1.1.3直线的方程（第2课时）（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

1.3直线的方程 第二课时 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 和的几何意义：是直线的斜率，是直线在轴上的截距. 两种直线方程:由定点和定方向确定直线 直线方程 几何要素 适用范围 点斜式方程（简称点斜式） 直线上一点坐 斜率 直线存在斜率 斜截式方程（简称斜截式） 斜率 直线在轴上的截距 直线存在斜率 即 不存在，直线与x轴垂直 不能用点斜式表示 即 章节导读 1.2直线的倾斜角、 斜率及其关系 1.3 直线 的方程 1.4两条直线的平行与垂直 1.5两条直线的交点坐标 直线的倾斜角 斜率 倾斜角与方向向量间的关系 一般式 、点法式 点斜式 、斜截式 、两点式 两条直线平行 两条直线垂直 1.6距离公式 两条直线的交点坐标 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式 学 习 目 标 1 2 3 理解两点式、截距式方程的推导，并能明确其适用条件. 明确直线的两点式方程和截距式方程的参数含义. 能准确利用直线方程的两点式、截距式求直线方程. 读教材 阅读课本P11-P12，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“直线的两点式方程”吧！ 1.直线的两点式方程和截距式方程是什么？ 2.任何直线都有两点式、截距式方程吗？ 3.截距相等、截距互为相反数的直线一定经过坐标原点吗？ 新课引入 本节课我们就来探讨一下，直线上 任意一点的坐标满足的关系式？ 给定一点和一个方向(k)可以唯一确定一条直线(点斜式方程)； 两点也能唯一确定一条直线，在平面直角坐标系中，已知直线经过两点，(其中，)；因为两点确定一条直线，也就是说，对于直线上的任意一点，它的坐标与点，的坐标之间具有唯一确定的关系，那么，这一关系如何表示呢？ x y O P2(x2,y2) P1(x1,y1) l 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的两点式方程 3 题型训练 2 直线的截距式方程 新知探究1 探究1 直线经过和两点，用所学知识求直线的方程？ 法一：设直线的斜率为，则 ∴由直线的点斜式方程可得， 法二：设直线为 解得： ∴ 思考：你还有其他方法吗？ 新知探究1 探究1 在平面直角坐标系中，一条直线上任意一点的坐标与 直线上两点之间的关系如何表示？ 解：如图() ＝ x y O P2(x2,y2) P1(x1,y1) l P(x,y) ＝ 新知1 1. 直线的两点式方程： 直线的两点式方程 方程: 就是经过两点(其中，)的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式。 构成元素：直线上两个点 应用条件：直线斜率存在且k≠0 概念辨析 思考 当直线的斜率为0或者斜率不存在时，直线的方程是什么？ 当直线的斜率为时 即 当直线的斜率不存在时 不存在，直线与x轴垂直 不能用点斜式表示 即 l x y O P0(x0,y0) P(x,y) l x y O P0(x0,y0) P(x,y) 典例分析 例1 已知直线经过（其中） 两点，写出直线方程的点斜式？ 由经过两点的直线斜率的计算公式，可得 再由直线方程的点斜式，可得： 课本第12页 典例分析 例2 过点，的直线方程是( ) A. B. C. D. D 由方程 ，化简得 典例分析 例3 ，则的边中线方程是( ) 、 、 、 、 C 解：由题可知：中线过点A和BC中点 方程 ，化简得 典例分析 例4 (1)若直线经过点，，求直线的方程？ (2)若点在过点，的直线上， 解：(1) 因为 。 方法总结 直线的两点式方程： 如何利用直线上两点和求直线两点式方程？ 确定点的坐标：根据已知条件求出直线上两点坐标； 第 1 步 写方程： ① 若，直线方程为： ② 若，直线方程为： ③ 若且，直线方程为： = 第 2 步 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的两点式方程 3 题型训练 2 直线的截距式方程 新知探究2 探究2 如图，已知直线与轴的交点为，与轴的交点为 ，其中，求直线的方程？ 解：将两点，的坐标代入两点式， 或重合 新知2 2. 直线的截距式方程： 直线的截距式方程 方程 由直线在两条坐标轴上的截距与确定，我们把 方程叫做直线的截距式方程，简称截距式。 构成元素：直线轴上的截距a， 直线在轴上的截距； 使用条件：直线不与x,y轴平行或重合，直线不过坐标原点。 截距式方程 （特殊的两点式） 典例分析 例1 过点，两点直线方程是( ) 解：由题可知：直线在在轴上的截距为2，在轴上的截距为3， 由截距式方程 得： C 典例分析 例2 求过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程？ 即x－4y＝0； 把(4,1)代入，解得a＝5，所以直线方程为x＋y＝5. 综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0. 注意：截距相等或者互为相反数说明直线可能过原点 分类讨论 典例分析 例3 求过点，且在坐标轴上截距互为相反数的直线的方程？ 注意：截距相等或者互为相反数说明直线可能过原点 分类讨论 解：(1)当直线在坐标轴上的截距均为0时，方程为，即； (2)当直线在坐标轴上的截距均不为0时， 可设方程为，即， 又∵过点，∴，∴的方程为， 综上所述，直线的方程是或. 学习过程 01 03 02 目录 1 直线的两点式方程 3 题型训练 2 直线的截距式方程 求直线方程 题型1 题型探究 例1 已知三个顶点坐标，，， 求三角形三条边所在的直线方程？ 解：∵，，∴直线与轴垂直，故其方程为. ∵，，由直线方程的两点式可得的方程为， 即. 同理，可由直线方程的两点式得直线的方程为，即. ∴三边，，所在的直线方程分别为 ，，. 求直线方程 题型1 题型探究 于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足. B 题型探究 例3 一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1， 求此直线方程？ 与坐标轴围成三角形问题 题型2 题型探究 例4 已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，求xy的最大值？ 与坐标轴围成三角形问题 题型2 方法总结 直线的截距式方程： (1)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式；若设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形： 面积为S＝|a||b|，周长c＝|a|＋|b|＋. (2)注意分类讨论： 当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时， 两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式． 课堂小结 两点式 截距式 已知条件 两点 (其中，) 直线在轴上的截距 与 直线在轴上的截距 图示 方程形式 适用条件 斜率存在且的直线 斜率存在且的直线 不过原点的直线 感谢聆听! 解　当直线过点(0,0)时，直线方程为y＝x， 当直线不过点(0,0)时，可设直线方程为＋＝1. 例2直线－＝1与－＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的 图象可能是（ ） 解：易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为， 解：设所求直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，∵点A(－2,2)在直线上，∴－eq \f(2,a)＋eq \f(2,b)＝1. 又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴eq \f(1,2)|a|·|b|＝1. 联立方程可得①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,ab＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2.)) 或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,ab＝－2.))无解 所求直线方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,1)＝1或eq \f(x,－1)＋eq \f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0. 解　直线AB的方程为＋＝1， 则x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) ＝[－(y－2)2＋4]≤3. 即当P点坐标为时，xy取得最大值3. $$