第02讲 函数的单调性与最大（小）值 ( 精练+相遇真题、模拟）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第02讲 函数的单调性与最大（小）值 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高三上·全国·课后作业）若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 4．（24-25高三上·四川自贡·阶段练习）已知函数，，函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·全国·课后作业）已知，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2025高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高三上·全国·课后作业）定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 10．（24-25高三上·四川广元·期末）已知，若，使得，则实数m的最大值是 ． 四、解答题 11．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 12．（24-25高三上·四川宜宾·期末）定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足． (1)求的解析式； (2)若，都有成立，求实数的取值范围． B相遇高考 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． C素养提升 1．（2025·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）对于定义在区间D上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间D上的“非增函数”，若为区间上的“非增函数”，且，又时，恒成立，则下列命题中正确的有（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（山西省吕梁市2025届高三第三次模拟考试数学试题）已知定义域为的函数满足，都有，且时，，则（   ） A． B．是偶函数 C．的解集为 D． 4．（2025·宁夏银川·二模）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“M型”增函数. (1)若，，判断是否为“1型”增函数，并说明理由； (2)若，，其中为常数.若是“2型”增函数，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 函数的单调性与最大（小）值 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25高三上广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，在上单调递减，故A不符合题意， 对于B，在和上单调递增，在定义域上不是单调递增函数，故B不符合题意， 对于C，在上单调递减，在上单调递增，故C不符合题意， 对于D，在上单调递增，故D符合题意。 故选：D. 2．（2025·浙江金华·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、利用函数单调性求最值或值域、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数值恒大于或等于0，再利用分离参变量思想即可求解. 【详解】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即， 故选：B. 3．（25-26高三上·全国·课后作业）若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据函数的最值求参数 【详解】①当时，由题可得不符合题意；②当时，由题可得解得．综上，． 4．（24-25高三上·四川自贡·阶段练习）已知函数，，函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】将函数的解析式配方，结合二次函数性质求其值域. 【详解】函数，可化为， 所以函数，在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以函数的值域为. 故选：A. 5．（25-26高三上·全国·课后作业）已知，若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【详解】由题意，得解得，函数的定义域为．又，所以函数是定义在上的偶函数．，所以在上单调递减．又，所以解得． 6．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】含参指数函数的最值、函数不等式恒成立问题 【分析】根据函数单调性求出函数的最小值，利用恒成立问题列出不等式求解. 【详解】因为，使得，所以 因为函数在上单调递减，所以， 因为函数在上单调递增，所以， ，解得，即实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 7．（2025高三·全国·专题练习）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】ABC 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对ABC举反例即可判断，对D直接根据函数单调性定义即可判断. 【详解】对于A，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D，函数在上为增函数，则对于任意的， 设，必有， 对于，则有，即， 则在上为减函数，故D正确． 故选：ABC. 8．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】充分条件的判定及性质、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】分和两种情况，结合二次函数的性质得到不等式，求出，命题成立的一个充分条件是的子集，得到答案. 【详解】，当时，，满足要求， 当时，需满足，解得， 综上，，命题成立的一个充分条件是的子集， 故，，均满足要求. 故选：ACD 三、填空题 9．（25-26高三上·全国·课后作业）定义在上的函数满足，函数在上单调递 ；若，则满足的解集是 ． 【答案】 减 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【详解】因为函数满足，所以在上单调递减，且，所以当时，，当时，，所以由，得或解得． 10．（24-25高三上·四川广元·期末）已知，若，使得，则实数m的最大值是 ． 【答案】0 【知识点】对数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】利用单调性求出函数在上的最小值，再利用不等式在上有解求出范围即可. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 于是，由，使得， 得，不等式成立，即，， 而函数在上单调递减，当时，，因此， 所以实数m的最大值是0. 故答案为：0 四、解答题 11．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】根据函数的单调性求参数值、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）由偶函数的性质建立方程，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得其图象的开口方向与对称轴，结合单调性，可得答案； （3）由题意可得二次函数图象与轴的交点个数，从可得根的判别式与零的大小关系，可得答案. 【详解】（1）由函数为偶函数，则，可得， 解得. （2）由二次函数，则其图象开口向上，且对称轴为直线， 由函数在上单调，则或，解得或. （3）由题意可得，解得. 12．（24-25高三上·四川宜宾·期末）定义在R上的奇函数（a，b为常数）满足． (1)求的解析式； (2)若，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由奇偶性求函数解析式、对勾函数求最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数为奇函数，得到，求出，进而代入求出，得到解析式，验证后满足要求； （2）先求出在上的最大值，从而得到，求出答案. 【详解】（1）是R上的奇函数， ， ∴， 又， ∴， ， 此时，满足是定义在R上的奇函数； （2），， ∴当时，， 由对勾函数性质可得，在上单调递减， 故， ∴， 又是奇函数， ， ，， 或. B相遇高考 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D C素养提升 1．（2025·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，对于任意的，都有．若，且在时恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式变形为，可得出在时恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为，所以由，可得，即． 令，可得，则可知在上单调递增． ． 由，可得，即， 则在时恒成立，只需，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 2．（多选）（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）对于定义在区间D上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间D上的“非增函数”，若为区间上的“非增函数”，且，又时，恒成立，则下列命题中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】求函数值、判断或证明函数的对称性、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】结合已知条件令求解判断A，先根据对称得的图象关于对称，然后结合题干通过“非增函数”定义得，进而利用“非增函数”定义判断B，利用题干法则得，由B知，进而利用“非增函数”定义得判断C，根据“非增函数”定义先求得，然后求解即可判断D. 【详解】对于A，令，则，又因为，所以，故A正确； 对于B．因为，所以的图象关于对称， 当时，；当时，恒成立， 令，所以，又因为为区间上的“非增函数”， 则，所以，所以，故B错误； 对于C，因为， 由B知，当时，，所以， 因为，则， 所以，故C正确； 对于D，，即， 所以由C知，故D正确． 故选：ACD． 3．（多选）（山西省吕梁市2025届高三第三次模拟考试数学试题）已知定义域为的函数满足，都有，且时，，则（   ） A． B．是偶函数 C．的解集为 D． 【答案】ACD 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】赋值可确定A，令可得知函数关于对称，不是偶函数，通过变换，可证明函数单调性，再利用函数的单调性解不等式，由可求D. 【详解】对A，令，，故A正确； 对B，令，，故函数关于对称，不是偶函数，故B错误； 对C，，所以， 即，，， ，时，，故， 所以，即在上单调递增， ，所以，解得，故C正确； 对D，，，故D正确； 故选：ACD. 4．（2025·宁夏银川·二模）已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由题意，根据奇函数的性质，可得函数与零的大小关系，利用整体思想，可得答案. 【详解】由题意可得函数在上单调递减，，， 则当时，，当时，， 由，则，解得， 由，则，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·浙江杭州·期中）定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“M型”增函数. (1)若，，判断是否为“1型”增函数，并说明理由； (2)若，，其中为常数.若是“2型”增函数，求的最小值. 【答案】(1)函数是“1型”增函数，理由见解析 (2)答案见解析 【知识点】复合函数的单调性、函数新定义、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据题意，只需判断是否成立，即可求解； （2）根据题意，当时，恒成立，根据为增函数，得到，再分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）函数是“1型”增函数. 理由如下：由函数， 则， ， 当时，可得，， 所以，即， 所以是“1型”增函数. （2）由，，因为函数是“2型”增函数， 所以当时，恒成立， 又因为为增函数，所以， 当时，，即恒成立， 所以，解得； 当时，， 即恒成立， 所以，解得， 综上可得，, 所以，，， 令，， ①当时，即时，当时，； ②当时，即时，当时，； 综上可得，当时，；当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $$