第02讲 常用逻辑用语（知识点+真题+ 6大高频考点+4类典型易错） ( 精讲）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第02讲 常用逻辑用语 目录 第一部分：基础知识 1 第二部分：高考真题回顾 2 第三部分：高频考点一遍过 3 高频考点一：充分条件与必要条件的判断 3 高频考点二：充分条件与必要条件的应用 3 高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 5 高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 6 高频考点五：含有一个量词的命题的否定 6 高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数 7 第四部分：典型易错题型 8 第一部分：基础知识 1、充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件 （1）是的充分不必要条件是的充分不必要条件； （2）是的必要不充分条件是的必要不充分条件； （3）是的充要条件是的充要条件； （4）是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件. 拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 2、全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：充分条件与必要条件的判断 典型例题 例题1．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（2025高三上·全国·专题练习）已知，则p是q的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 精练高频考点 1．（24-25高三下·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025高二下·湖南郴州·）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 高频考点二：充分条件与必要条件的应用 典型例题 例题1．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知集合，． (1)求； (2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，的一个必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围． 高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 典型例题 例题1．（24-25高三上·云南·期中）已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（25-26高三上·全国·课后作业）若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·全国·课后作业）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 典型例题 例题1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 例题2．（2025·江西宜春·模拟预测）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 精练高频考点 1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题，命题，则（    ） A．命题与均为真命题 B．命题与均为真命题 C．命题与均为真命题 D．命题与均为真命题 高频考点五：含有一个量词的命题的否定 典型例题 例题1．（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 例题2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 精练高频考点 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数 典型例题 例题1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例题3．（2025高三下·天津·专题练习）命题：“，使”的否定是 ，若该命题是假命题，则实数的取值范围是 ． 精练高频考点 1．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 第四部分：典型易错题型 易错点一：忽视了“的”字结构倒装 1．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽亳州·期末）的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 易错点二：最高项系数含参数，容易忽略系数为0 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山西太原·阶段练习）．若此命题是假命题，则实数的取值集合是 3．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 易错点三：给定的区间是非区间，不能用判别法 1．（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）若命题“”为真命题，则实数的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．3 2．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 3．（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 易错点四：给定的区间是区间，可用判别法 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）若“”是假命题，则实数a的取值范围是 . 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正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 第二部分：高考真题回顾 1．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判断一般幂函数的单调性 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 第三部分：高频考点一遍过 高频考点一：充分条件与必要条件的判断 典型例题 例题1．（24-25高三下·广东·阶段练习）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】根据交集结果求集合或参数、判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】令代入集合，通过解一元二次不等式得到充分性成立，令可得必要性不成立. 【详解】若，则，则，，此时， 当时，也能得到， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 例题2．（2025高三上·全国·专题练习）已知，则p是q的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的必要不充分条件 【详解】 因为，所以，解得，所以，又，因为，故p是q的必要不充分条件． 精练高频考点 1．（24-25高三下·天津·阶段练习）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】，得，得或，所以“”不是“”的充分条件， 反过来，能推出，“”是“”的必要条件. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（2025高二下·湖南郴州·）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】因为，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 高频考点二：充分条件与必要条件的应用 典型例题 例题1．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要条件， 分析得到，再列出不等式组，求解即可. 【详解】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，所以有，解得， 故选：A. 例题2．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）已知集合，． (1)求； (2)已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）解分式不等式以及一元二次不等式可得集合，再由集合的运算可得结果； （2）易知，对集合是否为空集进行分类讨论，列出不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 可得， 所以或． （2）若“”是“”的充分不必要条件，则， 若，则解得； 若，则，且等号不能同时成立，解得， 综上可知，实数m的取值范围为 精练高频考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，的一个必要条件是，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数、分式不等式 【分析】由题意可得，再由必要不充分条件，求解即可. 【详解】不等式，即，解得， 故， 又的一个必要条件是，则是的真子集， 对于A，，不一定是的子集，比如时，A错误； 对于B，，不是的子集，B错误； 对于C，，是的真子集，C正确； 对于D，，不一定是的子集，比如时，D错误. 故选：C. 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出不等式的解集，再利用充分不必要条件的定义求出范围. 【详解】不等式，解得， 依题意，，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据必要不充分条件求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）由题意可得方程有解，根据求解即可； （2）由题意可得，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）解：由题意可得方程有解， 所以，解得， 所以； （2）解：因为是的必要条件， 所以，又因为为非空集合， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 典型例题 例题1．（24-25高三上·云南·期中）已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据必要不充分条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】首先解不等式化简、，结合是的必要不充分条件，得到不等关系，解得即可. 【详解】由，解得或， 即：“或”， 由，即，解得， 所以：“”， 因为是的必要不充分条件， 所以或，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：B 本题结构为正序结构，标志词：“是”是的必要不充分条件，翻译为数学语言：且，根据小范围能推大范围，大范围不能推小范围原则，本题中，表示的范围比表示的范围小。 例题2．（25-26高三上·全国·课后作业）使成立的一个充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【详解】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 本题结构为倒序结构，标志词：“的”使成立的一个充分不必要条件是（），翻译成数学语言为：且，注意与前后位置要调换。 精练高频考点 1．（25-26高三上·全国·课后作业）若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据充分不必要条件求参数、分式不等式 【详解】，当时，，即，解得，故此时符合题意．当时，，所以，故符合题意．由得，由题可知是的子集，所以． 2．（25-26高三上·全国·课后作业）若是或的一个既不充分也不必要条件，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数、既不充分也不必要条件 【详解】解法1  设，，由题意可知和都不成立，所以． 解法2  若，则，故不成立，排除A，C；若，则，故不成立，排除D． 3．（2025·广西桂林·一模）“，使”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C. 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）使不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式可得，结合充分条件及必要条件的定义判断结论. 【详解】解不等式，可得， 所以不等式成立的一个充分不必要条件必须为的非空真子集， 所以可以排除选项A，B，C， 因为由可推得，由不能推得， 所以使不等式成立的一个充分不必要条件为． 故选：D． 5．（24-25高三上·北京·阶段练习）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【知识点】根据必要不充分条件求参数 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【详解】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 典型例题 例题1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知命题，，命题，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】判断出、的真假，即可得出结论. 【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题， 对于命题，由可得或，则命题为真命题， 因此，和都是真命题. 故选：B. 例题2．（2025·江西宜春·模拟预测）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】先判断命题的真假，再逐项判断即可. 【详解】对命题：当时，不成立，所以命题为假命题，为真命题； 对命题：当时，成立，所以命题为真命题，为假命题. 故选：B 精练高频考点 1．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知命题，；命题，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、零点存在性定理的应用 【分析】取可判断命题，利用函数的零点存在定理可判断命题，即可得出结论. 【详解】取易得命题为假命题，故命题为真命题； 构造函数，其中， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，则， 所以，函数在上有且只有一个零点，命题为真命题. 因此，和都是真命题. 故选：B. 2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知命题，命题，则（    ） A．命题与均为真命题 B．命题与均为真命题 C．命题与均为真命题 D．命题与均为真命题 【答案】B 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、求指数函数在区间内的值域、基本不等式求积的最大值 【分析】利用指数函数值域及基本不等式判断，利用基本不等式求出最大值判断即可得解. 【详解】，则，当且仅当时取等号，为真命题； 当时，，当且仅当时取等号，为假命题，为真命题， 所以命题与均为真命题，B正确. 故选：B 高频考点五：含有一个量词的命题的否定 典型例题 例题1．（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【答案】C 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解. 【详解】当时，，所以是假命题，且. 故选：C. 例题2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题“”的否定是“”. 故选：D 精练高频考点 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：C 2．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】由特称命题的否定定义可得答案. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选:D. 高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数 典型例题 例题1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由判别式即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A 例题2．（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，命题“”的否定， 即命题“”真命题， 根据二次函数的性质可得，应有， 解得. 故选：C. 例题3．（2025高三下·天津·专题练习）命题：“，使”的否定是 ，若该命题是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 ，使得 【知识点】基本不等式求和的最小值、特称命题的否定及其真假判断、根据全称命题的真假求参数 【分析】由命题的否定的定义得到结果；原命题为假命题，则其否定为真命题，借助基本不等式求得实数的取值范围. 【详解】由题意得命题的否定为，使得， 若命题为假命题，则其否定为真命题，即， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故，实数的取值范围为. 故答案为：，使得； 精练高频考点 1．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 2．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据条件得到，即可求解. 【详解】命题“，”等价于有两个不等的实数根， 所以，即，解得或， 故选：D. 3．（2025·辽宁·二模）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据题意，为真命题，恒成立问题分离参数求解. 【详解】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 第四部分：典型易错题型 易错点一：忽视了“的”字结构倒装 1．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）不等式成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先解出一元二次不等式，再根据充分、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为，所以解得，即不等式的解集为， 由题意可知，选项对应的集合应为的真子集. 对于选项A ，因为 ，即是的必要不充分条件，故A错误； 对于选项B，因为，即是的充要条件，故B错误； 对于选项C，因为，即是充分不必要条件，故C正确； 对于选项D，因为与不存在包含关系，即是的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：C 2．（24-25高三上·安徽亳州·期末）的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的必要不充分条件 【分析】求出不等式解集，再根据充分条件和必要条件得概念，结合选项选出答案即可. 【详解】的充要条件是，故必要不充分条件是， 故选：D． 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知，则使得“”成立的一个充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由已知条件判断所给不等式是否正确、比较对数式的大小 【分析】对于A由不等式的性质可判断；对于B取特殊值可判断；对于C不等式可化为，由即可判断；对于D根据的单调性以及不等式的性质可判断 【详解】对于A，因为，所以得,故，故A正确； 对于B，取，此时满足，但，故B错误； 对于C，由可得，即， 当时，， 而，故C错误； 对于D，由可知，，因为，所以，故D正确． 故选：AD 易错点二：最高项系数含参数，容易忽略系数为0 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知“命题，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由题意分或分类讨论即可求解. 【详解】由题意有：当时，满足题意， 当时，， 所以， 故选：C. 2．（23-24高三上·山西太原·阶段练习）．若此命题是假命题，则实数的取值集合是 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】我们已知原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，然后利用不等式的恒成立求解参数范围即可. 【详解】由题意可知，命题“”的否定是“”， 且是真命题，所以或解得， 所以实数的取值集合是． 故答案为： 3．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知命题，为真命题，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】分，，三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【详解】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以只需，解得； 当时，表示开口向下的抛物线，满足题意. 综上所述，的取值范围为. 易错点三：给定的区间是非区间，不能用判别法 1．（24-25高三上·安徽亳州·阶段练习）若命题“”为真命题，则实数的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】将恒成立问题转化为最值问题结合二次函数的性质求解即可； 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立，即， ，单调递减；单调递增； 当时，， 故，则实数的最小值是3. 故选：D. 2．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、求二次函数的值域或最值、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上恒成立，构造函数求解最小值即可． 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 记，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以实数可取的最小值是． 故选：D. 3．（24-25高三上·山西·阶段练习）若命题，使得为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、解不含参数的一元二次不等式、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】问题转化为当时，恒成立，利用二次函数的性质，求出在上的最大值，解不等式求实数的取值范围即可. 【详解】因为为假命题，所以为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数图象的对称轴为， 所以当时，，所以， 即，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：D. 易错点四：给定的区间是区间，可用判别法 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据题意可得命题：“，”为真命题，讨论是否为0，解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 故当时，，即为，符合题意； 当时，需满足解得. 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据命题为真结合二次函数值域应用判别式计算即可. 【详解】由题意可知，不等式有解， 实数m的取值范围为． 故答案为： 3．（2025高三·全国·专题练习）若“”是假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】根据“”是假命题，得出它的否定命题是真命题，利用二次函数与一元二次不等式的关系即可求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得：“”为真命题， 所以，解得或. ∴实数a的取值范围为 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$