暑假作业08 图形的平移与旋转（20大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业08 图形的平移与旋转 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：生活中的平移现象 】 1．（24-25七年级下·山西大同·期中）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，解题的关键是掌握：平移的特征：平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小．据此判断即可． 【详解】解：A．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； B．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； C．左边的图案通过平移能得到右边图案，故此选项符合题意； D．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）在2025年4月13日十堰市举行的马拉松赛事中，吉祥物太极娃将头顶天柱峰，脚踏东风轮，手护丹江水，以激情奔跑的形态和各位选手相约2025十堰马拉松赛道．通过平移吉祥物“太极娃”可以得到的图形是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查生活中的平移现象，根据平移的定义判断即可． 【详解】解：通过平移吉祥物“太极娃”，可以得到的图形是B选项． 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列现象是平移的是（　　） A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动 C．纸张沿着它的中线对折 D．用投影仪把文字变换到屏幕上 【答案】A 【分析】本题考查了平移现象，熟练根据平移的定义联系实际生活是解题的关键．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，根据平移的定义分析即可． 【详解】解：A. 电梯从底楼升到顶楼，是平移，故该选项符合题意； B. 卫星绕地球运动，不是平移，故该选项不符合题意； C. 纸张沿着它的中线对折，不是平移，故该选项不符合题意；     D. 用投影仪把文字变换到屏幕上，不是平移，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25七年级下·福建厦门·期中）下列哪个图形可以通过平移得到（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的平移，根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，结合图形，对选项进行一一分析，即可求解． 【详解】解：由平移知，B选项可以通过平移得到，其余选项都不可以通过平移得到， 故选：B． 【题型二：图形的平移 】 1．（2023下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）下列四个图案中，能用平移来分析其形成过程的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C． 【详解】解：A、是轴对称图形，不能用平移变换来分析其形成过程，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不能用平移变换来分析其形成过程，故本选项不符合题意； C、能用平移变换来分析其形成过程，故本选项符合题意； D、不能用平移变换来分析其形成过程，故本选项不符合题意； 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一方向的移动一定的距离，学生混淆图形的平移、旋转或轴对称而误选． 2．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）下列几组图形中，通过平移后能够重合的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移前后，图形的形状，大小，方向都不发生变化，只是位置发生改变，进行判断即可． 【详解】解：A、大小不同，平移后不能重合，不符合题意； B、方向不同，平移后不能重合，不符合题意； C、通过平移可以重合，符合题意； D、方向不同，平移后不能重合，不符合题意； 故选C． 3．（24-25七年级下·重庆大足·阶段练习）下列图形中，能通过平移得到是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小，方向和形状，据此特点可得答案． 【详解】解：∵平移只改变图形的位置，不改变图形的大小，方向和形状， ∴只有A选项中的图形能满足能通过平移得到， 故选：A． 4．（2024下·河南周口·八年级校联考期末）如图，有四个形状和大小都相同的含的三角板，选项中的图形不能由四个小三角板经过平移得到的是（    ）    A．    B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据平移的性质，对逐个选项进行分析即可． 【详解】解：图形A、B、D都能由四个小三角形经过平移得到， 选项C不能由四个小三角形经过平移得到． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状，大小，方向．学生比较难区分平移、旋转或翻转． 【题型三：利用平移的性质计算 】 1．（24-25七年级下·河南安阳·期中）如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据图形平移的方向和距离得出线段的长度是解题的关键． 由平移的性质可得，由可得，最后由，进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵将三角形沿着射线向右平移得到三角形， ，， ，， ， ， ， ． 故选：C ． 2．（2025·河南商丘·二模）如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（   ） A．27 B．18 C．24 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的判定与性质，由，的长度结合，判断的形状，得的长度，可得的周长． 【详解】解：在中，，，，将沿着的方向平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为：， 故选：B． 3．（2025·广东深圳·三模）如图，将沿射线方向平移，得到，已知，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平移的性质，根据将沿射线方向平移，得到，得， ， 再运用梯形的面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵将沿射线方向平移，得到， ∴ ∵ ∴ ∵ 阴影部分的面积为 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，将向左平移得到，交于点，． (1) ， ； (2)直接写出与之间关系； (3)计算图中阴影部分的面积． 【答案】(1)3； (2)， (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换及其性质，熟练掌握图形的平移变换及其性质是解决问题的关键． （1）根据平移的性质可得出，，，然后根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据平移的性质得出，进而得出 ，然后根据图形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵将向左平移得到，， ∴，，， ∴， 故答案为：3；； （2）解：根据平移的性质知：，； （3）解：∵平移， ∴，， ∴ 即 ， 【题型四：利用平移解决实际问题 】 1．（2024春•饶平县校级期末）宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？ 【答案】 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6米，4米， ∴地毯的长度为6+4＝10米，地毯的面积为10×2＝20平方米， ∴买地毯至少需要20×40＝800元． 【点睛】本题考查了平移的性质，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 2．（2024春•内乡县期末）如图所示，某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），小路宽1米，则小明同学所走的路径长为（　　） A．98米 B．100米 C．123米 D．75米 【答案】A 【分析】将所走的路线分段进行平移可得，所走路线横向的和等于AB，所有“纵向”路线的和25﹣1＝24米的2倍，进而求出答案． 【详解】解：将所走的路线分段进行平移可得，小明同学所走的路径长为50+（25﹣1）×2＝98（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是解决问题的前提． 3．（2024春•东莞市校级期中）某小区有一块长方形的草地（如图），长18米，宽10米，空白部分为两条宽度均为2米的小路，则草地的实际面积 　 　m2． 【答案】128 【分析】将小路两旁部分向中间平移，直到小路消失，发现草地是一个长为（18﹣2）米、宽为（10﹣2）米的长方形，根据长方形面积＝长×宽列式计算即可． 【详解】解：由题意，得草地的实际面积为： （18﹣2）×（10﹣2）＝16×8＝128（m2）． 故答案为128． 【点睛】此题考查生活中的平移现象，化曲为直是解决此题的关键思路，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． 4．（2024春•宾阳县期中）如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，求： （1）用含a，b的式子表示绿地面积； （2）当a＝30米，b＝20米时，绿地面积是多少平方米？ 【分析】（1）根据平移的性质可得，绿地部分可看作是一个长为（a﹣1）米，宽为b米的矩形，进行计算即可解答； （2）把a，b的值代入（1）中的代数式，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得： 绿地面积＝b（a﹣1） ＝（ab﹣b）平方米， ∴绿地面积为（ab﹣b）平方米； （2）当a＝30米，b＝20米时， 绿地面积＝ab﹣b ＝30×20﹣20 ＝580（平方米）， ∴绿地面积是580平方米． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【题型五：平移作图 】 1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，点、、都在格点上．    (1)平移线段，使点与点重合，画出线段； (2)连接、，与的关系是____________； (3)若每个小正方形边长为1，线段扫过的面积是______________． 【答案】(1)图见解析 (2)平行且相等 (3)11 【分析】（1）将点向右平移3个单位，向下平移1个单位得到，连接即可； （2）根据平移的性质，进行作答即可； （3）分割法求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）由平移的性质可知：与的关系是平行且相等； （3）线段扫过的面积是． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，在所给4×4网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)作图：将平移得到，请画一个与无重合部分； (2)线段与的位置关系； (3)请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行 (3) 【分析】此题考查了平移的作图、平移的性质、网格中求三角形的面积等知识，准确作图是关键． （1）根据题意进行平移作图即可； （2）根据平移的性质进行解答即可； （3）用长方形的面积减去周围直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）线段与的位置关系为平行； （3）的面积 3．（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留作图痕迹）： (1)画出； (2)连接、，那么线段与线段的关系是______； (3)平移过程中，线段扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) ， (3)10 【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键； （1）根据平移的性质画图即可； （2）利用平移的性质即可得到结论； （3）线段扫过的面积为平行四边形的面积，再求面积即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：连接、，那么线段与线段的关系是 ， ； 故答案为： ， （3）解：如上图，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 且的面积． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，三角形的顶点都在方格纸的格点上． (1)利用格点画出边上的垂直平分线； (2)平移三角形，使点移动到点的位置． ①画出平移后的； ②若连接，，则这两条线段之间的关系是___________； (3)找到格点，使得它与点、、组成的图形是一个轴对称图形，这样的格点有___________ 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②平行且相等 (3)3个 【分析】本题考查了作图—平移变换，线段垂直平分线的性质，轴对称图形，熟练掌握平移的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称图形的定义是解答本题的关键． （1）利用网格结合线段垂直平分线的性质画图即可； （2）①根据平移的性质作图即可；②根据平移的性质即可解答； （3）根据轴对称图形的定义确定点的位置，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：①如图，即为所求； ； ②由平移的性质可得：连接，，则这两条线段之间的关系是平行且相等； （3）解：如图，点、、均满足题意，故这样的格点有个． 【题型六：由平移方式确定平移后的坐标 】 1．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点、，N的对应点，求N的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标的平移，先由题意得出平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由次计算即可得解，正确得出平移的方式是解此题的关键． 【详解】解：∵线段是由线段经过平移得到的，已知点、， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∵N的对应点， ∴N的坐标为，即， 故选：A． 2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）已知 ，将线段 平移至，若，，则 的值为（    ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查平移的坐标与图形变化．熟练掌握平移规律是解题的关键． 根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”解答即可． 【详解】解：由题可得， 解得：， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级下·江西萍乡·期中）在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，平移线段得到线段，其中点M对应点P，点N对应点Q，若P的坐标为，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，根据已知对应点坐标找到各对应点坐标之间的变化规律是解题的关键． 由点的对应点为，根据其坐标的变化规律可知：各对应点坐标之间的关系是横坐标加4，纵坐标减2，由此可得点的对应点的坐标． 【详解】解：∵线段平移后的对应点为， ∴各对应点坐标之间的关系是横坐标加4，纵坐标减2， ∴点的对应点的坐标为， 故选：A． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段DC，点A和点B的对应点分别是点D和点C．若点，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移与坐标，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据点、的坐标确定出平移方式，再根据平移方式结合图形解答即可． 【详解】解：点的对应点， 平移规律为向右平移个单位，再向上平移个单位， 向右平移个单位，再向上平移个单位，得到对应点C的坐标为即． 故选：C． 【题型七：生活中的旋转现象 】 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 【答案】C 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意； B、在笔直的公路上行驶的汽车属于平移，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意； D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）有下列现象：①地下水位逐年下降；②传送带上物品的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动．其中，属于旋转的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的判断，旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：①地下水位逐年下降，不是旋转现象； ②传送带上物品的移动，不是旋转现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④水龙头的转动，是旋转现象； ⑤钟摆的运动，是旋转现象． 综上，③④⑤是旋转现象． 故选：B． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断生活中的旋转现象，熟练掌握旋转的定义是解题的关键：旋转是围绕一点旋转一定角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键． 根据旋转的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：A. 属于旋转现象，故选项不符合题意； B. 属于旋转现象，故选项不符合题意； C. 属于旋转现象，故选项不符合题意； D. 属于平移现象，不属于旋转现象，故选项符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的性质，根据图形旋转的性质解答即可． 【详解】解：由图可知，将图1其中1张扑克牌旋转了后得到图形与图2相同，只有当梅花3被旋转过时才能出现这种情况． 故选：B． 【题型八：确定旋转的三要素 】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线，这两条垂直平分线交于点P，如图， ∴旋转中心是点P， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可知是旋转角，进而只有得出的度数即为旋转角的度数． 【详解】解：∵， ∴； 故选C． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（    ） A．点O， B．点O， C．点O， D．点B， 【答案】A 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质解答即可，熟练掌握旋转的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O，， 故选：A． 4．