专题21.1 一元二次方程（3大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.1 一元二次方程（3大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.清晰理解一元二次方程的概念，能够准确辨别一个方程是否为一元二次方程； 2.熟练掌握一元二次方程的一般形式，并能准确指出方程中各项的系数； 3.深刻理解一元二次方程解（根）的概念，能够通过代入法检验一个数是否为给定一元二次方程的解； 4.感受数学与生活的紧密联系，体会利用一元二次方程解决实际问题的价值，从而增强学习数学的兴趣和应用数学的意识. 二、【知识梳理】 【知识点1】一元二次方程的定义 （1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程. （2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2. 【知识点2】一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为 二次项系数为 一次项为一次项系数为 常数项为 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0. 【知识点3】一元二次方程的解（根） 概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法） 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】一元二次方程的定义.........................................................2 【题型二】化成一元二次方程的一般式...................................................2 【题型三】一元二次方程的解（整体思想）...............................................2 【题型四】一元二次方程的解的估算.....................................................3 【拓展延伸】 【题型五】综合一元二次方程的解用整体思想与降次思想化简求值...........................4 【题型六】一元二次方程与分式运化简综合求值...........................................4 【题型七】一元二次方程与几何综合求值.................................................4 【题型八】一元二次方程与一次函数综合求值.............................................5 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“”难度系数0.85，“”难度系数0.65，“”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】一元二次方程的定义 【例题1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 （1）是关于的一元一次方程． （2）是关于的一元二次方程． 【变式1】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 【例题2】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【变式1】（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【题型三】一元二次方程的解 【例题3】（2025·广东潮州·二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 【变式1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式2】（24-25九年级上·重庆合川·期末）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【题型四】一元二次方程的解的估算 【例题4】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． （1）请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． （2）通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【变式1】（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【拓展延伸】 【题型五】综合一元二次方程的解用整体思想与降次思想化简求值 【例题5】（20-21九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知m是方程式的根，则式子的值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知m为方程 的解，m也为方程 （p， q为常数） 的解，则p的值为（ ） A．-4 B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）若方程的根也是方程的根，则 ． 【题型六】一元二次方程与分式运化简综合求值 【例题6】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【变式1】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）若是方程的一个根，则的值为 ． 【题型七】一元二次方程与几何综合求值 【例题7】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如的方程的正数解．如图，将四个长为，宽为x的矩形（面积均为10）拼成一个大正方形，小正方形的边长为3，于是大正方形的面积为，边长为7，故得的正数解为．小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则m和n的值分别是（   ） A．6，4 B．4，6 C．2，8 D．8，2 【变式1】（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，若是“勾系一元二次方程”的一个根，若四边形的周长是，则面积为 ． 【题型八】一元二次方程与一次函数综合求值 【例题8】（24-25九年级上·天津·阶段练习）一元二次方程化为一般形式后为，则一次函数的图象不经过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（23-24八年级下·山东济南·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22九年级上·河南许昌·期中）若x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.1 一元二次方程（3大知识点8类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.清晰理解一元二次方程的概念，能够准确辨别一个方程是否为一元二次方程； 2.熟练掌握一元二次方程的一般形式，并能准确指出方程中各项的系数； 3.深刻理解一元二次方程解（根）的概念，能够通过代入法检验一个数是否为给定一元二次方程的解； 4.感受数学与生活的紧密联系，体会利用一元二次方程解决实际问题的价值，从而增强学习数学的兴趣和应用数学的意识. 二、【知识梳理】 【知识点1】一元二次方程的定义 （1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数次数的最高次数是2次的整式方程，叫做一元二次方程. （2）构成一元二次方程必须同时满足三个条件：①原方程是整式方程；②整理后的方程只含有一个未知数；③整理后的方程含未知数的最高次数是2. 【知识点2】一元二次方程的一般形式 一般形式 项及项的系数 二次项为 二次项系数为 一次项为一次项系数为 常数项为 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，一般按未知数幂降幂排列，方程右边为0. 【知识点3】一元二次方程的解（根） 概念 使方程左右两边相等的未知数的值叫这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 判断一个数是不是一元二次方程的解（根）的方法（代入检验法） 若一元二次方程有解，则这个解一定有两个 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】一元二次方程的定义.........................................................2 【题型二】化成一元二次方程的一般式...................................................3 【题型三】一元二次方程的解（整体思想）...............................................4 【题型四】一元二次方程的解的估算.....................................................6 【拓展延伸】 【题型五】综合一元二次方程的解用整体思想与降次思想化简求值...........................8 【题型六】一元二次方程与分式运化简综合求值..........................................10 【题型七】一元二次方程与几何综合求值................................................12 【题型八】一元二次方程与一次函数综合求值............................................14 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】一元二次方程的定义 ★【例题1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 （1）是关于的一元一次方程． （2）是关于的一元二次方程． 【答案】（1）或 （2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 解：（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． ★【变式1】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意； ．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． ★【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）方程是关于一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程定义确定方程中未知数的最高次数以及二次项系数的条件． 根据一元二次方程的定义，方程中未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此确定a的值． 解：根据题意可得： 未知数的最高次数，即， 二次项系数，即， 综合以上两个条件，只能取， 故答案为：． 【题型二】化成一元二次方程的一般式 ★【例题2】（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）一元二次方程的一般形式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而合并同类项求出即可． 解： ， 整理得： 故答案为： ★【变式1】（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． ★【变式2】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 【题型三】一元二次方程的解 ★【例题3】（2025·广东潮州·二模）已知． （1）化简P； （2）若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 解：（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． ★【变式1】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出，然后整体代入计算即可． 解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． ★【变式2】（24-25九年级上·重庆合川·期末）已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】2018 【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键． 由一元二次方程的根的定义可得，即，整体代入即可得到答案． 解：∵是方程的根， ∴，即， ∴， ∴代数式的值为2018． 故答案为：2018． 【题型四】一元二次方程的解的估算 ★【例题4】（23-24九年级上·全国·单元测试）小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． （1）请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． （2）通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】（1）见分析；（2）矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 解：（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． ★【变式1】（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． ★【变式2】（2025·山东临沂·二模）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 【拓展延伸】 【题型五】综合一元二次方程的解用整体思想与降次思想化简求值 ★★【例题5】（20-21九年级上·湖北荆州·阶段练习）已知m是方程式的根，则式子的值为 ． 【答案】2020 【分析】由题意可得出，可变形为，．再由，将代入化简得，再将代入求值即可． 解：∵m是方程式的根， ∴， ∴，． ， 将代入，得：， 再将代入，得：． 故答案为：2020． 【点拨】本题考查一元二次方程的解得定义，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键． ★★【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知m为方程 的解，m也为方程 （p， q为常数） 的解，则p的值为（ ） A．-4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将变形为，代入得，根据m有两个值，则，即可求解． 解：∵m为方程 的解， ∴， ∴， ∵m是方程 ， ∴ 把代入，得， ∴ ∴， ∴， ∵m为方程 的解，m也为方程 的解， ∴是两个不相等的值， ∴对于来说，， ∴， 故选：C ★★★【变式2】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）若方程的根也是方程的根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（其中k为常数）的相应的系数间的关系． 设m是方程的一个根，根据方程解的意义知，m既满足方程，也满足方程，将m代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可． 解：设m是方程的一个根， 则，所以． 由题意，m也是方程的根， 所以， 把代入此式，得， 整理得． 从而可知：方程的两根也是方程的根， 这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程， 从而有（（其中k为常数）， 所以，，， 所以 ，，， 因此，． 故答案为： 【题型六】一元二次方程与分式运化简综合求值 【例题6】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键． 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，进而得到，再把所求式子转化为，据此整体代入求解即可． 解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·全国·单元测试）若是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值等知识点，掌握一元二次方程解的定义以及分式方程的求解方法是解题的关键 根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得解答． 解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【题型七】一元二次方程与几何综合求值 【例题7】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来求形如的方程的正数解．如图，将四个长为，宽为x的矩形（面积均为10）拼成一个大正方形，小正方形的边长为3，于是大正方形的面积为，边长为7，故得的正数解为．小智按此方法解关于x的方程时，构造出类似的图形．已知大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则m和n的值分别是（   ） A．6，4 B．4，6 C．2，8 D．8，2 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把及图形按照样例那样去分析即可． 解：解∶把方程变形得到， 如图，将四个长为，宽为的长方形纸片（面积均为）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为，解得， 小正方形边长为， 故得的正数解为， 即，， 故选：C． 【变式1】（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解与勾股定理，根据勾股定理得出方程是解题的关键．根据勾股定理得出方程，整理后即可得到结果． 解：由勾股定理得： ∵，， ∴ 整理得： ∵ ∴的长是方程 的一个正根 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，若是“勾系一元二次方程”的一个根，若四边形的周长是，则面积为 ． 【答案】1 【分析】此类考查了勾股定理的证明，利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 解：把代入得， ∴， ∵四边形的周长是， ∴ ∴， 解得 ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型八】一元二次方程与一次函数综合求值 【例题8】（24-25九年级上·天津·阶段练习）一元二次方程化为一般形式后为，则一次函数的图象不经过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式、一次函数的性质等知识点，利用一元二次方程的一般形式得出方程组是解题关键． 根据一元二次方程的一般形式列方程组可解得，从而求得，，即可判断函数图像不经过第四象限． 解：一元二次方程化为一般形式后为， ∵一元二次方程化为一般形式后为， 得，解得， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·山东济南·期末）关于x的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解及一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质及一元二次方程的解是解题的关键．将代入关于x的一元二次方程，得出关于a，b的等式，再由一次函数的图象经过第一、二、四象限，得出a，b的正负，最后用a表示t得出t的范围，再用b表示t，得出t的范围即可解决问题． 解：由题知， 将代入关于x的方程得，． ∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵，且 ∴ ∵， ∴ 即 同理可得，， ∴ 故选：C． 【变式2】（21-22九年级上·河南许昌·期中）若x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】首先确定a的值，然后确定函数的图像经过的位置即可． 解：∵x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根， ∴﹣3a＝0， 解得：a＝2， ∴一次函数y＝2x+2不经过第四象限， 故选：D． 【点拨】考查了一元二次方程的解的知识及一次函数的性质，解题的关键是根据题意求得a的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$