第02讲 函数的单调性与最大（小）值 （知识点+真题+2大高频考点+2类典型易错） ( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第02讲 函数的单调性与最大（小）值 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 3 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：函数的单调性 3 角度1：求函数的单调区间 3 角度2：根据函数的单调性求参数 4 角度3：复合函数的单调性 4 角度4：根据函数单调性解不等式 5 高频考点二：函数的最大（小）值 6 角度1：利用函数单调性求最值 6 角度2：根据函数最值求参数 7 角度3：不等式恒成立问题 8 角度4：不等式有解问题 8 第四部分：典型易错题型 10 第一部分：基础知识 1、函数的单调性 （1）单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，； ①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 ②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 （2）单调性简图： （3）单调区间（注意先求定义域） 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． （4）复合函数的单调性（同调增；异调减） 对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． 2、函数的最值 （1）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最大值 （2）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最小值 3、常用高频结论 （1）设，. ①若有或，则在闭区间上是增函数； ②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. （2）函数相加或相减后单调性： 设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减） 增 增 增 减 减 减 增 减 增 减 增 减 （3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． （4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 第二部分：高考真题回顾 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：函数的单调性 角度1：求函数的单调区间 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 精练高频考点 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 2．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 角度2：根据函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 角度3：复合函数的单调性 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 方法总结：复合函数单调性遵循：同调增；异调减（同增异减）。 具体的若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 精练高频考点 1．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C．和 D． 角度4：根据函数单调性解不等式 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 友情提醒：本题最容易忽视的就是定义域，解题时很容易得到而忽略了定义域而造成错解，一轮复习时要特别引起注意，定义域是最容易被忽视的错解原因之一。 例题2．（24-25高三下·河北承德·开学考试）已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的取值范围是（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 2．（2026高三·全国·专题练习）函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的x的取值范围是 ． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 方法总结：对于在上是偶函数，且在单调递减，则；特别提醒不能忽略定义域；另外偶函数问题对变量加绝对值来比较大小 高频考点二：函数的最大（小）值 角度1：利用函数单调性求最值 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的最小值是 ． 方法总结：函数单调性常涉及： ①图象法 ②复合函数（同增异减） ③相加法：设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减） 增 增 增 减 减 减 增 减 增 减 增 减 精练高频考点 1．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是 . 角度2：根据函数最值求参数 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）设函数且在上的最大值和最小值之和为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 例题2．（23-24高三上·广西南宁·期中）函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为5，则 . 2．（23-24高三上·全国·课后作业）已知函数. (1)若函数在区间上y随x增大而增大，求实数a的取值范围； (2)若函数在区间上的最大值为1，求实数a的值. 角度3：不等式恒成立问题 典型例题 例题1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（上海市2024-2025学年高三下学期5月调研数学试卷）设，.已知函数的定义域为，且． (1)若函数是偶函数，求的值； (2)设，若对任意的，均有，求的取值范围． 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中a，．若对任意的，不等式在上恒成立，则b的取值范围为 ． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 角度4：不等式有解问题 典型例题 例题1．（多选）（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三下·浙江·期中）已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解； (2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 精练高频考点 1．（24-25高三上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知奇函数经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围. 第四部分：典型易错题型 备注：单调区间容易忽视定义域 1．（24-25高三上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较 1．（23-24高三上·天津南开·期中）函数是上的减函数，则的取值范围是 . 备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域 1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 函数的单调性与最大（小）值 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 3 第三部分：高频考点一遍过 5 高频考点一：函数的单调性 5 角度1：求函数的单调区间 5 角度2：根据函数的单调性求参数 7 角度3：复合函数的单调性 9 角度4：根据函数单调性解不等式 11 高频考点二：函数的最大（小）值 13 角度1：利用函数单调性求最值 13 角度2：根据函数最值求参数 15 角度3：不等式恒成立问题 17 角度4：不等式有解问题 20 第四部分：典型易错题型 24 第一部分：基础知识 1、函数的单调性 （1）单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，； ①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 ②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 （2）单调性简图： （3）单调区间（注意先求定义域） 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． （4）复合函数的单调性（同调增；异调减） 对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． 2、函数的最值 （1）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最大值 （2）设函数的定义域为，如果存在实数满足 ①对于任意的，都有； ②存在，使得 则为最小值 3、常用高频结论 （1）设，. ①若有或，则在闭区间上是增函数； ②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. （2）函数相加或相减后单调性： 设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减） 增 增 增 减 减 减 增 减 增 减 增 减 （3）对钩函数单调性：（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． （4）常见对钩函数：（），的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 第二部分：高考真题回顾 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：函数的单调性 角度1：求函数的单调区间 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数的单调区间 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 例题2．（2025高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， 精练高频考点 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为 ． 【答案】, 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数的单调区间、画出具体函数图象 【分析】利用分段函数思想，来作出图象，即可得单调增区间. 【详解】， 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递增区间为和． 故答案为：，． 2．（2025高一·全国·专题练习）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调减区间 . 【答案】 【知识点】求函数的单调区间、画出具体函数图象、根据图像判断函数单调性 【分析】作出函数的图象，结合图形即可求解. 【详解】， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知函数的单调递减区间是. 故答案为： 角度2：根据函数的单调性求参数 典型例题 例题1．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可. 【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增， 可得在区间上单调递增，所以. 故选:D. 例题2．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 精练高频考点 1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 2．（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】根据指数函数的单调性可知.对的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数函数的单调性即可求解. 【详解】当时，根据指数函数在上单调递增，可知. 当时，，所以，在上单调递增； 当时，，在上不单调； 当时，，所以，在上单调递减. 综上，. 故选：C. 角度3：复合函数的单调性 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复合函数的单调性 【详解】有意义，则，解得．设，其图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，当时，单调递减．又在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当单调递增时，单调递增． 例题2．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、由指数（型）的单调性求参数、复合函数的单调性 【分析】根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，函数在上单调递增， 易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，. 故选：B. 方法总结：复合函数单调性遵循：同调增；异调减（同增异减）。 具体的若函数在内单调，在内单调，且集合. (1)若是增函数，是增(减)函数，则是增(减)函数 (2)若是减函数，是增(减)函数，则是减(增)函数 精练高频考点 1．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性、具体函数的定义域 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【知识点】复合函数的单调性 【分析】求出原函数的定义域，利用复合函数法可得出原函数的单调递增区间. 【详解】由可得且， 所以，函数的定义域为， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和， 因为函数在、上均为减函数， 所以，函数的单调增区间为和． 故选：C. 角度4：根据函数单调性解不等式 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【详解】由解得． 友情提醒：本题最容易忽视的就是定义域，解题时很容易得到而忽略了定义域而造成错解，一轮复习时要特别引起注意，定义域是最容易被忽视的错解原因之一。 例题2．（24-25高三下·河北承德·开学考试）已知定义域为的偶函数满足：对任意，，都有成立，则满足的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题意得到函数的单调性，再结合偶函数化简不等式求解即可. 【详解】由对任意，都有成立， 得在上单调递增， 又为偶函数，则不等式等价于， 所以，解得， 即满足题意的x取值范围为： 故选：C. 精练高频考点 1．（25-26高三上·全国·课后作业）已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【详解】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是． 2．（2026高三·全国·专题练习）函数在上单调递增，且为奇函数，若，则满足的x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由函数的单调性及奇偶性即可求解. 【详解】因为是奇函数， 故． 又是增函数，，. 所以， 则，解得． 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 方法总结：对于在上是偶函数，且在单调递减，则；特别提醒不能忽略定义域；另外偶函数问题对变量加绝对值来比较大小 高频考点二：函数的最大（小）值 角度1：利用函数单调性求最值 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【详解】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得． 例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）函数的最小值是 ． 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、具体函数的定义域 【详解】由得的定义域为．又函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增．所以当时，． 方法总结：函数单调性常涉及： ①图象法 ②复合函数（同增异减） ③相加法：设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减） 增 增 增 减 减 减 增 减 增 减 增 减 精练高频考点 1．（24-25高三下·湖南永州·开学考试）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】利用换元法，令，可将原函数转化为，再根据对勾函数的单调性，即可求出结果. 【详解】令，所以; 所以转化为； 即 又函数在上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取到最小值为； 即当时，取到最小值，最小值为. 故选：D. 2．（2025·广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】分别求出函数在各段上的最小值，再比较即可求出． 【详解】当时，单调递减，所以. 当时，在区间上单调递减，在区间上单调增， 所以. 综上所述，的最小值是. 故答案为：. 角度2：根据函数最值求参数 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）设函数且在上的最大值和最小值之和为，则的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性、根据指数函数的最值求参数、根据函数的最值求参数 【分析】结合函数与的单调性可知在单调递增或单调递减，从而可得函数在上的最值分别为，代入可求的值. 【详解】由换底公式可得， 又与在区间上具有相同的单调性， 故在上单调递增或单调递减，在上的最值分别为， 故，由题意，解得. 故选：B 例题2．（23-24高三上·广西南宁·期中）函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】根据二次函数的性质进行求解即可. 【详解】二次函数图象的对称轴为：，在上的值域为，，，由图可知. 故选：A. 精练高频考点 1．（24-25高三上·青海·阶段练习）已知函数在区间上的最大值为5，则 . 【答案】3 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据函数的最值求参数 【分析】化简函数，根据函数的解析式判断函数的单调性，再根据最值，即可求解. 【详解】因为在区间上是减函数，所以，解得. 故答案为：3 2．（23-24高三上·全国·课后作业）已知函数. (1)若函数在区间上y随x增大而增大，求实数a的取值范围； (2)若函数在区间上的最大值为1，求实数a的值. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据函数的最值求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】（1）根据函数的单调性可得对称轴满足的条件，故可得参数的取值范围； （2）就，及分类讨论后可得实数的值. 【详解】（1）由题设可得函数在上为增函数，而二次函数的对称轴为， 故即. （2）二次函数的对称轴为， 当即时，函数在上为减函数，故最大值为即，符合； 当即时，函数在上递增，在上递减， 故最大值为， 故，解得或，因，故两解均舍； 当即时，此时函数在为增函数， 故最大值为即， 综上，或. 角度3：不等式恒成立问题 典型例题 例题1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】分三种情况恒成立化简，再结合参数分离应用基本不等式计算求参. 【详解】函数，当时，， 当时，，符合题意； 当时，函数，不符合题意； 当时，函数恒成立，所以恒成立， 因为，所以恒成立， 所以恒成立，即得， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 令，恒成立， 因为，当且仅当时取最小值4， 所以，符合题意； 则的取值范围是. 故选：C. 例题2．（上海市2024-2025学年高三下学期5月调研数学试卷）设，.已知函数的定义域为，且． (1)若函数是偶函数，求的值； (2)设，若对任意的，均有，求的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）方法一：首先根据函数是偶函数，求出的值，然后根据定义域两个端点的偶函数性质求出的值； 方法二：首先根据函数是偶函数，求出的值，然后根据求出的值. （2）首先根据定义域求出的范围，然后通过讨论不同的范围下，利用函数的单调性和最大最小值，求出满足不等式成立的的范围，即是最终要求的答案. 【详解】（1）方法一：由函数是偶函数，，可知，解得， 同时，则，解得， 此时，对任意，显然有. 综上所述：，. 方法二：由函数是偶函数，，可知，解得. 且对任意，有，即， 化简得恒成立，所以. 综上所述：，. （2）根据，，且，则或. 情况1：当时，对任意，， 故要使得，只需. 即，设，， 则，故是上的严格增函数， 故只需，解得，则. 情况2：当时，对任意，， 故要使得，只需. 即，设，， 由情况1可知，是上的严格增函数， 只需，即，与无交集，舍去. 综上所述，的取值范围是. 精练高频考点 1．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中a，．若对任意的，不等式在上恒成立，则b的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】利用变更主元法将问题转化为对任意的，不等式恒成立，进而有不等式在上恒成立，参变分离得，利用对勾函数的单调性求得，即可得解． 【详解】先将a看作主元，记关于a的一次函数， 则对任意的，不等式恒成立． 由于，故单调递增，则只要， 因此不等式在上恒成立． 分离变量得不等式在上恒成立， 故， 由对勾函数的单调性知在上单调递减， 所以，所以，即． 故答案为： 2．（2025高三·全国·专题练习）已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可． 【详解】设， 则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得 故x的取值范围是． 故答案为： 角度4：不等式有解问题 典型例题 例题1．（多选）（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】变换得到在上有解，设，则，得到，根据对勾函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】由，即，， 故在上有解， 设，则， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则的最大值为，故. 故选：AB. 例题2．（24-25高三下·浙江·期中）已知函数． (1)当时，求关于的不等式的解； (2)若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）利用二次函数的性质及得到，解一元二次不等式及指数函数的单调性求解集； （2）问题化为，上，应用基本不等式及分类讨论求函数的最值，进而求参数范围. 【详解】（1）由题设，则在上单调递增， 由，且，即， 所以，可得，故， 所以不等式的解集为； （2）由题意，，上， 在上，， 当且仅当时取等号，故， 在上，的开口向上且对称轴为， 当时，在上单调递增，则， 此时，不符合前提； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，故； 当时，在上单调递减，则， 此时恒成立，即； 综上，. 精练高频考点 1．（24-25高三上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则该函数在上为增函数， 当时，， 因为对均有， 所以，，则，解得. 故选：D. 2．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知奇函数经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增；证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据为奇函数求出的值，根据的图象经过点求出即可求解； （2）利用单调性的定义判断即可； （3）由已知得，根据单调性求出最值即可求解. 【详解】（1）因为为奇函数，所以， 即，所以，得， 所以，， 因为函数经过点，所以，解得， 所以； （2），， ， 因为，，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）因为存在，使得不等式成立， 则， 由（2）知，函数在上单调递增，且为奇函数， 所以函数在上单调递增， 所以当时，； 令，， 的图象开口方向向上，对称轴方程为， 当时，， 所以，解得或，所以； 当时，， 所以，解得或，所以， 综上，或， 所以实数m的取值范围为. 第四部分：典型易错题型 备注：单调区间容易忽视定义域 1．（24-25高三上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 2．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求函数的单调区间、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】利用复合函数单调性的判断直接求解即可. 【详解】由题知，， 可得函数的定义域为， 可分解为和， 因为函数在上单调递减， 且在上单调递减， 在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 故选：D 备注：分段函数单调性问题容易忽视分段点大小比较 1．（23-24高三上·天津南开·期中）函数是上的减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、分段函数的单调性 【分析】由分段函数单调性先分段分析，再在定义域上分析，建立关于的不等式组求解可得. 【详解】是上的减函数， ，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 备注：利用单调性解不等式容易忽略函数定义域 1．（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由区间关于0对称求得，然后利用偶函数的定义变形不等式，再根据单调性化简后，即可求解． 【详解】由题意，， 是偶函数，则不等式化为， 又在是单调递减， 所以，解得， 故选：D． 2．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据奇偶性与单调性的关系列出不等式求解，注意函数定义域. 【详解】因为已知为上的偶函数，且在上单调递增， 所以不等式，即，解得. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $$