概率与统计（1） - 专题训练卷 山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》第89卷（解析版+原卷版）

编写说明：山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》，依据《山东省春季高考数学考试标准》及山东春季高考历年真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试标准编写的68份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的22份专题训练卷；第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》的第89卷，是专题训练卷，主要考查总体与样本、抽样方法、用样本估计总体、古典概型、计数原理、排列组合、二项式定理、离散型随机变量分布、二项分布、正态分布、一元线性回归方程的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》 第89卷 概率与统计（1） 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分。） 1．为了解所加工的1000个零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，1000个零件的长度是（    ），200是（    ）. A．总体，样本 B．总体，样本容量 C．总体，个体 D．个体，样本 【答案】B 【分析】样本取样中，区分总体与个体，样本与样本容量的概念. 【详解】该样本取样中，1000个零件的长度为总体，其中加工的每一个零件的长度为个体，200个零件的长度为样本，200为样本容量；故1000个零件的长度是总体，200是样本容量， 故选:B. 2．从5名同学中选3名参加某项活动，不同的选法有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【答案】A 【分析】 根据组合数的问题即可求解. 【详解】 由题意得，从5名同学中选3名参加某项活动，不同的选法有种. 故选：A. 3．将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为2：3：5，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，应从A层抽取的个体数量为（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】根据分层抽样的定义进行求解即可. 【详解】因为一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为2：3：5， 所以A层抽取的个体数量为. 故选：C. 4．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是白球或黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合概率得性质，即可求解． 【详解】由题意，设摸出的球是红球为事件A，摸出的球是白球为事件B，摸出的球是黑球为事件C， 所以, 又 所以; , 所以， 即摸出的球是白球或黑球的概率为. 故选：C. 5．某会议室的第二排个座位，现有3名与会人员被安排在第二排就坐，可在个座位中自主选择就坐，则至少有2名与会人员坐在相邻位置的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出个座位坐3名与会人员的总的基本事件的个数，再求得这3名与会人员互不相邻的基本事件的个数，从而利用间接法与古典概型的概率公式即可得解. 【详解】已知共有个座位，有3名与会人员， 则从个座位选3个坐共有个基本事件， 当这3名与会人员互不相邻时，相当于将3个元素插到8个空中，共有个基本事件， 所以至少有2名与会人员坐在相邻位置的基本事件有个， 则所求概率为. 故选：A. 6．某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，要求每地至少有1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则不同的分配方案种数是（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】C 【分析】根据分类计数原理，利用排列组合计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，分两类进行， 当教师甲与2名学生去北京时，则有种情况； 当教师甲与另一名教师及2名学生去北京时，则有种情况； 则共有种情况. 故选：C. 7．在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出展开式的通项公式，再计算二项式系数最大的项即可. 【详解】展开式的通项公式为 ，二项式系数最大是中间项，即为， 所以二项式系数最大的项是. 故选：B. 8．二项式的展开式有6项，则展开式中含x项的系数为（    ）． A．5 B．6 C．80 D． 【答案】C 【分析】由题可知，根据通项公式可知，令可求解. 【详解】因为二项展开式有6项，所以， 由通项公式可知， 当时，可得含x的项的系数是． 故选：C 9．若随机变量X的分布列如下表所示，且，则实数a的值为（   ） X 4 9 P A． B．7 C． D． 【答案】B 【分析】首先根据概率之和为1求出b的值，再利用期望公式即可求出a的值. 【详解】，， 又， 故选：B. 10．已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项. 【详解】. 故选：C 11．某工厂生产的自主研发的芯片元件的质量指标X服从正态分布N，若，则（    ） A．0.12 B．0.14 C．0.36 D．0.48 【答案】C 【分析】利用正态分布的对称性求解即可. 【详解】由正态分布可知：， 所以， 故选：C. 12．一组数据：5，7，7，a，10，11．它们的平均值是8，则其标准差是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先由平均值求出a的值，再根据标准差公式求解即可. 【详解】因为一组数据：5，7，7，a，10，11．它们的平均值是8， 所以，解得， 所以这组数据为5，7，7，8，10，11， 解法一（针对人教版）： . 故选：C. 解法二（针对高教版）： . 13．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码，如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ）种. A．240 B．360 C．600 D．720 【答案】A 【分析】先不考虑2个1的排序，排列另外4个数字，再利用插空法将2个1插入此4个数字，即可求解. 【详解】先排列，方案有种. 利用插空法将2个1插入其中，共有种, 故排列要求两个1不相邻时，设置不同的密码有，种. 故选：A 14．在一个不透明的容器中有个小球，其中有个黄球，个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出个球，那么至少有个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由古典概型及概率公式即可得解. 【详解】设一次随机取出个球，至少有个红球为事件. 则. 故选:. 15．10名同学坐成一排参加会议，其中有4名女生，要求女生座位不能相邻，共有（    ）种不同的就坐方式． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用插空法可求解. 【详解】10名同学坐成一排参加会议，其中有4名女生，所以有名男同学. 先排6名男同学则有种排法； 6名男同学共有个空，将名女同学插入个空，则有种排法, 所以10名同学坐成一排要求女生座位不能相邻共有种排法， 故选：A. 16．2025年“第九届亚冬会”在哈尔滨举办，现将4名志愿者分成3组，每组至少一人，分赴3个不同场馆服务`，则不同的分配方案种数是（   ） A．36 B．64 C．72 D．81 【答案】A 【分析】先将志愿者分成三组，再分配到第三个场馆即可求解. 【详解】根据题意，分2步进行， 第一步：将4位志愿者分为3组，有种情况， 第二部：将分好的三组全排列，对应3个不同场馆服务，有种情况， 则有种不同的分配方案. 故选：A. 17．某班级甲、乙、丙等6名同学站一排照相，则甲、乙、丙三名同学相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型的公式及排列数的公式即可得解. 【详解】名同学站一排照相，一共的站法有种， 甲、乙、丙三名同学相邻的站法有种， 则所求概率为， 故选：. 18．现有3位教师和4位学生站成一排照相，任选1位教师站在正中位置，且3位教师互不相邻，那么不同排法的种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用位置限制法结合排列数与组合数计算即可. 【详解】任选一位教师站在中间，有种不同的方法， 任选两名学生在两边与中间教师相邻，共有种不同的方法， 剩下的两位教师分别站在左、右两边，共有种不同的方法， 剩下的两名学生全排列即可， 所以共有种不同的方法． 故选：B． 19．登山族为了了解某山高（km）与气温之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表： 气温 18 13 10 （km） 2.4 3.4 3.8 6.4 由表中数据，得到线性回归方程，由此估计山高为7.2km处气温的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分别求得，代入回归方程，求得，再代入即可求解. 【详解】由题意得，， 则，解得， 所以线性回归方程，由得. 故选：D. 20．某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（    ） A．21 B．35 C．70 D．126 【答案】A 【分析】根据题意，结合组合数的应用，利用插空法，即可求解. 【详解】因为两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关， 先将保留的8盏灯排成一排，进而在8盏灯形成的中间的7个空位中， 从中任取5个空来安排关掉的5盏灯， 故共有种不同的关灯方式. 故选：A. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 21．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的不同排法共有 种． 【答案】48 【分析】根据捆绑法求解，把甲乙看成一个整体，再进行排列. 【详解】甲乙必须相邻，则甲乙当成一个元素，有两种情况， 变成四个元素，则不同的排法有. 故答案为：48. 22．已知随机变量X服从正态分布，若，则 【答案】/ 【分析】根据题意，结合正态分布曲线的特点及表示的意义，即可求解. 【详解】因为已知随机变量X服从正态分布， 所以， 所以. 故答案为：. 23．某校有行政人员，教学人员和教辅人员共人，其中教学人员与教辅人员的比为，行政人员有人，现采取分层抽样抽取一个容量为的样本，那么教辅人应抽取的人数为 【答案】6 【分析】首先由教学人员与教辅人员的比可求出教辅人员的人数，再求出抽样比，用教辅人员的人数乘以抽样比即可得出结果. 【详解】已知有行政人员，教学人员和教辅人员共人， 则教学人员和教辅人员共人， 由教学人员与教辅人员的比为，可得教辅人员有人， 现采取分层抽样抽取一个容量为的样本，则抽样比为， 所以教辅人应抽取的人数为人. 故答案为：6. 24．的二项展开式中只有第4项的系数最大，则其常数项为 . 【答案】 【分析】根据二项式展开式中系数的性质，可求出的值，再由展开式的通项公式列出，再由求出，代回通项公式即可求解. 【详解】的二项展开式中只有第4项的系数最大， 则的二项展开式中只有第4项的二项式系数最大， 得，所以，解得， 展开式的通项为且为整数， 当时，，所以常数项为. 故答案为：. 25．已知离散型随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 5 10 P 0.5 0.4 m 则该离散型随机变量X的数学期望 . 【答案】3 【分析】先根据分布列的性质求解m的值，再由数学期望公式计算即可. 【详解】由分布列可知，，解得， 所以数学期望. 故答案为：3. 3、 解答题（本题共5小题，每小题8分，共40分） 26．已知二项式的展开式中共有项，求： (1)展开式中所有二项式系数的和； (2)展开式中含的项； (3)展开式中所有项的系数之和. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）二项式系数和只和指数有关，据此可得出结论； （2）根据展开式的通项公式求解； （3）令即可求解. 【详解】（1）由于二项展开式有项，故． 所有二项式系数的和为． （2）二项式展开式的通项为， 令得． 故展开式中含的项为． （3）令，得展开式中所有项的系数之和为． 27．某医院一科室有名医护人员，其中2名医生、8名护士，现选派4名医护人员支援外地医疗工作： (1)如果2名医生必须参加，共有多少种不同的选派方法？ (2)如果2名医生都不参加，共有多少种不同的选派方法？ (3)如果2名医生至少有1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)（种） (2)（种） (3)（种） 【分析】（1）2名医生必须参加，选派的4人只有2人从护士中挑选，再由组合数计算即可. （2）2名医生都不参加，需从护士中挑选4人，再由组合数计算即可. （3）2名医生至少有1人参加，分两类情况考虑，分别由组合数计算即可. 【详解】（1）2名医生必须参加， 因此选派的4人只有2人从护士中挑选，有种选法． 因此，不同的选派方法共有（种）. （2）2名医生都不参加， 就需要从护士中挑选4人，有种选法 因此，不同的选派方法共有（种）. （3）2名医生至少有1人参加，可分两类情况考虑： 第一类：2名医生中只有1人参加， 此时，不同的选派方法共有（种） 第二类：2名医生都参加， 此时，不同的选派方法共有（种）， 综上，不同的选派方法共有（种）． 28．某射靶校举行飞镖比赛，每位参赛老师在相同的条件下射靶5环，现有甲，乙两位老师命中环数如下： 次数 1 2 3 4 5 甲命中环数 8 7 10 6 4 乙命中环数 7 8 8 6 6 (1)计算两位老师的平均成绩与方差 (2)如果要从两位老师中选出一位参加全市的比赛，选哪一位老师参赛更好？请说出你的理由. 【答案】(1)人教版：，；，； 高教版：，；，. (2)人教版：选乙老师参加全市的比赛，理由见解析. 高教版：选乙老师参加全市的比赛，理由见解析. 【分析】（1）根据样本均值与方差的计算方法，即可求解. （2）比较样本均值与方差，即可求解. 【详解】（1）由题干中的数据可知，两位老师的平均成绩分别为： ， ， 人教版： 两位老师的方差分别为： ， ； 高教版： 两位老师的方差分别为： ， . （2）人教版： 选乙老师参加全市的比赛，理由如下： 由（1）知因为，， 可得两位老师的平均成绩相同，但乙老师的成绩比甲老师更稳定， 所以选乙老师参加全市的比赛. 高教版： 选乙老师参加全市的比赛，理由如下： 由（1）知因为，， 可得两位老师的平均成绩相同，但乙老师的成绩比甲老师更稳定， 所以选乙老师参加全市的比赛. 29．某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布，已知， (1)求； (2)现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.4 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据概率的性质计算即可. （2）先求出人数ξ的所有可能取值，再由分别求解概率列分布列即可，由数学期望公式计算即可. 【详解】（1）∵体能成绩X服从正态分布， 且，， ∴ ． （2）ξ的可能取值为0，1，2，3， 因为，, 所以， ， ， ， ∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 所以数学期望. 30．某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地.已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观. (1)用表示选取的3人中女生的人数，求的分布列； (2)求选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）由题意，5名男生与3名女生，从中任意选取3名，女生人数的可能为，分别求出概率，列出分布列即可. （2）女生多于男生的情况有女生有3人，或女生有2人，将两种情况的概率相加即可. 【详解】（1）已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观， 表示选取的人中女生的人数，则的所有可能的取值是， ，， ，， 所以的分布列是： 0 1 2 3 （2）女生人数多于男生的选法为或， 女生人数多于男生的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》，依据《山东省春季高考数学考试标准》及山东春季高考历年真题进行编写。本套试卷共100份：第一部分是按照考试标准编写的68份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等11个章节的22份专题训练卷；第三部分是参考近年考试真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》的第89卷，是专题训练卷，主要考查总体与样本、抽样方法、用样本估计总体、古典概型、计数原理、排列组合、二项式定理、离散型随机变量分布、二项分布、正态分布、一元线性回归方程的掌握情况。 山东省2026年春季高考《数学考纲百套卷》 第89卷 概率与统计（1） 专题训练卷 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分。） 1．为了解所加工的1000个零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，1000个零件的长度是（    ），200是（    ）. A．总体，样本 B．总体，样本容量 C．总体，个体 D．个体，样本 2．从5名同学中选3名参加某项活动，不同的选法有（   ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 3．将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为2：3：5，若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，应从A层抽取的个体数量为（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 4．袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为，摸出的球是红球或黑球的概率为，则摸出的球是白球或黑球的概率为（   ） A． B． C． D． 5．某会议室的第二排个座位，现有3名与会人员被安排在第二排就坐，可在个座位中自主选择就坐，则至少有2名与会人员坐在相邻位置的概率是（    ） A． B． C． D． 6．某学校寒假期间安排3名教师与4名学生去北京、上海参加研学活动，要求每地至少有1名教师与2名学生，且教师甲不去上海，则不同的分配方案种数是（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 7．在的二项展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B． C． D． 8．二项式的展开式有6项，则展开式中含x项的系数为（    ）． A．5 B．6 C．80 D． 9．若随机变量X的分布列如下表所示，且，则实数a的值为（   ） X 4 9 P A． B．7 C． D． 10．已知随机变量X服从二项分布X～B，则P(X＝2)＝（    ） A． B． C． D． 11．某工厂生产的自主研发的芯片元件的质量指标X服从正态分布N，若，则（    ） A．0.12 B．0.14 C．0.36 D．0.48 12．一组数据：5，7，7，a，10，11．它们的平均值是8，则其标准差是（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 13．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码，如果排列时要求两个1不相邻，那么小明可以设置的不同密码有（    ）种. A．240 B．360 C．600 D．720 14．在一个不透明的容器中有个小球，其中有个黄球，个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出个球，那么至少有个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 15．10名同学坐成一排参加会议，其中有4名女生，要求女生座位不能相邻，共有（    ）种不同的就坐方式． A． B． C． D． 16．2025年“第九届亚冬会”在哈尔滨举办，现将4名志愿者分成3组，每组至少一人，分赴3个不同场馆服务`，则不同的分配方案种数是（   ） A．36 B．64 C．72 D．81 17．某班级甲、乙、丙等6名同学站一排照相，则甲、乙、丙三名同学相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 18．现有3位教师和4位学生站成一排照相，任选1位教师站在正中位置，且3位教师互不相邻，那么不同排法的种数是（    ） A． B． C． D． 19．登山族为了了解某山高（km）与气温之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表： 气温 18 13 10 （km） 2.4 3.4 3.8 6.4 由表中数据，得到线性回归方程，由此估计山高为7.2km处气温的度数为（    ） A． B． C． D． 20．某大桥的一侧依次安装有13盏路灯，因环保节能的需求，计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关，且相邻的路灯不能同时关，则不同关灯方式的种数是（    ） A．21 B．35 C．70 D．126 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 21．甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的不同排法共有 种． 22．已知随机变量X服从正态分布，若，则 23．某校有行政人员，教学人员和教辅人员共人，其中教学人员与教辅人员的比为，行政人员有人，现采取分层抽样抽取一个容量为的样本，那么教辅人应抽取的人数为 24．的二项展开式中只有第4项的系数最大，则其常数项为 . 25．已知离散型随机变量X的分布列如表所示（其中）： X 0 5 10 P 0.5 0.4 m 则该离散型随机变量X的数学期望 . 3、 解答题（本题共5小题，每小题8分，共40分） 26．已知二项式的展开式中共有项，求： (1)展开式中所有二项式系数的和； (2)展开式中含的项； (3)展开式中所有项的系数之和. 27．某医院一科室有名医护人员，其中2名医生、8名护士，现选派4名医护人员支援外地医疗工作： (1)如果2名医生必须参加，共有多少种不同的选派方法？ (2)如果2名医生都不参加，共有多少种不同的选派方法？ (3)如果2名医生至少有1人参加，共有多少种不同的选派方法？ 28．某射靶校举行飞镖比赛，每位参赛老师在相同的条件下射靶5环，现有甲，乙两位老师命中环数如下： 次数 1 2 3 4 5 甲命中环数 8 7 10 6 4 乙命中环数 7 8 8 6 6 (1)计算两位老师的平均成绩与方差 (2)如果要从两位老师中选出一位参加全市的比赛，选哪一位老师参赛更好？请说出你的理由. 29．某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布，已知， (1)求； (2)现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 30．某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地.已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观. (1)用表示选取的3人中女生的人数，求的分布列； (2)求选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$