第10讲函数的应用 课件-2025年安徽省职教高考数学总复习

第10讲　函数的应用 能力层级 考试内容　　　 了解 理解 掌握 函数的应用     从实际问题中抽象出分段函数模型解决简单实际问题的方法. 复习建议： 1.考情小结：本讲知识近三年未曾考查. 2.备考攻略：对于一次函数、二次函数的相关性质需要理解清楚，同时对于分段函数的自变量取值范围的限定要弄清楚.同学们需要学会从实际问题中抽象出相应的数学模型，掌握如何把实际问题中的数据转化成相关数学模型中的相关数值. 思维导图 构建 2 　　用数学的方法获得实际问题的数学描述，就得到了问题的数学模型.一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型都是常见的数学模型，也称函数模型. 备考讲义 考点 函数模型 解读 考纲考情 3 例1　(改编)随着我国汽车工业的发展，越来越多的国产车、合资车出现在老百姓的生活中.某国产车开始工作时，油箱中有油50升，如果每小时耗油3升，求油箱中的余油量Q(升)与工作时间t(时)的函数关系式及自变量的取值范围. 【试题分析】 本题考查一次函数模型.油箱中的余油量是油箱中总的油量减去消耗的油量. 【解题过程】 汽车每小时耗油3升，t小时耗油3t升，原来油箱中有油50升，则余油量Q＝50－3t.由于余油量Q≥0，从而50－3t≥0，解之可得t≤，故0≤t≤. 解读 考纲考情 跟踪训练1　(原创)高铁因 为快捷、准时、安全成为了 老百姓出行的首选交通工具. 按照相关规定，旅客可携带 一定质量的行李，如果超过 规定，则需要购买行李票.设 行李票y(元)是行李质量x(千 克)的一次函数，其图像如图所示，求(1)y与x的函数关系式； (2)旅客最多可以免费携带的行李的质量. 解读 考纲考情 【试题分析】 本题考查一次函数模型.由于行李票y(元)是行李质量x(千克)的一次函数，可以用待定系数法设出一次函数表达式，把图像上两点代入求解. 【解题过程】 由于行李票y(元)是行李质量x(千克)的一次函数，所以可设其表达式为y＝kx＋b，把(30，5)，(40，10)两点代入可得解之得故y＝x－10.令y＝0，得x＝20.所以旅客最多可以免费携带20千克的行李. 解读 考纲考情 例2　(改编)已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，请把汽车离开A地的距离y与时间t之间的函数关系表示出来. 【试题分析】 本题考查分段函数模型.其中第三段要注意的是回程的距离. 解读 考纲考情 【解题过程】 汽车从A地到B地需要的时间是150÷60＝2.5 h，停留1 h的距离不变，由B地返回A地需要用的时间是150÷50＝3 h，返回时距离A地是越来越近，则y＝150－50(t－3.5)＝－50t＋325.从而汽车离开A地的距离y与时间t之间函数关系式为y＝ 解读 考纲考情 跟踪训练2　(改编)某电信公司采取分 段计费的方法来计算话费，月通话时 间x分钟与相应话费y元之间的函数图 像如图所示，则月通话50分钟时，应 交话费________元；当x≥100时，y与 x的函数关系式是________________.  解读 考纲考情 【试题分析】 本题考查分段函数模型.第一段是正比例函数，第二段是一次函数，通过待定系数法求出函数解析式. 【解题过程】 100分钟时话费是40元，可知50分钟时话费为20元.第二段是一次函数，设其表达式为y＝kx＋b，把(100，40)，(200，60)代入可得解之得所以其表达式为y＝x＋20(x≥100). 解读 考纲考情 例3　(原创)如图所示，在长400 m，宽100 m的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(m2)与路宽x(m)之间的关系如何表示? 【试题分析】 本题考查二次函数模型的实际应用.通过平移组合的方式，将分割成四块的绿地组合成一个矩形，长为(400－x)m，宽为(100－x)m. 解读 考纲考情 【解题过程】 四块绿地可通过平移组合成一个矩形，长为(400－x)m，宽为(100－x)m，则绿地面积y(m2)与路宽x(m)之间的函数关系式为y＝(400－x)(100－x)＝x2－500x＋40 000. 解读 考纲考情 跟踪训练3　(改编)某校为了美化环境，准备利用学校围墙建造一处校园微型花园.现有50米长的护栏用于建造花园的另外三边.写出长方形花园的面积y(m2)与它与围墙平行的长x(m)之间的函数关系式，当x为多长时，花园面积最大? 解读 考纲考情 【试题分析】 本题考查二次函数模型的实际应用. 【解题过程】 与围墙平行的长x(m)，则宽为，则面积为y＝x·＝－x2＋25x，由于可知0＜x＜50.因为y＝－(x－25)2＋，所以当x＝25时，花园面积最大. 解读 考纲考情 存在定义在D上的函数f(x)，有： 1.如果对任意x∈D，都有f(x)≤M，且存在x0∈D，使f(x0)＝M，则称M是函数f(x)的最大值. 2.如果对任意x∈D，都有f(x)≥m，且存在x0∈D，使f(x0)＝m，则称m是函数f(x)的最小值. 函数的最大值或最小值统称为函数的最值. 核心考点 探究 15 1.(改编)高铁列车在一次测试中从静止到行驶再到停车的示意图如图所示，其中y(km/h)是车速，x(min)是行车时间.根据图像可知，车速保持在350 km/h的时长为(　　　) A.5 min B.110 min C.105 min D.120 min C 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 16 【试题分析】 本题考查分段函数图像. 【解题过程】 车速保持在350 km/h的时长为110－5＝105(min)，故选C. 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 2.(改编)水箱容积为160 L，注水前水箱里有20 L水，若水量y(L) 与注水时间x(min)的函数关系式为y＝2x＋20，x∈[0，70]，则 注水多长时间水箱中水量达到100 L.(　　　) A.5 min B.4 min C.3 min D.6 min B 【试题分析】 本题考查一次函数模型. 【解题过程】 水量达到100 L，即y＝100，代入一次函数表达式，可得x＝4，故选B. 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 3.用16米长的钢材制作一个矩形窗框，窗框围成的面积y(m2)与窗框的宽x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋8x，0＜x＜8，则 当窗框为多少米时，窗框围成的面积最大.(　　　) A.4 m B.6 m C.8 m D.10 m A 【试题分析】 本题考查二次函数模型的实际应用. 【解题过程】 面积y(m2)与窗框的宽x(m)之间的函数关系式为y＝－x2＋8x，0＜x＜8，通过配方可得y＝－(x－4)2＋16，从而当x＝4时，y值最大，故选A. 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 4.(改编)某闭合电路中，若电源电压为定 值，则电流I(A)与电阻R(Ω)之间呈反比 例函数关系，如图所示，则电流I与电阻 R的函数关系式为(　　　) A.y＝ B.y＝(x＞0) C.y＝ D.y＝(x＞0) D 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 【试题分析】 本题考查反比例函数模型的实际应用. 【解题过程】 设电流I(A)与电阻R(Ω)之间呈反比例函数关系式为y＝，把(1，3)代入，可求得y＝，再考虑实际问题背景，x＞0，从而得y＝(x＞0)，故选D. 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 5.(改编)某电信公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话话费y(元)与相应通话时间x(分钟)之间的关系可用y＝表示.若某用户月通话话费为50元，则其通话时间为___________.  150分钟 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 【试题分析】 本题考查分段函数模型.把话费50元代入相应的函数表达式，求出通话时间. 【解题过程】 由于0＜x≤100时话费最大值为40元，从而当通话费为50元时，应当代入第二段表达式y＝x＋20，得x＋20＝50，从而x＝150.即通话时间为150分钟. 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 6.(原创)黄山市北岸风雨廊桥是全 国重点文物保护单位.廊桥的桥拱 形状为一个二次函数y＝－x2图 像的一部分，如图所示，当水面 宽度(即跨度)为20 m时，这个桥拱的高(即抛物线的顶点到水面的距离)是________m.  5 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 【试题分析】 本题考查二次函数模型的实际应用. 【解题过程】 因为水面宽度(即跨度)为20 m，则可知水面与桥的右侧交点的横坐标为10，当x＝10时，y＝－5.即此点距离桥顶的高度为5 m.从而桥的拱高为5 m. 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 7.(改编)某中职学校对学生进行 体育测试，某学生投掷实心球经 过的路线是抛物线的一部分，如 图所示，他的出手高度为米，铅 球在投掷过程中水平距离为2米时， 达到最大高度为米.求该学生的投掷成绩. 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 【试题分析】 本题考查二次函数模型的实际应用. 【解题过程】 根据题意，铅球在投掷过程中水平距离为2米时，达到最大高度为米，即抛物线的顶点坐标为(2，)，这样可设抛物线方程为y＝a(x－2)2＋.而出手高度为米，则可知抛物线经过点(0，)，代入抛物线方程可得＝a(0－2)2＋，解之得a＝－.则抛物线方程为y＝－(x－2)2＋.该学生的投掷成绩即为抛物线与x轴的交点坐标，令y＝0，可求得x1＝－3(舍)，x2＝7.从而该学生的投掷成绩为7 米. 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 8.(改编)某中职学校为方便学生生活， 在每个楼层都提供饮水机.饮水机上有 两个放水管，课间同学们依次到饮水 机前接水.假设接水过程中没有洒漏， 每个同学所接的水量都是相等的.两个 放水管同时打开时，他们的流量相同. 放水时先打开一个水管，过了一会儿， 再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着.饮水机的存水量y升与放水时间x分钟的函数关系如图所示： 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 (1)求饮水机的存水量y升与放水时间x分钟的函数关系式. (2)如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需几分钟? 【试题分析】 本题考查一次函数模型的实际应用. 【解题过程】 (1)当0≤x≤2时，设函数表达式为y＝k1x＋b1，把(0，18)，(2，17)代入可得解之得 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 所以y＝－x＋18.当x＞2时，设函数表达式为y＝k2x＋b2，把(12，8)，(2，17)代入可得解之得所以y＝－x＋.当y＝0时，x＝，从而此时自变量的范围是2＜x≤.故函数的表达式为y＝ 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 (2)由于2分钟时恰好有4个同学接水结束，共接水1升，可知每人每次接水量为0.25升，这样后面18人共需接水18×0.25＝ 4.5(升)，则饮水机中的水量从17降为12.5，当y＝12.5时，代入 y＝－x＋，可得x＝7，从而22名同学全部接水完毕需要 7分钟. 1 2 3 4 拓展 教材母题 5 6 7 8 $$