1.1 认识三角形（第2课时）（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

1.1 认识三角形（第2课时） 题型一：判断三角形的高是否正确 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，四个图形中，线段是△ABC的高的图是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查画三角形的高，根据高的定义，进行判断即可． 【详解】解：线段是的高，则过点作的垂线，垂足为；故满足题意的只有选项D； 故选D． 2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，借助直角三角板作△ABC的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键． 根据高线的定义即可得出答案． 【详解】解：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高， 借助直角三角板作△ABC的边上的高，直角三角板的位置摆放正确的是， 故选：A． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在△ABC中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 本题考查了三角形的高，正确理解定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，是符合题意的，A，B，D都不符合题意， 故选C． 4．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，在中，边上的高是过点A向直线所作的垂线段，据此可得答案． 【详解】解：在中，边上的高是线段， 故选：． 5．（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：于点， 中，是边上的高，故A不符合题意， ，线段是边上的高，B选项符合题意； 于点， 是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在△ABC中，于点于点，则△ABC的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义解答即可得． 【详解】解：∵在△ABC中，于点， ∴△ABC的边上的高是， 故选：C． 题型二：正确识别三角形的角平分线、高、中线 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，为的中点，连接并延长交于点E．过点C作于点H，交于点F．下列说法正确的是（   ） A．线段是的角平分线 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的中线 D．线段是△ABC的角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 【详解】解：A、由，根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误； B、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故本选项正确； C、根据三角形的中线的概念，知是中上的中线，故本选项错误； D、根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，的角平分线与中线交于点，对于下列结论：①是的角平分线；②是的中线；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题三角形的角平分线、中线的概念和性质，掌握三角形的角平分线、中线的概念是解题的关键． 根据三角形的角平分线、中线的概念判断即可． 【详解】解：∵的角平分线与中线交于点， ∴是的角平分线，，不是的中线， 故①③正确，符合题意；②错误，不符合题意； ∵不是的中线， ∴， 故④错误，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在△ABC中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D． 【详解】解：∵，即点E为中点， ∴是的中线，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴． ∵，， ∴，故C错误，符合题意； ∵，即， ∴是的高，故D正确，不符合题意． 故选C． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分定义和中线的定义，根据题意得，，逐项判断即可判定是的角平分线． 【详解】解：A∵的角平分线、中线相交于点O， ∴，， 在中，不一定等于， ∴不一定是的角平分线，A错误； B∵不一定等于，那么不一定是的角平分线，B错误； C在中，，不一定是的中线，C错误； D∵， ∴是的角平分线，D正确； 故选：D． 5．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，在△ABC中，边上的高是 ，边上的高是 ；在△BCF中，边上的高是 ． 【答案】 / / / 【分析】本题主要考查三角形高线的概念，掌握这个知识点即可求解．确定某一边的高，首先明确是哪个三角形的高，在这个三角形内，先看这边相对的顶点，然后寻找这个顶点向这条边作的垂线段即可． 【详解】解：在△ABC中，边上的高是，边上的高是；在△BCF中，边上的高是． 故答案为：；； 题型三：三角形角平分线、高、中线中相关概念 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线、高、中线、重心等概念，根据三角形角平分线、高、中线、重心等概念逐一排除即可，掌握三角形的重要概念是解题的关键． 【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60° D．三角形的内角和与三角形形状无关 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角性质，三角形的高，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的高的概念，三角形内角和定理，外角性质分别判断即可． 【详解】解：A、锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，钝角三角形的高不都在三角形内部，故本选项错误，不符合题意； B、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的一个内角，故本选项错误，不符合题意； C、根据三角形内角和等于180°，三角形最大的一个内角的度数大于或等于60度，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的内角和与三角形形状无关，因为始终为180度，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条高所在的直线必交于一点；③三角形的三条中线必交于一点．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线、角平分线、高的定义，根据三角形的中线、角平分线、高的定义逐个分析判断，即可求解． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故原说法正确； ②三角形的三条高所在的直线交于一点，故原说法正确； ③三角形的三条中线必交于一点，故原说法正确； 说法正确的有个． 故选：A． 4．（24-25七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的中线的概念即可解答． 【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部， 故答案为：A． 5．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的概念是解决本题的关键．根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上即可作答． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，故原说法错误； ②锐角三角形的三条高线都在三角形内部，故原说法错误； ③三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，故原说法错误； ④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形，故正确． 故选：A． 题型四：根据三角形的中线求线段长度 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是△ABC的中线，，，若的周长比的周长小4，则△ABC的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵为△ABC的边上的中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长小4， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴△ABC的周长为， 故答案为：22． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是△ABC的边上的中线，若的周长比的周长大6，则与的差是 . 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依据三角形中线的定义，即可得到，再根据的周长比的周长大6，即可得出与的差为6． 【详解】解：是△ABC的边上的中线， ， 的周长比的周长大6， ， 即， 故答案为：6． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中边上的中线把△ABC的周长分成30和20两部分，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查与三角形的中线有关的计算，根据中线的定义得到，根据，得到，根据把△ABC的周长分成30和20两部分，进行求解即可． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵， ∴， ∵中线把△ABC的周长分成30和20两部分，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：14． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若△ABC的周长为，，当中线将△ABC分成周长差为的两部分，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)或 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据三角形外角的性质，即可求出的大小； （3）设，则，得出，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求出x的值，再求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵△ABC的周长为，， ∴设，则， ∵是△ABC的中线， ∴， 则， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 综上可知：或． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若△BDE与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级上·云南普洱·期末）如图，在△ABC中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，△ABC的面积为24． (1)求的长． (2)若，求与的周长差． 【答案】(1)(2) 【分析】此题考查了三角形的高和中线等知识． （1）根据三角形的面积求出，根据三角形中线即可求出的长； （2）根据三角形中线得到，的周长，的周长，作差即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，△ABC的面积为24．交于点， ∴， 解得， ∵是边上的中线， ∴ （2）∵为的中点， ∴ ∵的周长，的周长， ∴与的周长差． 题型五：三角形中相关作图题 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出△ABC中边上的高； (2)画出△ABC中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(4) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）利用网格特征作，再利用平移的性质作交于点D，即可得到答案； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案； （4）利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：； （4）解：∵，， ∴． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)；(4)，； 【分析】本题主要考查了三角形的高、点到直线的距离． 过点作线段垂足在的延长线上，线段即为边上的高； 过点作线段，垂足为点，线段即为所求； 点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度； 因为线段是点到线段的垂线段，所以线段是点到线段的距离． 【详解】（1）解：如下图所示， 线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离， 故答案为：，； 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： (1)画出△ABC的边上的高； (2)画出△ABC的边上的中线； (3)过点B作的平行线； (4)线段，直接写出点C到直线的距离______． 【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析(4) 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、平行线的判定、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）运用网格特征，观察，且结合平行线的判定，即可作图． （4）由题意可得，再根据三角形面积公式列式计算得点C到直线AB的距离，即可作答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：过点B作的平行线，如图所示： （4）解：依题意，， ∵线段， ∴点C到直线的距离． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是△ABC的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析(2)(3)中线(4)30 【分析】本题考查作图-复杂作图、三角形的中线和高、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义画图即可； （2）根据点到直线的距离的定义求解即可； （3）由题意可得，则线段是△ABC的中线； （4）由题意可得，则进而可得， ， 则 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度， 故答案为：； （3）解：如图， ∴线段是△ABC的中线， 故答案为：中线； （4）解：， ， 故答案为：． 5．（23-24七年级下·广西河池·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC沿着点A到点D的方向平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点． (1)画出△ABC中边上的高（提醒：别忘了标注字母）； (2)请画出平移后的（提醒：别忘了标注字母）； (3)求平移后的的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3 【分析】本题考查了平移作图，画三角形的高，利用网格求图形的面积，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）利用网格特点和三角形高的定义画图； （2）利用点、的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出、的对应点、即可； （3）利用三角形面积公式计算出的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所做边上的高； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：． 6．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点． (1)将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出△ABC的中线，高线； (3)在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于A）． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【分析】本题考查了平移作图，作中线和高线，平行线间的距离等知识，熟练掌握相关知识点正确作图即可． （1）根据平移的性质作图即可； （2）取中点，连接即为中线；延长与过点的水平线的交点为，即为高线； （3）根据同底等高的三角形面积相等，以及平行线间的距离相等，过点作与平行的直线，点为直线上的格点，即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，中线，高线即为所求作； （3）解：过点作与平行的直线，点为直线上的格点， 则除点外，格点P的个数有个； 题型六：网格中求面积问题 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了格点三角形面积，根据图形得△ABC的面积等于正方形的面积减去个直角三角形的面积；掌握割补法求三角形的面积是解题的关键． 【详解】解： ； 故选：C． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC的面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 【详解】解：根据网格特点可知，交的延长线于点D， ∵ ∴△ABC的面积， 故答案为：3 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，直接利用长方形的面积，再减去三个三角形的面积即可． 【详解】解：如图，作长方形， ∵正方形网格中的每一个小正方形的边长为1， ∴，，，，，，， ∴． 故答案为： 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】4.5 【分析】本题主要考查三角形的面积，由网格图求解和的面积，再利用可求解． 【详解】解：由图可知：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4.5． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形三个顶点的坐标分别为，，，则三角形的面积为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了利用网格求三角形的面积，坐标与图形等知识．求出，三角形的边上的高为4，即可求出答案． 【详解】解：由题意，得， ∵点B的坐标为，边轴， ∴点B到直线的距离为， 即三角形的边上的高为4， ∴． 故答案为： 6．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）每个小方格的边长是1厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，其面积是( )平方厘米。 【答案】 【分析】本题考查了网格求三角形的面积；有理数的混合运算的应用，根据题意将阴影部分分为三角形与长方形，再相加即可求解． 【详解】解：如图所示， 阴影部分面积为： 故答案为：． 7．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查网格中的三角形的面积，熟练掌握网格中三角形的面积求法和分割法求解三角形面积是解题的关键．利用网格求出△ABC的面积，再利用即可求解． 【详解】解：由图可得△ABC的面积为， 由， 则， 解得：， 故答案为：． 题型一：根据三角形的中线求面积 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在△ABC中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：分别是的中点，， ， ，， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据的面积，依次得出、及的面积即可解决问题．熟知三角形的中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：，且点是的中点， ． 点是的中点， ． 点为的中点， ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，点，，分别是线段，，的中点，若△ABC的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，连接，，，根据三角形的中线平分面积求出，同理得到，，分割法求出的面积即可． 【详解】如图，连接，，， 点，，分别是线段，，的中点， ，， ， 同理，，， ， 故选：C． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是△ABC的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．利用中线等分三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ， 是的边上的中线， ， 由题意，可知：，均为的中线， ， 则， 故选：A． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点是边上一点，，连接，点是上一点，，连接，点是上一点，连接交于点，若，，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等高的三角形的面积之间的关系，多项式的乘法，理解等高的两个三角形的面积关系是解本题的关键，先依次求解，，，，，设，则，可得，，结合，可得，再建立方程求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 如图，连接，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴四边形的面积是：. 故答案为： 6．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知△ABC的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，，，分别是△ABC的边，，的中点，连接，，交于点，△ABC的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是利用三角形中线性质找出各部分三角形面积之间的关系． 利用三角形中线平分面积性质，得出 ．根据中点及等底等高三角形面积相等，得到， ．分别表示出， ，将二者相加构建关于的等式并求解． 【详解】∵，分别是的边，的中点，△ABC的面积为6， ∴，． ∵是中点，是中点，的面积为，的面积为， ∴， ∴ ． ∴，即， 解得． 故答案为：2． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，在长方形中，点是的中点，，，则的面积是长方形面积的 ． 【答案】 【分析】本题考查了分数的应用，三角形的面积公式；根据三角形的面积公式可得，，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴     ∴ 即 故答案为：． 题型二：利用三角形的面积求高 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知、分别为△ABC的边、的中点，连接，为的中线，连接，若，四边形的面积为，则△ABC的边上高长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，连接，设，边上高长为，由三角形中线的性质得，，即得，，进而得，，即得到，再根据四边形的面积为得，解得，即得到，最后根据三角形面积公式计算即可求解，掌握三角形的中线性质是解题的关键． 【详解】解：连接，设，边上高长为， ∵为的中线， ∴点为的中点， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， 故选：． 2.（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，△ABC中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键． 根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， 故选：A 3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ，D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的面积．根据三角形面积公式得出，再根据，得出，即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，则， 故答案为：6． 5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的面积，先求出，然后根据即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 古答案为：4． 6．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 【答案】 【分析】本题考查三角形中的最短路径，垂线段最短，三角形高的定义，过点作于点，解题的关键是理解的长度即为最小值． 【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于， 平分，于点，于， ， 当点与重合，点与 重合时，的最小值． 三角形的面积为，， ， ． 即的最小值为． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，垂足分别为，，，则△ABC的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ；若，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高线的定义；根据三角形高的定义以及三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：因为， 所以△ABC的边上的高为线段， 因为， 所以边上的高为线段， 因为 所以， 故答案为：，，． 题型三：三角形综合应用之多结论问题 1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度，从而可得答案． 【详解】解： 是△ABC的中线， ， 的面积等于的面积， 故正确； ，是△ABC的高， ∴ ，， 是△ABC的角平分线， ∴ ， ， 又 ， ， 故正确；   ， ， ， 故正确； ∵， ， 故错误； 故选：C 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在△ABC中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三线，根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可． 【详解】解：∵是△ABC的中线， ∴，故①错误； ∵是△ABC的角平分线， ∴， ∵，是△ABC的高， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴，即：；故③正确； ∵， ∴；故④正确； 故选B． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在△ABC中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（   ） ①的周长的周长；②；③；④；⑤ A．①③⑤ B．①②④ C．①③④⑤ D．②③④ 【答案】B 【分析】由是高，是中线，是角平分线，可得，，，，根据的周长的周长为，可判断①的正误；由，可得，则，，即，进而可判断②的正误；由，可得的面积的面积，进而可判断③的正误；由，可得，进而可判断④的正误；由，可得，解得，进而可判断⑤的正误． 【详解】解：∵是高，是中线，是角平分线， ∴，，，， ∴的周长的周长为，①正确，故符合要求； ∴，则的面积的面积，③错误，故不符合要求； ∵， ∴， ∴， ， ∴，②正确，故符合要求； ∵， ∴，④正确，故符合要求； ∵， ∴，解得，⑤错误，故不符合要求， ∴①②④正确， 故选：B． 4．（23-24七年级下·广东湛江·期末）如图，在△ABC中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①：②；③；④．正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④． 【详解】解：∵是△ABC的中线， ∴， ∴，故①正确； ∵是△ABC的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 根据已知条件无法证明，故④错误， 综上所述，正确的是①②③． 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②③④， 故选：． 题型四：三角形中三条重要线段综合 1．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若△ABC的周长为，，当中线将△ABC分成周长差为的两部分，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)或 【分析】（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据三角形外角的性质，即可求出的大小； （3）设，则，得出，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求出x的值，再求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵△ABC的周长为，， ∴设，则， ∵是△ABC的中线， ∴， 则， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 综上可知：或． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若△BDE与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在△ABC中，是△ABC的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为__________． (2)若，是角平分线，求__________． (3)若，是高，求的度数． 【答案】(1)(2)(3)． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由是△ABC的中线，得到，再分别求出和的周长，求差即可； （2）由三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质求出，即可求解； （3）由是△ABC的高，得到，从而得到，根据平分，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是△ABC的中线， ∴， ∵，， ∴的周长， 的周长， ∴的周长的周长， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵、是△ABC的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：是△ABC的高， ， ， ，即， 平分， ，即， ∴． 4．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，，分别是△ABC的中线和高，是的角平分线． (1)若△ABC的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)8(2) 【分析】（1）利用面积法求解即可． （2）求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵是的中线，， ∴． ∵是△ABC的高，△ABC的面积为80， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． 在中，，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵是△ABC的高，∴， ∴． 6．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在△ABC中，点在边上． (1)若， ，求的度数； (2)若，为△ABC的中线，的周长与的周长之比为，求的周长． 【答案】(1)； (2)的周长为． 【分析】（）利用外角性质得出，再用三角形的内角和即可求解； （）由，得，再根据三角形中线得性质得出，则，然后代入即可求解； 本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，中线，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为△ABC的中线， ∴， ∴的周长为，的周长为， ∵的周长与的周长之比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是△ABC的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)②③④(2)(3) 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． （1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ， ，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，然后分别求出和，再利用角的和差计算即可； （3）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 【详解】（1）解：∵，，分别是的高线，角平分线，中线， ∴ ， ，， 而不一定成立，故①不正确，②正确； ∴， ∴，即与互余，④正确； ∴，, ∴，③正确； 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：， 理由：在△ABC中，，分别是△ABC的高和角平分线， ，，， ． 8．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在△ABC中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为，设运动的时间为． (1)当________时，把△ABC的周长分成相等的两部分； (2)当t为何值时，把△ABC的面积分成相等的两部分？ (3)当P在上运动，t为何值时，的面积为？ 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查的是三角形的周长、面积的计算，明确点P的位置是解题的关键． （1）先求出的周长为，所以当把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在上，此时，再根据时间路程速度即可求解； （2）根据中线的性质可知，点P在中点时，把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可； （3）当P在上时，根据列方程解题即可． 【详解】（1）解：∵的周长为， ∵把△ABC的周长分成相等的两部分， ∴， ∴当时，把△ABC的周长分成相等的两部分， 故答案为：； （2）当把△ABC的面积分成相等的两部分时， 点P为的中点， ∴点P运动的路程为， ∴， ∴当时，把△ABC的面积分成相等的两部分时； （3）当P在上时， ∵的面积为， ∴， 解得：， ∴当时，的面积为． 1．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）给出下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的顶点到对边的距离是三角形的高 D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高、角平分线，熟记它们的概念是解题的关键． 根据三角形的高、角平分线的概念、点到这条直线的距离的概念判断即可． 【详解】解：A．三角形的角平分线是线段，故本小题说法错误； B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形的一边上，故本小题说法错误； C．从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．故本小题说法错误； D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，说法正确； 故选：D． 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积计算，熟记面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的根本，关键是列出的方程． 根据三角形的面积公式列出的方程进行解答便可． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵，，， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，D是边上的中点，，，连接交于点P，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，，进而得到，推出，即可得解． 【详解】解：连接，    ∵D是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：； 故选C． 4．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，点，分别在，上，，垂足为点，，若，，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键． 首先证明，再证明，最后运用面积法可求出点F到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴, ∴， 设点F到直线的距离为h，且，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C 5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式是解题的关键． 分别根据三角形的高线、角平分线、中线的定义及三角形面积公式判断即可． 【详解】解：是上的高线， ， 正确，不符合题意； 是的平分线， ， 错误，符合题意； 是上的中线， ， ， 正确，不符合题意． 故选：B． 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是△ABC的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中线的性质：平分三角形的面积． 根据三角形中线的性质得到的面积的面积，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：是△ABC的中线， 的面积的面积， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．（2025九年级下·云南·学业考试）已知是△ABC边上的中线，是的中点，若的面积为2，则△ABC的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质—中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由于是的中点，，那么和可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出和的面积相等，进而得出的面积等于的面积的倍；同理，由于是的中点，得出的面积等于的面积的倍，据此即可求解． 【详解】解：如图所示， 点是的中点，的面积为2， ， ， 是边上的中线， ， ， 故选：B． 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，是的边上任意一点，分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线平分面积的计算，掌握中线的性质是关键． 根据点是中点，得到，根据点是的中点，得到，由即可求解． 【详解】解：∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 故答案为： ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，边上的中线把△ABC的周长分成60和40两部分，和的长分别为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了中线的定义，中线是三角形中从某边的中点连向对角的顶点的线段．由题意可得，则，进而根据三角形中线的性质，得出，即可求解． 【详解】解：因为是△ABC中边上的中线，所以． 因为，所以． 因为边上的中线把△ABC的周长分成60和40两部分，， 所以，即， 解得，则． 故答案为：和． 10．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，已知，分别是△ABC的中线和高，且，，则与的周长的差为 ．的面积与的面积的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差．由可得． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∴与的周长之差， ∵， ∴与的周长之差． ∵， ∴． 故答案为：；． 11．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在△ABC中，，分别是△ABC的中线和高，是的角平分线． (1)若△ABC的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由三角形的中线定理可得：，，再结合，即可求解； （2）根据三角形的外角性质可求出，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：是的中线，的面积为， ，， ， ， ； （2），， ， 是的角平分线， ， 是△ABC的高， ， ， ． 12．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在△ABC中，为钝角，以为边作长方形． (1)猜想：（    ） A．    B．    C．    D． (2)用两种方法证明你的猜想． 【答案】(1)C(2)见解析 【分析】本题考查三角形的面积，利用割补法表示三角形的面积是解题的关键． （1）根据（2）中证明得到结论即可； （2）方法一：过点作交延长线于点，延长、交于点，得到和四边形为长方形，然后得到 ，计算即可解题；方法二：过点作交于点，得到，然后计算解题即可． 【详解】（1）根据（2）中证明得到， 故选：C； （2）方法一：将三角形面积进行表示计算 过点作交延长线于点，延长、交于点， ∵四边形为长方形， ， ∴四边形和四边形为长方形， ， ∵ ， ； 方法二：利用图形的拼接与转化 如图，过点作交于点， ∵四边形是长方形， ， ， ∴ ， ． 13．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在△ABC中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、高、角平分线、外角等知识点，熟练掌握相关概念是解题的关键． （1）由三角形中线的概念可得，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，于是得解． 【详解】（1）解：是△ABC的中线， ， ，， 与的周长差 ， 故答案为：； （2）解：， ， 是△ABC的角平分线，， ， ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读材料】 运用基本事实“同位角相等，两直线平行” 证明“两直线平行，同位角相等”． 已知：如图1，直线，被直线所截，．求证：． 证明：首先，假设，那么可以过点O作直线，使得．根据“同位角相等，两直线平行”可以得到，这样，过点O就有两条直线，都与平行，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾． 所以假设不正确，于是． 【解决问题】 (1)仿照上面的证明方法，补全下面证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 已知：如图2，．求证：． 首先，假设________，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上．因为，所以点Q与点F不重合．由，易得，而，同时，这与基本事实________矛盾．所以假设不正确，于是． (2)如图3，表示的面积，表示的面积．求证：． (3)按照要求，画出图形，并简要说明画法． ①如图4，过点A画一条直线，将△ABC分割成面积相等的两部分； ②如图5，在△ABC中，N是上的一点（不是中点），过点N画一条直线将△ABC分割成面积相等的两部分． 【答案】(1)，“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直” (2)见解析 (3)①见解析；②见解析 【分析】该题主要考查了平行线的性质，三角形中线的性质等知识点，解题的关键是理解题意． （1）由阅读材料可求解； （2）由两条平行线之间的距离处处相等，可得，即可证； （3）①取的中点D，连接，则直线即为所求； ②取的中点D，连接，过点A作，交于点M，连接，则直线即为所求直线． 【详解】（1）解：补全证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 假设，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上． ∵， ∴点Q与点F不重合． 由，得，而，同时，这与基本事实“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”矛盾．所以假设不正确，于是． 故答案为：，“在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直”． （2）证明：过点E作于点P，过点G作于点Q． 由（1）可知，． ∵， ∴． ∵．， ∴． （3）解：①如图1，取的中点D，连接，则直线即为所求． ②如图2，取的中点D，连接，过点A作，交于点M，连接，则直线即为所求． 根据（2）同理可得∵，， 根据平行线间距离相等得出， ∴， 根据中线可得， ∴． ∴． 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 认识三角形（第2课时） 题型一：判断三角形的高是否正确 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，四个图形中，线段是△ABC的高的图是（   ） A．  B．  C．   D．   2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，借助直角三角板作△ABC的边上的高，下列直角三角板的位置摆放正确（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在△ABC中，边的高说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 5．（24-25七年级下·四川甘孜·期中）如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（　　） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 6．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，在△ABC中，于点于点，则△ABC的边上的高是（　　）    A． B． C． D． 题型二：正确识别三角形的角平分线、高、中线 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，为的中点，连接并延长交于点E．过点C作于点H，交于点F．下列说法正确的是（   ） A．线段是的角平分线 B．线段是中边上的高 C．线段是中边上的中线 D．线段是△ABC的角平分线 2．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，的角平分线与中线交于点，对于下列结论：①是的角平分线；②是的中线；③；④．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 3．（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在△ABC中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的角平分线 C． D．是的高 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，的中线、角平分线交于点O，则下列结论中正确的是（　　） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C．是的中线 D．是的角平分线 5．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，在△ABC中，边上的高是 ，边上的高是 ；在△BCF中，边上的高是 ． 题型三：三角形角平分线、高、中线中相关概念 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 2．（24-25七年级下·上海黄浦·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点 B．三角形的外角大于任何一个内角 C．三角形中最大的一个内角的度数可以小于60° D．三角形的内角和与三角形形状无关 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条高所在的直线必交于一点；③三角形的三条中线必交于一点．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 5．（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）下列说法正确的有（    ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四：根据三角形的中线求线段长度 1．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，是△ABC的中线，，，若的周长比的周长小4，则△ABC的周长为 ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）已知是△ABC的边上的中线，若的周长比的周长大6，则与的差是 . 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中边上的中线把△ABC的周长分成30和20两部分，则的长为 ． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若△ABC的周长为，，当中线将△ABC分成周长差为的两部分，求的长． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若△BDE与四边形的周长相等，求线段的长． 6．（24-25八年级上·云南普洱·期末）如图，在△ABC中，是边上的中线，交于点，为的中点，连接．已知，△ABC的面积为24． (1)求的长． (2)若，求与的周长差． 题型五：三角形中相关作图题 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出△ABC中边上的高； (2)画出△ABC中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． (4)，直接写出______． 2．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)点到直线的距离是线段_______的长度； (4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： (1)画出△ABC的边上的高； (2)画出△ABC的边上的中线； (3)过点B作的平行线； (4)线段，直接写出点C到直线的距离______． 4．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高； (2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是△ABC的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出． (4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 5．（23-24七年级下·广西河池·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC沿着点A到点D的方向平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点． (1)画出△ABC中边上的高（提醒：别忘了标注字母）； (2)请画出平移后的（提醒：别忘了标注字母）； (3)求平移后的的面积． 6．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点． (1)将△ABC向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出△ABC的中线，高线； (3)在图中能使的格点P的个数有 个（点P异于A）． 题型六：网格中求面积问题 1．（24-25八年级上·辽宁锦州·阶段练习）如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC的面积为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上，则格点四边形的面积为 ． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点A、B、C、D、F在网格中的格点处，与相交于点E，设小正方形的边长为1，则阴影部分的面积等于 ． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，三角形三个顶点的坐标分别为，，，则三角形的面积为 ． 6．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）每个小方格的边长是1厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，其面积是( )平方厘米。 7．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为，点，，均在格点上，是与网格线的交点，则的长为 ． 题型一：根据三角形的中线求面积 1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在△ABC中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在△ABC中，点，，分别是线段，，的中点，若△ABC的面积是，则的面积是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是△ABC的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线，若△ABC的面积是16，则阴影部分的面积是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点是边上一点，，连接，点是上一点，，连接，点是上一点，连接交于点，若，，则四边形的面积是 ． 6．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知△ABC的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为 ． 7．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，，，分别是△ABC的边，，的中点，连接，，交于点，△ABC的面积为6，设的面积为，的面积为，则 ． 8．（24-25六年级上·上海·阶段练习）如图，在长方形中，点是的中点，，，则的面积是长方形面积的 ． 题型二：利用三角形的面积求高 1．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，已知、分别为△ABC的边、的中点，连接，为的中线，连接，若，四边形的面积为，则△ABC的边上高长为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，△ABC中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则 ． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，，点D，P分别在边，上，且，，，垂足分别为点E．F．若，，则的值 ．    5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知中，，，，为边上一点，，为上一点，过点作于点，于点，求的值 ． 6．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图，在锐角三角形中，的面积， 平分交于点，若、分别是、上的动点，则的最小值为 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，垂足分别为，，，则△ABC的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ；若，则为 ． 题型三：三角形综合应用之多结论问题 1．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在△ABC中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在△ABC中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在△ABC中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（   ） ①的周长的周长；②；③；④；⑤ A．①③⑤ B．①②④ C．①③④⑤ D．②③④ 4．（23-24七年级下·广东湛江·期末）如图，在△ABC中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①：②；③；④．正确的是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④ 5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 题型四：三角形中三条重要线段综合 1．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若△ABC的周长为，，当中线将△ABC分成周长差为的两部分，求的长． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若△BDE与四边形的周长相等，求线段的长． 3．（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在△ABC中，是△ABC的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为__________． (2)若，是角平分线，求__________． (3)若，是高，求的度数． 4．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，，分别是△ABC的中线和高，是的角平分线． (1)若△ABC的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 6．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在△ABC中，点在边上． (1)若， ，求的度数； (2)若，为△ABC的中线，的周长与的周长之比为，求的周长． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是△ABC的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 8．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，在△ABC中，，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为，设运动的时间为． (1)当________时，把△ABC的周长分成相等的两部分； (2)当t为何值时，把△ABC的面积分成相等的两部分？ (3)当P在上运动，t为何值时，的面积为？ 1．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）给出下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的顶点到对边的距离是三角形的高 D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，、是的两条高，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在△ABC中，D是边上的中点，，，连接交于点P，则的值为（　　）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）如图，点，分别在，上，，垂足为点，，若，，，则点到直线的距离为（    ） A．3 B． C． D．2 5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在△ABC中，分别是BC边上的高线、角平分线、中线，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，是△ABC的中线，，，E，F分别是垂足．已知，，则的长度为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．（2025九年级下·云南·学业考试）已知是△ABC边上的中线，是的中点，若的面积为2，则△ABC的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，是的边上任意一点，分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是 ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，，边上的中线把△ABC的周长分成60和40两部分，和的长分别为 ． 10．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，已知，分别是△ABC的中线和高，且，，则与的周长的差为 ．的面积与的面积的关系为 ． 11．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在△ABC中，，分别是△ABC的中线和高，是的角平分线． (1)若△ABC的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 12．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在△ABC中，为钝角，以为边作长方形． (1)猜想：（    ） A．    B．    C．    D． (2)用两种方法证明你的猜想． 13．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在△ABC中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)若是中线，，，则与的周长差为 ； (2)若，，求的度数． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）【阅读材料】 运用基本事实“同位角相等，两直线平行” 证明“两直线平行，同位角相等”． 已知：如图1，直线，被直线所截，．求证：． 证明：首先，假设，那么可以过点O作直线，使得．根据“同位角相等，两直线平行”可以得到，这样，过点O就有两条直线，都与平行，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾． 所以假设不正确，于是． 【解决问题】 (1)仿照上面的证明方法，补全下面证明“两条平行线之间的距离处处相等”的过程． 已知：如图2，．求证：． 首先，假设________，将沿着直线的方向平移，使点G与点E重合，点H的对应点Q在直线上．因为，所以点Q与点F不重合．由，易得，而，同时，这与基本事实________矛盾．所以假设不正确，于是． (2)如图3，表示的面积，表示的面积．求证：． (3)按照要求，画出图形，并简要说明画法． ①如图4，过点A画一条直线，将△ABC分割成面积相等的两部分； ②如图5，在△ABC中，N是上的一点（不是中点），过点N画一条直线将△ABC分割成面积相等的两部分． 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $$