面积为：. 故答案为： 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了正方体的结构特征，考查了三角形的面积公式，属于中档题. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 立体几何初步 题型概览 题型06 空间中的距离 题型01基本立体图形 题型07 空间角 题型02立体图形的直观图 题型03简单几何体的表面积与体积 题型01 立体几何综合问题 题型04空间点、线、面的位置关系 题型02 几何体的内切球与外接球 题型05空间中的平行 题型03立体几何中的最值问题 基本立体图形题型01 1. （23-24高一下·西宁市·期末）已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是（ ） A. 12 B. 18 C. 22 D. 36 2. （23-24高一下·西宁市·期末）下列说法中错误的是（ ） A. 棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C. 直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 3. （23-24高一下·海西州·期末）下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱的轴截面是矩形 B. 圆锥的轴截面是等腰三角形 C. 所有空间几何体都是多面体 D. 有些三棱锥的四个面都是直角三角形 4. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 圆台 D. 球 5. （23-24高一下·西宁市·期末）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. D. 立体图形的直观图题型02 6. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（　　） A. B. 1 C. D. 7. （23-24高一下·海南州·期末）如图，已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图即四边形，则四边形的面积为______. 简单几何体的表面积与体积题型03 8. （23-24高一下·海南州·期末）如图，在梯形中，，，，，，以所在直线为轴将梯形旋转一周，所得的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 9. （23-24高一下·西宁市·期末）在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 10. （23-24高一下·海西州·期末）（多选题）以直角边长为2的等腰直角三角形的一边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周所得几何体的体积可以为（ ） A. B. C. D. 11. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱､圆锥､球的体积之比为 12. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 三棱锥内切球的半径为 D. 三棱锥内切球的半径为 13.（23-24高一下·西宁市·期末） 在一个建筑工地上，有一个用来储存材料的圆台形容器．已知该圆台形容器的上底面圆的直径是1.2米，下底面圆的直径是2.4米，母线长为1米，不考虑该圆台形容器壁的厚度，则该圆台形容器的容积是__________立方米． 14. （23-24高一下·西宁市·期末）已知两平行的平面截球所得截面圆的面积分别为9π和16π，且两截面间的距离为1，则该球的体积为______． 15. （23-24高一下·海西州·期末）有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为_________. 16. （23-24高一下·海西州·期末）如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积． 空间点、线、面的位置关系题型04 17. （23-24高一下·西宁市·期末）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等 空间中的平行与垂直题型05 18. （23-24高一下·西宁市·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 19. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）已知直线与平面，能使得的充分条件是（ ） A. B. C. D. 20. （23-24高一下·海南州·期末）（多选题）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 21. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证： （1）四点共面； （2）平面平面. 22. （23-24高一下·西宁市·期末）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证： （1）E､F､G､H四点共面； （2）EG与HF的交点在直线AC上. 23. （23-24高一下·海南州·期末）如图，在四棱柱中，底面是菱形，. （1）求证：平面； （2）求证：. 24. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，四棱柱的底面是正方形，． （1）证明：平面∥平面； （2）证明：平面平面． 25. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，正四棱锥中． （1）求证：平面PAC⊥平面PBD； （2）若，求二面角的余弦值． 空间中的距离题型06 26. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在棱长为a的正方体中，点E为棱的中点，则点A到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 空间中的角题型07 27. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 28. （23-24高一下·海南州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 29. （23-24高一下·西宁市·期末）在正方体中，是的中点，则与两条异面直线所成角的余弦值为__________. 30. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在长方体中，，，点P为棱上一点. （1）试确定点P的位置，使得平面，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求异面直线与所成角的大小. 31. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． （1）证明：平面． （2）若，求二面角的正弦值． 32. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，四棱锥中，底面ABCD，为等边三角形，，，M是PB上一点，且，N是PC的中点. （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积. 33. （23-24高一下·海南州·期末）如图1，是等边三角形，是直角三角形，BD⊥BC，，将沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2. （1）证明：BC⊥平面ABD； （2）求平面ABC与平面BCD所成的二面角的正切值. 立体几何综合问题题型05 34. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）在棱长为3的正方体中，M是的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点N，使得 B. 三棱锥M—的体积等于 C. 有且仅有两个点N，使得平面 D. 有且仅有三个点N，使得N到平面距离为 35. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在三棱柱中，平面ABC，且D，E分别是棱的中点． （1）证明：平面． （2）若是等边三角形，，求三棱柱的体积． 36. （23-24高一下·西宁市·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，点D为棱AB的中点，点E为棱上一点. （1）证明：； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的余弦值. 几何体的内切球与外接球题型02 37. （23-24高一下·西宁市·期末）中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．在如图所示的堑堵中，，则堑堵的外接球的体积是__________． 立体几何中的探索问题题型03 38. （23-24高一下·海南州·期末）如图，在边长为2的正方体中，点在正方体的表面上移动，且满足，则满足条件的所有点构成的平面图形的面积是______. 第 4 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$