第08讲 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数（章节验收卷）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数（章节验收卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为 （    ） A．， B．， C．， D．， 3．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 4．设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，则可能的取值的个数为（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 6．若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 7．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．如果对于正整数集，将集合拆分成16个三元子集（子集有三个元素），且拆分的16个集合两两交集为空集，则称集合是“三元可拆集”.若存在一种拆分法，使得集合是“三元可拆集”，且每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则的最大值为（    ） A．12 B．9 C．7 D．6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C．对应的点位于复平面的第三象限 D． 10．已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 11．已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A．B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为纯虚数，则实数 ． 13．1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是 ． 14．已知函数，，若对任意的，存在，使得，则整数m的取值集合真子集的个数为 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数． (1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求m的取值范围； (2)已知，若是关于x的方程的一个根，求的值． 16．已知集合． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17．设命题：“对任意，恒成立”．且命题为真命题． (1)求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，设非空集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 18．设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 19．对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数（章节验收卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合概念以及交集运算即可得结果. 【详解】易知， 又，可得. 故选：B 2．命题“，”的否定为 （    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据含全称量词的命题的否定规则即得. 【详解】根据含全称量词的命题的否定规则，改变量词，否定结论即得：命题“，”的否定为“，”. 故选：C. 3．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据图可得阴影部分表示的集合为，利用补集运算求出，由交集运算求出． 【详解】由图知所求阴影部分的集合为， ，， 又， ． 故选：D． 4．设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断指数函数的单调性 【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性化简甲乙两个命题，即可结合充分和必要条件的定义求解. 【详解】由可得，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由也推不出，即必要性不成立. 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选:D. 5．已知，则可能的取值的个数为（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【知识点】列举法求集合中元素的个数、子集的概念 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合，得到得情况，即可得到答案. 【详解】当时，由，可得，所以为或；当时，由，可得， 所以为或或； 当时，由知，， 所以为或； 当，则，所以为综上，共有8种取值． 故选：D． 6．若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值. 【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为：， 由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为. 故选：B. 7．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据交集结果求集合或参数 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 8．如果对于正整数集，将集合拆分成16个三元子集（子集有三个元素），且拆分的16个集合两两交集为空集，则称集合是“三元可拆集”.若存在一种拆分法，使得集合是“三元可拆集”，且每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则的最大值为（    ） A．12 B．9 C．7 D．6 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求等差数列前n项和、集合新定义 【分析】根据集合新定义结合、等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】因为有48个元素，可以拆成16个三元子集， 将这16个三元子集中最大的数依次记为， 则 . 又中所有元素和为， 所以由题意， 所以，解得，又所以. 当时，， 可拆为， ， ， ，所以的最大值是7， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（   ） A． B．的虚部为 C．对应的点位于复平面的第三象限 D． 【答案】CD 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、共轭复数的概念及计算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的减法可判断D选项. 【详解】因为，则. 对于A选项，，A错； 对于B选项，的虚部为，B错； 对于C选项，对应的点的坐标为，位于第三象限，C对； 对于D选项，，D对. 故选：CD. 10．已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【答案】AC 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】把代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD. 【详解】对于AB，若，则任意实数均满足，因此，A正确，B错误； 对于CD，由，得，解得，C正确，D错误. 故选：AC. 11．已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、全称命题的否定及其真假判断、充分条件的判定及性质 【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范围，再根据充分条件的定义，可得答案. 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数， 令，解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分条件的定义，知命题成立的一个充分条件应为的子集， 而ABD三个选项中的范围是的子集. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为纯虚数，则实数 ． 【答案】3 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由为纯虚数，得，所以. 故答案为：3 13．1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、利用Venn图求集合 【详解】因为区域，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，所以或，解得． 14．已知函数，，若对任意的，存在，使得，则整数m的取值集合真子集的个数为 【答案】3 【知识点】求指数函数在区间内的值域、根据集合的包含关系求参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由的值域是的值域的子集确定的值，然后由子集定义得出结论． 【详解】时，， 时，， 由题意，所以，解得， 其中整数和，即整数m的取值集合为，真子集有3个． 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数． (1)若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求m的取值范围； (2)已知，若是关于x的方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数 【分析】（1）求出对应点的坐标，根据第四象限点的特征列不等式组求解即可. （2）由复数相等求出，利用方程根的意义，结合复数相等求出，即可得解. 【详解】（1）复数在复平面上对应点落在第四象限， 则，解得， 所以实数m的范围是. （2）由，得， 由，得，解得， 则，，依题意，是关于x的实系数方程的一个根， 则，即， 于是，解得，，所以. 16．已知集合． (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）解一元二次不等式求出，根据集合的并集定义，即可求得答案； （2）由题意可判断出A为的真子集，列出相应不等式，即可得答案. 【详解】（1）当时，或， 则，故； （2），且“”是“”的充分不必要条件， 故A为的真子集，， 故，结合，解得， 即实数a的取值范围. 17．设命题：“对任意，恒成立”．且命题为真命题． (1)求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，设非空集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】基本（均值）不等式的应用、根据全称命题的真假求参数、充分条件的判定及性质 【分析】（1）根据不等式恒成立可得对任意恒成立，将变形并结合基本不等式，即可求得答案； （2）由题意推出，由此可得不等式，即可求得答案. 【详解】（1）对任意，恒成立，即， 即对任意恒成立， 而，即，故 ， 当且仅当，即时取等号， 故，则实数的取值集合. （2）解，即，得或， 由于“”是“”的充分条件，故, 故，即， 所以实数的取值范围为或. 18．设集合，． (1)若，求实数的值； (2)若集合中有两个元素，求实数的取值范围，并用含的代数式表示； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）由已知，代入后解方程并检验是否满足题意； （2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可； （3）由条件可得，结合集合确定集合，再根据集合情况分类求解即可． 【详解】（1）由题意得，因为，所以，， 所以即， 化简得，即，解得或， 检验：当时，，满足， 当时，，满足， 所以或． （2）因为集合中有两个元素，所以方程有两个根， 所以且，， 所以，． （3）因为，所以，又， 所以或或或， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，无解； 当时，则，所以； 当时，则，无解， 综上，的范围为． 19．对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】(1)12； (2)672； (3). 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和； （3）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，再加上单元素集的“交替和”即可. 【详解】（1）集合的非空子集有， 根据题意，集合的交替和分别为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况， 相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次. 同理，每个元素出现的次数为次， 所以，集合所有非空子集的元素和的总和为. （3）集合，其非空子集有个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个； 第三类，不含元素3的非空集合，有个， 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3， 如取，则，集合与集合的“交替和”的和为， 这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为. 学科网（北京）股份有限公司 $$