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 【题型九：利用旋转的性质计算 】 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、的对应点分别为点、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 根据绕点按顺时针方向旋转后得到，从而即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，在，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，使点的对应点恰好落在边上，与交于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质可知，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角性质求出结果即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·湖南邵阳·一模）如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化，掌握旋转的性质是解题关键．由等边对等角可得，再结合旋转的性质，得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由旋转的性质可知，，，， ，， ， ， 故选：C． 4．（2025年黑龙江省牡丹江市第五子联盟初中学业水平考试第二次适应性考试数学试题）在四边形中，，则的长为(    ) A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】把绕点A逆时针旋转，连接，作，交的延长线于点F，则是等腰直角三角形，证明，推出，求出，，进而求出，，再求出，，进而求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：把绕点A逆时针旋转，连接，作，交的延长线于点F， 则是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及直角三角形的性质，作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 【题型十：作图---旋转变换 】 1．（2024春•商水县期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出△ABC平移后的图形△A1B1C1． （2）以点C为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，得到△A2B2C，请画出△A2B2C． 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质，把点A、B、C分别向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到对应点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1为所作； （2）如图所示，△A2B2C为所作． 【点评】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 2．（2024春·山东枣庄·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的 (2)将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的； (3)可看作由绕P点旋转而成，点，，的对应点分别为A，，，则点P的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）先找到B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （3）根据点P一定在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，可得到点P在直线上，设出点P的坐标，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由（1）（2）可知， ∵旋转中心一定在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， ∴点P即为的线段垂直平分线和的线段垂直平分线的交点， ∴点P在直线上， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——平移和旋转，画旋转图形和平移图形，找旋转中心，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 3．（2024春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称作格点，的三个顶点都在格点上，把先向右平移6个单位，再向下平移4个单位得，再将绕点顺时针旋转得．结合所给的平面直角坐标系，回答下列问题：    (1)在平面直角坐标系中画出和； (2)图中的能不能通过顺时针旋转得到？如果可以，请写出旋转中心D的坐标及旋转角的度数（）；如果不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能，， 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，然后顺次连接即可； （2）利用旋转方式分别作出的对应点，然后顺次连接即可； （3）旋转对应图形对应点连线的中垂线的的交点即为旋转中心，据此求解即可． 【详解】（1）解：和如图所示；    （2）解：如图所示，可以绕点顺时针旋转90度得到． ∴旋转中心的坐标为，旋转角度． 【点睛】本题考查作图—旋转变换，平移变换等知识，根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，对应点连线都交于一点，交点即为旋转中心；确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离；作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．解题的关键是掌握旋转变换的性质，平移变换的性质． 4．（2024春·四川达州·八年级校联考期中）如图，已知在平面直角坐标系内有，，． (1)画出向右平移三个单位的，并写出的坐标：______； (2)将绕点逆时针方向旋转后得到，画出旋转后的图形，并写出坐标：______； (3)求（1）中所扫过的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， (3)12.5 【分析】（1）直接将三角形向右平移三格，再根据图中可直接得到答案； （2）将三角形绕C点逆时针转90°，再根据图中可直接得到答案； （3）由题意可得扫过的面积可表示为平行四边形的面积加三角形本身的面积，而三角形面机可用包围住本身的一个正方形减去三个小三角形的面积，最后计算可直接得到答案． 【详解】（1）即为向右平移三个单位所得，如图 故答案为：． （2）即为绕点逆时针方向旋转所得，如图 故答案为： （3）由题意可得扫过的面积可表示为平行四边形的面积加三角形本身的面积， 而三角形面积可用包围住本身的一个正方形减去三个小三角形的面积， 则面积为： ∴扫过的面积：12.5． 【点睛】本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键． 【题型十一：利用旋转的性质证明 】 1．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、全等三角形的性质和判定，依据旋转的性质得到相等的边或角是解题的关键． 由旋转的性质可得到，，，依据等式的性质可得到，依据可证明，依据全等三角形的性质进行证明即可． 【详解】证明：是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴，，， ∵ ， ，即． 在和中， ， ， ． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与证明，旋转的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关键； （1）由等边三角形的性质与旋转的性质证明即可； （2）由旋转知是等边三角形，则，可得，在直角三角形中利用勾股定理即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：旋转知， ∴是等边三角形， ∴； ∴； ∵， ∴由勾股定理得：． 3．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，，点在上，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，． (1)求证：； (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）先根据旋转的性质，由线段绕点C逆时针方向旋转至位置得到，，加上，于是可得，然后根据即可得到全等； （2）先在中利用勾股定理求出，即可得到，长，再证明，然后在中利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：将线段绕点顺时针方向旋转至， ，， ， ， 即． 在与中， ， ； （2）解：在中，，， ． ， 由（1）可知， ，， ． 在中，， ， ． 4．（2024·江苏苏州·一模）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由旋转得，，进而由余角性质得，再根据判定方法即可求证； （）根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，，再利用勾股定理计算即可求解． 【详解】（1）证明：由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴，                                         在和中， ， ∴； （2）解：由（）知， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 【题型十二：中心对称图形的识别 】 1．（2025·四川自贡·中考真题）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）下列图案中，不是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义进行判断即可．一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、C、D中的三个图案，能找到一点，图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故它们是中心对称图形； 选项B中的图案，不能找到一点，使图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形； 故选：B． 3．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 4．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的概念是关键； 根据中心对称图形的定义：如果一个图形绕着某一点旋转度后能够与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐项判断即可得解. 【详解】解：A、选项中的标志不可以看作是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的标志可以看作是中心对称图形，故本选项符合题意； C、选项中的标志不可以看作是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的标志不可以看作是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B. 【题型十三：根据中心对称图形的性质判断正误 】 1．（2024春·全国·八年级统考期中）下列说法中，正确的有（ ） ①平行四边形是中心对称图形②两个全等三角形一定成中心对称 ③对称中心是连接两对称点的线段的中点④若是轴对称图形，一定不是中心对称图形⑤若是中心对称图形，则一定不是轴对称图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据中心对称图形以及轴称图形的性质分别分析得出即可． 【详解】解：①平行四边形是中心对称图形，此选项正确； ②两个全等三角形不一定成中心对称，故此选项错误； ③对称中心是连接两对称点的线段的中点，此选项正确； ④若是轴对称图形，不一定不是中心对称图形，故此选项错误； ⑤若是中心对称图形，则不一定不是轴对称图形，故此选项错误，则正确的有2个． 故选B． 【点睛】此题主要考查了中心对称和轴对称图形的性质，正确区分他们的定义是解题关键． 2．（2024春•汝阳县期末）下列命题中： ①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的个数 为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】分别根据中对称图形以及中心对称和轴对称图形的性质进行判断得出即可． 【解答】解：①根据中心对称图形不一定是轴对称图形，故此选项错误； ②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形，此选项正确； ③关于某一点为中心对称的两个三角形全等，根据旋转的性质得出，此选项正确； ④两个能重合的图形不一定是旋转180°得到，所以不一定为中心对称，故此选项错误． 故正确的有2个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了中心对称以及中心对称图形和轴对称图形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题关键． 3．（2024春·福建泉州·八年级统考期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据与关于点成中心对称，即可得到，进而得到正确结论． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，故选项B不符合题意； ∴，，故选项C不符合题意； ∴， ∴，故选项D不符合题意； 而和不是对应边，不一定相等，故选项A符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称，关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．掌握中心对称的概念和性质是解题的关键．也考查了全等三角形的性质． 4．（2025七年级下·河南·专题练习）如图，与关于点成中心对称，有以下结论： ①点与点是对称点；②； ③；④．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称、全等三角形的性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是掌握中心对称的性质． 利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴≌， ∴点与点是对称点，，，， 故①②③正确． 故选：C ． 【题型十四：中心对称图形性质的计算 】 1．（2024春·河南·八年级河南省第二实验中学校考期末）如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC，BD，过点O作于点，交于点，利用勾股定理求得的长即可解题． 【详解】解：如图，连接AC，BD，过点O作于点，交于点， 四边形ABCD是矩形， 同理可得 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键． 2．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边的中线，， ∴，， ∵与关于点C中心对称，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2024春•拱墅区校级期中）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为 　　 ． 【分析】在直角△ABC中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得AB，依据中心对称可得BB′＝2AB，据此即可求解． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3， ∴AB＝2AC＝6， ∵B与B'关于A中心对称， ∴BB′＝2AB＝12． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质：30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质． 4．（2024春·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则 ．    【答案】1 【分析】根据中心对称的性质，得出，，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，， ∴，， ∵，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，解题的关键在掌握成中心对称图形的对应边相等，对应角相等，以及勾股定理的内容． 【题型十五：关于原点对称的点的坐标 】 1．（2024春•东港市期中）在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32 【答案】B． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求出a，b的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b）， ∴a+5＝3，b＝4， ∴a＝﹣2， ∴ab＝（﹣2）×4＝﹣8． 故选：B． 【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． 2．（2024春·浙江温州·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中有，，三个点，点的坐标是，点，点关于点中心对称，若将点往右平移个单位，再往上个单位，则与重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】假设，关于原点中心对称，则令，则为，由题意可得：，，从而可求得，，再把中心移到点的位置，则可求点的坐标． 【详解】解：设，关于原点中心对称，则令，则为， 将点往右平移个单位，再往上个单位，则与重合， ，， 解得：，， 把中心点平移到点的位置，其操作为向右平移个单位，再向上平移个单位， 点的坐标也随之变动， 点的坐标变为：即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查坐标与图形变化，解答的关键是明确平移和中心对称的特点． 3．（2024春·重庆开州·八年级统考期末）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是，则 ． 【答案】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值即可答案． 【详解】解：与点关于原点对称的点的坐标是：． ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了关于点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 4．（2024春·四川南充·八年级南充市实验中学校考期末）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝ ． 【答案】2 【分析】根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解． 【详解】解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称， ∴a-1+5=0，5+1-b=0， ∴a=-4，b=6， ∴a+b=2． 故答案为：2 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键． 【题型十六：综合利用平移、轴对称、旋转设计图案 】 1．图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影： （1）在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形； （3）在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【分析】（1）根据题意涂阴影； （2）根据题意涂阴影； （3）根据题意涂阴影； 【详解】解：（1）如图1； （2）如图2． （3）如图3． 【点睛】本题考查中心对称、轴对称，熟练掌握中心对称与轴对称图形的性质是解题的关键． 2．图1、图2、图3都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色，请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件． （1）图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形； （3）图3中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：答案不唯一． （1） （2） （3） 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 3．（2024春•榆树市期末）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N、均为格点，只用无刻度的直尺，按下列要求作图： （1）在图①中，画出图中△ABC向右平移3格后的△DEF； （2）在图②中，画出图中△ABC关于直线MN对称的△DEC； （3）在图③中，画出图中△ABC绕点C顺时针旋转90°后的△DEC． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B的对应点的D，E即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点D，E即可． 【详解】解：（1）如图①中，△DEF即为所求； （2）在图②中，△DEC即为所求； （3）在图③中，△DEF即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是学会掌握平移变换，轴对称变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型． 4．（2024春·浙江宁波·八年级统考期末）下列三个的网格图均由相同的小菱形组成，每个网格图中有3个小菱形已涂上阴影，请在余下的空白小菱形中，分别按要求选取一个涂上阴影：    (1)使得4个阴影小菱形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)使得4个阴影小菱形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． (3)使得4个阴影小菱形组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． （请将三个小题依次作答在图1，图2，图3中，均只需画出符合条件的一种情形即可．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形指一个图形绕着某点旋转，旋转后的图形能够与原来的图形重合．根据是轴对称图形，不是中心对称图形，涂上阴影即可； （2）根据是中心对称图形，不是轴对称图形，涂上阴影即可； （3）根据是中心对称图形，又是轴对称图形，涂上阴影即可． 【详解】（1）解：涂上阴影使4个阴影小菱形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，如下图所示：    （2）解：涂上阴影使4个阴影小菱形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，如下图所示：    （3）解：涂上阴影使4个阴影小菱形组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，如下图所示：    【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形及中心对称图形定义是解题关键． 【题型一：坐标系中作平移图形 】 1．（23-24七年级下·四川泸州·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，． (1)将三角形先向下平移5个单位，在向左平移3个单位，移动到三角形，画出三角形； (2)请写出点，，的坐标； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）由图可直接得出答案． （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）如图所示，三角形即为所作； （2）解：由图可得，，，； （3）解：角形的面积为：． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上且坐标可表示为，点B的坐标为． (1) ． (2)将点A向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点，求点的坐标． (3)请在图中画出，并求出的面积． 【答案】(1)2 (2) (3)见详解，10 【分析】本题主要考查坐标轴的特点和点的平移， 根据在x轴上得特点列出求解即可； 根据平移得性质即可求得； 在平面直角坐标系中找到对应点，再将三角形分割为两部分求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上且坐标可表示为， ∴，解得． 故答案为：2； （2）由得， 根据点A向上平移3个单位，得， 再向左平移2个单位得到点， 故； （3）如图， ． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，三个顶点的坐标分别为,,． (1)将向右平移5个单位长度得到，请画出； (2)作关于轴对称的，并写出顶点的坐标； (3)计算的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解，； (3) 【分析】（1）将A，B，C分别向右平移5个单位，得到对应的，，，顺次连接，，即可得到； （2）作A，B，C关于x轴的对称点，，，顺次连接，，，即可得到；（3）用梯形的面积减去和的面积即可得的面积． 本题考查坐标与图形，图形的平移，作轴对称图形，利用格点求三角形面积等，解题的关键是掌握平移和轴对称的性质． 【详解】（1）（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示即为所求，； （3）解：过点作交于点，过点作交于点， ． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点，，的坐标分别为，，，仅用无刻度的直尺完成画图，并回答下列问题（画图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． (1)画出三角形，并直接写出三角形的面积； (2)将线段平移到，点的对应点为点； (3)在轴上画点，使； (4)连接，在线段上画点，使三角形的面积为5． 【答案】(1)画图见解析， (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图形变化—平移，坐标与图形，平行线的性质与判定等待，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据点A、B、C的坐标描出各点，然后顺次连接即可，根据割补法求出的面积即可； （2）根据平移的规律确定点F的位置，然后连接即可； （3）连接交x轴于D即可； （4）取，连接交于E，点E即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ； （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，点D即为所求， 根据平移的性质得， ∴； （4）解：如图，取，连接交于E，点E即为所求； 可证明，则． ， 【题型二：坐标系中作中心对称图形 】 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出两次平移后的； (2)若和关于原点成中心对称．画出； (3)将绕某点旋转也可以得到，则其旋转中心的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了 —平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质以及成中心对称的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据成中心对称的性质作图即可； （3）连接、，交点即为所求． 【详解】（1）解：如图：就是所求作的三角形； （2）解：如图：就是所求作的三角形； （3）解：连接、，交点即为所求，结合图象可得旋转中心的坐标是 ． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出经过平移后得到的，已知点的坐标为，写出顶点的坐标； (2)若和关于原点成中心对称，不画图直接写出顶点的坐标； (3)画出绕点按顺时针方向旋转90°得到的． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查旋转变换和平移变换，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义是解题的关键． （1）由点的对应点的坐标得出平移的方向和距离，据此可得； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数可得； （3）将三角形三顶点分别绕着点按顺时针方向旋转得到对应点，据此可得． 【详解】（1）如图，为所作， 因为点平移后的对应点的坐标为，所以先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 所以点的坐标为； （2）因为和关于原点成中心对称图形， 所以； （3）如图，为所作． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，每个小正方形边长为1个单位长度． (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出． (2)作出关于坐标原点成中心对称的． (3)点向右平移个单位长度，当的面积为时，请直接写出的值________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)2或7 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点，即可； （2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （3）根据题意得到，求出a的值，即可解答． 