假期作业25 简单几何体的表面积与体积-【快乐假期必刷题】2025年高一数学暑假作业必刷题（北师大版）

１０．C　[如图,设正四棱锥的高为h,底面边 长为a,侧面三角形底边上的高为h′,则依 题意 有: h２＝１２ah′ h２＝h′２－ a２( ) ２ ì î í ïï ï ,因 此 有h′２ － a２( ) ２ ＝１２ah′ ,化简得４ h′a( ) ２ －２ h′a( ) －１＝０,解得 h′ a ＝ ５＋１ ４ (负根已舍去)．] １１．解:圆台的轴截面题图所示,设圆台上、下底面半径分别为 xcm,３xcm,延长AA１ 交OO１ 的延长线于S,在 Rt△SOA 中,∠ASO＝４５°,则∠SAO＝４５°, 所以SO＝AO＝３x,SO１＝A１O１＝x,所以OO１＝２x． 又S轴截面 ＝１２ (６x＋２x)􀅰２x＝３９２,所以x＝７． 所以圆台的高OO１＝１４(cm),母线长l＝２OO１＝１４２(cm), 两底面半径分别为７cm,２１cm． １２．解:把长方体的部分面展开,如图所示． 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC１ 的长分别为 ９０、７４、８０,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先 在长方形ABB１A１ 内由A 到E,再在长方形BCC１B１ 内由E 到C１,也可以先在长方形AA１D１D 内由A 到F,再在长方形 DCC１D１ 内由F到C１,其最短路程为 ７４． 新题快递 １．B　[沿侧棱BB１ 将正三棱柱的侧面 展 开,得 到 一 个 矩 形 BB１B１′B′ (如图)． 由侧面展开图可知,当B,M,C１ 三点 共线时,从点B 经过M 到达C１ 的路线最短． 所以最短路线长为BC１＝ ４２＋２２＝２ ５．] ２．解析:不妨设原棱锥为四棱锥, 设棱台的 高 为h,截 得 棱 台 的 原 棱锥的高为h１, 如图所示,即 MN＝h,PN＝h１ 因为 四 边 形 ABCD 与 四 边 形 EFGH 相似, 且上下底面面积分别为４和 ９, 故EM AN＝ ２ ３ , 由△PEM∽△PAN, 故PM PN＝ EM AN＝ ２ ３ ,MN PN ＝ h h１ ＝１－２３＝ １ ３ , 这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比为１ ３． 答案:１ ３ 假期作业２５ 思维整合室 １．２πrl　πrl　π(r１＋r２)l　２．S底 􀅰h　 １ ３S底 􀅰h　４πR２ 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．A　[依 题 意,圆 柱 的 母 线 长l＝２πr,故S侧 ＝２πrl＝４π２r２ ＝４π２．] ３．A　[设正三棱锥的侧棱长为b,由条件知２b２＝a２,所以三棱 锥的表面积为 ３ ４a ２＋３×１２× １ ２×a ２＝３＋ ３４ a ２．] ４．AC　[如图,由∠APB＝ １２０°,AP＝２ 可 知,底 面 直径AB＝２ ３,高PO＝１, 故该圆 锥 的 体 积 为 π,故 A对;该圆锥的侧面积 为 ２ ３π,故 B 错;连 接 CB, 取AC中点为Q,连接QO,PQ,易证二面角P－AC－O 的平 面角为∠PQO＝４５°,所以QO＝PO＝１,PQ＝ ２,所以BC＝ ２,所以AC＝２ ２,故C对;S△PAC＝ １ ２AC 􀅰PQ＝２,故D错．] ５．B　[由题意可知:三棱锥PＧABC 的高为PA＝３,所以该四 面体的体积为１ ３×３× １ ２×２×２＝２． ] ６．B　[按相似,小圆锥 的 底 面 半 径r＝ ２００ ２ ２ mm＝５０mm ,故 V小锥 ＝１３×π×５０ ２×１５０mm３＝５０３􀅰πmm３, 积水厚度h＝V小锥S大圆 ＝ ５０３􀅰π π􀅰１００２ mm＝１２．５mm,属 于 中 雨, 选B．] ７．B　[如图,分别过 M,C 作 MM′ ⊥PA,CC′⊥PA,垂 足 分 别 为 M′,C′．过B 作BB′⊥平面PAC, 垂足 为 B′,连 接 PB′,过 N 作 NN′⊥PB′,垂足为 N′． 因为BB′⊥平面 PAC,BB′⊂平 面PBB′, 所以平面PBB′⊥平面PAC． 