第01讲 集合 ( 精练+相遇真题、模拟）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第01讲 集合 ( 精练+相遇真题） A夯实基础 B相遇高考 C提升素养 A夯实基础 一、单选题 1．（湖北省武汉市2025届高三下学期五月模拟训练数学试卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·全国·课后作业）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·云南曲靖·期中）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 5．（陕西省安康市2025届高三下学期模拟（考前最后一卷）数学试题）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 三、填空题 9．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 10．（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则 ． 四、解答题 11．（24-25高三下·北京东城·）已知集合，. (1)当时，求及； (2)若，求实数的取值范围. 12．（24-25高二下·浙江宁波·期中）设全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. B相遇高考 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． C素养提升 1．（2025·广东深圳·二模）已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（    ） A．55 B．70 C．89 D．630 2．（多选）（24-25高三下·江西·阶段练习）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高三下·广东·阶段练习）在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 4．（24-25高二下·湖北·阶段练习）记，表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则 ，若，则的最小值为 . 5．（23-24高三上·北京）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合 ( 精练+相遇真题） A夯实基础 B相遇高考 C提升素养 A夯实基础 一、单选题 1．（湖北省武汉市2025届高三下学期五月模拟训练数学试卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集定义计算求解即可. 【详解】集合，则. 故选：D. 2．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算 【分析】利用集合的基本运算求解即可. 【详解】全集，集合， 则集合，且， 所以集合. 故选：B. 3．（25-26高三上·全国·课后作业）已知集合，，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据补集运算确定集合或参数 【详解】若，且，则，即. 4．（24-25高三下·云南曲靖·期中）已知集合，，则的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算 【分析】利用交集定义求出集合的元素个数，再根据真子集个数的公式即可求得结果. 【详解】因为集合，，则，则集合的元素个数为3， 所以的真子集个数是， 故选：C. 5．（陕西省安康市2025届高三下学期模拟（考前最后一卷）数学试题）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】先解一元二次不等式求解集合，再根据集合间的关系得出参数范围即可. 【详解】因为， ，所以，所以. 故选：C. 6．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、根据集合的包含关系求参数 【分析】解不等式求得，由已知可得，进而可求实数 的取值范围. 【详解】由，可得，解得， 所以，由，可得， 又，所以， 所以实数 的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 7．（2025·湖北黄冈·模拟预测）对于集合、，定义运算：且，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】并集的概念及运算、集合新定义、交集的概念及运算 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 8．（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知集合，若，则的可能取值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】AC 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，分类讨论即可求解； 【详解】， 因为， 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 故选：AC 三、填空题 9．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由集合交集运算易得结果. 【详解】，， 显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是. 故答案为：. 10．（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则 ． 【答案】0 【知识点】根据两个集合相等求参数、补集的概念及运算 【分析】由题意可得和2是方程的两根，利用根与系数的关系求得，可求的值. 【详解】由得，，因为或， 所以，所以和2是方程的两根， 所以，解得，所以． 故答案为：. 四、解答题 11．（24-25高三下·北京东城·）已知集合，. (1)当时，求及； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）解不等式可化简集合A，B，然后由并集及补集知识可得答案； （2）由题分，，三种情况结合题意可得答案. 【详解】（1）由， 即所以 当时，由，即. 所以； （2）因为， 若，则，由得：； 若，则，成立； 若，则，由得：. 综上，实数的取值范围是：. 12．（24-25高二下·浙江宁波·期中）设全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）解不等式求出集合，再求交集可得答案； （2）由得，建立不等式可得答案. 【详解】（1）由得：，解得：， 即，； 当时，， 解得：，即； ； （2）由（1）知：； 由得：， 即， 由得 ，解得：， 即实数的取值范围为. B相遇高考 1．（2023·全国甲卷·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. C素养提升 1．（2025·广东深圳·二模）已知集合的子集中含有3个元素的子集记为.记为集合中的最小元素，若，则（    ） A．55 B．70 C．89 D．630 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】用列举法找出满足条件的子集即可. 【详解】最小元素是2的有，共10个； 最小元素是3的有，共6个； 最小元素是4的有，共3个； 最小元素是5的有，共1个，所以. 故选：A 2．（多选）（24-25高三下·江西·阶段练习）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】判断元素与集合的关系、并集的概念及运算 【分析】根据集合和中元素的定义，对不同情况下元素的运算结果进行分析，判断其是否属于相应集合. 【详解】当时，，则，正确. 设，，则未必属于错误. ，因为， 所以，所以，D正确. 同理可得C正确. 故选：ACD 3．（24-25高三下·广东·阶段练习）在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、判断两个集合的包含关系 【分析】分析题干可知当最大且最小时，取得最小值，由此可算得答案. 【详解】由题意可知当最大且最小时，最小， 因为，所以最大为，此时， 且此时最小为，此时， 若，则且，此时， 故的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高二下·湖北·阶段练习）记，表示个元素的有限集，表示非空数集中所有元素的和，若集合，则 ，若，则的最小值为 . 【答案】 14 【知识点】集合新定义、求等差数列前n项和 【分析】根据定义确定，从而可归纳出中的元素，求和后解不等式可得． 【详解】当，时，，表示2个元素的有限集， 由可知，或或，故； 由题意知， 故由可得，即， 结合，可以估算得的最小值为14 故答案为：；14. 5．（23-24高三上·北京）设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． (1)判断是否为“好集”，并说明理由； (2)证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； (3)求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，，，，. 【知识点】集合新定义 【分析】（1）直接根据定义即可判断； （2）利用“好集”的定义，证明该结论； （3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案. 【详解】（1）由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2）显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3）由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“好集”的定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$