本题考查作图-平移变换、旋转变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）∵的面积为， ∴， 解得：或7． 故答案为：2 或7． 4．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：． (1)平移，使点A的对应点为点． ①将平移到的过程可描述为，先向右平移______个单位长度，再_______； ②请在图中画出平移后的； (2)请以点B为对称中心，画出与成中心对称的． 【答案】(1)①1，向下平移6个单位长度；②见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）①结合平移的性质可得答案． ②根据平移的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：①由题意得，将平移到的过程可描述为，先向右平移1个单位长度，再向下平移6个单位长度； 故答案为：1；向下平移6个单位长度． ②如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 【题型一：平移与几何图形的综合应用 】 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，三角形和三角形． (1)将三角形平移得到三角形，连接、． ①线段与线段的位置关系是________，线段与线段的位置关系是________； ②求证：． (2)若，，求证：． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． （1）①根据平移的性质求解即可； ②根据平行线的性质得出，，根据补角的性质得出答案即可； （2）根据平行线的判定和性质进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据平移可得：，； ②证明：， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了图形平移性质、三角形内角和定理以及相关角度和面积的计算．解题关键是利用平移性质得到角与面积的等量关系，结合三角形内角和等知识求解角度与面积． （1）利用平移性质得到对应角相等，进而推出两直线平行，再依据平行线性质得出与已知角相等，结合较大锐角为，求出度数． （2）先由第一问结论得到度数，根据已知度数求出，再在中利用三角形内角和定理求出，从而得出结论． （3）根据平移性质可知，又因为，结合三块阴影部分面积和为，通过面积关系的等量代换，得出一个直角三角板的面积． 【详解】（1）解：是由向左平移得到的 ∵ ， ∴； （2）由（1）可知： ∵ 在中， ； （3）∵三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上， ∴， ∵，三块阴影部分的面积之和为6， ∴， ∴一个直角三角板的面积为6． 故答案为：6． 3．（2024下·河南安阳·八年级统考期末）问题情境：在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义点的“绝对和”为：．例如：已知点P(2，3)，则． 解决问题： (1)已知点A(4，-1)则_______； (2)如图，已知点M(4，4)，连接点O、M得线段OM．点Q是线段OM上的一个动点． ①若d(Q)＝6，求点的坐标； ②若线段OM向上平移个单位，点的对应点为，如果，求的取值范围； ③若线段OM先向右平移个单位，再向上平移个单位后，点的对应点依次为、，连接点Q、、得到．则的形状是_________；的面积是_______．(用含有字母a、b的式子表示) 【答案】(1)3 (2)①Q(3，3)；②；③直角三角形，． 【分析】（1）根据“绝对和”的定义即可求解； （2）①由M点坐标为(4，4)，可知OM上所有点的横、纵坐标都相等．即可设，再根据“绝对和”的定义即可列出关于x的绝对值方程，解出x，再舍去不合题意的解，即可得出答案；②根据题意可设，再结合“绝对和”的定义可得出，再由，即可得出，由y的取值范围，即可求出m的取值范围；③由平移的性质可知为直角三角形，且，，，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）， 故答案为：3； （2）①∵M(4，4)， ∴OM上所有点的横、纵坐标都相等． ∵点Q是线段OM上的一个动点， 故可设． ∵d(Q)＝6， ∴， 解得：（舍）， ∴点的坐标为(3，3)； ②根据题意可设， 则． ∵， ∴ ∴， ∴， 解得：， ∴； ③∵线段OM先向右平移个单位，再向上平移个单位后，点的对应点依次为、， ∴为直角三角形，且， 由平移可知，， ∴． 故答案为：直角三角形，． 【点睛】本题考查坐标与图形，一元一次方程的应用，平移的性质．读懂题意，理解“绝对和”的定义是解题关键． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 【答案】(1)，； (2)存在，或； (3)当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据横坐标左加右减，纵坐标上加下减求解即可； （2）根据、两点坐标，求出，从而求出，设点，再利用三角形面积公式求解即可； （3）由平移的性质可知，，点的位置分三种情况求解，过点作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段， 则点的坐标为，即；点的坐标为，即， 故答案为：，； （2）解：，， ， 三角形的面积等于三角形面积的， ， 设点，则， ， 解得：或， 点的坐标为或； （3）解：由平移的性质可知，， ①如图，当点在线段的延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； ②如图，当点在线段上时，过点作， ， ， ， ， ； ③如图，当点在线段的反向延长线上时，过点作， ， ， ， ， ； 综上可知，当点在线段的延长线上时，；当点在线段上时，；当点在线段的反向延长线上时，． 【题型二：旋转的综合题 】 1．（2024·北京大兴·一模）在中，，，点D是线段上一个动点（不与点A，B重合），，以D为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）由等边对等角及三角形的内角和定理可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据角的和差关系即可解答； （3）过点D作，交于点F，交的延长线于点M，先证明，可得，再证明，可得，进而证明，则，于是可得，然后由勾股定理可得，再根据线段的和差关系及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意补全图形如下： （2）解：∵，， ∴， ∴， 将线段顺时针旋转得到线段， ， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，过点D作，交于点F，交的延长线于点M，则， ∴， 即：， ∵， ， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定性质． （1）由将线段绕点逆时针旋转得到线段，得，，从而，故，得； （2）根据，得，由，即知，从而，有，故． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：线段、、之间的数量关系为，证明如下： 如图： ， ， 同（1）可证， ， ， ， ． 3．（24-25八年级上·四川巴中·期末）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，； （2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∴，； 故答案为：，； （2），证明如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)若，则 ； (2)求证：； (3)好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数． 【答案】(1)6； (2)见解析； (3) 【分析】（1）首先根据旋转的性质，判断出，，进而判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）延长交的延长线于点，同(1)方法证明，得，进而可以解决问题； （3）如图2，在上取点，使，连接，证明，得， ，设，，得，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，，，，， 在和中， ， ， ， 故答案为：6； （2）证明：如图1，延长交的延长线于点， 绕点逆时针旋转得到， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，在上取点，使，连接， ，， ， ，， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】本题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业08 图形的平移与旋转 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：生活中的平移现象 】 1．（24-25七年级下·山西大同·期中）随着电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，许多同学对动画设计产生了浓厚的兴趣．下列选项中，左边的图案通过平移能得到右边图案的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）在2025年4月13日十堰市举行的马拉松赛事中，吉祥物太极娃将头顶天柱峰，脚踏东风轮，手护丹江水，以激情奔跑的形态和各位选手相约2025十堰马拉松赛道．通过平移吉祥物“太极娃”可以得到的图形是（    ） A．B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列现象是平移的是（　　） A．电梯从底楼升到顶楼 B．卫星绕地球运动 C．纸张沿着它的中线对折 D．用投影仪把文字变换到屏幕上 4．（24-25七年级下·福建厦门·期中）下列哪个图形可以通过平移得到（    ） A． B． C． D． 【题型二：图形的平移 】 1．（2023下·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）下列四个图案中，能用平移来分析其形成过程的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）下列几组图形中，通过平移后能够重合的是（   ） A．B．C． D． 3．（24-25七年级下·重庆大足·阶段练习）下列图形中，能通过平移得到是（     ） A． B． C． D． 4．（2024下·河南周口·八年级校联考期末）如图，有四个形状和大小都相同的含的三角板，选项中的图形不能由四个小三角板经过平移得到的是（    ）    A．    B．   C．   D．   【题型三：利用平移的性质计算 】 1．（24-25七年级下·河南安阳·期中）如图，将三角形沿着射线向右平移得到三角形，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·河南商丘·二模）如图，在中，，，，将沿着的方向平移得到，连接，若，则的周长为（   ） A．27 B．18 C．24 D．20 3．（2025·广东深圳·三模）如图，将沿射线方向平移，得到，已知，，则阴影部分的面积为 ． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，，将向左平移得到，交于点，． (1) ， ； (2)直接写出与之间关系； (3)计算图中阴影部分的面积． 【题型四：利用平移解决实际问题 】 1．（2024春•饶平县校级期末）宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红地毯，已知这种地毯每平方米售价40元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，求买地毯至少需要多少元？ 2．（2024春•内乡县期末）如图所示，某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），小路宽1米，则小明同学所走的路径长为（　　） A．98米 B．100米 C．123米 D．75米 3．（2024春•东莞市校级期中）某小区有一块长方形的草地（如图），长18米，宽10米，空白部分为两条宽度均为2米的小路，则草地的实际面积 　 　m2． 4．（2024春•宾阳县期中）如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1米就是它的右边线，求： （1）用含a，b的式子表示绿地面积； （2）当a＝30米，b＝20米时，绿地面积是多少平方米？ 【题型五：平移作图 】 1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中，点、、都在格点上．    (1)平移线段，使点与点重合，画出线段； (2)连接、，与的关系是____________； (3)若每个小正方形边长为1，线段扫过的面积是______________． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，在所给4×4网格图（每个小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)作图：将平移得到，请画一个与无重合部分； (2)线段与的位置关系； (3)请求出的面积． 3．（24-25七年级下·四川广元·阶段练习）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，经过平移后得到，图中标出了点B的对应点．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留作图痕迹）： (1)画出； (2)连接、，那么线段与线段的关系是______； (3)平移过程中，线段扫过的面积为______． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，三角形的顶点都在方格纸的格点上． (1)利用格点画出边上的垂直平分线； (2)平移三角形，使点移动到点的位置． ①画出平移后的； ②若连接，，则这两条线段之间的关系是___________； (3)找到格点，使得它与点、、组成的图形是一个轴对称图形，这样的格点有___________ 【题型六：由平移方式确定平移后的坐标 】 1．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点、，N的对应点，求N的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）已知 ，将线段 平移至，若，，则 的值为（    ） A． B． C．6 D．9 3．（24-25八年级下·江西萍乡·期中）在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，平移线段得到线段，其中点M对应点P，点N对应点Q，若P的坐标为，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段DC，点A和点B的对应点分别是点D和点C．若点，，，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型七：生活中的旋转现象 】 1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）有下列现象：①地下水位逐年下降；②传送带上物品的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动．其中，属于旋转的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中不属于旋转的是（    ） A． B． C．    D． 4．（24-25七年级上·河北承德·阶段练习）将4张扑克牌按图1的方式放在桌面上，将其中1张扑克牌旋转了后得到图2，则被旋转过的扑克牌是（　　） A． B． C． D． 【题型八：确定旋转的三要素 】 1．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，在的正方形网格中，旋转得到，其旋转中心是（   ） A．M B．N C．P D．Q 2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，将（其中）绕点A按顺时针方向旋转到的位置，使得点C、A、在同一条直线上，那么旋转角等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（    ） A．点O， B．点O， C．点O， D．点B， 4．（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【题型九：利用旋转的性质计算 】 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、的对应点分别为点、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，在，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，使点的对应点恰好落在边上，与交于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·湖南邵阳·一模）如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2025年黑龙江省牡丹江市第五子联盟初中学业水平考试第二次适应性考试数学试题）在四边形中，，则的长为(    ) A．14 B．13 C．12 D．11 【题型十：作图---旋转变换 】 1．（2024春•商水县期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将△ABC向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出△ABC平移后的图形△A1B1C1． （2）以点C为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°，得到△A2B2C，请画出△A2B2C． 2．（2024春·山东枣庄·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的 (2)将绕着点A顺时针旋转，画出旋转后得到的； (3)可看作由绕P点旋转而成，点，，的对应点分别为A，，，则点P的坐标为________． 3．（2024春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称作格点，的三个顶点都在格点上，把先向右平移6个单位，再向下平移4个单位得，再将绕点顺时针旋转得．结合所给的平面直角坐标系，回答下列问题：    (1)在平面直角坐标系中画出和； (2)图中的能不能通过顺时针旋转得到？如果可以，请写出旋转中心D的坐标及旋转角的度数（）；如果不能，说明理由． 4．（2024春·四川达州·八年级校联考期中）如图，已知在平面直角坐标系内有，，． (1)画出向右平移三个单位的，并写出的坐标：______； (2)将绕点逆时针方向旋转后得到，画出旋转后的图形，并写出坐标：______； (3)求（1）中所扫过的面积． 【题型十一：利用旋转的性质证明 】 1．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：． 2．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，在中，，，点在上，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接，． (1)求证：； (2)求线段的长度． 4．（2024·江苏苏州·一模）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型十二：中心对称图形的识别 】 1．（2025·四川自贡·中考真题）起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）下列图案中，不是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 3．（24-25九年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型十三：根据中心对称图形的性质判断正误 】 1．（2024春·全国·八年级统考期中）下列说法中，正确的有（ ） ①平行四边形是中心对称图形②两个全等三角形一定成中心对称 ③对称中心是连接两对称点的线段的中点④若是轴对称图形，一定不是中心对称图形⑤若是中心对称图形，则一定不是轴对称图形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024春•汝阳县期末）下列命题中： ①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的个数 为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春·福建泉州·八年级统考期末）如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 4．（2025七年级下·河南·专题练习）如图，与关于点成中心对称，有以下结论： ①点与点是对称点；②； ③；④．其中结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型十四：中心对称图形性质的计算 】 1．（2024春·河南·八年级河南省第二实验中学校考期末）如图，在矩形中，，，是矩形的对称中心，点、分别在边、上，连接、，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 3．（2024春•拱墅区校级期中）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为 　　 ． 4．（2024春·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则 ．    【题型十五：关于原点对称的点的坐标 】 1．（2024春•东港市期中）在平面直角坐标系中，点（a+5，4）关于原点的对称点为（﹣3，﹣b），则ab的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．32 D．﹣32 2．（2024春·浙江温州·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中有，，三个点，点的坐标是，点，点关于点中心对称，若将点往右平移个单位，再往上个单位，则与重合，则点的坐标是 ． 3．（2024春·重庆开州·八年级统考期末）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是，则 ． 4．（2024春·四川南充·八年级南充市实验中学校考期末）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝ ． 【题型十六：综合利用平移、轴对称、旋转设计图案 】 1．图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影： （1）在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； （2）在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形； （3）在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 2．图1、图2、图3都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色，请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件． （1）图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形； （2）图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形； （3）图3中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 3．（2024春•榆树市期末）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N、均为格点，只用无刻度的直尺，按下列要求作图： （1）在图①中，画出图中△ABC向右平移3格后的△DEF； （2）在图②中，画出图中△ABC关于直线MN对称的△DEC； （3）在图③中，画出图中△ABC绕点C顺时针旋转90°后的△DEC． 4．（2024春·浙江宁波·八年级统考期末）下列三个的网格图均由相同的小菱形组成，每个网格图中有3个小菱形已涂上阴影，请在余下的空白小菱形中，分别按要求选取一个涂上阴影：    (1)使得4个阴影小菱形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． (2)使得4个阴影小菱形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． (3)使得4个阴影小菱形组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． （请将三个小题依次作答在图1，图2，图3中，均只需画出符合条件的一种情形即可．） 【题型一：坐标系中作平移图形 】 1．（23-24七年级下·四川泸州·期中）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，． (1)将三角形先向下平移5个单位，在向左平移3个单位，移动到三角形，画出三角形； (2)请写出点，，的坐标； (3)求三角形的面积． 2．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上且坐标可表示为，点B的坐标为． (1) ． (2)将点A向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到点，求点的坐标． (3)请在图中画出，并求出的面积． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，三个顶点的坐标分别为,,． (1)将向右平移5个单位长度得到，请画出； (2)作关于轴对称的，并写出顶点的坐标； (3)计算的面积． 4．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点，，的坐标分别为，，，仅用无刻度的直尺完成画图，并回答下列问题（画图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）． (1)画出三角形，并直接写出三角形的面积； (2)将线段平移到，点的对应点为点； (3)在轴上画点，使； (4)连接，在线段上画点，使三角形的面积为5． 【题型二：坐标系中作中心对称图形 】 1．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)将先向右平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出两次平移后的； (2)若和关于原点成中心对称．画出； (3)将绕某点旋转也可以得到，则其旋转中心的坐标是______． 2．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出经过平移后得到的，已知点的坐标为，写出顶点的坐标； (2)若和关于原点成中心对称，不画图直接写出顶点的坐标； (3)画出绕点按顺时针方向旋转90°得到的． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，每个小正方形边长为1个单位长度． (1)以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出． (2)作出关于坐标原点成中心对称的． (3)点向右平移个单位长度，当的面积为时，请直接写出的值________． 4．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：． (1)平移，使点A的对应点为点． ①将平移到的过程可描述为，先向右平移______个单位长度，再_______； ②请在图中画出平移后的； (2)请以点B为对称中心，画出与成中心对称的． 【题型一：平移与几何图形的综合应用 】 1．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，三角形和三角形． (1)将三角形平移得到三角形，连接、． ①线段与线段的位置关系是________，线段与线段的位置关系是________； ②求证：． (2)若，，求证：． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 3．（2024下·河南安阳·八年级统考期末）问题情境：在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义点的“绝对和”为：．例如：已知点P(2，3)，则． 解决问题： (1)已知点A(4，-1)则_______； (2)如图，已知点M(4，4)，连接点O、M得线段OM．点Q是线段OM上的一个动点． ①若d(Q)＝6，求点的坐标； ②若线段OM向上平移个单位，点的对应点为，如果，求的取值范围； ③若线段OM先向右平移个单位，再向上平移个单位后，点的对应点依次为、，连接点Q、、得到．则的形状是_________；的面积是_______．(用含有字母a、b的式子表示) 4．（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接、、． (1)点的坐标为__________，点的坐标为__________； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，若是直线上的一个动点，连接、，当点在直线上运动时，直接写出，，之间的数量关系 【题型二：旋转的综合题 】 1．（2024·北京大兴·一模）在中，，，点D是线段上一个动点（不与点A，B重合），，以D为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 2．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； (2)如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； 3．（24-25八年级上·四川巴中·期末）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)若，则 ； (2)求证：； (3)好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$