假期作业26 空间点、直线、平面之间的位置关系-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

　假期作业２６　空间点、直线、平面之间的位置关系　　　　　　　　 １．三个基本事实 基本事实１:如果一条直线上的　　　　在 一个平面内,那么这条直线在此平面内． 基本事实２:过　　　　　　　的三点,有 且只有一个平面． 基本事实３:如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们　　　　　　　过该点的 公共直线． 基本事实３的三个推论 推论１:经过一条直线和这条直线外一点有 且只有一个平面; 推论２:经过两条相交直线有且只有一个平面; 推论３:经过两条平行直线有且只有一个平面． ２．空间直线的位置关系 共面直线 　　　　　 　　　　{ 异面直线:不同在　　　　一个平面内 ì î í ï ï ïï ３．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直 线 与 平 面 相交 a∩α＝A 　　个 平行 a∥α 　　个 在平 面内 a⊂α 　　个 平 面 与 平 面 平行 α∥β 　　个 相交 α∩β＝l 　　个 ４．异面直线所成的角 (１)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中 任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所 成的　　　　　　叫做异面直线a与b所 成的角． (２)范围:０,π２ æ è ç ù û úú． ◆[考点一]　平面的基本性质 １．(多选)已知α,β为平面,A,B,M,N 为点,a 为直线,下列推理正确的是 (　　) A．A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β B．M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α,A∈β⇒α∩β＝A D．A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M 不共 线⇒α,β重合 ２．下列两个相交平面的画法中正确的是 (　　) ３．下列命题中正确的个数为 (　　) ①若△ABC 在平面α 外,它的三条边所在 的直线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R 三点 共线; ②若三条直线a,b,c互相平行且分别交直 线l于A,B,C三点,则这四条直线共面; ③空间中不共面五个点一定能确定１０个 平面． A．０　　　B．１　　　C．２　　　D．３ ４．若直线l与平面α 相交于点O,A,B∈l,C, D∈α,且AC∥BD,则O,C,D 三点的位置 关系是　　　　． ◆[考点二]　空间两直线的位置关系 ５．设BD１ 是正方体ABCD －A１B１C１D１ 的一 条对角线,则这个正方体中,面对角线与 BD１ 异面的有 (　　) A．０条 B．４条 C．６条 D．１２条 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２６ ６．若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c (　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 ７．(２０２３􀅰上海卷)如图所 示,在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,点P 为边 A１C１ 上的动点,则下列 直线中,始终与直线BP 异面的是 (　　) A．DD１　　B．AC　　C．AD１　　D．B１C ８．如图,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或 所在棱的中点,则表示直线GH,MN 是异 面直线的图形有　　　　． ◆[考点三]　异面直线所成的角 ９．(２０２１􀅰全国乙卷文,１０)在正方体ABCD－ A１B１C１D１ 中,P 为B１D１ 的中点,则直线 PB 与AD１ 所成的角为 (　　) A．π２　　　B． π ３　　　C． π ４　　　D． π ６ １０．(２０２３􀅰全国甲卷(理))在正方体ABCDＧ A１B１C１D１ 中,E,F 分别为CD,A１B１ 的中 点,则以EF 为直径的球面与正方体每条 棱的交点总数为　　　　　． １１．如图所示,在长方体 ABCD－EFGH 中, AB＝AD＝２ ３,AE＝２． (１)求直线BC和EG 所成的角; (２)求直线AE 和BG 所成的角． １２．如图,在正方体 ABCD－EFGH 中,O 为 侧面ADHE 的中心,求: (１)BE 与CG 所成的角; (２)FO与BD 所成的角． １．如图所示,圆锥底面半径为１,母线AC＝２, D 为弧AB 的中点,E 是BC 中点,则异面直 线AC与DE 夹角的正弦值是 (　　) A．１２　　　B．１　　　C． ２ ２　　　D． ２ ４ ２．正方体ABCDＧA１B１C１D１ 的棱长为２,E,F 分别是BC,CC１ 的中点,则平面AEF 截该 正方体所得的截面面积为 (　　) A．９８　　　B． ３ ２　　　C． ９ ４　　　D． ９ ２ 踏上幽径,追逐星光 人有两条路要 走,一 条 是 必 须 走 的,一 条是想 走 的,你 必 须 把 必 须 走 的 路 走 漂 亮 才可以走 想 走 的 路,有 些 路,你 不 走 下 去, 就不会 知 道 那 边 的 风 景 有 多 美,所 以 内 心 难过也不要把自己丢在黑暗 中．按 时 睡 觉, 好好吃饭,洗 个 热 乎 的 澡,喝 甜 甜 的 奶 茶． 看看长河落日,花朵树木,驱逐 丧 气 再 努 力 奔跑,生活到处是发光的星星． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３６ １１．解:如图,过C作CE 垂直于AD,交AD 延 长线于E,则所求几何体的体积可看成是 由梯形ABCE 绕AE 旋转一 周所得的圆台的体积,减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积． 所以所求几何体的体积V＝V圆台 －V圆锥 ＝１３π× (５２＋５×２ ＋２２)×４－１３π×２ ２×２＝１４８３π． １２．解:如图所示,作出轴截面,O 是球心,与 边BC,AC相切于点D,E．连接AD,OE, 因 为 △ABC 是 正 三 角 形,所 以 CD＝ １ ２AC． 因 为 Rt△AOE∽ Rt△ACD,所 以OEAO ＝CDAC． 因为CD＝１cm,所以AC＝２cm,AD＝ ３cm, 设OE＝r,则AO＝ ３－r,所以 r ３－r ＝１２ , 所以r＝ ３３ cm , V球 ＝ ４３ π ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ ４ ３２７ π (cm３ ),即 球 的 体 积 等 于４ ３ ２７πcm ３． 新题快递 １．B　[在△AOB 中,∠AOB＝１２０°,而 OA＝OB＝ ３,取 AB 中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图, ∠ABO＝３０°,OC＝ ３２ ,AB＝２BC＝３,由△PAB 的 面 积 为 ９ ３ ４ ,得１ ２×３×PC＝ ９ ３ ４ , 解 得 PC ＝ ３ ３２ , 于 是 PO ＝ PC２－OC２ ＝ ３ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ － ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ６, 所以圆锥的体积V＝１３π×OA ２×PO＝１３π× (３)２× ６＝ ６π．] ２．解析:四 面 体 的 体 积 最 大 时 即 面SAB⊥面ABC, SA＝SB＝２,且SA⊥SB,BC＝ ５,AC＝ ３,所以∠ACB＝９０°, 取 AB 的 中 点 H, 连 接 CH,SH, SH ⊥AB,平 面 SAB∩ 平 面 ABC＝AB,SH 在 平 面 SAB 内,而SH＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２ 所以SH⊥平面ABC,所以VSＧABC＝ １ ３ 􀅰S△ABC􀅰SH＝ １ ３ 􀅰 １ ２ 􀅰 ５􀅰 ３􀅰 ２＝ ３０６ ; 则外接 球 的 球 心 在 SH 上,设 球 心 为 O,连 接 OC,CH＝ １ ２ 􀅰AB＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２,因为SH＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２, 所以O 与H 重合,所以R＝CH＝SH＝ ２, 所以四面体的外接球的表面积S＝４πR２＝８π． 答案: ３０ ６ 　８π 假期作业２６ 思维整合室 １．两点　不在一条直线上　有且只有一条 ２．平行　相交　任何　３．１　０　无数　０　无数 ４．(１)锐角(或直角) 技能提升台　素养提升 １．ABD　[选项 C中,α与β有公共点A,则它们有过点A 的一 条交线,故 C错．] ２．D　 ３．C　[在①中,因为P,Q,R 三点既在平面ABC 上,又在平面 α上,所以这三点必在平面 ABC 与α 的交线上,即 P,Q,R 三点共线,故①正确;在②中,因为a∥b,所以a与b 确定一 个平面α,而l上有A,B 两点在该平面上,所以l⊂α,即a,b, l三线共面于α;同理a,c,l三线也共面,不妨设为β,而α,β 有两条公共的直线a,l,所以α与β 重合,故这些直线共面, 故②正确;在③中,不妨设其中四点共面,则它们最多只能确 定７个平面,故③错．] ４．解析:∵AC∥BD, ∴AC与BD 确定一个平面,记作平面β,则α∩β＝CD． ∵l∩α＝O,∴O∈α． 又∵O∈AB⊂β,∴O∈直线CD,∴O,C,D 三点共线． 答案:共线 ５．C ６．C　[由 于a∥b,a,c 异面,此时,b和c 可 能相交,也即共面,如 图所示b与c 相交;b 和c 也 可 能 异 面,如 图所示b′与c异面．综上所述,b与c不可能是平行直线．] ７．B　[对于 A,当P 是A１C１ 的中点时,BP 与DD１ 是相交直 线;对于B,根据异面直线的定义知,BP 与AC 是异面直线; 对于 C,当点P 与C１ 重合时,BP 与AD１ 是平行直线;对于 D,当点P 与C１ 重合时,BP 与B１C是相交直线．] ８．解析:①中 HG∥MN;③中GM∥HN 且GM≠HN,所以直 线 HG 与MN 必相交． 答案:②④ ９．D　[由题意可知,连接BP,BC１,PC１(图略),则BP,BC１ 所 成角即为所求角θ,设 AB＝２,则BP＝ ６,BC１＝２ ２,PC１ ＝ ２,由余弦定理可知cosθ＝ BP２＋BC２１－C１P２ ２BP􀅰BC１ ＝ ６＋８－２ ２ ６􀅰２ ２ ＝ ３２ ,所以夹角为 π ６． ] １０．解 析:在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,E,F 分 别 为CD,A１B１ 的中点, 设 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中 棱 长 为 ２, EF 中点为O, 取AB,BB１ 中点G,M,侧 面BB１C１C的中心为N, 连 接 FG,EG,OM,ON, MN,如图, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４０１ 由题意得O 为球心,在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,EF＝ FG２＋EG２＝ ４＋４＝２ ２, ∴R＝ ２, 则球心O 到BB１ 的距离为OM＝ ON２＋MN２＝ １＋１ ＝ ２, ∴球O 与棱BB１ 相切,球面与棱BB１ 只有一个交点, 同理,根据正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 的对称性可知,其余 各棱和球面也只有一个交点, ∴以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为１２． 答案:１２ １１．解:(１)连接AC(图略),∵EG∥AC, ∴∠ACB 即是BC 和EG 所成的角． ∵在长方体ABCD－EFGH 中,AB＝AD＝２ ３, ∴tan∠ACB＝１,∴∠ACB＝４５°, ∴直线BC和EG 所成的角是４５°． (２)∵AE∥BF,∴∠FBG即是AE和BG所成的角． 易知tan∠FBG＝ ３, ∴∠FBG＝６０°, ∴直线AE 和BG 所成的角是６０°． １２．解:(１)∵CG∥FB, ∴∠EBF 是异面直线BE 与CG 所 成 的角． 在 Rt△EFB 中,EF＝FB, ∴∠EBF＝４５°, ∴BE 与CG 所成的角为４５°． (２)连接FH, ∵FB∥AE,FB＝AE,AE∥HD,AE＝HD, ∴FB＝HD,FB∥HD, ∴四边形FBDH 是平行四边形, ∴BD∥FH, ∴∠HFO 或其补角是FO 与BD 所成的角,连接 HA,AF, 则△AFH 是等边三角形, 又O 是AH 的中点,∴∠HFO＝３０°, ∴FO 与BD 所成的角为３０°． 新题快递 １．C　 [设 底 面 圆 心 为 O,连 接 EO,CO, OD,如图所示,可知EO∥AC,故∠OED 为异面直线AC 与DE 所 成 的 角(或 其 补角)． ∵CO⊥底面ABD, ∴CO⊥OD．又∵点 D 为半圆弧AB 的 中点, ∴AB⊥OD,又CO∩AB＝O, ∴OD⊥平面ABC, ∴OD⊥EO,在 Rt△ODE 中,OD＝OE＝１, ∴∠OED＝π４ ,∴sin∠OED＝ ２２ ,故异面直线AC与DE 夹 角的正弦值是 ２ ２． 故选 C．] ２．D　[连接 AD１,则 AD１∥EF, 连接FD１,则平面AEF 截正方 体 所 得 截 面 多 边 形 为 梯 形AD１FE, ∵正 方 体 棱 长 为 ２,故 AD１ ＝ ２ ２,EF＝ ２, 又AE＝D１F＝ ２２＋１２＝ ５, ∴等腰梯形AD１FE 的高为 (５)２－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３ ２ , ∴梯形AD１F１E 的面积为＝ ２＋２ ２ ２ × ３ ２ ＝９２． ] 假期作业２７ 思维整合室 １．(１)平行　(２)相等或互补 ２．这个平面内　交线　３．相交直线　相交　交线 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．BCD　[对于 A,若直线l在平面α内,l上有两点到α的距离 为０,相等,此时l不与α平行,所以 A错误;对于B,因为l∥ β,所以存在直线m⊂β使得l∥m,因为l⊥α,所以 m⊥α,又 m⊂β,所以β⊥α,所以B正确;对于 C,l∥α,故存在m⊂α使 得l∥m,因为α∥β,所以m∥β,因为l∥m,l⊄β,所以l∥β,C 正确．对于 D由面面平行的判定定理知 D正确．] ３．D　[A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确,B,C 可由线面平行的判定定理判定正确性．D错在D１B１∥l,l与 B１C１ 所成角是４５°．] ４．解析:连接 HN,FH,FN(图略),则FH∥DD１,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B１BDD１,只需 M∈FH,则 MN⊂平 面FHN,∴MN∥平面B１BDD１． 答案:点 M 在线段FH 上(或点 M 与点H 重合) ５．C ６．BD　[A:若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α,β可能相交、平 行,错误;B:若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥ β,由面面平行的判定可得α∥β,正确;C:若a∥α,b∥β,且a ∥b,则α,β可能相交、平行,错误;D:若a⊂α,a∥β,α∩β＝b, 由线面平行的性质定理得a∥b,正确．] ７．AB　 [如 图,∵EG∥E１G１,EG⊄ 平 面E１FG１, E１G１⊂平面E１FG１, ∴EG∥平面E１FG１． 又G１F∥H１E, 同理可证 H１E∥平面E１FG１, 又 H１E∩EG＝E,∴ 平 面 E１FG１ ∥ EGH１,故 A正确,同理可得B正确,故选 AB．] ８．解析:∵平面 MNE∥平面ACB１, 由平面平行的性质定理可得EN∥B１C,EM∥B１A, 又∵E 为BB１ 的中点, ∴M,N 分别为BA,BC的中点, ∴MN＝１２AC． 即MN AC ＝ １ ２． 答案:１ ２ ９．D　[如图,任取线段 A１B 上一点 M, 过 M 作MH∥AA１,交AB 于H,过 H 作 HG∥AC 交BC 于G,过G 作CC１ 的平 行 线,与 CB１ 一 定 有 交 点 N,连 接 MN, 可证平面 MNGH∥平面ACC１A１ 所 以 MN∥ 平 面 ACC１A１,则 这 样 的 MN 有无数条．] １０．解析:∵EF∥DG,BE∥AD,BE∩EF＝E,AD∩DG＝D, BE,EF⊂平面BEF,AD,EG⊂平面ADGC,∴平面BEF∥ 平面ADGC． ∵BF⊂平面BEF, ∴BF∥平面ACGD,故①正确; 由于DG＝２EF, 则四边形EFGD 是梯形, GF 的延长线必与直线DE 相交,故④不正确; 选项②③不能推出． 答案:① １１．证明:(１)因 为 M,N 分 别 是CD,CB 的 中点, 所以 MN∥BD．又因为BB１􀱀DD１,所以 四边形BB１D１D 是平行四边形,所以BD ∥B１D１, 从而 MN∥B１D１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５０１