第07讲：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数 章节总结 (精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第07讲：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数 章节总结 第一部分：典型例题讲解 题型一：集合的表示 1．（2025高三·全国·专题练习）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，例：0.3333……就是一个无限循环小数，可记为，同理：……，若集合，则A中所有元素的和为（   ） A．44 B．110 C．132 D．143 2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（多选）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 4．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是T，则 . 5．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）集合中的所有元素中最大的元素为 ，最小的元素为 . 题型二：集合的基本关系 1．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·全国·专题练习）已知集合，若，则符合题意的一个集合C为 （写出符合题意的一个集合即可，不必写出所有集合）；集合，若，且，则 ． 3．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）设集合，，则满足且的集合有 个 4．（24-25高三上·四川巴中·阶段练习）设，关于的不等式的解集为． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 题型三：集合的基本运算 1．（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 3．（25-26高三上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 4．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 题型四：充分条件与必要条件 1．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·云南昆明·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南开封·二模）设，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的可能取值为（ ）． A． B． C． D． 8．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 . 9．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，非空集合.是的充分不必要条件，求的取值范围. 题型五：“的”字结构与“是”字结构对比 1．（24-25高三上·广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·江苏·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·河南南阳·期末）“，”成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）使得“”成立的一个充分条件是 ． 题型六：全称量词与存在量词 1．（2025·陕西西安·模拟预测）若，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知命题，命题，若为假命题且为真命题，求实数的取值范围为 . 7．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 . 题型七：一元二次不等式 1．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）命题：，为真的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·三模）已知 . (1)解关于的不等式 (2)若不等式的解集为，求实数的值. 5．（20-21高三上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于的不等式. 6．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于x的不等式解集.（其中） 题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题 1．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 3．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 4．（24-25高三上·广东广州·期末）若对，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 题型九：基本不等式及其应用 1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 2．（2025·山东济宁·二模）若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 3．（多选）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 4．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知实数满足，那么不存在这样的，使得（    ） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 6．（2025高三上·全国·专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ． 7．（24-25高三上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 题型十：复数的综合应用 1．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 2．（2025·山东临沂·二模）若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州黔东南·三模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖北·模拟预测）已知复数满足（是虚数单位），复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2025高三·全国·专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．3 8．（多选）（2025·湖北武汉·二模）若复数 ，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．复数满足，则的最大值为 第二部分：新定义题 1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 3．（多选）（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 5．（2025·广东·模拟预测）已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. (1)当时，直接写出的“相邻元”； (2)当时，求证：是“好数”； (3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”. 6．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”. (1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由; (2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围; (3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数 章节总结 第一部分：典型例题讲解 题型一：集合的表示 1．（2025高三·全国·专题练习）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，例：0.3333……就是一个无限循环小数，可记为，同理：……，若集合，则A中所有元素的和为（   ） A．44 B．110 C．132 D．143 【答案】D 【知识点】无穷等比数列各项的和、列举法表示集合 【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合，求和可得所求． 【详解】因为， 所以，所以， 所以n可以为1，3，9，11，33，99， 所以可以为 因为a和b是不同的数字，所以可以为， 此时，所以A中所有元素的和为. 故选：D. 2．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、列举法求集合中元素的个数 【分析】结合题意 ，由集合中元素的特性解出集合，再求子集数即可； 【详解】由已知可得， 所以，所以， 所以A子集的个数为个， 故选：D. 3．（多选）（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．集合可以化简为 D．中含有三个元素 【答案】BC 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 4．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是T，则 . 【答案】 【知识点】描述法表示集合、集合新定义、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】先分析得，进而得到或，再分类讨论的取值情况，结合二次方程的判别式得到关于的方程或不等式，从而得解. 【详解】对于，有， 所以集合中有两个元素，即， 因为，所以或， 对于，易知必是方程中的一解， 当时，，所以有唯一解，且无解， 则，解得； 当时，若有唯一解，由上述分析可知无解，不满足题意； 若有两解，则有唯一解， 即，解得或； 综上，实数的所有可能取值为，则. 故答案为：. 5．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）集合中的所有元素中最大的元素为 ，最小的元素为 . 【答案】 7 【知识点】描述法表示集合、利用不等式求值或取值范围、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式，结合不等式的性质即可求解. 【详解】由知，，当，时，得最大元素， 又，当时，得最小元素. 故答案为：7；. 题型二：集合的基本关系 1．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 2．（2025高三上·全国·专题练习）已知集合，若，则符合题意的一个集合C为 （写出符合题意的一个集合即可，不必写出所有集合）；集合，若，且，则 ． 【答案】 （答案不唯一，也可以是） 【知识点】补集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、求集合的子集（真子集） 【详解】由已可得．又，所以C是中的一个．显然1是方程与的公共解，且，则解得所以． 3．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）设集合，，则满足且的集合有 个 【答案】12 【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由集合的包含关系及交集运算即可求解. 【详解】因为且，，． 中一定含有4或5或4、5．当 中含有一个元素时，或，共2个； 当中含有两个元素时，，，，，，共5个； 当中含有三个元素时，，，，，共4个； 当中含有四个元素时，，共1个． 所以满足条件的集合有个． 故答案为：12 4．（24-25高三上·四川巴中·阶段练习）设，关于的不等式的解集为． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）解二次不等式，由取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集； （2）由先求，再利用，建立不等式，即可求实数的取值范围． 【详解】（1）不等式，即. 因为，所以， 所以由，可得， 即. （2）， 由（1）得或， 要使，则需， 又， 解得， 所以的取值范围为. 题型三：集合的基本运算 1．（多选）（2025高二·全国·专题练习）（多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】利用Venn图求集合、判断两个集合的包含关系 【分析】作出韦恩图，结合德摩根公式逐项判断即可. 【详解】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）先求得，根据，得到，分和，两种情况讨论，列出不等式（组），即可求解； （2）解：由（1）知：集合，根据题意，分，和，三种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由，即，可得，所以， 因为，所以， 当时，有，解得，满足题意； 当时，则满足，解得，即， 综上可得，实数的取值范围为. （2）解：由（1）知：集合，， ①当时，则满足，解得； ②当时，则满足，此时满足条件的m不存在； ③当时，则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围为． 3．（25-26高三上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的取值范围； (4)若将题干中集合，变为集合， 或．若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【知识点】根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】（1）由，结合数轴即可求解； （2）结合数轴即可求解； （3）由条件得到或，进而可求解； （4）由和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以，画出数轴如图： 所以，解得，故实数的取值范围是． （2）画出数轴如图，因为， 所以，解得． （3）因为，所以或． 又因为，所以或． 故实数的取值范围是． （4）①若，则，所以． ②若，因为，所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 4．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题: (1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集); (2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求; (3)若集合，集合，且A-B=⌀，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【知识点】集合新定义、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可； （2）根据差集的概念，求出的结果，进而再一次利用差集的概念求得； （3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可. 【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示： （2），，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得： （3）因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时，. 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是 题型四：充分条件与必要条件 1．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断指数函数的单调性 【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论. 【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出， 即充分性成立； 由可推出，不能推出，即必要性不成立； 因此命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 2．（2025·云南昆明·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据对数函数的性质可得，即可求解. 【详解】由可得， 故“”是“”的充分不必要条件 故选：A 3．（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数、根据充要条件求参数 【分析】由为偶函数，得到对任意的恒成立，求得，利用函数的奇偶性的定义进行验证，即可求解. 【详解】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 4．（2025·河南开封·二模）设，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】利用充分性和必要性的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，当时，满足，但是不符合，故不是的一个充分条件，故A错误； 对于B，，即，即，所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，，即，故是的充要条件，故C错误； 对于D，，即，，故是的一个充分不必要条件，故D正确. 故选：D 5．（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据绝对值的定义求解不等式，利用充分条件的定义建立不等式组，可得答案. 【详解】由不等式，可得（不合题意）， 要使得是的一个充分条件， 则满足，解得. 故选：D. 6．（多选）（2025·河南·三模）若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式相关性质即可求解. 【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误； 由得能推出， 反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 由可得， 故，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 易知“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BCD. 7．（多选）（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的可能取值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】由题意可得根据题意推出是A的真子集，分，讨论，即可求得实数的可能取值范围，从而得结论． 【详解】由题意集合，， 因为“”是“”的必要不充分条件，故是A的真子集， 当时，则，即时，符合题意， 当时，则，所以， 综上，实数的范围为，结合选项可知AB符合题意. 故选：AB． 8．（24-25高三上·山东潍坊·阶段练习）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】用列举法表示集合，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得. 【详解】依题意，，，显然， 由“”是“”的充分不必要条件，得， 当时，，符合题意，当时，方程的根为和， 显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意， 所以实数的所有取值组成的集合是. 故答案为： 9．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，非空集合.是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】. 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据是的充分不必要条件，可得是的真子集，进而得到不等式组，求出结果即可. 【详解】由题知，， 是的充分不必要条件， 是的真子集， 则或， 解得， 故的取值范围是. 题型五：“的”字结构与“是”字结构对比 1．（24-25高三上·广东阳江·阶段练习）设，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的必要不充分条件 【分析】先解一元二次不等式，再应用充分必要条件定义判断即可. 【详解】解不等式，得， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 2．（2025·辽宁·一模）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】解不等式，得到或，根据推出关系得到答案. 【详解】或， 或，但或， 故“”是“”的充分而不必要条件，A正确，BCD错误. 故选：A 3．（2025·江苏·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件、由指数函数的单调性解不等式 【分析】依题意由可得，由可得，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由可得，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由也推不出，即必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4．（24-25高二上·河南南阳·期末）“，”成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据题中命题成立，先求出；再逐项判断即可. 【详解】由题意可得，在上能成立， 即在上能成立， 因为时，； 所以为使在上能成立，只需； 因此，A选项，是“，”成立的既不充分又不必要条件； B选项，是“，”成立的充分不必要条件； C选项，是“，”成立的充要条件； D选项，是“，”成立的必要不充分条件； 故选：D 5．（24-25高二上·陕西西安·期末）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据给定条件，求出在指定区间上单调递增的的范围，再利用充分不必要条件的定义判断得解. 【详解】二次函数在区间上单调递增，则，解得， 显然选项ABD中条件都不能推出，而真包含于， 所以所求的一个充分不必要条件为. 故选：C 6．（2025高三·全国·专题练习）使得“”成立的一个充分条件是 ． 【答案】 (答案不唯一) 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】将转化为，利用指数函数的单调性求解. 【详解】解：因为， 所以等价于， 则，解得， 所以使得“”成立的一个充分条件是 (答案不唯一)， 故答案为：（答案不唯一）． 题型六：全称量词与存在量词 1．（2025·陕西西安·模拟预测）若，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【答案】C 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、对数的运算 【分析】先利用特殊值判断命题的真假，再结合全称量词命题的否定是存在量词命题可得答案. 【详解】因为当时，，所以是假命题， 因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意可得出，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，解得或， 故实数的取值范围是或. 故选：A. 3．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：，；q：，.均为真命题，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】，分和，结合开口方向，根的判别式得到不等式，求出为真命题，需满足，再利用根的判别式得到为真命题，需满足，求交集得到答案. 【详解】恒成立， 当时，，满足要求， 当时，需满足，解得， 故为真命题，需满足， ，，则，解得， 故为真命题，需满足， 综上，的取值范围为 故选：D 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、求指数函数在区间内的值域、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】将命题是假命题转化为其否定是真命题进行分析，通过换元转化为一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，通过分离参数求最值得到最终结果. 【详解】由题意，命题“”是假命题， 等价于其否定“”是真命题， 令，则对恒成立， 即，需满足， 而，，当且仅当，即时取等号. 所以，即. 故选：A. 5．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、判断一般幂函数的单调性 【分析】写出命题的否定，依题意可得在区间内有解，根据函数的单调性求出，即可得解. 【详解】由题意得“，”为真命题， 所以在区间内有解， 又知在区间内单调递增，所以， 故的取值范围为． 故答案为： 6．（2024高三·全国·专题练习）已知命题，命题，若为假命题且为真命题，求实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用、根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】假命题的否定是真命题，二次不等式求解借助二次函数的开口方向和判别式来建立不等关系，得出范围；最高项系数含参的二次型函数要注意分类讨论参数. 【详解】依题意，是假命题，所以，是真命题， 则，解得或. 又因为是真命题， 所以当时，，不合题意； 当时，，所以 当时，函数的图象开口向上，一定存在满足条件的 综上，或. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 7．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）若命题“对任意的，都有”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据“存在，”为真命题，讨论，，求解. 【详解】命题“对任意的，都有”为假命题， 则“存在，”为真命题， 当时，满足； 当时，满足； 当时，需，解得； 综上：. 故答案为： 题型七：一元二次不等式 1．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】分类时，分别得出解析计算求参. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）命题：，为真的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意在上恒成立，得，进而得，即得. 【详解】因命题为真，故在上恒成立， 故，解得， 故命题为真的一个充分不必要条件为的子集， 故选：B 3．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 4．（2025·湖北·三模）已知 . (1)解关于的不等式 (2)若不等式的解集为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）求出，结合二次不等式的求解方法可得答案； （2）利用不等式的解与方程的根的关系，结合韦达定理可求答案. 【详解】（1）由题意知，即， 解得. 所以所求不等式的解集为. （2）不等式的解集为，所以方程的两根为， 所以，解得， 故的值为，的值为. 5．（20-21高三上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】当时，不等式化为；当时，可化为 ，后讨论与4的大小可得答案. 【详解】当时，不等式化为； 当时，. 当时，若，不等式解为或； 若，不等式解为； 若，不等式解为或； 当时，此时，， 不等式解为. 综上，时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为；时，不等式解为或； 时，不等式解为. 6．（23-24高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数 (1)求函数的解析式； (2)求关于x的不等式解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）令，则，即可得； （2）将不等式转化为，比较和的大小解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数，令，所以， 则，所以. （2）由（1）知，即不等式转化为，则， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题 1．（2025·江西上饶·二模）若不等式恒成立，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】利用换元法，把原不等式转化为恒成立问题，再分，，讨论即可. 【详解】设，则，. 原不等式可化为：. 因为，所以，. 当时，，所以在恒成立，所以； 当时，，所以成立； 当时，，所以在上恒成立，所以. 综上可得：. 故选：A 2．（24-25高三上·河南许昌·期中），恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 3．（23-24高二上·浙江·期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值 【分析】问题化为在区间上有解，应用基本不等式求右侧最小值，即可求参数范围. 【详解】关于x的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解，即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6. 故，可得. 故选：D 4．（24-25高三上·广东广州·期末）若对，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】令，，分和两种情况讨论，分别求出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围. 【详解】令，，依题意可得，恒成立， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上可得的取值范围是. 故选：B 5．（24-25高三上·安徽池州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】利用分离变量法整理不等式，构造函数解析式，求得新函数在给定区间上的最值，可得答案. 【详解】由题，，，即，即在上有解， 设，则，， 易知函数在上单调递增，在上单调递减， ，则，所以. 故选：B. 6．（24-25高三下·上海·阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数m的值为 【答案】/ 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】通过二次函数的性质和方程的根，列出不等式求出结果. 【详解】解：若，则当趋于时，趋于，不满足题意； 当时，是方程的一个根， 不等式对任意恒成立， 且方程的两根不相等， 所以是方程的根， ， ，得， 此时原不等式等价于，显然时恒成立， 实数m的值为， 故答案为：． 7．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上有解问题、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由题意可得是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案； （3）结合（2）求出在上的最大值，即可得答案 【详解】（1）由题意可得是方程的两根， 由韦达定理可得， 解得; （2）因为， 所以， 当时，则的最小值为， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）可知当时，则的最大值为， 所以实数的取值范围为. 题型九：基本不等式及其应用 1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】条件等式求最值 【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可． 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 2．（2025·山东济宁·二模）若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题意得直线过圆心，即得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由得， 所以圆心为，又圆关于直线对称， 则直线过圆心，即， 所以， 又， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：C. 3．（多选）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式判断BC，根据，转化为函数关系，转化为根据定义域问题求值域，判断AD. 【详解】A.由条件可知，，，则，故A错误； B.由题意可知，，则，当时等号成立， 则的最小值为，故B正确； C. ，当，即时等号成立， 则的最小值为，故C正确； D.， 当，均单调递增，且时，， 则在区间上单调递增， ∴当时取得最大值5，且时，， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 4．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知实数满足，那么不存在这样的，使得（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、条件等式求最值 【分析】由基本不等式即可判断A，令，结合代入计算，即可判断B，将转化为斜率，即可判断C，结合换元法以及二次函数的值域即可判断D. 【详解】对于A，因为，即，解得， 又，即，解得，所以，故A符合题意； 对于B，令，则，代入，可得， 展开可得，由可得， 即，故B不符合题意； 对于C，表示圆上的点与点连线的斜率， 设过点的直线方程为，即， 由圆心到直线的距离可得， 即，即不存在符合题意的，故C符合题意； 对于D，由可得，则， 令，则，所以， 且函数在上单调递增，所以，即， 即不存在符合题意的，故D符合题意； 故选：ACD 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】/0.25 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 6．（2025高三上·全国·专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、函数不等式能成立（有解）问题 【详解】由于，当且仅当，即时取等号，而不等式有解，所以，即，解得或． 7．（24-25高三上·吉林通化·阶段练习）（1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）4；（2） 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 题型十：复数的综合应用 1．（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模 【分析】根据复数的模的计算公式得到，即可化简，从而判断其虚部. 【详解】因为，所以， 又，即，所以，所以的虚部为2. 故选：C 2．（2025·山东临沂·二模）若复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】由复数的四则运算以及复数的虚部的概念即可求解. 【详解】由题意. 故选：A. 3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出，再求出的模. 【详解】由，得， 所以. 故选：B 4．（2025·贵州黔东南·三模）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的除法运算 【分析】根据复数的除法计算方法，求解. 【详解】已知,则. 故选:A. 5．（2025·湖北·模拟预测）已知复数满足（是虚数单位），复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数的乘方运算以及除法运算求解即可. 【详解】∵，∴， ∴， ∴复数在复平面内对应的点，位于第二象限. 故选：B. 6．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数除法求解，再结合复数对应的点判断即可. 【详解】，所以对应的点位于第四象限. 故选：D 7．（2025高三·全国·专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、根据复数的坐标写出对应的复数 【分析】先得到，利用复数除法法则得到，求出虚部. 【详解】由题意可知，所以， 则的虚部为. 故选：B. 8．（多选）（2025·湖北武汉·二模）若复数 ，则（    ） A． B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D．复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】利用复数除法求出，再结合共轭复数、复数的模及几何意义逐项判断. 【详解】复数， 对于A，，A错误； 对于B，在复平面内对应的点位于第四象限，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得在复平面内复数对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 表示该圆上的点与点的距离，所以的最大值为，D正确. 故选：BCD 第二部分：新定义题 1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G满足“如果，则，且时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】集合新定义 【分析】根据新定义，逐项判断分析即可. 【详解】对①：当时，有，所以0是任何数域的元素，故①正确； 对②：取非0实数，则，再由，则，可得任意正整数属于，故②正确； 对③：若为数域，取，，则不成立，故③错误； 对④：任取有理数，，令，，则， ， ，且，所以有理数集是数域，故④正确. 所以正确的有：①②④. 故选：B. 2．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】ABD 【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系 【详解】取，，则，故A错误；取，，则，0不是无理数，故B错误；设，，则，，故C正确；取，，由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被2整除或被3整除的全体整数集，取，，则，5不能被2或3整除，即，故D错误. 3．（多选）（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（    ） A．是“广义等差集合” B．是“广义等差集合” C．若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 D．若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】ABC 【知识点】集合新定义 【分析】根据“广义等差集合”的定义即可列举求解AB,举反例即可求解D，根据时，设，利用裂项相消得矛盾求解C. 【详解】对于A, 取，则符合“广义等差集合”的定义，故A正确， 对于B，取故B正确， 对于C，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同，则矛盾，故，当时，取,满足P不是“广义等差集合”，故的最大值为4，故C正确， 对于D,当时，取，这与矛盾，故D错误， 故选：ABC 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 4．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【知识点】交集的概念及运算、集合新定义、并集的概念及运算 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 5．（2025·广东·模拟预测）已知.设集合或，且，集合.若集合中的元素满足，则称为的“相邻元”.对于整数，若集合存在一个子集满足：（i）集合中的元素个数为；（ii），在集合中都至少有个“相邻元”，则称是“好数”. (1)当时，直接写出的“相邻元”； (2)当时，求证：是“好数”； (3)当时，若整数满足，且，求证：是“好数”. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】集合新定义、集合的应用 【分析】（1）根据题干的定义即可求得结果. （2）利用定义证明集合中至少有8个“相邻元”，即可证明结论. （3）先求出当时，共有： 其次证明对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”. 最后证明不能在中均有“相邻元”，.即可证明结论. 【详解】（1）的“相邻元”为：. （2）因为，所以. 设，显然中每一个元素恰有9个“相邻元”. 设，构造， 则集合中的元素个数为. 对集合中的任意元素，在集合中至多存在一个， 满足， 从而在集合中至少有8个“相邻元”，所以是“好数”. （3）设，且，且. ①当时， 集合中的每一个元素均有2025个“相邻元”. 设，则中含有个元素. 设. 则中含有个元素，.并且两两交集为空集， 设，则共有： ②对于，有在每一个中，至多有一个“相邻元”. 下面证明该结论：设，且均是的“相邻元”. 由于，则与不同元素在前位，且后位相同，即，后位相同. 设与不同位置为，即；与不同位置为，即. 当相同时，又中与差为1的只有一个数，则. 当时，， 所以在每一个中，至多有一个“相邻元”. ③不能在中均有“相邻元”，.下面证明该结论： 元素中第都是中元素. 中第都是中元素. 故中至少有3个元素属于不同的和. 所以不存在，均是的“相邻元”. 由①②③知在中至少有2024个“相邻元”，故： 是“好数”. 【点睛】集合新定义问题常见的求解方法： （1）理解定义： 仔细阅读题目中给出的新定义，明确其内涵和外延。特别注意定义的 关键条件、限制和运算规则等，确保准确理解新定义的含义。 （2）列举法： 对于一些有限集合或元素个数较少的集合，可以通过列举出集合中的所有 元素，然后根据新定义进行分析和计算。 （3）性质分析法： 分析新定义所具有的性质，如对称性、传递性、封闭性等。利用这些 性质来简化问题的求解过程，或者通过判断集合元素是否满足这些性质来确定集合的特征。 （4）转化法： 将新定义问题转化为熟悉的集合问题或其他数学问题。例如，将新定义的 运算转化为常规的集合运算，或者将集合元素的条件转化为方程、不等式等进行求解。 （5）特殊值法：对于一些抽象的集合新定义问题，可以通过选取特殊值来进行分析和验 证。选取一些满足条件的特殊元素代入新定义中，观察其规律和结果，从而推测出一般情 况下的结论。 （6）反证法：当直接证明某个结论比较困难时，可以考虑使用反证法。假设结论不成立， 然后根据新定义和已知条件推出矛盾，从而证明原结论成立。 6．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”. (1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由; (2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围; (3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，，理由见解析 (2) (3) 【知识点】一元二次方程根的分布问题、函数新定义 【分析】（1）假设其存在，则为方程的两根，解方程即可； （2）假设其存在，则为方程的两根，令，则问题转化为一元二次方程在有两个不等的实根，利用和韦达定理即可； （3）由题意得，可得，再代入原方程组中化简，转化为一元二次方程有两个不等的正实数根． 【详解】（1）因为函数单调递增， 若在定义域区间上存在，使得的值域， 则，，即为方程的两根，又，得，， 又在区间上的值域为，故，符合题意. （2）因为函数为递增函数， 要使在定义域区间上存在，使得的值域， 则只需有两个不等的非负实根， 令，，则在有两个不等的实根， 故，即，得， 即t的取值范围是. （3）函数在定义域内单调递减， 依题意得，两式相减，得， 则， 得① 将①式代入方程组得，则是方程的两根， 令，则在上有两个不同的实根， 则，解得， 故实数m的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$