专题01 平面向量及其应用8大题型-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（青海专用）

专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的运算 优选提升题 题型02平面向量的坐标表示与运算 题型01平面向量中的最值问题 题型03投影向量 题型02平面向量中的新定义问题 题型04平面向量的模长与夹角 题型05平面向量基本定理 题型06平面向量的位置关系 平面向量的运算题型01 1. （23-24高一下·西宁市·期末）化简（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】根据向量减法计算即可. 【详解】. 故选：D. 2. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义，根据选项依次运算化简判断即可. 【详解】A项，，故A正确； B项，，故B错误； C项，， 若，则，不合题意，故C错误； D项，，故D正确； 故选：AD. 3. （23-24高一下·海南州·期末）（多选题）已知正六边形的中心为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 存在实数，使得 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ABC：根据正六边形的几何性质结合向量的线性运算分析判断；对于D：根据题意结合向量的数量积运算分析判断. 【详解】如图，不妨设正六边形的边长为1， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为， 且， 可知，故C正确； 对于选项D：因为， 则， ， 所以，故D正确； 故选：ACD. 平面向量的坐标表示与运算题型02 4. （23-24高一下·西宁市·期末）已知向量，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将坐标代入中计算结果. 【详解】解：因为，， 所以. 故选：A 5. （23-24高一下·西宁市·期末）在平面直角坐标系中，已知，. （1）若，求实数的值； （2）若，，求与的数量积. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算，由共线满足的坐标关系即可求解， （2）根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 ，，， ， ，，解得. 【小问2详解】 由已知可得，， . 6. （23-24高一下·西宁市·期末）已知向量，，. （1）若点，，能构成三角形，求实数应满足的条件； （2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，利用向量共线的坐标公式计算即可． (2)为直角三角形，且为直角，则，利用向量的数量积坐标公式计算即可． 【详解】（1）已知向量，，， 若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线. ，， 故知， ∴实数时，满足条件. （2）若为直角三角形，且为直角，则， ∴， 解得. 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标公式和数量积的坐标运算，考查学生逻辑思维能力，属于基础题． 投影向量题型03 7. （23-24高一下·西宁市·期末）已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. （ 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解，再根据投影向量的公式进行求解即可. 【详解】由，，，得， 解得．所以，， 所以，， 所以在上的投影向量为 故选：C． 8.（23-24高一下·西宁市·期末） 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】因为，， 所以向量在方向的投影向量为. 故答案为： 9. （23-24高一下·西宁市·期末）已知向量，，则向量在方向上的投影为______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用向量在向量方向上的公式计算可得答案. 【详解】向量在方向上的投影为. 故答案为：． 平面向量的模长与夹角题型04 10. （23-24高一下·西宁市·期末）已知，，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量夹角公式即可代入求解. 【详解】设向量与夹角为θ，则， 因为，所以. 故选:D. 11. （23-24高一下·海西州·期末）已知向量，． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可； （2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 设与的夹角为，则， ，， ，， ∴， ∴向量与夹角的余弦值为． 平面向量基本定理题型05 12. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共线向量的性质，结合三点共线定理逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，则，故A错误； 对于B和C，因为A，M，Q三点共线，由共线定理可知，存在实数， 使得，设， 所以，所以 解得， ， 显然成立， 因为，所以， 故B，C正确； 对于D，因为，所以是的中点，因此， 由上可知， ，故D错误． 故选：BC 平面向量的位置关系题型06 13. （23-24高一下·海南州·期末）已知向量，，且，则实数（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果. 【详解】由得：， 解得：. 故选：B. 14. （23-24高一下·西宁市·期末）已知三点共线，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到方程，求出答案. 【详解】， 因为三点共线，故， 即，解得. 故选：D 15. （23-24高一下·西宁市·期末）已知向量，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的加减坐标运算与两向量垂直的坐标条件可得. 【详解】因为， 所以． 因为，所以， 即，解得． 故选：D. 16. （23-24高一下·西宁市·期末）设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A、C，因为，且， 所以，解得或， 所以“”不是“”的必要条件，故A错误； 所以“”是“”的充分条件，故C正确； 对于B、D，因为，所以，解得或， 所以“”不是“”的必要条件，故B错误； 所以“”不是“”的充分条件，故D错误. 故选：C. 17. （23-24高一下·西宁市·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件建立方程组进行计算求解. 【详解】因为与是共线向量，所以存在实数，使得， 所以，即， 又因为是两个不共线的向量，所以， 解得 故答案为：. 平面向量中的最值问题题型01 18. （23-24高一下·西宁市·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【详解】正八边形的每个内角为， 延长交直线于点，延长交直线于点， ，则为等腰直角三角形， 且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、， 设点，则，，， 所以，， 故选：B. 平面向量中的新定义问题题型02 19. （23-24高一下·西宁市·期末）对任意两个非零向量，，定义： （1）若向量，，求的值； （2）若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值； （3）若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出向量的坐标，再根据题目所给定义求出的值. （2）根据所给条件求出的值，再利用向量夹角的余弦值公式计算即可. （3）结合条件得出的范围、向量与的夹角的余弦值的范围，再根据题目所给定义和题目条件，求出的值，将转化为，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以， 故的值为. 【小问2详解】 因为向量、是单位向量，所以，， 由， 可得， 解得， 由，可得， ， 故向量与的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设向量与的夹角为，由题意可知，则， 因为，所以，. 因为，所以，. 因为是整数，所以， 所以，， 而 ，即，所以， 因为， ，所以，即， 故的取值范围为. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 题型概览 题型01平面向量的运算 优选提升题 题型02平面向量的坐标表示与运算 题型01平面向量中的最值问题 题型03投影向量 题型02平面向量中的新定义问题 题型04平面向量的模长与夹角 题型05平面向量基本定理 题型06平面向量的位置关系 平面向量的运算题型01 1. （23-24高一下·西宁市·期末）化简（ ） A. B. C. D. 2. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. （23-24高一下·海南州·期末）（多选题）已知正六边形的中心为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 存在实数，使得 D. 平面向量的坐标表示与运算题型02 4. （23-24高一下·西宁市·期末）已知向量，，则（    ） A. B. C. D. 5. （23-24高一下·西宁市·期末）在平面直角坐标系中，已知，. （1）若，求实数的值； （2）若，，求与的数量积. 6. （23-24高一下·西宁市·期末）已知向量，，. （1）若点，，能构成三角形，求实数应满足的条件； （2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值. 投影向量题型03 7. （23-24高一下·西宁市·期末）已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. （ 8.（23-24高一下·西宁市·期末） 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 9. （23-24高一下·西宁市·期末）已知向量，，则向量在方向上的投影为______. 平面向量的模长与夹角题型04 10. （23-24高一下·西宁市·期末）已知，，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 11. （23-24高一下·海西州·期末）已知向量，． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 平面向量基本定理题型05 12. （23-24高一下·西宁市·期末）（多选题）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，则（ ） A. B. C. D. 平面向量的位置关系题型06 13. （23-24高一下·海南州·期末）已知向量，，且，则实数（ ） A. 3 B. 1 C. D. 14. （23-24高一下·西宁市·期末）已知三点共线，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 3 15. （23-24高一下·西宁市·期末）已知向量，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 16. （23-24高一下·西宁市·期末）设向量，则（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 17. （23-24高一下·西宁市·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数__________. 平面向量中的最值问题题型01 18. （23-24高一下·西宁市·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 平面向量中的新定义问题题型02 19. （23-24高一下·西宁市·期末）对任意两个非零向量，，定义： （1）若向量，，求的值； （2）若单位向量，满足，求向量与的夹角的余弦值； （3）若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，求的取值范围． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$