精品解析：2025年湖北省十堰市茅箭区十堰市实验中学中考三模数学试题

九年级数学中考模拟适应性训练 一、选择题 1. “微信支付”是人们普遍使用的一种支付方式．若转入8元记作元，那么转出6元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数表示具有相反意义的量，根据题意，理解表示相反意义的量，用正负数表示即可得到答案．读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：若转入8元记作元，那么转出6元记作元， 故选：A． 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方及平方差公式，幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不正确； B.，故该选项不正确； C.，故该选项正确； D.，故该选项不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方及平方差公式，幂的乘方运算，同底数幂的乘法，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 平面内，过圆内一点的直线与圆相交 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯 D. 抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数为8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可． 【详解】解：A、平面内，过圆内一点的直线与圆相交，这是必然事件，不符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是，这是不可能事件，不符合题意； C、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯，这是随机事件，符合题意； D、抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数为8，这是不可能事件，不符合题意； 故选；C． 5. 如图是由4个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图改变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图不变，左视图不变 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：将正方体①移走后，主视图不变，底层是两个小正方形，上层的右边是一个小正方形； 俯视图变化，正方体①移走前的俯视图为底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形；将正方体①移走后的俯视图为一行两个小正方形； 左视图改变，正方体①移走前的左视图为底层左边是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；将正方体①移走后的左视图为一列两个小正方形． 所以俯视图改变，左视图改变． 故选：C． 【点睛】考查三视图中的知识，从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键． 6. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：如图，∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键． 设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解． 【详解】解：1尺寸， 高9尺就是寸， 所以． 故选：D． 8. 如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的直径，， ∴，，则， ∴， 故选：A． 9. 如图，在矩形中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，交于点F，若，则矩形的周长为（　　） A. 24 B. 12 C. 8 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】由尺规作图得到直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示，结合矩形性质，根据三角形全等的判定与性质得到，进而由平行四边形的判定、菱形的判定得到，最后结合矩形性质与勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：由题中尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示： ，， 在矩形中，，则， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得，且, 在矩形中，，， 矩形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查尺规作图-垂直平分线、矩形性质、中垂线性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，读懂题意，数形结合，灵活运用相关几何性质与判定求证是解决问题的关键． 10. 二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如表，下列结论，正确的是（　　） x … 1 2 … y … c 0 m … A. B. C. 关于x的方程的两个根分别为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴二次函数图象与y轴正半轴相交， ∴当时，； ∵当时，， ∴二次函数的对称轴为，即， ∴，故选项D正确，符合题意； ∵二次函数图象过点， ∴函数的大致图象为： ∴二次函数图象开口向下， ∴，故选项A错误，不符合题意； ∵二次函数图象过点，开口向下， ∴当时，， ∴，故选项B错误，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为，函数图象过点， ∴二次函数过x轴的另一个交点为， ∴的两个根分别为，故选项C错误，不符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 写出一个小于的无理数是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的大小比较．根据两个负无理数的大小比较确定即可； 【详解】解：∵， ∴； 故答案是：等答案不唯一． 12. 分式方程 的解为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母将其化为一元整式方程，再解一元整式方程，然后检验即可． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则，． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故答案为：． 14. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为____． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，直角三角形的性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：12． 15. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长交于点F，则____，____． 【答案】 ①. ##度 ②. ## 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质可求得；延长到，使，连接，作于点，设正方形的边长为1，推出是等腰直角三角形，在中，解直角三角形求得，，，推出是等边三角形，求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 延长到，使，连接，作于点， 设正方形的边长为1， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、解直角三角形，掌握其基础知识，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键． 三、解答题 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数混合运算．