又因为平面PBB′∩平面PAC＝PB′,NN′⊥PB′,NN′⊂平 面PBB′,所以 NN′⊥平面PAC, 且BB′∥NN′． 在△PCC′中,因为 MM′⊥PA,CC′⊥PA, 所以 MM′∥CC′,所以PMPC＝ MM′ CC′＝ １ ３ , 在△PBB′中,因为BB′∥NN′,所以PNPB＝ NN′ BB′＝ ２ ３ , 所以 VP－AMN VP－ABC ＝ VN－PAM VB－PAC ＝ １ ３S△PAM 􀅰NN′ １ ３S△PAC 􀅰BB′ ＝ １ ３× １ ２PA 􀅰MM′( ) 􀅰NN′ １ ３× １ ２PA 􀅰CC′( ) 􀅰BB′ ＝２９． ] ８．解析:由题意易求正四棱锥的高为６,V棱台 ＝V大四棱锥 －V小四棱锥 ＝１３×４×４×６－ １ ３×２×２×３ ＝２８． 答案:２８ ９．A　[由题意知☉O１ 的半径r为２,由正弦定理知 AB sinC＝２r ,则 OO１＝AB＝２rsin６０°＝２ ３,所以球O的半径R＝ r２＋OO２１＝４, 所以球O的表面积为４πR２＝６４π,故选A．] １０．A　[记△ABC的外接圆圆心为O１,由AC⊥BC,AC＝BC ＝１,知O１ 为AB 的中点,且AB＝ ２,O１C＝ ２ ２ ,又球的半 径为１,所以 OA＝OB＝OC＝１,所 以 OA２＋OB２＝AB２, OO１＝ ２ ２ ,于是OO２１＋O１C２＝OC２,所以有OO１⊥O１C,OO１ ⊥ AB,进 而 OO１ ⊥ 平 面 ABC,所 以 VO－ABC ＝ １ ３S△ABC 􀅰OO１＝ １ ３ 􀅰１ ２ 􀅰１􀅰１􀅰 ２２＝ ２ １２ ,故选 A．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３０１ １１．解:如图,过C作CE 垂直于AD,交AD 延 长线于E,则所求几何体的体积可看成是 由梯形ABCE 绕AE 旋转一 周所得的圆台的体积,减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积． 所以所求几何体的体积V＝V圆台 －V圆锥 ＝１３π× (５２＋５×２ ＋２２)×４－１３π×２ ２×２＝１４８３π． １２．解:如图所示,作出轴截面,O 是球心,与 边BC,AC相切于点D,E．连接AD,OE, 因 为 △ABC 是 正 三 角 形,所 以 CD＝ １ ２AC． 因 为 Rt△AOE∽ Rt△ACD,所 以OEAO ＝CDAC． 因为CD＝１cm,所以AC＝２cm,AD＝ ３cm, 设OE＝r,则AO＝ ３－r,所以 r ３－r ＝１２ , 所以r＝ ３３ cm , V球 ＝ ４３ π ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ ４ ３２７ π (cm３ ),即 球 的 体 积 等 于４ ３ ２７πcm ３． 新题快递 １．B　[在△AOB 中,∠AOB＝１２０°,而 OA＝OB＝ ３,取 AB 中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图, ∠ABO＝３０°,OC＝ ３２ ,AB＝２BC＝３,由△PAB 的 面 积 为 ９ ３ ４ ,得１ ２×３×PC＝ ９ ３ ４ , 解 得 PC ＝ ３ ３２ , 于 是 PO ＝ PC２－OC２ ＝ ３ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ － ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ６, 所以圆锥的体积V＝１３π×OA ２×PO＝１３π× (３)２× ６＝ ６π．] ２．解析:四 面 体 的 体 积 最 大 时 即 面SAB⊥面ABC, SA＝SB＝２,且SA⊥SB,BC＝ ５,AC＝ ３,所以∠ACB＝９０°, 取 AB 的 中 点 H, 连 接 CH,SH, SH ⊥AB,平 面 SAB∩ 平 面 ABC＝AB,SH 在 平 面 SAB 内,而SH＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２ 所以SH⊥平面ABC,所以VSＧABC＝ １ ３ 􀅰S△ABC􀅰SH＝ １ ３ 􀅰 １ ２ 􀅰 ５􀅰 ３􀅰 ２＝ ３０６ ; 则外接 球 的 球 心 在 SH 上,设 球 心 为 O,连 接 OC,CH＝ １ ２ 􀅰AB＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２,因为SH＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２, 所以O 与H 重合,所以R＝CH＝SH＝ ２, 所以四面体的外接球的表面积S＝４πR２＝８π． 答案: ３０ ６ 　８π 假期作业２６ 思维整合室 １．两点　不在一条直线上　有且只有一条 ２．平行　相交　任何　３．１　０　无数　０　无数 ４．(１)锐角(或直角) 技能提升台　素养提升 １．ABD　[选项 C中,α与β有公共点A,则它们有过点A 的一 条交线,故 C错．] ２．D　 ３．C　[在①中,因为P,Q,R 三点既在平面ABC 上,又在平面 α上,所以这三点必在平面 ABC 与α 的交线上,即 P,Q,R 三点共线,故①正确;在②中,因为a∥b,所以a与b 确定一 个平面α,而l上有A,B 两点在该平面上,所以l⊂α,即a,b, l三线共面于α;同理a,c,l三线也共面,不妨设为β,而α,β 有两条公共的直线a,l,所以α与β 重合,故这些直线共面, 故②正确;在③中,不妨设其中四点共面,则它们最多只能确 定７个平面,故③错．] ４．解析:∵AC∥BD, ∴AC与BD 确定一个平面,记作平面β,则α∩β＝CD． ∵l∩α＝O,∴O∈α． 又∵O∈AB⊂β,∴O∈直线CD,∴O,C,D 三点共线． 答案:共线 ５．C ６．C　[由 于a∥b,a,c 异面,此时,b和c 可 能相交,也即共面,如 图所示b与c 相交;b 和c 也 可 能 异 面,如 图所示b′与c异面．综上所述,b与c不可能是平行直线．] ７．B　[对于 A,当P 是A１C１ 的中点时,BP 与DD１ 是相交直 线;对于B,根据异面直线的定义知,BP 与AC 是异面直线; 对于 C,当点P 与C１ 重合时,BP 与AD１ 是平行直线;对于 D,当点P 与C１ 重合时,BP 与B１C是相交直线．] ８．解析:①中 HG∥MN;③中GM∥HN 且GM≠HN,所以直 线 HG 与MN 必相交． 答案:②④ ９．D　[由题意可知,连接BP,BC１,PC１(图略),则BP,BC１ 所 成角即为所求角θ,设 AB＝２,则BP＝ ６,BC１＝２ ２,PC１ ＝ ２,由余弦定理可知cosθ＝ BP２＋BC２１－C１P２ ２BP􀅰BC１ ＝ ６＋８－２ ２ ６􀅰２ ２ ＝ ３２ ,所以夹角为 π ６． ] １０．解 析:在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,E,F 分 别 为CD,A１B１ 的中点, 设 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中 棱 长 为 ２, EF 中点为O, 取AB,BB１ 中点G,M,侧 面BB１C１C的中心为N, 连 接 FG,EG,OM,ON, MN,如图, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４０１ 　　　　　　　假期作业２５　简单几何体的表面积与体积　　　 １．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积 公式 圆柱 圆锥 圆台 侧 面 展 开 图 侧 面 积 公 式 S圆柱侧＝　　　 S圆锥侧＝　　　 S圆台侧＝　　　 ２．空间几何体的表面积与体积公式 　　　　名称 几何体　　　　 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝ S侧＋２S底 V＝　　　　 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝ S侧＋S底 V＝　　　　 台体(棱台和圆台) S表面积＝ S侧＋S上＋S下 V＝１３ 􀅰 (S上＋S下＋ S上S下 )h 球 S＝　　　　 V＝４３πR ３ ◆[考点一]　空间几何体的表面积与侧面积 １．如图所示,圆锥的底面半径为 １,高为 ３,则该圆锥的表面 积为 (　　) A．π B．２π C．３π D．４π ２．若圆柱的底面半径为１,其侧面展开图是一 个正方形,则这个圆柱的侧面积是 (　　) A．