专题3.2函数的性质（讲义）- 湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第三章函数的第2个专题：函数的性质.本专题涵盖函数的单调性、奇偶性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题3.2 函数的性质（讲义） 知识点1 函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为D，分别是定义域D内某个区间I上的任意两个自变量，且. 若有，那么就说在区间I上单调递增（或者说在区间I为增函数）. 若有，那么就说在区间I上单调递减（或者说在区间I为减函数）. 图像 描述 图像自左向右上升 图像自左向右下降 单调区间定义 若函数在区间I上单调递增或单调递减，则区间I为函数的单调区间. 简记口诀 同增异减（同号为增，异号为减） 2.常见函数的单调性 单调性 一次函数 在R上为增函数 在R上为减函数 二次函数 ，图像开口向上 在上为减函数，在上为增函数. ，图像开口向下 在上为增函数，在上为减函数. 反比例函数 在上单调递减 在上单调递增 指数函数 在R上为增函数 在R上为减函数 对数函数 在上为增函数 在上为减函数 幂函数 函数在第一象限为增函数 函数在第一象限为减函数 1.（2021湖南对口升学）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数的单调递减区间是， 故选：C. 2．（2024湖南对口升学）已知定义在上的函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判断出函数为偶函数，再结合单调性由不等式得到，解绝对值不等式求自变量的取值范围即可. 【详解】由可知，函数为偶函数， 且函数在上单调递增，则在上单调递减， 则由可得：， 即，即， 故选：A． 3．（2025湖南三模）已知奇函数在区间上是增函数.且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质求得，再转化不等式，结合的单调性即可得解. 【详解】因为是奇函数，且， 所以， 又因为不等式可化为， 且函数在上是增函数，所以. 故选：A. 4．（2025湖南模拟）定义在上的函数在上单调递减，对于任意，有．若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性，单调性即可求解. 【详解】因为对于任意，都有，所以函数为偶函数，所以． 又因为在上单调递减，所以在上单调递增． ，当且时，解得； 当且时，解得得，所以的解集为． 故选：D． 5．（2025湖南模拟）已知函数，其中，若函数在区间上的最小值为1，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数的定义，二次函数的最值，函数的单调性，结合题意即可求解. 【详解】由题意得，当时，函数图像开口向下，对称轴为， 所以，因为函数， ，则当时，函数有最小值1， 所以当时，， 令，则 所以，故在上是减函数， 当时，则，解得． 故答案为：. 1．若在上具有单调性，且，则在上（    ）. A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．不能确定增减性 【答案】B 【分析】根据函数的单调性的定义判断即可. 【详解】因为函数在上具有单调性，且， 又因为，所以函数在上单调递减. 故选：B. 2．已知函数在区间上是增函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义分析可得答案. 【详解】因为函数在区间上是增函数， 则对于任意的，当时，都有成立， 即对于任意的，当时，都有成立，都有成立， 所以选项ABC错误，选项D正确， 故选：D 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数解析式求出开口方向与对称轴即可得解. 【详解】函数为二次函数，图像开口向上，对称轴为, 所以单调增区间为. 故选：. 4．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，是定义在上的增函数， 又， 所以，解得， 即则实数的取值范围是. 故选：B. 5．偶函数在区间上单调递减，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质及减函数的性质比较大小即可. 【详解】已知为偶函数， 所以， 且该函数在区间上单调递减， 由，得， 即， 故选：A. 6．已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合函数解析式，分类讨论和两种情况，结合一次函数和二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】因为， 当时，在上单调递减，故在内也单调递减，满足题意； 当时，因为函数在区间内单调递减， 所以或，即或， 解得或． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：A. 7．若函数在区间上单调递减，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，可转化为在恒成立，对讨论可求解. 【详解】由题可得， 因为函数在区间上单调递减， 所以在恒成立，即在恒成立. ①当时，显然成立； ②当时，则需， 此时在为减函数，所以，解得， 所以. 综上所述，m的取值范围是. 故选：B 8．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数和反比例函数的性质判断即可. 【详解】对于A，在区间上为减函数，故A错误， 对于B，在区间上为减函数，故B错误， 对于C，在区间上为增函数，故C正确， 对于D，在区间上为减函数，故D错误. 故选：C. 9．函数在上 （填“单调递增”或“单调递减”）. 【答案】单调递减 【分析】根据函数单调性的定义即可得解. 【详解】取且， ，则， 所以函数在上单调递减， 故答案为：单调递减. 10．已知在上单调递增，则对于，有 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】因为在上单调递增， 则对于，有， 故答案为：. 11．函数的递增区间为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性“同增异减”，即可得出答案． 【详解】要使函数有意义， 则必须， 解得或， 所以函数的定义域为或， 令，或， 则在上为增函数， 由的对称轴为，二次项系数，图像开口向上， 所以函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为， 故答案为：． 12．已知函数 ，若函数 无最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性进行求解即可. 【详解】若无最大值，则函数在两段上均为减函数， 且当时，， 解得， 故答案为：. 13．函数的定义域是，且在上单调递减，满足，求的范围. 【答案】 【分析】利用的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为在上单调递减，， 所以，解得， 则所求的范围是. 14．已知函数的图像经过两点． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法加以证明． 【答案】(1) (2)单调递增.证明见详解. 【分析】（1）根据函数过两点，求解参数. （2）根据单调性的定义求解. 【详解】（1）因为函数的图像经过两点， 所以，化简得， 解得. 故. （2）函数在上单调递增.证明如下： 假设， 则. 因为，则， 所以. 所以，即. 所以函数在上单调递增. 15．作出函数的图像，并指出函数的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】根据函数表达式画出图像，再根据图像写出单调区间即可. 【详解】的图像如图所示． 由图可知，函数的单调减区间为和， 单调增区间为． 知识点2 函数的奇偶性 1.常见函数定义域的求法 奇函数 偶函数 定义 如果对于函数的定义域为D内的任意一个，都有一个.（函数的定义域关于原点对称） 若有，那么就是奇函数. 若有，那么就是偶函数 图像 关于原点对称 关于y轴对称 注意 判断函数奇偶性的大前提是函数的定义域关于原点对称，用定义法判断函数奇偶性的时候，第一步就是看函数的定义域是否关于原点对称，是则继续判断，否则下结论：函数为非奇非偶函数. 2.奇函数（偶函数）的性质 性质 奇函数 偶函数 定义域 关于原点对称 符号表示 图像 关于原点对称 关于y轴对称 单调性 在关于原点对称的区间上单调性一致 在关于原点对称的区间上单调性相反 函数值为0 在处有定义时， 既为奇函数又为偶函数时， 1．（2024湖南对口升学）函数的图像（    ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】A 【分析】先判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以是奇函数， 奇函数图像关于原点对称. 故选：A. 2．（2022湖南对口升学）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数在上的单调性. 【详解】A、为偶函数，但在不具有单调性，不符合题意； B、令，，，不是偶函数，不符合题意； C、令，，函数为偶函数，函数图像开口向上，对称轴为，所以函数在为增函数； D、定义域为不具有奇偶性，不符合题意. 故选：C. 3．（2025湖南常德二模）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数的奇偶性、余弦函数的奇偶性和函数的奇偶性的定义依次判断即可求解. 【详解】对于A选项，设，定义域为，关于原点对称， 且，所以既不是奇函数也不是偶函数，故A选项正确； 对于B选项，设，定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数，故B选项错误； 对于C选项，设，定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数，故C选项错误； 对于D选项，设，定义域为，关于原点对称， 且，所以是偶函数，故D选项错误. 故选：A. 4．（2021湖南对口升学）已知函数为奇函数，.若，则 【答案】. 【分析】由，得，由为奇函数得，可求得，再利用得到答案. 【详解】因为，， 所以， ， 因为为奇函数， 所以，由，得， 因为，所以. 故答案为：6. 5．（2025湖南模拟）已知对数函数的图像经过点． (1)求函数的解析式； (2)若函数，试判断函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1) (2)是偶函数，理由见解析 【分析】（1）设出对数函数解析式，再代点求解即可. （2）根据函数奇偶性定义求解即可. 【详解】（1）设， 因为对数函数的图像经过点，所以有， 即，解得（舍去）或， 所以． （2）结论：是偶函数． 理由：由（1）知 要使函数有意义，需满足，解得， 所以函数的定义域为， 因为函数的定义域关于原点对称， 且， 所以是偶函数． 1．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的定义求解即可. 【详解】设是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 故选：A. 2．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义以及幂函数的奇偶性求解. 【详解】由函数是定义在上的偶函数， 所以函数图像的对称轴为轴，定义域关于原点对称， 故,解得所以． 故选：A. 3．下列函数的偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性的定义结合诱导公式逐项分析即可. 【详解】对于A，的定义域为R， ， 所以函数是非奇非偶函数，故A错误， 对于B，的定义域为R， ， 所以函数是奇函数不是偶函数，故B错误， 对于C，的定义域为，不关于原点对称， 所以函数是非奇非偶函数，故C错误， 对于D，的定义域为R， ， 所以函数是偶函数，故D正确， 故选：D． 4．若是奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合奇函数的性质即可得解. 【详解】当时，，所以， 因为是奇函数，所以，则， 所以当时，. 故选：. 5．已知为奇函数，当时，，则等于（    ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性求解即可. 【详解】根据题意，当时，，则为奇函数， ． 故选：C. 6．已知函数是奇函数，且在上单调递增，，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性和单调性，可得到函数的大致图像，继而求解. 【详解】因为函数是奇函数，且在上单调递增，， 所以函数在上单调递增，且， 所以函数的大致图像如下图所示： 因为，所以或， 解得或. 即不等式的解集为. 故选：C. 7．已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若有，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义可得，再由函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 因为， 所以， 而函数为奇函数，所以． 因为函数是奇函数，且在上单调递增， 所以函数在定义域上单调递增， 所以，解得． 所以实数m的取值范围为． 故选：D. 8．关于函数，下列结论错误的是（   ） A．的图像过点 B．的图像过点 C．在其定义域上为增函数 D．为偶函数 【答案】D 【分析】根据题意，利用凑配法，先求得函数解析式，结合幂函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为函数， 所以， 所以，所以函数的图像过点，故选项A正确，不符合题意； 所以，所以函数的图像过点，故选项B正确，不符合题意； 所以幂函数在其定义域上为增函数，故选项C正确，不符合题意； 因为函数的定义域为，不关于原点对称， 故函数不是偶函数，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 9．函数是在上的奇函数，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，结合奇函数的定义，即可求解. 【详解】因为函数是在上的奇函数， 所以，解得， 验证：当时，函数，此时，满足奇函数定义. 故答案为：5. 10．若函数为定义在上的偶函数，则的值为 . 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义列出方程即可得解. 【详解】函数为定义在上的偶函数， 则定义域关于原点对称， 即，解得， 故答案为：. 11．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合偶函数的定义，可得，继而求出，结合，可得，继而求得函数解析式，当时，易得，继而求解. 【详解】因为函数在其定义域内为偶函数， 所以， 又， 所以，所以， 所以， 所以，解得， 所以， 当时， ， 所以，又， 所以 . 故答案为： 12．已知，且则 . 【答案】 【分析】设，再根据函数的奇偶性求值即可. 【详解】已知， 设，定义域为R关于原点对称， 且，所以为奇函数， 则，， 所以，则， 所以， 故答案为：. 13．已知指数函数（且）满足. (1)求的值及函数的解析式. (2)若. ①判断的奇偶性. ②解不等式. 【答案】(1)， (2)①奇函数；② 【分析】(1) 根据已知条件求出，确定. (2)①根据奇函数定义判断的奇偶性；②利用函数奇偶性和单调性将不等式化为，即可求解. 【详解】（1）因为，故， 所以，则. （2）①由 (1) 知，其定义域为， ，所以是奇函数， ②因为是奇函数， 所以可化为. 又因为指数函数在定义域上单调递增， 在定义域上单调递减，即在定义域上单调递增， 所以在定义域上单调递增， 即等价于则，可化为， 一元二次方程的根为或， 故不等式的解集为. 14．已知是定义域为R的奇函数，当时，，求： (1)的值； (2)的解析式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性，先计算内层，再计算外层，即可求解. （2）根据函数的奇偶性，即可求解. 【详解】（1）由题意知当时，， 所以， 因为是定义域为R的奇函数， 所以， 所以. （2）由题意知当时，， 因为是定义域为R的奇函数， 所以当时，必有； 当时， 令，根据奇函数可得， ， 将代入，得， 综上：. 15．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知得，即，由，知，由此能求出，的值； （2）结合（1）可得，分析可得不等式等价于，结合函数的单调性可得关于t的不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】（1）因为定义域为的函数是奇函数， 所以，则，即，解得， 又，则，解得. （2）由（1）可知，任取，且， 则， 所以， 所以函数在上为减函数，又因为为上的奇函数， 所以由得， 所以，得恒成立，则，解得， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写.本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型.整套资料共包含13个模块共46个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题. 本专题是湖南省2026年对口招生考试一轮复习《数学知识点清单》的第三章函数的第2个专题：函数的性质.本专题涵盖函数的单调性、奇偶性等知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测. 湖南省2026年对口招生考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题3.2 函数的性质（讲义） 知识点1 函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为D，分别是定义域D内某个区间I上的任意两个自变量，且. 若有，那么就说在区间I上单调递增（或者说在区间I为增函数）. 若有，那么就说在区间I上单调递减（或者说在区间I为减函数）. 图像 描述 图像自左向右上升 图像自左向右下降 单调区间定义 若函数在区间I上单调递增或单调递减，则区间I为函数的单调区间. 简记口诀 同增异减（同号为增，异号为减） 2.常见函数的单调性 单调性 一次函数 在R上为增函数 在R上为减函数 二次函数 ，图像开口向上 在上为减函数，在上为增函数. ，图像开口向下 在上为增函数，在上为减函数. 反比例函数 在上单调递减 在上单调递增 指数函数 在R上为增函数 在R上为减函数 对数函数 在上为增函数 在上为减函数 幂函数 函数在第一象限为增函数 函数在第一象限为减函数 1.（2021湖南对口升学）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（2024湖南对口升学）已知定义在上的函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025湖南三模）已知奇函数在区间上是增函数.且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2025湖南模拟）定义在上的函数在上单调递减，对于任意，有．若，则的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（2025湖南模拟）已知函数，其中，若函数在区间上的最小值为1，则实数的取值范围是 ． 1．若在上具有单调性，且，则在上（    ）. A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．不能确定增减性 2．已知函数在区间上是增函数，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．偶函数在区间上单调递减，则有（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上单调递减，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）． A． B． C． D． 9．函数在上 （填“单调递增”或“单调递减”）. 10．已知在上单调递增，则对于，有 . 11．函数的递增区间为 ． 12．已知函数 ，若函数 无最大值，则实数的取值范围为 . 13．函数的定义域是，且在上单调递减，满足，求的范围. 14．已知函数的图像经过两点． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法加以证明． 15．作出函数的图像，并指出函数的单调区间． 知识点2 函数的奇偶性 1.常见函数定义域的求法 奇函数 偶函数 定义 如果对于函数的定义域为D内的任意一个，都有一个.（函数的定义域关于原点对称） 若有，那么就是奇函数. 若有，那么就是偶函数 图像 关于原点对称 关于y轴对称 注意 判断函数奇偶性的大前提是函数的定义域关于原点对称，用定义法判断函数奇偶性的时候，第一步就是看函数的定义域是否关于原点对称，是则继续判断，否则下结论：函数为非奇非偶函数. 2.奇函数（偶函数）的性质 性质 奇函数 偶函数 定义域 关于原点对称 符号表示 图像 关于原点对称 关于y轴对称 单调性 在关于原点对称的区间上单调性一致 在关于原点对称的区间上单调性相反 函数值为0 在处有定义时， 既为奇函数又为偶函数时， 1．（2024湖南对口升学）函数的图像（    ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 2．（2022湖南对口升学）下列函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025湖南常德二模）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（2021湖南对口升学）已知函数为奇函数，.若，则 5．（2025湖南模拟）已知对数函数的图像经过点． (1)求函数的解析式； (2)若函数，试判断函数的奇偶性，并说明理由． 1．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列函数的偶函数的是（   ） A． B． C． D． 4．若是奇函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知为奇函数，当时，，则等于（    ） A．2 B．0 C． D．1 6．已知函数是奇函数，且在上单调递增，，则的解集是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，若有，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．关于函数，下列结论错误的是（   ） A．的图像过点 B．的图像过点 C．在其定义域上为增函数 D．为偶函数 9．函数是在上的奇函数，则 . 10．若函数为定义在上的偶函数，则的值为 . 11．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则 ． 12．已知，且则 . 13．已知指数函数（且）满足. (1)求的值及函数的解析式. (2)若. ①判断的奇偶性. ②解不等式. 14．已知是定义域为R的奇函数，当时，，求： (1)的值； (2)的解析式． 15．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求，的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$