先根据负整数指数幂、零次幂、特殊角的锐角三角函数值等化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 17. 已知：如图 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF＝CE． 求证：BE=DF． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD=BC，对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ADF和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF． 【详解】∵在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC， ∴∠DAF=∠BCE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴BE=DF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，理解平行四边形的对边平行且相等是解答本题的关键． 18. 综合与实践：某校数学实践小组利用所学数学知识测量当地一座古塔的高度．展开活动记录如下： 活动项目 测量本地一座古塔的高度 活动方案 “平行光线”方案 “三角函数”方案 方案示意图 实施过程 ．选取与古塔底部位于同一水平面的处，连接； ．测量，两点间的距离； ．沿方向前行至处，过作，过作交于； ．测量与、与的距离． ．选取与古塔底部位于同一水平面的点处，连接； ．站在处测量仰角； ．沿方向前行至点，连接，测量、两点间的距离和点处的仰角． 测量数据 ．； ．，． ．； ．，． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； ．、均与地面垂直． ．图上所有点均在同一平面内； ．与地面垂直； ．参考数据：，，．，，． 请你从以上两种方法中任选一种，计算古塔的高度． 【答案】古塔的高度． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，解分式方程，根据相似三角形的应用，解直角三角形的应用逐一求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 详解】解：“平行光线”方案： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴古塔的高度； “三角函数”方案： 设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原分式方程的解， ∴古塔的高度． 19. 已知，，，，五个红色研学基地，某地为了解中学生意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有___________人； （3）甲、乙两所学校计划从，，三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识以及用树状图或列表法求概率． （1）先根据扇形统计图以及条形图中选择C基地的人数以及占比求出抽取学生的总人数，然后再求出选择B基地的人数即可补全条形统计图． （2）直接用乘以选择D基地人数得占比即可求出所在的扇形的圆心角的度数，用总体乘以选项基地的占比即可推知整体． （3）列出树状图或表格然后用概率公式即可求出两校恰好选取同一个基地的概率． 【小问1详解】 本次抽取的学生有：（人）， 其中选择的学生有：（人）， 补全的条形统计图如右图所示； 【小问2详解】 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为：， 该市有1000名中学生参加研学活动，愿意去基地的大约有：（人）， 【小问3详解】 树状图如下所示： 由上可得，一共有9种等可能性，其中两校恰好选取同一个基地的可能性有3种， 两校恰好选取同一个基地的概率为． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交轴于点，点是正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）反比例函数为，一次函数的解析式为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，比例系数的几何意义，利用待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式； （）先求出点坐标，由面积关系列出不等式即可求解. 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过于，两点， ∴，解得：，， ∴反比例函数为，， ∵一次函数的图象相交，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵点是正半轴上的一个动点， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，过点的直线与相切于点，在直线上取一点，使得． （1）求证：直线是的切线． （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由得，结合依据题干有，又因为直线与相切于点，点在上，是的半径则有所求结论． （2）利用切线的性质和勾股定理求解圆的半径，根据特殊角的三角函数值推出角度，结合等面积法解得阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， 又， ， ， 直线与相切于点， ， ， 点在上，是的半径， 直线是的切线． 【小问2详解】 解：设半径，则， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， ， 故图中阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质、切线的判定和性质、勾股定理、特殊角的三角函数值、扇形面积计算的知识，正确做出辅助线和利用特殊角的三角函数值是解题的关键． 22. 纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目，纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）．如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点A的高度为，当纸飞机的最大高度达到时，它的水平飞行距离为． （1）求这条抛物线的解析式； （2）小明的前方有一堵高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？（不考虑墙壁的厚度） （3）小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1:2.5（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过），纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离至少为10米？ 【答案】（1） （2）米 （3）在米时，开始滑行 【解析】 【分析】（1）根据题意得抛物线经过，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入解析式求解即可； （3）设滑行高度为h米，则水平滑行的距离为米，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得抛物线经过， ∴设抛物线的解析式为，将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 【小问2详解】 ∵高的墙壁， ∴将代入解析式得：， 解得：，， ∴小明至少距离墙壁米； 小问3详解】 设滑行高度为h米，则水平滑行的距离为米， 由（1）得， 解得：（舍去），， 为纸飞机飞行得距离， ∴， 解得：（舍去），， ∴在米时，开始滑行． 【点睛】题目主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 23. 如图1，是矩形的对角线，作交于点F，交于点E． （1）求证：； （2）如图2，点G是矩形边上一点，连接，过点D作交于点E，，若，探究的值； （3）【拓展探究】如图3，将上述“矩形”改为“平行四边形”，作交于点E，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等得出，即可证明； （2）设，，，根据得出，即可求解； （3）过点B作交于点G，设，，得；先证出得；再证得出，，再结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设，，， 由（1）知， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍）， ∴； 【小问3详解】 解：过点B作交于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质、平行四边形的性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24. 已知抛物线． （1）如图1，当抛物线的图象经过点，且对称轴在轴右侧时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线与轴交于点，，与轴交于点，若点是直线下方抛物线上一点，作，垂足为点，设，求的最大值及此时点的坐标； （2）若抛物线交轴于点，设． ①求与的函数解析式； ②将直线和直线与轴围成的区域（不含边界）记为，当随的增大而增大时，抛物线将分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，②有最大值为，此时点 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）①将代入，根据对称轴在轴右侧，得出，即可得出解析式； ②过点作轴交于点，则，求得，设点，则点，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （2）①分当点在轴上方或与点重合时，当点在轴下方时，两种情况讨论，据此求解即可； ②画出图形，知当时，抛物线将M分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①抛物线的图象经过点， ， ． 对称轴在轴右侧， ， ， ． ②过点作轴交BC于点，则，如图， 当时，； 当时，， 点， ． 设， 解得 ． 设点，则点， ． ， ， ， 当时，有最大值为，此时点． 【小问2详解】 ①当时，， 点． 当点在轴上方或与点重合时，或， ； 当点在轴下方时，， ． 综上所述， ②，当时，，当，， ，当时，，当，， 画出两个一次函数图像如下，将直线和直线与轴围成的区域（不含边界）记为M，那么中横、纵坐标均为整数的点有：，，，，，，,，共8个， ， 时，，时，，如图所示： 观察图像，可知当随的增大而增大时，或 ， 对称轴为， 当时，抛物线将M分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，此时对称轴在轴的右侧，即，如图所示： 解方程，得（舍去负值）； 解方程，得（舍去负值）； ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图像与性质，待定系数求二次函数解析式，勾股定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学中考模拟适应性训练 一、选择题 1. “微信支付”是人们普遍使用的一种支付方式．若转入8元记作元，那么转出6元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 平面内，过圆内一点的直线与圆相交 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到绿灯 D. 抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数为8 5. 如图是由4个同样大小的正方体摆成的几何体，将正方体①移走后，所得几何体（ ） A. 主视图改变，左视图改变 B. 俯视图不变，左视图改变 C. 俯视图改变，左视图改变 D. 主视图不变，左视图不变 6. 一杆古秤在称物时的状态如图所示，此时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，在矩形中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，交于点F，若，则矩形的周长为（　　） A. 24 B. 12 C. 8 D. 36 10. 二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如表，下列结论，正确的是（　　） x … 1 2 … y … c 0 m … A. B. C. 关于x方程的两个根分别为 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 写出一个小于的无理数是_____． 12. 分式方程 的解为____． 13. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为_________． 14. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元．某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形．若的半径为2，则这个圆内接正十二边形的面积为____． 15. 如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长交于点F，则____，____． 三、解答题 16. 计算：． 17. 已知：如图 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF＝CE． 求证：BE=DF． 18. 综合与实践：某校数学实践小组利用所学数学知识测量当地一座古塔的高度．展开活动记录如下： 活动项目 测量本地一座古塔的高度 活动方案 “平行光线”方案 “三角函数”方案 方案示意图 实施过程 ．选取与古塔底部位于同一水平面的处，连接； ．测量，两点间的距离； ．沿方向前行至处，过作，过作交于； ．测量与、与距离． ．选取与古塔底部位于同一水平面的点处，连接； ．站在处测量仰角； ．沿方向前行至点，连接，测量、两点间的距离和点处的仰角． 测量数据 ．； ．，． ．； ．，． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； ．、均与地面垂直． ．图上所有点均在同一平面内； ．与地面垂直； ．参考数据：，，．，，． 请你从以上两种方法中任选一种，计算古塔的高度． 19. 已知，，，，五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有___________人； （3）甲、乙两所学校计划从，，三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线交轴于点，点是正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，直接写出的取值范围． 21. 如图，是的外接圆，是的直径，过点的直线与相切于点，在直线上取一点，使得． （1）求证：直线是的切线． （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留π）． 22. 纸飞机是同学们很喜欢娱乐项目，纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）．如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点A的高度为，当纸飞机的最大高度达到时，它的水平飞行距离为． （1）求这条抛物线的解析式； （2）小明的前方有一堵高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？（不考虑墙壁的厚度） （3）小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1:2.5（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过），纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离至少为10米？ 23. 如图1，是矩形的对角线，作交于点F，交于点E． （1）求证：； （2）如图2，点G是矩形边上一点，连接，过点D作交于点E，，若，探究的值； （3）【拓展探究】如图3，将上述“矩形”改为“平行四边形”，作交于点E，，，，求的长． 24. 已知抛物线． （1）如图1，当抛物线的图象经过点，且对称轴在轴右侧时， ①求抛物线的解析式； ②抛物线与轴交于点，，与轴交于点，若点是直线下方抛物线上一点，作，垂足为点，设，求的最大值及此时点的坐标； （2）若抛物线交轴于点，设． ①求与的函数解析式； ②将直线和直线与轴围成的区域（不含边界）记为，当随的增大而增大时，抛物线将分成的两部分中各有四个横、纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$