４π２ B．３π２ C．２π２ D．π２ ３．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面 边长为a时,该三棱锥的表面积是 (　　) A．３＋ ３４ a ２ B．３４a ２ C．３＋ ３２ a ２ D．６＋ ３４ a ２ ４．(多选)(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知圆锥的顶 点为 P,底面圆心为 O,AB 为底面直径, ∠APB＝１２０°,PA＝２,点C在底面圆周上, 且二面角PＧACＧO 为４５°,则 (　　) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为４ ３π C．AC＝２ ２ D．△PAC的面积为 ３ ◆[考点二]　空间几何体的体积 ５．«九章算术»中记载,四个面都 为直角三角形的四面体称之为 鳖臑．现有一个“鳖臑”,PA⊥底 面ABC,AC⊥BC,且 PA＝３, AC＝BC＝２,则该四面体的体积为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．４　　　D．８ ６．(２０２１􀅰北京卷,８)定义:２４小时内降水在 平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度,其 中小雨(＜１０mm),中雨(１０mm－２５mm), 大雨(２５ mm－５０ mm),暴 雨 (５０ mm－ １００mm),小明用一个圆锥形容器接了２４ 小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个 等级 (　　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０６ ７．(２０２３􀅰天津卷)在三棱锥P－ABC 中,线 段PC上的点M 满足PM＝１３PC ,线段PB 上的点 N 满足PN＝２３PB ,则三棱锥 P－ AMN 和三棱锥P－ABC的体积之比为 (　　) A．１９ B． ２ ９ C． １ ３ D． ４ ９ ８．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)底面边长为４的正四 棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个 底面边长为２,高为３的正四棱锥,所得棱 台的体积为　　　　． ◆[考点三]　切与接问题 ９．已知 A,B,C 为球O 的球面上的三个点, ☉O１ 为△ABC的外接圆．若☉O１ 的面积为 ４π,AB＝BC＝AC＝OO１,则球 O 的表面 积为 (　　) A．６４π B．４８π C．３６π D．３２π １０．已知A,B,C是半径为１的球O 的球面上 的三个点,且AC⊥BC,AC＝BC＝１,则三 棱锥O－ABC的体积为 (　　) A．２１２ B． ３ １２ C． ２ ４ D． ３ ４ １１．如 图,在 四 边 形 ABCD 中, ∠DAB ＝ ９０°, ∠ADC＝１３５°,AB＝５, CD＝２ ２,AD＝２,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的体积． １２．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切 球,若圆锥的底面半径为 １cm,求球的 体积． １．(２０２３􀅰全国乙卷(理))已知圆锥PO 的底 面半径为 ３,O为底面圆心,PA,PB 为圆锥 的母线,∠AOB＝１２０°,若△PAB 的面积等 于９ ３ ４ ,则该圆锥的体积为 (　　) A．π B．６π C．３π D．３ ６π ２．在四面体SＧABC 中,SA＝SB＝２,且SA⊥ SB,BC＝ ５,AC＝ ３,则该四面体体积的最 大值为　　　　　,该四面体外接球的表面 积为　　　　　． 今天做数学题．十个人 排队,甲不能站中间,不能站 两端,还得和乙挨着,还得和 丙隔两个人,还得站丁后面． 经过激烈的讨论,大家一致 认为,让甲滚􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １６