第04讲 一元二次函数（方程，不等式）（知识点+ 5大高频考点+2类典型易错）( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第04讲 一元二次函数（方程，不等式） 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） 3 高频考点二：一元二次不等式解法（含参） 5 高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系 7 高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 7 角度1：上恒成立（优选法） 7 角度2：上成立（优选法） 8 角度3：上恒成立（优选分离变量法） 9 角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法） 10 高频考点五：一元二次不等式的应用 11 第三部分：典型易错题型 12 第一部分：基础知识 1、二次函数 （1）形式：形如的函数叫做二次函数. （2）特点： ①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根. ②当且()时，恒有()；当且()时，恒有(). 2、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 3.或型不等式的解集 不等式 解集 4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 5、分式不等式解法 （1） （2） （3） （4） 6、单绝对值不等式 （1） （2） 第二部分：高频考点一遍过 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 例题2．（24-25高三下·湖北黄石·阶段练习）求下列不等式的解集 (1)； (2). 方法总结 1．解不含参的一元二次不等式有以下3种方法（先化为标准式）（优先推荐十字相乘法）． （1）因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能因式分解，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集； （2）配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）图象法：利用二次方程求根公式求不等式对应的一元二次方程的根（先用判别式判断根的情况），然后结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集． 2．分式不等式的解法 （1）； （2）且．（特别注意不要忽略了分母不为0） （3）另外要先移项，通分再求解。 精练高频考点 1．（24-25高三上·山西晋中·期中）解下列不等式： (1)； (2) (3) 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式． 高频考点二：一元二次不等式解法（含参） 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）若，解关于的不等式. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：． 精练高频考点 1．（23-24高三上·北京·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 2．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集.（其中） 3．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若，解关于x的不等式． 4．（24-25高三上·浙江丽水·期中）已知不等式的解集为． (1)解不等式； (2)若，当时，解关于的不等式． 高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系 典型例题 例题1．（23-24高二下·吉林长春·期末）不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 例题2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设为常数，且，若不等式的解集是，则不等式的解集是 . 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．必与同号 D．必与异号 2．（多选）（24-25高三上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高三上·福建龙岩·期中）若不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A．且 B． C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 角度1：上恒成立（优选法） 典型例题 例题1．（2025高三下·全国·专题练习）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三下·全国·专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 精练高频考点 1．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知不等式的解集为空集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 角度2：上成立（优选法） 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三上·江苏无锡·期中）已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为 精练高频考点 1．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度3：上恒成立（优选分离变量法） 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽宿州·期中）已知，恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三上·河南·阶段练习）当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 精练高频考点 1（2024高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 2．（24-25高三上·山东淄博·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法） 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数． (1)若对于恒成立，求的取值范围； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 精练高频考点 1．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）（1）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 高频考点五：一元二次不等式的应用 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 例题2．（23-24高三上·山东济宁·期中）2022中国国际智能产业博览会于8月22~24日在重庆隆重举办，主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，某企业遵循国家发展战略目标，进一步优化内部结构，深入拓展大数据智能化建设，据悉，该企业研发部原有80人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为（其中且）万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少？ (2)若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m的值；若不存在，则说明理由. 精练高频考点 1．（2025高三·北京·专题练习）某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为 元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为 . 2．（23-24高三上·上海·期中）为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 第三部分：典型易错题型 备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。 1．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 2．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）解下列不等式 ； 备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。 1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）解下列不等式 . 2．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）解下列关于的不等式. ； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元二次函数（方程，不等式） 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） 3 高频考点二：一元二次不等式解法（含参） 6 高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系 10 高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 12 角度1：上恒成立（优选法） 12 角度2：上成立（优选法） 13 角度3：上恒成立（优选分离变量法） 15 角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法） 18 高频考点五：一元二次不等式的应用 20 第三部分：典型易错题型 23 第一部分：基础知识 1、二次函数 （1）形式：形如的函数叫做二次函数. （2）特点： ①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根. ②当且()时，恒有()；当且()时，恒有(). 2、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 3.或型不等式的解集 不等式 解集 4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 5、分式不等式解法 （1） （2） （3） （4） 6、单绝对值不等式 （1） （2） 第二部分：高频考点一遍过 高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） 典型例题 例题1．（25-26高三上·全国·课后作业）解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4) (5)或 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【详解】解：（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为，方程的两根分别为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （3）原不等式为，整理得．解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （4）不等式可化为．因为方程的两根为，．又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集是． （5）原不等式等价于不等式组不等式①可化为，解得或．不等式②可化为，解得．故原不等式的解集为或． 例题2．（24-25高三下·湖北黄石·阶段练习）求下列不等式的解集 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）不等式化为，分解因式法求解不等式. （2）不等式化为，转化为整式不等式求解． 【详解】（1）化为，即，解得或， 所以不等式的解集为. （2）不等式化为，则， 解得或，所以原不等式的解集是． 方法总结 1．解不含参的一元二次不等式有以下3种方法（先化为标准式）（优先推荐十字相乘法）． （1）因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能因式分解，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集； （2）配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）图象法：利用二次方程求根公式求不等式对应的一元二次方程的根（先用判别式判断根的情况），然后结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集． 2．分式不等式的解法 （1）； （2）且．（特别注意不要忽略了分母不为0） （3）另外要先移项，通分再求解。 精练高频考点 1．（24-25高三上·山西晋中·期中）解下列不等式： (1)； (2) (3) 【答案】(1)或； (2)； (3). 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法求解. （3）化分式不等式为不等式组，再利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）不等式化为：，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式化为：，则， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）原不等式即为，即，解得或， 故原不等式的解集为； （2）将不等式移项并通分，得到，解得， 因此原不等式的解集为. 高频考点二：一元二次不等式解法（含参） 典型例题 例题1．（2026高三·全国·专题练习）若，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】对二次式因式分解，即可求解方程的两个根，分类讨论两个根的大小即可求解. 【详解】移项得，对应的方程的两根为和1， 当时，，解得； 当时，，原不等式无解； 当时，，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据解含参的一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】将不等式变形为． 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 综上所述，当或时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 精练高频考点 1．（23-24高三上·北京·期中）已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理即可求解； （2）根据（1）的结果，并不等式转化为，因式分解后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）由题意可知，的根是1和2， 所以，解得：，； （2）由（1）知，，， 所以不等式为，即， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 2．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数. (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集.（其中） 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知f（g（x））求解析式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）利用换元法求解； （2）分类讨论求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数，令， ， 所以． （2）不等式，即， 整理得，即， 当时，，∴不等式的解集为或； 当时，，∴不等式的解集为； 当时，，∴不等式的解集为或． 3．（24-25高三上·河南驻马店·阶段练习）已知函数，二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若，解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见详解 【知识点】已知函数类型求解析式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）不等式可整理为，根据的符号以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】（1）设二次函数 ， 所以， 即，故， 解得，所以， 所以，解得， 所以. （2）因为， 所以，即， 当时，则不等式为，解得，此时解集为； 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为或， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，解集为； 时，不等式的解集为或， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 4．（24-25高三上·浙江丽水·期中）已知不等式的解集为． (1)解不等式； (2)若，当时，解关于的不等式． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程根之间的关系，可得，即可由因式分解求解不等式的解， （2）利用因式分解即可求解. 【详解】（1）∵不等式的解集为， ∴，且，是方程的两根， 则，解得， 则有，所以，解得或 故不等式的解集为或 （2）由（1）可知：， 故不等式， 即，又，∴不等式， 方程的两根为，， 又，得， ∴不等式解集为． 高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系 典型例题 例题1．（23-24高二下·吉林长春·期末）不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次不等式的实际应用、分式不等式 【分析】根据的解集求出的关系，再化简不等式，求出它的解集即可． 【详解】解：因为的解集为，则，且对应方程的根为-2和4， 所以，，且， 不等式可化为,则，即， 解得或． 故答案为． 例题2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设为常数，且，若不等式的解集是，则不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】把不等式化为，求得或，即可求得不等式的解集. 【详解】因为 不等式的解集是， 所以不等式的解是或， 又不等式，可化为， 可得或，即或， 所以不等式的解集是. 故答案为：. 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．必与同号 D．必与异号 【答案】D 【解析】根据题中条件，得到，是一元二次方程的两个实数根，且，得出，进而可判断出结果. 【详解】∵的解集为， ∴，是一元二次方程的两个实数根，且. ∴． ∴与必异号． 故选：D. 2．（多选）（24-25高三上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据一元二次不等式的解集得出、，对选项一一判断即可得出答案. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，是方程的根，且，故A正确； 所以，所以，则，故B正确； 所以，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD. 3．（多选）（23-24高三上·福建龙岩·期中）若不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A．且 B． C．关于的不等式的解集是 D．关于的不等式的解集是 【答案】ACD 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据题意可得，，，从而可对A、C项判断，由是方程的根，可对B项判断，将化简为并结合一元二次不等式可对D项判断. 【详解】对于A项：由题意可知，，和1是方程的两根，可得，，所以，，即故A项正确． 对于B项：因为是方程的根，所以，故B项错误． 对于C项：由A项知：，即，因为，得：，故C项正确. 对于D项：不等式即，化简得，解得或，故D正确. 故选：ACD. 高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 角度1：上恒成立（优选法） 典型例题 例题1．（2025高三下·全国·专题练习）若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式定义可得，由条件结合二次函数性质列不等式求结论. 【详解】因为是一元二次不等式，所以． 因为对一切实数都成立， 所以，解得． 故选：D. 例题2．（2025高三下·全国·专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况讨论，当时，只需结合二次函数的性质解决问题即可. 【详解】当时，，不等式恒成立； 当时，，解得． 综上，． 故答案为：. 精练高频考点 1．（24-25高三上·山东·阶段练习）已知不等式的解集为空集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】将问题转化为在上恒成立，从而得解. 【详解】不等式的解集为空集， 不等式在上恒成立， ，， 即的取值范围是. 故选：D. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据判别式，结合分类讨论即可求解. 【详解】当时，恒成立； 当时，要使恒成立，只需且，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 角度2：上成立（优选法） 典型例题 例题1．（24-25高三上·山东济南·期末）若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】分，和三种情况分类讨论，其中当时，利用判别式列不等式求解即可，最后求并集. 【详解】当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即. 故选：D 例题2．（23-24高三上·江苏无锡·期中）已知关于x的不等式 在R上有解，则a的取值范围为 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据一元二次不等式的解法即可得． 【详解】关于x的不等式 在R上有解， 即在R上有解， 只需函数的图象与轴有公共点， 所以，即，即， 解得，所以实数的取值范围是． 故答案为：． 精练高频考点 1．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根， 所以，即，解得或， 故选：D. 2．（24-25高三上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 角度3：上恒成立（优选分离变量法） 典型例题 例题1．（24-25高三上·安徽宿州·期中）已知，恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】利用分离常数法，结合基本不等式来求得的取值范围. 【详解】当时，恒成立；当时，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 故选：B 例题2．（23-24高三上·河南·阶段练习）当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】当时不等式显然成立；当、时，根据一元二次不等式恒成立，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】当时，，显然恒成立． 当时，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，解得． 当时，二次函数的图像开口向下，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，显然成立，所以， 故的取值集合是． 故答案为：． 精练高频考点 1（2024高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式的恒成立问题 【分析】由参变量分离法可得对任意恒成立，利用基本不等式求出函数在上的最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 记，等价于， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 2．（24-25高三上·山东淄博·阶段练习）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）分类讨论，当不等式为二次不等式时，由题意列出不等式组求解即可； （2）分离参数，换元后利用基本不等式求最值，即可得出m的取值范围. 【详解】（1）当时，由，得到，所以，不合题意， 当时，由的解集为， 得到，解得， 所以实数的取值范围为. （2）由题对任意，不等式恒成立. 即，因为时，恒成立. 可得，设，则，所以， 可得. 因为，当且仅当时取等号. 所以，当且仅当时取等号. 故得m的取值范围. 角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法） 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设函数． (1)若对于恒成立，求的取值范围； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）先转化为对于恒成立，再求的最小值,即得m的取值范围. （2）题设条件可以转化为对于恒成立,将分别代入不等式,即可求出的范围. 【详解】（1）由题意得，在恒成立， 即在恒成立， ∵对一切实数恒成立， ∴在恒成立， ∵函数在上单调递减，在上单调递增， ∴，∴在上的最小值为，∴. 故的取值范围为. （2）对于恒成立, 对于恒成立, , 解得, 故的取值范围为. 精练高频考点 1．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）（1）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）根据题意，转化为恒成立，令，结合一次函数的单调性，列出不等式，即可求解； （2）根据题意，转化为恒成立，令，结合二次单调性，求得，进而求得实数的取值范围； （3）根据题意，不等式化为，分，和，三种情况分类讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】解：（1）不等式可得化为， 因为对于任意，不等式恒成立， 即对于任意，不等式恒成立， 令， 因为，所以函数在上为单调递增函数， 所以，即， 解得，所以实数的取值范围为. （2）由不等式可化为， 因为，且对于任意，恒成立， 即对于任意，恒成立， 令，可得函数在为单调递增函数， 所以，所以的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 高频考点五：一元二次不等式的应用 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题意，由相似三角形将表示出来，从而表示出，然后求解不等式，即可得到结果. 【详解】    如图，过作于，交于，易知，即， 则，．所以矩形花园的面积， 解得． 故选:C． 例题2．（23-24高三上·山东济宁·期中）2022中国国际智能产业博览会于8月22~24日在重庆隆重举办，主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，某企业遵循国家发展战略目标，进一步优化内部结构，深入拓展大数据智能化建设，据悉，该企业研发部原有80人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为（其中且）万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少？ (2)若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m的值；若不存在，则说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入列不等式求解； （2）先根据条件①列不等式求出的最小值，根据条件②列不等式求出的最大值，通过的最值可得答案. 【详解】（1）依题意得，调整后研发人员人数为人，年人均投入为万元， 则有， 解得. 因为，且，所以. 所以优化调整后的技术人员人数的范围是. （2）由题意知，现在研发部共有81人. 假设存在正实数同时满足题设中的条件①②，那么， 由条件①，技术人员的年人均投入始终不减少，则有， 解得且， 因为且，所以当时，， 所以； 由条件②，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入， 则有且， 即， 所以且. 由于， 当且仅当，即时等号成立， 即， 所以. 综上所述，显然不存在正实数同时满足题设条件（1）和（2）. 精练高频考点 1．（2025高三·北京·专题练习）某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为 元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为 . 【答案】6或7 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式的实际应用、不等式综合 【分析】根据题意列出不等式组求解即可. 【详解】依题意，则， 由知：，且， 由知：在上恒成立， 因为在上递增， 所以，即， 综上，，. 故答案为： 6或7. 2．（23-24高三上·上海·期中）为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行，上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现，某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：. (1)当车辆的平均速度为多少时，公路段的车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控，车流量不超过4125辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 【答案】(1)车辆的平均速度为35千米/小时，最大车流量为12000辆/小时； (2). 【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用、分段函数模型的应用、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）利用函数的单调性及基本不等式求出分段函数的最大值即得. （2）利用给定条件，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，而， 所以车辆的平均速度为35千米/小时时，公路段的车流量最大，最大车流量为12000辆/小时. （2）当时，，整理得，解得，则， 当时，，不等式化为： ，整理得，解得或，则， 所以汽车的平均速度应在范围内. 第三部分：典型易错题型 备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。 1．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 2．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）解下列不等式 ； 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【详解】将不等式化简为， 因为， 该不等式无实数解，即解集为； 备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。 1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）解下列不等式 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【详解】，即，通分可得， 则，解得， 所以解集为. 2．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）解下列关于的不等式. ； 【详解】（1）由，得，即，即， 等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$